Źródła pola magnetycznego

Źródła pola magnetycznego Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide09.pdf kursu dostępnego na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/coursenotes/index.htm Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/index.htm Prądy elektryczne ze względu na ruch ładunków elektrycznych są źródłami pól magnetycznych. Jeśli ładunki elektryczne płyną w przewodniku, a natężenie prądu wynosi, to wkład fragmentu d przewodnika do indukcji pola d w punkcie P odległym od fragmentu o (patrz rysunek) jest zgodnie z prawem Biota-Savarta równy gdzie przenikalność próżni d, 4 10 T m/a. Zauważmy podobieństwo tego wzoru do wyrażenia d, otrzymanego wcześniej dla pola elektrycznego. 1

Sumaryczne pole magnetyczne, którego źródłem jest przewodnik z prądem wyraża się wzorem 4 d 4. Całka jest całką wektorową, tj. wyznaczenie jej wartości wymaga obliczenia 3 całek krzywoliniowych określających 3 współrzędne wektora indukcji pola magnetycznego. Interaktywna animacja pozwala użytkownikowi na obserwowanie wkładu d do wektora indukcji pola magnetycznego pochodzącego od małego elementu przewodnika z różnych punktów położenia obserwatora. Za pomocą kombinacji klawisza CTRL z klawiszami przesuwu kursora w górę, w dół, w lewo, w prawo można przemieszczać punkt obserwacji i śledzić za wektorem indukcji pola magnetyczneg. 2

Strategia rozwiązywania zadań z wykorzystaniem prawa Biota-Savarta 1. Wybierz układ współrzędnych i napisz w nim postacie wektorowego wyrażenie na d oraz wektor określający położenie wektora d. 2. Wybierz punkt P i określ jego położenie za pomocą wektora. 3. Wyznacz wektor względny oraz wersor. 4. Oblicz iloczyn wektorowy d lub d ; tak otrzymany wektor określa kierunek i zwrot wektora elementarnego wkładu d do sumarycznego wektora. 5. Podstaw obliczone iloczyny do prawa Biota-Savarta d 4 4. 6. Po uproszczeniu wyrażenia podcałkowego wykonaj całkowanie. Zmiana zmiennych całkowania pomaga i upraszcza obliczanie całek Biota- Savarta. 3

Poniższa tabela ilustruje strategię na kilku przykładach 4

Pole magnetyczne skończonego prostoliniowego przewodnika z prądem Postaramy się wyznaczyć pole magnetyczne pochodzące od prostoliniowego przewodnika z prądem o natężeniu płynącego wzdłuż osi OX, tj. od przewodnika leżącego na osi OX jak pokazuje to poniższy rysunek. Naszym zadaniem jest wyznaczenie wektora w punkcie P pokazanym na rysunku. Zastosujemy opisaną strategię. Rozwiązanie 1. Źródłowy punkt pola d d nośnik prądu o natężeniu płynącego w kierunku OX. Jego położenie określa wektor. 2. Położenie punktu jest on umiejscowiony w punkcie o współrzędnych, 0, wobec czego. 3. Wektor względnego położenia źródła i punktu wynosi. Długość tego wektora jest równa. Wersor sin cos. 4. Wyznaczamy teraz iloczyn wektorowy d d d sin cos d sin. 5

5. Obliczamy wkład źródłowego pola d d do d d. Oznacza to, że pole magnetyczne jest skierowane prostopadle do kartki papieru (w kierunku patrzącego na rysunek, tj. przed kartkę). 6. Zmienne,, są zależne. Zauważmy, że na podstawie rysunku prawdziwe są związki ctg d. d Po podstawieniu tych związków do wyrażenia na d otrzymujemy d 4 sin d sin sin sin d. 4 Całkowanie tego ostatniego wyrażenia przeprowadzimy najpierw dla fragmentów przewodnika o dodatnich wartościach współrzędnej, tj. na przedziale kątowym od / do kąta /2. Wykonanie całki jest dość proste i prowadzi do wyniku / sin d / sin d cosπ/2 cos cos. Zauważmy, że wynik jest dodatni, podobnie jak dodatnie są poszczególne wkłady sin d tej całki, ponieważ d ma wartość ujemną. Wynika to także z iloczynu d, który to wektor ma dodatni zwrot osi OZ. Policzymy obecnie wkład do wektora indukcji dawany przez elementy przewodnika o ujemnych wartościach współrzędnej, tj. na przedziale 6

kątowym od kąta początkowego do kąta /. Tym razem d jest skierowane zgodnie ze zwrotem osi OZ, iloczyn sin d jest dodatni, więc za wyrażenie podcałkowe należy wybrać sin d. Wykonanie kolejnej całki jest także proste i prowadzi do wyniku sin d 4 cosπ/2 cos cos. Zatem oba wkłady dodają się 4 cos cos. Inny sposób otrzymania tego samego wynika przytaczamy poniżej d sin d 4 / 4 sin d sin d 4 4 cos cosπ/2 4 cos cos π/2 4 cos cos. Zauważmy, że nieostrożne całkowanie wyrażenia sin d daje wynik błędny wynik cos cos. 7

Przypadki szczególne. a) Jeśli punkt P leży na symetralnej, to i. Dla pręta o długości całkowite 2 mamy cos wyrażenia. 2 2, co prowadziło b) Dla nieskończenie długiego pręta lim 2 2. W tym przypadku układ ma symetrię cylindryczną, co ilustruje kolejny rysunek a kierunek i zwrot linii pola magnetycznego pochodzącego od bardzo długiego prostoliniowego przewodnika z prądem określa reguła prawej dłoni przedstawiona na poniższym rysunku. Jeśli kciuk prawej dłoni ustawimy w kierunku przepływu prądu, to palce wskazują zwrot i kierunek linii pola magnetycznego. 8

Źródłem pola magnetycznego o symetrii walcowej (cylindrycznej) jest prostoliniowy przewodnik z prądem o natężeniu. Rysunek (zaczerpnięto ze strony http://en.wikipedia.org/wiki/electric_current) ilustruje regułę prawej dłoni pozwalającą określić kierunek i zwrot linii stacjonarnego pola magnetycznego wytwarzanego/istniejącego w otoczeniu przewodnika. 9

Pole magnetyczne kołowego przewodnika z prądem Postaramy się wyznaczyć pole magnetyczne pochodzące od kołowego przewodnika z prądem o natężeniu umieszczonego w płaszczyźnie OXY, jak to pokazuje poniższy rysunek. Naszym zadaniem jest wyznaczenie wektora w punkcie P pokazanym na rysunku. Zastosujemy opisaną wcześniej strategię. Rozwiązanie 1. Źródłowy element koła w kartezjańskich współrzędnych znajduje się w punkcie cos sin i jego element aktywny magnetycznie d sin cos. 2. Położenie punktu jest on umiejscowiony w punkcie o wektorze wodzącym. 3. Wektor względnego położenia źródła i punktu wynosi cos sin. Długość tego wektora jest równa. Wersor P P. 10

4. Wyznaczamy teraz iloczyn wektorowy d d P sin cos cos sin cos sin. 5. Obliczamy wkład d do d d /. 6. Teraz powinniśmy wykonać całkowanie ostatniego wzoru. Współrzędne x-owa i y-owa wektora są równe zeru 4 / / cos 0, 4 sin 0. Pozostaje policzyć z-ową składową wektora indukcji pola magnetycznego 4 / 2 /. Tak więc niezerową składową w wybranym punkcie jest tylko. Jeśli oznaczymy przez 0, to zależność wartości przedstawia poniższy rysunek od z/r 11

Pole magnetyczne poruszającego się ze stałą prędkością ładunku punktowego Rozpatrzmy mały fragment prądu o natężeniu płynącego w cylindrycznym przewodniku o polu przekroju długości d, koncentracji nośników prądu o ładunku płynących z prędkością dryfu. Natężenie prądu wyraża się wzorem. Całkowita liczba nośników prądu w rozpatrywanym fragmencie przewodnika jest równa d d. Wobec tego z prawa Biota-Savarta wynika, że d, gdzie wykorzystano związek d d, a jest odległością pomiędzy ładunkiem i punktem P, w którym wyznaczamy wkład d natomiast wersor ma zwrot od ładunku (żródła pola) do punktu P. Jeśli położymy 1, to ostatni wzór określa indukcję pola, której źródłem jest pojedynczy ładunek poruszający się ze stałą prędkością i. 4 Zauważmy, że poruszający się ładunek nie jest stałym prądem elektrycznym. Prędkość dryfu jest dużo mniejsza od prędkości światła, więc możemy uważać ten wzór za poprawny. 12

Ile wynosi indukcja pola magnetycznego pochodzącego od N różnych ładunków punktowych poruszających się z prędkościami? Po zastosowaniu reguły superpozycji otrzymujemy /. (OO) Kolejna animacje przedstawiają w pewnej chwili pola magnetyczna, których źródłem są ruchome ładunki dodatni (rys. górny) i ujemny (rys. dolny). http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/movingchargeposmag/movingchargeposmag.htm http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/movingchargenegmag/movingchargenegmag.htm 13

Kolejna animacja przedstawia pole magnetyczne, którego źródłem jest kilka (a nie pojedynczy) ładunków elektrycznych cyrkulujących po okręgu. Zastosowano wzór (OO) wyprowadzony powyżej. Na animacji, w celu przejrzystości rysunku, pokazano pole magnetyczne w jednej płaszczyźnie pochodzące od 4 ładunków. Na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/arraycharge04/arraycharge04.htm http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/index.htm są dostępne inne animacje z liczbą N=1 i N=8 ładunków. Interaktywna symulacja dostępna na powyższej stronie pozwala na http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/ringmagint/ringmagintegration.htm 14

śledzenie za wektorowym dodawaniem/wyznaczaniem wektora indukcji pola magnetycznego, którego źródłem jest 30 ładunków poruszających się po okręgu. Punktem pomiaru indukcji jest punkt na osi symetrii układu. Kolejna interaktywna symulacja http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/ringmagfield/ringmagfield.htm iiustruje pole magnetyczne pochodzące od 30 ładunków w punktach leżących poza osią symetrii układu. Użytkownik może przesuwać punkt obserwacji za pomocą myszki komputerowej. Za pomocą kombinacji klawisza CTRL z klawiszami przesuwu kursora w górę, w dół, w lewo, w prawo można przemieszczać punkt obserwacji i widzieć wkłady do wektora indukcji od poszczególnych cyrkulujących ładunków. 15

Siły oddziaływań magnetycznych dwóch równoległych przewodników z prądem Przejdziemy obecnie do wyznaczenia siły oddziaływania dwóch równoległych przewodników z prądem, co pokazuje rysunek Obliczymy teraz siłę z jaką przewód 2 działa na 1. Linie pola magnetycznego wytwarzanego przez przewodnik 2 są styczne do współśrodkowych z tym przewodnikiem okręgów (jeden z nich jest zaznaczony na rysunku linią przerywaną). Prąd w tym przewodniku płynie w dodatnim kierunku OX. Dlatego każdy punkt przewodnika 1 znajduje się w polu magnetycznym o indukcji /2. (Dlaczego? Ws-ka: oś OY jest prostopadła do obu przewodników i skierowana do góry.) Wektor jest więc prostopadły do przewodnika 1. Dlatego, zgodnie z wcześniej wyprowadzonym wzorem /2 2. Tak więc wektor siły jest skierowany ku przewodnikowi 2. Wniosek: Dwa równoległe przewodniki, w których płyną w tych samych kierunkach stałe prądy elektryczne przeciągają się. 16

Wniosek: Dwa równoległe przewodniki, w których płyną w przeciwnych kierunkach stałe prądy elektryczne odpychają się. Otrzymane wyniki ilustrują dwie animacje http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/parallelwires/parallelwires.htm http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/serieswires/serieswires.htm Rys. (a) dotyczy prądów płynących w tych samych kierunkach; rys. (b) odnosi się do przewodników, w których prądy płyną w kierunkach przeciwnych. 17

Prawo Ampere a Dedekcję pola magnetycznego wytwarzanego przez przewodnik ze stałym prądem elektrycznym można łatwo przeprowadzić za pomocą igły magnetycznej umieszczonej w jego pobliżu, co przedstawiają kolejny dwa rysunki Wyobraźmy teraz sobie, że igłę tę przemieszczamy po okręgu o stałym promieniu wokół przewodnika z prądem, jak przedstawia to poniższy rysunek Podzielmy okrąg na małe wycinki d, które są styczne do okręgu (patrz rysunek). Policzmy teraz cyrkulację wektora indukcji pola magnetycznego po tym okręgu, czyli całkę krzywoliniową po pętli Ampere a postaci 18

d /2 2. Policzmy jeszcze cyrkulacje po innej pętli zamkniętej przedstawione na rys. niżej. Teraz policzymy cyrkulację po pętli abcda, tj. d d d d 0 0 2 d /2 /2 2 2 2 2. Otrzymaliśmy ten sam wynik! Tak więc możemy uogólnić te wyniki na więcej przypadków twierdząc za Amperem, że dla dowolnej pętli (krzywej zamkniętej) obejmującej przewodnik z prądem słusznym jest wzór d ężń ąó ęą. 19

Prawo Ampere a pełni w magnetostatyce podobną rolę do prawa Gaussa w elektrostatyce. W celu jego zastosowania należy użyć właściwości symetrii rozpatrywanego zagadnienia. Ale, gdy zagadnienie nie wykazuje symetrii należy używać prawa Biota-Savarta Strategia rozwiązywania zadań z wykorzystaniem prawa Ampere a Prawo Ampere a stwierdza, że dla dowolnej pętli (krzywej zamkniętej) obejmującej przewodnik z prądem słuszny jest wzór d ężń ąó ęą. W celu wykorzystania tego prawa postępujemy w następujący sposób: 1. Wybieramy pętle Ampere a wykorzystując właściwości symetrii rozpatrywanego układu. 2. Znajdujemy prądy, które pętla obejmuje; prądy te przebijają każdą powierzchnię rozpiętą na tej pętli. 3. Wyznaczamy wartość liczbową cyrkulacji wektora indukcji pola magnetycznego, tj. całkę d. 4. Przyrównujemy wartość całki do ężń ąó ęą i wyznaczamy wartość indukcji pola magnetycznego. 5. Uwaga: znając wartość cyrkulacji d możemy wyznaczyć ężń ąó ęą 20

Prawo Ampere a stosujemy do następujących przypadków: 1. Bardzo długi prostoliniowy przewodnik, w którym płynie stały prąd elektryczny. 2. Bardzo dużej płaszczyzny, po której płynie stały prąd elektryczny. 3. Bardzo długi solenoid, w którym płynie stały prąd elektryczny. 4. Bardzo długi toroid (zgięty w okrąg i zamknięty solenoid, w którym płynie stały prąd elektryczny). Ad 1. Rozważmy bardzo długi przewodnik w kształcie walca, w którym płynie prąd o natężeniu I. Ile wynosi indukcja pola magnetycznego wytworzonego prze ten przewodnik? Dla punktów leżących na zewnątrz walca prawo Ampere a daje wynik d 2 2. Dla punktów leżących wewnątrz walca płynie prąd o natężeniu, więc z prawo Ampere a wynika równość d 2 21 2.

Wykres zależności reprezentuje rysunek Ad 3. Policzymy indukcję pola magnetycznego bardzo długiego solenoidu 22

Pętlę Ampere a wybieramy tym razem w sposób, który ilustruje poniższy rysunek d d d 0 0 0, d d skąd otrzymujemy ważny wynik gdzie, jest liczbą zwojów na jednostkę długości solenoidu. Jeśli wprowadzimy powierzchniowy prąd, tj. prąd na jednostkę długości, to. 23

Ad. 5. Toroid. Z prawa Ampere a wynika d 2 2. Pole wewnątrz toroidu nie jest jednorodne i maleje wraz ze wzrostem odległości r od jego geometrycznego środka. 24

Zestawienie zastosowań zaprezentowanej metodologii przedstawia poniższa tabela Pole magnetyczne Ziemi 25

Magnetyzm materiałów Wprowadzenie materiałów w pole magnetyczne ma istotny wpływ na to pole magnetyczne. Wpływ ten może przejawiać się na 3 sposoby: 1. Materiał może zmniejszać zewnętrzne pole magnetyczne (materiały diamagnetyczne) lub znosić je całkowicie (nadprzewodniki I rodzaju, tzw. idealne diamagnetyki). 2. Materiał może nieco zwiększać zewnętrzne pole magnetyczne (materiały paramagnetyczne). 3. Materiał może znacznie zwiększać zewnętrzne pole magnetyczne (materiały ferromagnetyczne). 26

Magnetyzacja Materiały magnetyczne zawierają stałe (permanentne) lub indukowane dipolowe momenty magnetyczne. Załóżmy, że rozpatrujemy walcowy fragment magnetycznego materiału o polu powierzchni przekroju, wysokości zawierający dipoli magnetycznych o wartości każdy (patrz rysunek) Jeśli wszystkie dipole są skierowane w tym samym kierunku, to wektor magnetyzacji definiujemy jako W rozpatrywanym przypadku.. 27

Jakie jest średnie pole magnetyczne wewnątrz walca? Popatrzmy dokładniej na kolejne rysunki. Rysunek po prawej stronie pokazuje pętle prądów stowarzyszone z każdym momentem dipolowym. Widzimy, że wewnątrz walca prądy płyną w przeciwnych kierunkach, co powoduje, że momenty dipolowe znoszą się nawzajem. Tylko na powierzchni (brzegach) walca zjawisko to nie ma miejsca. Wygląda tak, jakby po powierzchni walca płynął prąd elektryczny. Równoważny tym powierzchniowym prądom jest koło pokazane na rysunku po prawej stronie, po którym płynie prąd równoważny. Jego wartość otrzymamy żądając, aby wytwarzał wcześniej obliczony magnetyczny moment dipolowy układu, tj., z czego otrzymujemy. Teraz powinniśmy wyznaczyć pole magnetyczne wytwarzane przez ten prąd. Potraktujemy układ jak solenoid o długości, w zwojach którego płynie prąd o natężeniu. Wtedy, jak pamiętamy, gdzie.. Więc 28

Zatem prąd powierzchniowy jest równy magnetyzacji, która jest równa średniemu dipolowi magnetycznemu jednostki objętości. Ze związków słusznych w przypadku solenoidu wiemy, że M. Ponieważ zwroty wektorów M oraz są takie same więc M. Mamy więc sytuację odwrotną do przypadku polaryzacji, której źródłem są elektryczne momenty dipolowe. W przypadku dielektryków polarnych pole zewnętrzne było osłabiane. Paramagnetyzm Atomy lub cząsteczki wchodzące w skład paramagnetyka mają trwałe dipolowe momenty magnetyczne. Pozostawione same sobie (bez oddziaływania na nie pola magnetycznego) nie posiadają magnetyzacji, której wartość. Po umieszczeniu w zewnętrznym polu magnetycznym na każdy dipolowy moment magnetyczny oddziaływuje moment siły, który wymusza zmianę orientacji przestrzennej na równoległą do kierunku wektora i powstanie niezerowej magnetyzacji. Wektor magnetyzacji dodaje się do zewnętrznego pola magnetycznego wzmacniając je, tj. µ. Wniosek: magnetyzowanie się paramagnetyka pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego wzmacnia to pole. Podkreślmy jeszcze raz, że jest to sytuacja całkowicie odmienna od polaryzowania się dielektryków; polaryzacja osłabia pole elektryczne. W większości paramagnetyków wektor magnetyzacji jest nie tylko równoległy do, ale jest liniowo proporcjonalny do, tj. 29

µ, gdzie jest magnetyczną podatnością paramagnetyka. Możemy w związku z tym wzór µ przepisać w postaci µ 1 m m, w którym nowy symbol m nazywamy względną przenikalnością magnetyczną materiału paramagnetycznego. Dodajmy, że w używanych przez nas wcześniej oznaczeniach przenikalność magnetyczna była oznaczana symbolem. Uwzględnienie ostatnio wprowadzonych oznaczeń prowadzi do wniosku, że 1 m, co oznacza, że 1 m. Dla paramagnetyków, m 1 m 1, gdzie jest rzędu 10 10. Jak widzimy magnetyzacja paramagnetyka zwiększa pole magnetyczna nieznacznie. Dodajmy, że dla paramagnetyka. Przykładowymi paramagnetykami są: tlen, aluminium, platyna, tlenek azotu. Patrz także http://en.wikipedia.org/wiki/paramagnetism i http://pl.wikipedia.org/wiki/paramagnetyzm. 30

Prawo Curie Dla małych wartości zewnętrznego pola magnetycznego magnetyzacja paramagnetyków spełnia prawo Curie µ µ, gdzie stała zwana stałą Curie, temperatura bezwzględna paramagnetyka. Odkrywcą tego prawa był Piotr Curie, mąż Marii Skłodowskiej-Curie. Patrz http://en.wikipedia.org/wiki/pierre_curie Wykres zależności (linia pogrubiona) odwrotności podatności magnetycznej paramagnetyka od temperatury. Pokazano również wykresy dla antyferromagnetyka (patrz http://pl.wikipedia.org/wiki/antyferromagnetyzm i http://en.wikipedia.org/wiki/antiferromagnetism) i feroomagnetyka (patrz http://pl.wikipedia.org/wiki/ferromagnetyzm i http://en.wikipedia.org/wiki/ferromagnetism) 31

Diamagnetyzm W materiałach, które nie mają stałych dipolowych momentów magnetycznych, zewnętrzne pole magnetyczne indukuje dipolowe momenty magnetyczne (atomów lub cząsteczek). Ale indukowane w ten sposób pole magnetyczne µ jest antyrównoległe do zewnętrznego. Oznacza to, że w diamagnetykach następuje osłabienie zewnętrznego pola magnetycznego. Zauważmy, że efekt ten występuje we wszystkich materiałach umieszczonych w zewnętrznym polu magnetycznym. Jest on jednak silnie maskowany w paramagnetykach i ferromagnetykach. Podobnie jak w poprzednim przypadku możemy wzór µ przepisać w postaci µ 1 m, w którym nowy symbol m nazywamy jest względną przenikalnością magnetyczną diamagnetyka. Zatem 1 m, co oznacza, że względna przenikalność magnetyczna 1 m. Dla diamagnetyków m 1 1, gdzie jest rzędu 10 10. Jak widzimy magnetyzacja diamagnetyka w bardzo nieznacznym stopniu zmniejsza pole magnetyczne. Dodajmy, że dla diamagnetyka. 32

Nadprzewodniki są idealnymi diamagnetykami, ponieważ w nadprzewodniku pole magnetyczne jest równe zeru (efekt Meissnera), co oznacza, że m 1 0, tj. 1. Typowe wartości dla kilku diamagnetyków: woda 8,8 10, złoto 34 10, bizmut 170 10, grafit 160 10. Patrz także http://en.wikipedia.org/wiki/diamagnetism i http://pl.wikipedia.org/wiki/paramagnetyzm. 33

Ferromagnetyzm W ferromagnetykach istnieje silne oddziaływanie między dipolami magnetycznymi sąsiednich atomów, cząsteczek. Bez zewnętrznego pola magnetycznego w ferromagnetyku istnieje wiele makroskopowych obszarów zwanych domenami magnetycznymi których wektory magnetyzacji są skierowane w określonym kierunku, różnym dla różnych domen; patrz poniższy rysunek 34

Obraz ten ulega znacznej modyfikacji po umieszczeniu ferromagnetyka w zewnętrznym polu magnetycznym. Momenty magnetyczne domen orientują się na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego, co powoduje znaczny wzrost rzędu 10 10 (a nawet więcej) pola magnetycznego w ferromagnetyku; patrz poniższy rysunek Względna przenikalność magnetyczna ferromagnetyków 1 m. nie jest stała, ponieważ związek między magnetyzacją i polem magnetycznym nie jest liniowy, czego wyrazem jest pętla histerezy przedstawiona na kolejnym rysunku. 35

Pętlą histerezy jest zamknięta krzywa abcdefb, opisującą zależność magnetyzacji ferromagnetyka od zewnętrznego pola magnetycznego. Po przyłożeniu zewnętrznego pola magnetycznego magnetyzacja ferromagnetyka rośnie nieliniowo, aż do punktu b, gdzie obserwujemy początek wysycanie się magnetyzacji wszystkie praktycznie domeny ustawione zostały równolegle do zewnętrznego pola magnetycznego. Dalszy wzrost praktycznie nie zmienia wartości magnetyzacji. Zmniejszanie pola zewnętrznego ( ) powoduje zmalenie magnetyzacji, ale dla pola magnetycznego równego zeru (punkt c) magnetyzacja nie jest równa zeru. Jest to tzw. magnetyzacja resztkowa. Zmiana kierunku zewnętrznego pola magnetycznego powoduje stopniowy proces przemagnesowania materiału ferromagnetycznego. Wektory magnetyzacji domen zmieniają kierunek na przeciwny i począwszy od punktu d obserwujemy proces wysycania się magnetyzacji całkowitej opisany wcześniej. Zmniejszanie pola magnetycznego ( ) powoduje malenie magnetyzacji. W punkcie e obserwujemy niezerową resztkową magnetyzację próbki. Magnetyzacja ponownie nie jest równa zeru (jak w punkcie a). Wzrost pola magnetycznego na etapie ( ) powoduje porządkowanie się przestrzenne domen. Patrz http://en.wikipedia.org/wiki/hysteresis i http://pl.wikipedia.org/wiki/histereza. 36

Wektor magnetyzacji ferromagnetyków zależy silnie od temperatury, co ilustruje poniższy wykres. Widać, że istnieje przedział temperatur, w którym magnetyzacja jest niezerowa. Powyżej temperatury zwanej temperaturą Curie magnetyzacja znika. Materiały ferromagnetyczne, ferromagnetyki (w nawiasach temperatura Curie w kelwinach): Co (1388K), Fe (1043), FeOFe 2 O 3 (858), NiOFe 2 O 3 (858), CuOFe 2 O 3 (728) MgOFe 2 O 3 (713), MnBi (630), Ni (627), MnSb (587), MnOFe 2 O 3 (573), Y 3 Fe 5 O 12 (560), CrO 2 (386), MnAs (318), GD (292), Dy (88), EuO (69). Pole magnetyczne wewnątrz ferromagnetyków jest bardzo silne. Możemy je oszacować. Typowa wartość momentu dipolowego atomu wynosi 10 A m 2. W jednym metrze sześciennym jest około 10 atomów. Zatem wartość magnetyzacji jest rzędu ~10 Am 10 atomów/m ~ 10 A m. Odpowiadająca temu indukcja pola magnetycznego może przyjmować znaczne wartości (tesli i więcej), zwłaszcza jeśli uwzględni się duże wartości względnej przenikalności magnetycznej obserwowane w pobliżu temperatury Curie. 37

Podsumowanie 1. Prawo Biota-Savarta stwierdza, że pole magnetyczne d pochodzące od elementu przewodnika z prądem o natężeniu odległego o wynosi d, gdzie jest długością wektora, 4 10 T m/a. 2. Indukcja pola magnetycznego w odległości od prostoliniowego przewodnika z prądem o natężeniu wynosi 2. 3. Siła oddziaływania między dwoma prostoliniowymi przewodnikami z prądami odległymi o o długości wynosi 2. 4. Prawo Ampere a: cyrkulacja wektora indukcji pola magnetycznego po dowolnej pętli (krzywej zamkniętej) obejmującej przewodnik z prądem wynosi d ężń ąó ęą. 5. Indukcja pola magnetycznego w solenoidzie wynosi. 6. Indukcja pola magnetycznego w toroidzie wynosi 2. 38

7. Właściwości magnetyczna materiałów są następujące: Cewki Helmholtza Układ pokazany na poniższym rysunku nazywamy cewkami Helmholtza Można policzyć indukcję pola magnetycznego między cewkami jako funkcję zmiennej, która dla /2 /2 wynosi a wykres prezentuje rysunek / / / /, 39

gdzie 0 5/4 3/2 jest indukcją pola dla 0 i. Widać, że w obszarze między cewkami pole jest praktycznie jednorodne (stałe). Właściwości pola magnetycznego w cewkach Helmholtza reprezentują kolejne animacje http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/magneticforceattract/magneticforceattract.htm 40

Prądy płyną w tych samych kierunkach, więc wektory indukcji pola magnetycznego jednej i drugiej cewki dodają się. Cewki przyciągają się nawzajem co ilustrują linie pól magnetycznych obejmujących je i zagęszczających się wokół nich. Jeśli odległość między cewkami może być zmieniana, to animacja ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/magneticforceattract/magneticforceattract.htm pokazuje tendencję zbliżania się (przyciągania) się cewek do siebie. 41

Ciekawym jest układ Helmholtza z cewkami, w których prądy płyną w kierunkach przeciwnych Animacja ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/coilsopposed/coilsopposed.htm ilustruje tendencje odwrotne; tym razem cewki odpychają się nawzajem. Pole między nimi jest różnicą pól pochodzących od każdej z cewek. 42

Wpływ zmiany odległości między odpychającymi się cewkami przedstawia graficznie kolejna animacja dostępna na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/magneticforcerepel/magneticforcerepel.htm Animacja ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/teachspin/teachspin.htm pokazuje siły odpychania pomiędzy polem magnesu sztabkowego zawieszonego na pionowej belce, po której może się podnosić i opadać oraz 43

pola wytwarzanego przez prąd płynący w cewce. Linie pola wskazująca na przekazywanie energii i pędu od pola do magnesu. Kolejna animacja, której rysunek (przekrój w płaszczyźnie pionowej zestawu laboratoryjnego) prezentujemy poniżej, przedstawia http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/teachspinforce/force_640.mpg magnes sztabkowy zawieszony na sprężynie w polu dwóch cewek. Prądy w cewkach są przesunięte w fazie o 180 stopni. Biegun północny magnesu sztabkowego jest na górze. W momencie gdy w górnej cewce płynie prąd wytwarzający w niej magnetyczny moment dipolowy skierowany w górę, to w dolnej cewce płynie prąd w taki sposób, że wytwarza w niej magnetyczny moment skierowany w dół. W efekcie sztabkowy magnes jest przyciągany przez górną i odpychany przez dolną cewkę. Gdy opisane warunki zmienią się na odwrotne, to na magnes sztabkowy działa siła skierowana w dół. W rezultacie magnes ten wykonuje pionowe drgania w obszarze przestrzeni położonym między cewkami. 44

Jeszcze jedna animacja (jedno zdjęcie poniżej) przedstawia tę samą http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/teachspinnoforce/fod_noforce_640.mpg sytuację fizyczną co poprzednio, ale tym razem prądy w cewkach są w fazie. Magnes sztabowy jest przyciągany jednocześnie przez momenty magnetyczne obu cewek. W rezultacie wypadkowa siła jest równa zeru i magnes sztabkowy pozostaje nieruchomy. 45

Przegląd innych animacji 1. Animacja przedstawiająca widok z góry prostoliniowego http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/wireinfield/wireinfield.htm przewodnika z prądem, który poruszając się najpierw poza obszarem pola magnetycznego ruchem jednostajnym prostoliniowy wpada w obszar pola magnetycznego, którego wektor indukcji jest prostopadły do przewodnika. Przewodnik pod wpływem siły odpychającej Lorentza zwalnia, zatrzymuje się i następnie jest wyrzucany z powrotem z pola magnetycznego. 2. Magnetosfera Ziemi nasza planeta znajduje się w polu magnetycznym wiatru słonecznego (strumień naładowanych http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/magnetospherefar/magspherefar.htm 46

cząsteczek (a więc prądów)), który przeciąga pole magnetyczne Słońca w bezpośrednie otoczenie przestrzeni okołoziemskiej. Linie pola magnetycznego Ziemi w obszarach podbiegunowych łączą się z liniami interplanetarnego pola magnetycznego Słońca, które są emitowane przez Słońce (na animacji nadbiegają z prawej strony; po prawej stronie jest dzień na powierzchni kuli ziemskiej) i poruszają się z dużymi prędkościami wraz z wiatrem słonecznym. Gdy interplanetarne linie pola magnetycznego Słońca są skierowane zgodnie z liniami pola magnetycznego Ziemi (tj. w kierunku południowym, jak to przedstawia animacja), to łatwo łączą się z liniami pola magnetycznego Ziemi. Energia wiatru słonecznego powoduje rozciąganie się łączących się linii i powstawianie charakterystycznych magnetycznych ogonów. W końcu linie te rozpadają się i pękają z tyłu w kierunku powierzchni Ziemi po stronie nocnej. Jest to proces transferowania energii wiatru słonecznego do pola magnetycznego Ziemi oraz do atmosfery ziemskiej, co wywołuje zorze polarne. 3. Magnetyczna anihilacja na powierzchni Słońca zachodzą często http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/magnetosphereclose/magsphereclose.htm spontaniczne, niespodziewane i gwałtowne procesy uwalniania się, tj. erupcji ogromnych ilości nagromadzonej energii w postaci emitowanego promieniowania elektromagnetycznego lub wyrzucania w przestrzeń ogromnych ilości naładowanych cząsteczek, tj. plazmy. Energia 47

uwalniana w ten sposób odpowiada energii jednoczesnego wybuchu miliona 100-megatonowych bomb wodorowych! Meagatonowy wybuch uwalania energię około 4 10 J. Zjawiska te noszą nazwę słonecznych flar; więcej o tym można przeczytać i dowiedzieć się w Internecie na stronie http://sohowww.nascom.nasa.gov/ oraz http://hesperia.gsfc.nasa.gov/sftheory/flare.htm, gdzie znajduje się szczegółowy opis słonecznych flar. Owe erupcyjne uwalnianie energii ma miejsce w procesach zwanych magnetycznymi anihilacjami (w części dolnej animacji linie pola zapadają się; mówimy obrazowo, że anihilują). W tych procesach magnetyczna energia płynie poziomo z miejsc, gdzie linie pola łączą się na nowo i następnie jest uwalniana w postaci wysoce energetycznych cząsteczek (plazmy) płynącej pionowo w górę i w dół. 4. Pływająca (unosząca się w przestrzeni) cewka. http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/floatingcoil/floatingcoil.htm Animacja prezentuje pole magnetyczne cewki z prądem zawieszonej na sprężynie nad magnesem sztabkowym. W zależności od kierunku prądu płynącego w cewce (jest on zmieniany za pomocą zmiany biegunów baterii zasilających uzwojenie cewki) jest ona albo odpychana albo przyciągana przez magnes sztabkowy. 5. Animacja prezentująca siłę Lorentza działająca na poruszający się ładunek w polu magnetycznym. http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/force_in_bfield/force_in_bfield.htm 48

Ładunek dodatni rusza z miejsc, gdzie nie ma pola magnetycznego i wpada do przestrzeni wypełnionej stałym polem magnetycznym skierowanym w górę. Strzałka wskazuje zwrot i kierunek siły Lorentza. Poruszający się ładunek generuje pole magnetyczne, którego wartość i kierunek są proporcjonalne do prędkości cząstki. Tak więc cząsteczka ta odczuwa największą siłę działającą na nią w tych miejscach, gdzie ma największą prędkość. Siła ta ma zwrot zgodny z iloczynem wektorowym wektorów prędkości cząstki oraz indukcji pola magnetycznego. W momencie, gdy cząstka zatrzymuje się jej pole zanika a wartość siły Lorentza staje się równa zeru. Kiedy rusza w kierunku przeciwnym, to zwrot siły zmienia się na przeciwny. 6. Dwa przewodniki kołowe z prądem znakomita symulacja, tj. applet prezentuje pole magnetyczne, którego źródłem są dwa kołowe przewodniki z prądem http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/tworings/tworings.htm Użytkownik ma możliwość zmieniania położeń, orientacji, promieni i prądów w przewodnikach i obserwowania linii pola magnetycznego. Można zwiększyć rozdzielczość klikając na przycisku Iron Filings. 7. Pływająca w przestrzeni cewka kolejny znakomity applet. http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/floatingcoilapp/floatingcoilapp.htm 49

Applet ilustruje siły działajace na cewkę umieszczoną na osi stałego magnesu sztabkowego. W zależności od kierunku płynącego prądu w cewce może ona lewitować (patrz strona pod adresem http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/floatingcoilapp/floatingcoil.pdf), pływać w wypadkowym polu magnetycznym, być przyciąganą przez magnes stały. Biegun północny magnesu sztabkowego znajduje się na górze magnesu. Kierunek przepływu ładunków dodatnich zgadza się z ruchem wskazówek zegara, jeśli patrzymy z góry. 8. Moment siły działającego na magnetyczny dipol umieszczony w zewnętrznym stałym polu magnetycznym http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/torqueondipoleb/torqueondipoleb.htm Applet symuluje pole magnetyczne dipola magnetycznego obracającego się w zewnętrznym stałym polu magnetycznym. 9. Magnes między dwoma cewkami applet prezentuje magnes zawieszony na sprężynie między cewkami Helmholtza. http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/teachspinapp/teachspinapp.htm 50

10. Pole magnetyczne przewodnika z prądem oraz igły magnetycznej applet. http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/wireandmagnetapp/wireandmagnetapp.htm Applet symuluje pole magnetyczne długiego przewodnika z prądem oraz igły magnetycznej oraz dynamikę tego układu. Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide09.pdf kursu dostępnego na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/coursenotes/index.htm Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/magnetostatics/index.htm 51