STATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3 1. Aby zweryfikować hipotezę o symetryczności monety; H: p = 0.5 przeciwko K: p 0.5 wykonano nią n = 100 rzutów. Wyznaczyć obszar krytyczny i zweryfikować hipotezę H gdy w 100 rzutach monetą było 59 orłów, na poziomie istotności: a) α = 0.1, b) α = 0.05. Obliczyć moc testu gdy p = 0.9, p = 0.4. 2. Niech (X 1, X 2,..., X n ) będzie próbą prostą, że X k ma rozkład N(m,1). Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę H: m=4, przeciwko K: m > 4, gdy n=25 oraz zaobserwowano x = 4.3. Podać wartość p-value. 3. Producent twierdzi,że długość życia produkowanych przez niego baterii ma rozkład normalny o średniej 48. Długość życia dla zbadanych 7 baterii wyniosła: 44, 46, 49, 42, 51, 40, 45. Czy obserwacje te przeczą hipotezie producenta o średniej długości życia baterii? Zweryfikować hipotezę dla α = 0.02. 4. Przyjmując, że grubość produkowanych elementów jest zmienną losową o rozkładzie N(m, σ) zweryfikować na poziomie istotności α = 0.1 hipotezę H: m=100 przeciwko K: m 100 dla następujących obserwacji: 95, 103, 104, 97, 100. 5. Zużycie energii elektrycznej (w kwh) przez pewną firmę w losowo wybranych 10 dniach było następujące: 104, 100, 105, 110, 106, 105, 102, 105, 107, 106. Zakładając,że zużycie energii ma rozkład normalny, na poziomie istotności α = 0.025 zweryfikować hipotezę H: σ 2 = 10 przeciwko K: σ 2 > 10. 6. Producent twierdzi, że produkowany przez niego przyrząd nie popełnia błędu systematycznego oraz odchylenie standardowe wyników pomiaru wynosi σ = 0.01. W celu sprawdzenia przyrządu wykonano nim 10 niezależnych pomiarów wzorca w=10.00 i uzyskano: 9.97, 9.96, 10.00, 10.01, 9.99, 10.01, 10.00, 10.02, 10.00, 10.03. Zakładając, że wyniki pomiaru mają rozkład normalny zweryfikować na poziomie istotności α = 0.01: a) hipotezę producenta o błędzie systematycznym oraz b) hipotezę σ = 0.01 przeciwko hipotezie, że rzeczywiste odchylenie jest większe. 1
7. Pewien eksperymentator twierdzi, że opracował nową (lepszą) metodę odsiarczania rud miedzi. Dokonano pomiarów zawartości siarki i otrzymano dla metody: starej: 17, 11, 22, 18, 15, 13, 14, 16 nowej: 15, 12, 10, 18, 14, 15, 13. Przyjmując, że zawartość siarki ma rozkład normalny zweryfikować odpowiednią hipotezę na poziomie istotności α = 0.05. 8. Błędy pomiarów każdego z 2 przyrządów mają rozkład normalny o takiej samej wariancji, równej 3. Badając zgodność pomiarów wykonano po 6 pomiarów każdym przyrządem i otrzymano: x 1 = 66.7, x 2 = 67.3; a)zweryfikować odpowiednią hipotezę na poziomie istotności α = 0.05; b) wyznaczyć błąd II rodzaju. gdy różnica między średnimi wynosi 2.44. 9. W wyniku 20 pomiarów temperatury otrzymano x = 4.8. Zakładając, że utrzymywana temperatura jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m,0.1) na poziomie istotności α = 0.1 zweryfikować hipotezę H: m = 5 przeciwko alternatywie: a) K: m < 5 oraz b) K: m 5. 10.Pomiary napięcia prądu mają rozkład normalny. Dokonano 15 niezależnych pomiarów napięcia i otrzymano s 2 = 1.4. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że wariancja pomiarów wynosi 1.2. Odpowiedzi do Listy 3 zad.1 a) Q = {0, 1,..., 41} {59, 60,..., 100}, odrzucamy H gdy zaobserwowano 59 orłów b)q = {1, 2,..., 40} {60, 61,...100}, nie ma podstaw do odrzucenia H gdy zaobserwowano 59 orłów. M(0.4)=0.5793, M(0.9)=1 zad.2 Q = (1.64; ); u=1.5, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy; p-value =0.0768 zad.3 t=-1.877; 6 stopni swobody; Q = (, 0.906), odrzucamy hipotezę zad.4 t=-0.17; 4 st.swobody; Q = (, 2.132) (2.132, ), nie ma podstaw do odrzucenia H zad.5 χ 2 = 6.1; 9 st.swobody; Q = (19.02, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H zad.6 a) H: m=0 (błąd systematyczny wynosi 0 ) K: m 0 t=-0.1; 9 st.swobody; Q = (, 3.25) (3.35, ), nie ma podstaw do 2
odrzucenia hipotezy H b) H: σ 2 = 0.0001 przeciwko K: σ 2 > 0.0001 χ 2 = 34; 9 st.swobody, Q = (21.67, ), odrzucamy H na podanym poziomie istotności zad.7 H: m s = m n przeciwko K: m s > m n t=1.48; 13 st.swobody Q = (1.771, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H zad.8 a) H: m 1 = m 2 przeciwko K: m 1 m 2 u=-0.6, Q = (, 1.96) (1.96, ), nie ma podstaw do odrzucenia H b) β = 0.3156 zad.10 χ 2 = 17.5; 14 st.swobody Q = (23.68, ), nie ma podstaw do odrzucenia H LISTA 4 1.W celu sprawdzenia symetryczności kostki do gry wykonano nią 120 rzutów i otrzymano: liczba oczek 1 2 3 4 5 6 liczba rzutów 11 30 14 10 33 22 Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że kostka jest symetryczna. 2.Zmienna losowa X oznacza liczbę kolizji komunikacji miejskiej w ciągu jednej doby.na podstawie obserwacji próby prostej: 3, 2, 2, 1, 4, 0, 4, 2, 3 zweryfikować hipotezę,że X ma rozkład Poissona z λ = 2. Przyjąć α = 0.025. 3.Prześwietlono 100 niezależnych próbek wykonanych z tego samego materiału i uzyskano następujące liczby skaz: liczba skaz 0 1 2 3 4 5 liczba próbek 10 27 29 19 8 7 Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikować hipotezę, że liczba skaz w próbkach ma rozkład Poissona. 4.W pewnym doświadczeniu mierzy się czas (w s) występowania określonego efektu świetlnego. Dla 1000 niezależnych doświadczeń uzyskano: czas efektu 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 liczba dośw. 90 140 320 300 150 Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że czas występowania 3
efektu świetlnego ma rozkład normalny. 5.Zbadano zależność między ilością pewnej substancji dodawanej do produkcji wyrobu a jego wytrzymałością: ilość substancji 1 2 4 6 7 twardość wyrobu 52 53 48 50 52 a) czy istnieje zależność między ilością dodawanej substancji a wytrzymałością wyrobu? b) wyznaczyć równanie prostej regresji c) obliczyć spodziewaną wytrzymałość wyrobu, gdy do produkcji dodamy 5 jednostek substancji d) obliczyć współczynnik korelacji rang Spearmana. 6. W następującej tabeli x i określa miesięczne zużycie pewnego surowca (w tonach)w produkcji wyrobu, zaś y i określa wielkość produkcji (w tonach) w tym miesiącu: x i 1 1.5 2 4 5 6 y i 3 3.5 4.5 8 11 12 Przedstawić podane obserwacje na płaszczyźnie. Obliczyć współczynnik korelacji liniowej. Czy zależność cechy Y od cechy X jest dodatnia czy ujemna i co to oznacza? Co można powiedzieć o sile zależnosci miedzy tymi cechami? Wyznaczyć: a) prostą regresji cechy Y względem cechy X; b) prostą regresji cechy X względem cechy Y; c) narysować obie proste regresji na płaszczyżnie; d) czy punkt ( x, ȳ) jest punktem przecięcia tych prostych; e) oszacować wielkość produkcji gdy zużycie surowca wyniesie 3 tony; 5.5 tony; f) o ile wzrośnie produkcja gdy zużycie surowca wzrośnie o 1 tonę; 7. Czas świecenia żarówek tej samej mocy wyprodukowanych trzema różnymi metodami był następujacy: metoda 1 1802 1992 1854 1880 1761 1900 metoda 2 1664 1755 1823 1862 metoda 3 1877 1710 1882 1720 1950 Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że wartości przeciętne czasów świecenia żarówek produkowanych różnymi metodami są jednakowe: przeciwko hipotezie alternatywnej,że przynajmniej dwie wartości przeciętne 4
są różne. 8. Zmierzono rezystencję oporników tego samego typu produkowanych przez 4 różnych producentów otrzymując wartości: producent 1 28 36 26 28 25 27 33 producent 2 29 27 34 30 29 producent 3 30 37 29 28 31 30 producent 4 30 29 35 28 Na poziomie istotnosci α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że wartości przecietne rezystancji dla 4 róznych producentów są jednakowe; przeciwko hipotezie alternatywnej, że przynajmniej dwie z nich sa rózne. Odpowiedzi do Listy 4 zad.1 χ 2 = 24.50, Q = (11.07, ), odrzucamy hipotezę zad.2 χ 2 = 2.8434,4 st.swobody Q = (11.141, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zad.3 χ 2 = 4.4107, 5 st.swobody Q = (13.277, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zad.4 χ 2 = 52, 43, r=5, 2 st.swobody Q = (5.991, ), odrzucamy hipotezę zad.5 a) r=-0.27, b) y = 0.23x + 51.92 c) 50.77 d) r s = 0.275, zad.6,y = 1.90x + 0.81, x = 0.52y 0.38 zad.7 F = 1.126 / Q, gdzie Q = [3.89, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy na podanym poziomie istotności, zad.8 F = 0.36 / Q, gdzie Q = [3.16, ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy na podanym poziomie istotności. 5