PIOTR OSTALCZYK Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka Regulator zmiennych niecałkowitych rzędów różniczkowania w sterowaniu elementami platformy mobilnej XXI Międzynarodowy Salon Przemysłu Obronnego MSPO Kielce 2013 Instytut Informatyki Stosowanej Politechniki Łódzkiej Ul. Stefanowskiego 18/22, 90-924 Łódź, Tel.: 042 631 2750, fax: 042 631 2755, e-mail: katedra@kis.p.lodz.pl
Wykład dostępny pod adresem http://www.kis.p.lodz.pl/news.html Instytut Informatyki Stosowanej Politechniki Łódzkiej Ul. Stefanowskiego 18/22, 90-924 Łódź, Tel.: 042 631 2750, fax: 042 631 2755, e-mail: katedra@kis.p.lodz.pl
Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1 Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny klasyczna pochodna i całka określona 1.2 Różnica i suma niecałkowitych rzędów 1.2.1 Przypadek szczególny klasyczna różnica wsteczna i suma 1.2.2 Różnica i suma niecałkowitych zmiennych rzędów 2 Regulator PID 2.1 Podstawowa struktura układu regulacji 2.2 Klasyczny regulator PID 2.2.1 Klasyczny ciągły regulator PID 2.2.2 Klasyczny dyskretny regulator PID 2.3 Regulator PID niecałkowitych rzędów 2.3.1 Dyskretny regulator PID niecałkowitych rzędów 2.3.2 Dyskretny regulator PID zmiennych niecałkowitych rzędów 2.3.3 Struktura dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów 2.3.4 Odpowiedzi skokowe dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów 3 Przebiegi w układzie rzeczywistym i symulacje komputerowe 4 Problemy otwarte 5 Wnioski koocowe 6 Literatura 7 Dyskusja naukowa
Ad. 1.1 Pochodna i całka niecałkowitych rzędów Riemanna- Liouville a Dla, - Funkcja Gamma Eulera
Ad.1.1.1 Przypadek szczególny klasyczna pochodna i całka określona Dla,
Ad. 1.2 Różnica i suma niecałkowitych rzędów Grünwalda- Letnikova Postać: Grünwalda-letnikova, Hornera, Caputo, Riemanna-Liouville a
różnicowana/sumowana funkcja współczynniki rząd różnicowania ( ), sumowania ( )
Suma rzędu -1 oraz -0.5 funkcji dyskretnej (o) jako suma pól oznaczonych kolorem szarym
Różnica rzędu -1 oraz -0.5 funkcji dyskretnej (o) jako suma pól oznaczonych kolorem szarym
Ad 1.2.1. Przypadek szczególny klasyczna różnica wsteczna i suma
Ad. 1.2.2.Różnica i suma niecałkowitych zmiennych rzędów różnicowana/sumowana funkcja współczynniki funkcja rzędu różnicowania ( ), sumowania ( )
Ad. 2.1. Podstawowa struktura układu regulacji Koncepcja regulatora 1890, PID ElmeraSperry z 1911 roku automatycznego sterowania statkiem, 1922 roku Nicolas Minorsky d (s) d i (s) r (s) C (s) e 1( s) + + + K (s) P(s) e 2( s) + y 1( s) y 2 ( s) + y (s) H (s) Obiekt n (s) Regulator + + Sprzężenie zwrotne nominalna macierz transmitancji sterowanego obiektu o wymiarach macierz transmitancji regulatora o wymiarach macierz transmitancji kompensatora wstępnego o wymiarach macierz transmitancji kompensatora w sprzężeniu zwrotnym oraz dynamikę czujników pomiarowych o wymiarach wektor sygnałów o wymiarze zamkniętego układu regulacji wektor sygnałów zakłócających wektor sygnału sterującego o wymiarze zamkniętego układu regulacji wektor sygnałów zakłócających wektor sygnału wyjściowego obiektu o wymiarze zamkniętego układu regulacji wektor sygnałów reprezentujących szumy pomiarowe wprowadzane przez czujniki, o wymiarze, wektor sygnałów wyjściowych zamkniętego układu regulacji o wymiarze wektor sygnałów wyjściowych regulatora (na ten sygnał nakłada się zazwyczaj ograniczenie ), wektor sygnałów wyjściowych obiektu (sygnał ten jest w praktyce niemierzalny), wektor sygnałów uchybu regulacji (sygnał ten służy jako miara jakości regulacji (miara efektów działania regulatora)), wektor sygnałów uchybu regulatora (sygnał ten służy jako miara jakości (efektów działania regulatora) regulacji).
Ad. 2.2.1 Klasyczny ciągły regulator PID zakres proporcjonalności, czas zdwojenia (stała całkowania), wyprzedzenia (stała różniczkowania).
Transmitancja operatorowa regulatora PID
Ad. 2.2.1 Klasyczny dyskretny regulator PID
Transmitancje obu wersji dyskretnego regulatora PID różnią się nieznacznie (różnice zaznaczone są kolorem czerwonym)
Postać równoważna Współczynnik Całkowanie metodą prostokątów Całkowanie metodą trapezów
Równanie 1 Ad.2.3 Regulator PID niecałkowitych rzędów Ad.2.3.1 Dyskretny regulator PID niecałkowitych rzędów u k = K P e k + K I GL ( ) 0 k ek + K GL D 0 ( v) k e k < 0, v > 0
Równanie 2 Ad.2.3.2 Dyskretny regulator PID zmiennych niecałkowitych rzędów u k = K P e k + K I GL ( ) 0 k ek + K GL D 0 ( v k k k ) e k k < 0, v k > 0 k = 0,1,2,
K P ek K I GL 0 ( k k ) uk K D GL 0 ( k v k ) Schemat blokowy dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów
Ad.2.3.3. Struktura dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów
Ad.2.3.4. Odpowiedzi skokowe dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów e k 3. 3V, K P 0. 1, K I 0. 01, K 1. D Przebiegi funkcji rzędów różnicowania i sumowania
Odpowiedź skokowa regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów
Uchyb pomiędzy odpowiedzią regulatora PID zrealizowaną w układzie mikroprocesorowym oraz symulowaną w programie MATLAB
Ad.3. Przebiegi w układzie rzeczywistym i symulacje komputerowe
,
,,
Ad.4. Problemy otwarte Dobór funkcji rzędu dyskretnego różniczkowania i całkowania Dobór funkcji rzędu dyskretnego różniczkowania i całkowania zależnych od uchybu i sygnału wyjściowego regulatora Model niecałkowitego rzędu dynamiki ramion robota w oparciu o formalizm Eulera-Lagrange a Model niecałkowitego rzędu dynamiki platformy mobilnej Zastosowanie uproszczonych postaci różnicy i sumy niecałkowitego rzędu Optymalizacja realizacji mikroprocesorowych
Ad.5. Wnioski końcowe Narzędzie matematyczne: rachunek różniczkowo-całkowy niecałkowitego rzędu będzie rachunkiem XXI wieku (Katsuyuki Nishimoto). Wszystko wskazuje, że już się staje. Zastosowania: Modelownie zjawisk fizycznych (procesy dyfuzji, modelowanie procesów tarcia, modelownie elementów elektronicznych - kondensatorów i cewek magnetycznych) Analiza dynamiki zjawisk i układów fizycznych Synteza zamkniętych układów sterowania z algorytmami opisanymi równaniami różnicowymi niecałkowitych rzędów Przetwarzanie obrazów Projektowanie trajektorii autonomicznych ruchomych obiektów
Ad.6. Literatura Äström K.J., Hägglund T. (1995). PID controllers:. Theory, design and tuning, Instrument Society of America. Axtell, M., Bise, M. E. (1990), Fractional calculus applications in control systems, Proceedings of the IEEE 1990 National Aerospace and Electronics Conference, New York, USA, pp. 563 566. Baleanu, D., Defterli, O., Agrawal, O.P. (2009) A central difference numerical scheme for fractional optimal control problems, JVC/Journal of Vibration and Control 15 (4), pp. 583-597. Baleanu, D. K. Diethelm, E. Scalas, and J. J. Trujillo, Fractional Calculus Models and Numerical Methods, World Scientific, Singapore, 2012. Barbosa, R.S., Tenreiro Machado J.A., Galhano A.M,, (2006). Performance of Fractional PID Algorithms Control in Nonlinear Systems with Saturation and Backlash Phenomena, Journal of Vibration and Control, vol.13, No.9-10, pp. 1407 1418. Barbosa, R. S., Machado, T. J. A. & Jesus, I. S. (2008), On the fractional pid control of a laboratory servo system, in Proceedings of the 17thWorld Congress. The International Federation of Automatic Control, Seoul, Korea, pp. 15273 15278.
Barbosa, R. S., Machado, T. J. A., Jesus, I. S. (2010), Effect of fractional orders in the velocity control of a servo system, Computers and Mathematics with Applications 59, 1679 1686 Caponetto, R., Fortuna, L., Porto, D. (2002), Parameter tuning of a non integer order pid controller, Proceedings of the 15thinternational symposium on mathematical theory of networks and systems, Notre Dame, Indiana, USA. Chen, Y. (2006), Ubiquitous fractional order controllers?, Proceedings of the Second IFAC Symposium on Fractional Differentiation and its Applications, Porto, Portugal, pp. 481 492. Chen YQ., Petras I., Xue D., (2009), Fractional Order Control - A Tutorial, 2009 American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, MO, USA June 10-12, 2009. Delavari, H., Ghaderi, R., Ranjbar, A. N., HosseinNia, H. S., Momani, S. (2010), Adaptive Fractional PID Controller for Robot Manipulator, Proceedings of the 4 th IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its Applications., Badajoz, Spain. Franklin G.F., Powell J.D., Ememi-Naeini (2002), Feedback Control of Dynamic Systems. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Yersey. Goodwin, G. C., Graebe, S. F., and Salgado, M. E. (2000), Control System Design. Prentice Hall, Ifeachor, E.C., Jervis B.W. (1998). Digital Signal Processing. A practical Approach, Addison - Wesley, Harlow.
Li, H., Luo Y., Chen Y., (2010). A Fractional Order Proportional and Derivative (FOPD) Motion Controller: Tuning Rule and Experiments, IEE Transactions on Control Systems Technology, vol.18, No.2, pp. 516 520. Luo, Y. Chen, Y. (2009), Fractional order proportional derivative controller for robust motion control: Tuning procedure and validation, Proceedings of the American Control Conference, Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, Missouri, USA, pp. 1412 1417. Machado, T. J. A. (1997), Analysis and design of fractional-order digital control systems, Journal of Systems Analysis-Modeling-Simulation 27(2-3), 107 122. Matusu, R. (2011), Application of fractional order calculus to control theory, International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 5(7), 1162 1169. Merrikh-Bayat, F. (2011), Optimal tuning rules of the fractional-order PID controllers with application to first-order plus time delay processes, Proceedings of the 2011 4 th International Symposium on Advanced Control of Industrial Processes, Thousand Islands Lake, Hangzhou, P.R. China, pp. 403 408. Monje, C. A., Vinagre, B. M., Chen, Y., Feliu, V., Lanusse, P. Sabatier, J. (2004), Proposals for fractional PIλDµ tuning, Proceedings of Fractional Differentiation and its Applications, Bordeaux, France. Monje, C. A., Vinagre, B. M., Feliu, V. & Chen, Y. (2008), Tuning and auto-tuning of fractional order controllers for industry applications, Control Engineering Practice 16(7), 798 812.
Monje, C. A., Chen, Y., Vinagre, B. M., Xue, D., Feliu, V. (2010), Fractional-order Systems and Controls - Fundamentals and Applications, Springer-Verlag London. Ogata, K. (1987). Discrete-Time Control Systems, Prentice Hall International Editions, Englewood Cliffs. Ostalczyk, P. (1995). Fractional-order backward difference equivalent forms. In Le Mehaute A., Tenreiro Machado J.A., Trigeassou J.C., Sabatier J. (eds.), Fractional differentiation and its applications., Systems analysis, implementation and simulation, system identification and control, 545 556, Ubooks Verlag, Neusäß Germany 2005. Ostalczyk, P. (2012a), On a variable-, fractional-orders pid control, Advances in Control Theory and Automation, Printing House of Bialystok University of Technology, Poland, Ostalczyk, P. (2012b), Variable-, fractional-order discrete pid controller, Proceedings of the 17 th Conference on Method and Models in Automation and Robotics, Międzyzdroje, Poland, pp. 534 539. Ostalczyk P., Duch P., Brzeziński D., Sankowski D. (2013): On the variable-, fractional-order pid controller dsp realisation problems. Journal of Vibration and Control. (submitted for publication) Padula, F., Visioli, A. (2011), Tuning rules for optimal pid and fractional-order PID controllers, Journal of Process Control 21, 69 81. Petráš, I., (2009), Fractional order feedback control of a dc motor, Journal of Electrical Engineering 60(3), 117 128.
Podlubny I., (1994), Fractional-order Systems and Fractional-order Controllers. Slovak Academy of Sciences Institute of Experimental Physics, UEF SAV Kosice. Podlubny, I., (1999), Fractional-Order Systems and PIλDµ-Controllers, IEEE transactions on automatic control 44(1), pp. 208 214. Podlubny I., (1999). Fractional Differential Equations. Academic Press, London. Podlubny, I., Dorcak, L., Kostial, I. (1997), On Fractional Derivatives, Fractional- Order Dynamic Systems and PIλDµ-controllers, Proceedings of the 36thConference on Decision and Control, San Diego, California, USA, pp. 4985 4990. Raynaud, H.-F., Zergäınoh, A. (2000), State-space representation for fractional order controllers, Automatica 36(7), 1017 1021. Sheng Hu, Sun Hongguang, Coopman Calvin, Chen YangQuan, Bohannan Gary W. (2010): Physical Experimental Study of Variable-order Fractional Integrator and Differentiator. Proceedings of FDA 10. The 4th IFAC Workshop Fractional Differentiation and its Applications. Badajoz, Spain, October 18-20, 2010 (Eds: I. Podlubny, B. M. Vinagre Jara, YQ. Chen, V. Feliu Batlle, I. Tejado Balsera), Singhal, R., Padhee, S., Kaur, G. (2012), Design of fractional order pid controller for speed control of dc motor, International Journal of Control and Automation 3(4), 33 46. Spong M.W, Vidyasagar M. (1989). Robot Dynamics and Control. John Wiley & Sons, New York.
Valério, D., Costa, J. S., (2006), Tuning-rules for fractional pid controllers, in Proceedings of the Second IFAC Symposium on Fractional Differentiation and its Applications, Porto, Portugal. Valério, D., Costa, J.S., (2006), Tuning of fractional pid controllers with Ziegler- Nichols-type rules, Signal Processing 86, 2771 2784. Xue, D., Zhao, C., Chen, Y. (2006), Fractional order pid control of a dc-motor with elastic shaft: A case study, Proceedings of the 2006 American Control Conference, Minneapolis, Minnesota, USA, pp. 3182 3187. Xue, D., Chen, Y. (2002), A comparative introduction of four fractional order controllers, Proceedings of the 4thWorld Congress on Intelligent Control and Automation, Shanghai, P.R.China, pp. 3228 3235. Yeroglu, C., Tan, N. (2011), Classical controller design techniques for fractional order case, ISA Transactions 50, 461 472. Zhao, C., Xue D., Chn Y., (2005). A Fractional Order PID Tuning Algorithm for A Class o Fractional Order Plants, Proceedings of the IEEE International Conference n Mechatronics & Automation, Niagara Falls, Canada, pp. 216 220. Zhao, C., Zhang, X. (2008), The application of fractional order pid controller to position servomechanism, in Proceedings of the 7thWorld Congress on Intelligent Control and Automation, Chongqing, China, pp. 3380 3383.
Dziękuję za uwagę
Zapraszam do dyskusji naukowej