Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki Przedmiot: Zintegrowane Pakiety Obliczeniowe W Zastosowaniach InŜynierskich Numer ćwiczenia: 7,8 Temat: Signal Processing Toolbox - filtry cyfrowe, transmitancja filtru, charakterystyka amplitudowa i fazowa, stabilność filtru, odpowiedź na skok jednostkowy, odpowiedź impulsowa Wprowadzenie Cyfrowe przetwarzanie sygnałów polega na przekształceniu danych wejściowych (reprezentujących pewien ciąg liczb) w inne dane, tj. dane wyjściowe, reprezentujące ciąg liczb na wyjściu układu. Pochodzenie przetwarzanych sygnałów nie jest istotne. Zakładamy, Ŝe są one dane w postaci ciągów liczb i mogą one pochodzić z innego urządzenia cyfrowego, bądź teŝ mogą to być próbki sygnału analogowego. Termin filtr (analogowy lub cyfrowy) oznacza, w klasycznym rozumieniu tego słowa, układ liniowy (zwykle stacjonarny), dla którego przy danym, zdeterminowanym sygnale wejściowym uzyskuje się poŝądany sygnał wyjściowy o ściśle określonych właściwościach. Algorytm przetwarzania sygnału moŝna zrealizować sprzętowo lub programowo, a w związku z tym filtr cyfrowy" oznacza zarówno urządzenie jak i program realizacji danego algorytmu. WaŜnym elementem algorytmów projektowania filtrów cyfrowych jest przeprowadzenie analizy częstotliwościowej sygnałów elektrycznych poddawanych filtracji. Badanie częstotliwościowe sygnałów przeprowadza się wykorzystując przekształcenie całkowe Fouriera (transformacja Fouriera). Przekształcenie to, umoŝliwia przeprowadzenie przejścia z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości. Dzięki zastosowaniu transformacji dowolny przebieg niesinusoidalny jest rozkładany na szereg przebiegów okresowych. UmoŜliwia to określenie w jaki sposób poszczególne częstotliwości składają się na pierwotny przebieg niesinusoidalny. Zakładając, Ŝe dany przebieg sygnału elektrycznego wyraŝony jest funkcją f(t), to przekształcenie jωt = f ( t e dt F( jω ) ) jest przekształceniem prostym Fouriera, gdyŝ przekształca funkcję czasu t w funkcję częstotliwości ω. Wielkość F(jω) nazywane jest transformatą Fouriera lub charakterystyką widmową. Analogicznie przekształcenie 1 j = ω ω t f ( t) F( j ) e dω 2π 1
jest nazywane odwrotnym przekształceniem Fouriera lub całką Fouriera i umoŝliwia wyraŝenie funkcji częstotliwości ω funkcją czasy t. JeŜeli dana funkcja przedstawiająca przebieg sygnału elektrycznego spełnia warunek Dirichleta (wystarczający warunek aby funkcje okresową móc przedstawić w postaci szeregu Fouriera oraz by istniała jej transformata Fouriera) oraz warunek bezwzględnej całkowalności moŝe zostać zobrazowana w dziedzinie częstotliwości w postaci charakterystyk amplitudowofazowych obrazujących widmo funkcji. Przedstawione zaleŝności dotyczą sygnałów ciągłych w czasie (sygnałów analogowych). W przypadku sygnałów dyskretnych mówimy o dyskretnej transformacie Fouriera DFT (ang. Discrete Fourier Transform). Wykonanie algorytmu DFT wymaga zazwyczaj wykonania bardzo duŝej ilości obliczeń, przez co nie zawsze jest moŝliwe wykonanie operacji w czasie rzeczywistym. Efektywnym algorytmem obliczania prostej i odwrotnej DFT jest algorytm szybkiej transformaty Fouriera FFT (ang. Fast Fourier Transform). Algorytm FFT nie jest przybliŝeniem DFT i jest równowaŝny DFT. Szybkość algorytmu FFT jest wykorzystywana w układach elektronicznych do analizy częstotliwościowej (np. układy DSP). Obie metody, FFT oraz DFT, posiadają jednak takie same właściwości. FFT w Matlabie W programie MATLAB transformata Fouriera realizowana jest przez polecenie fft: X = fft(x,n); x sygnał cyfrowy w dziedzinie czasu n liczba punktów transformaty X- widmo sygnału (sygnał w dziedzinie częstotliwości). Odwrotna transformata Fouriera realizowana jest przez polecenie ifft: x = ifft(x,n); X- widmo sygnału (sygnał w dziedzinie częstotliwości) n liczba punktów transformaty x sygnał cyfrowy w dziedzinie czasu. Przykład skryptu w Matlabie realizującego algorytm prostej FFT dla sygnału złoŝonego z trzech składowych a następnie zaszumionego przedstawiono poniŝej. Wynikiem działania skryptu jest prezentacja widma utworzonego sygnału. fs = 25e3; % czestotliwosc probkowania sygnalu-okreslajaca krok czasu delta_t delata_t = 1/fs; t = 0:delta_t:1; % generacja wektora czasu od 0 do 1 sekundy z krokiem odpowiadajacym czestotliwosci probkowania % suma sygnalow o czestotliwosci 900, 1800 i 2700 Hz u = 10*sin(2*pi*900*t) +... % pierwsza skladowa 1*sin(2*pi*1800*t) +... % druga skladowa 2*sin(2*pi*2700*t); % trzecia skladowa 2
% zaszumienie utowrzonego przebiegu przez dodanie losowej wartosci z % przedzialu 0-0.25 do kazdego punktu przebiegu u u1 = u + 0.25*rand(size(t)); % obliczenie szybkiej transformaty Fouriera ufft = fft(u); f = fs*(0:length(t)/2)/length(t); stem(f,abs(ufft(1:end/2+1))); % wykreslenie widma sygnalu Rys. 1. Ilustracja widma sygnału uzyskanego w wyniku działania skryptu. Filtracja w Matlabie W celu przeprowadzenia filtracji w środowisku MATLAB naleŝy: określić parametry filtru: rodzaj filtru (dolnoprzepustowy DP, górnoprzepustowy GP, pasmowoprzepustowy PP lub pasmowozaporowy PZ), częstotliwość graniczną (lub częstotliwości graniczne) oraz rząd filtru, określić rodzaj aproksymacji wykorzystanej do realizacji filtru (np. butterwortha), a następnie wyznaczyć współczynniki filtru, zbadać właściwości zaprojektowanego filtru cyfrowego (wyznaczenie odpowiedzi na skok jednostkowy, na impuls, zbadanie stabilności filtru), wykonać obliczeń realizujących samą filtrację Do określenia parametrów filtru wykorzystać moŝna widmo sygnału poddawanego filtracji. Do obliczenia widma posłuŝą funkcję fft oraz ifft opisane we wcześniejszej części instrukcji. Wyznaczenie współczynników transmitancji filtru cyfrowego w zaleŝności od poŝądanej aproksymacji charakterystyki filtru jest realizowane funkcjami: [b,a] = butter(filterorder, Wn, type) [b,a] = cheby1(filterorder, Rp, Wn, type) dla aproksymacji Butterwortha dla aproksymacji Czebyszewa [b,a] = ellip(filterorder, Rp, Rs, Wn, type) dla aproksymacji eliptycznej filterorder rząd filtru 3
Wn pulsacja odcięcia, Wn (0;1), Wn=1 odpowiada połowie częstotliwości próbkowania Rp (ang. ripple) falistość [db] w paśmie przenoszenia Rs spadek wzmocnienia dla pasma tłumienia type określa rodzaj filtru (dolnoprzepustowy, górnoprzepustowy, pasmowozaporowy) i moŝe przyjmować następujące wartości: low, high, stop. W przypadku filtru pasmowego, parametr Wn musi się składać z wektora dwuelementowego Wn=[Wn low Wn high ]. Wyznaczanie odpowiedzi częstotliwościowej (charakterystyki amplitudowo-fazowej) filtrów cyfrowych: [H,W] = freqz(b, a, npoint) H zespolona odpowiedź częstotliwościowa W wektor częstotliwości b,a współczynniki w transmitancji npoint liczba punktów Wyznaczanie odpowiedzi filtrów cyfrowych na skok jednostkowy: [Ht] = stepz(b, a) Ht odpowiedź na skok jednostkowy b,a współczynniki w transmitancji Wyznaczanie odpowiedzi impulsowej filtrów cyfrowych: [Hi] = impz(b, a) Hi odpowiedź impulsowa b, a współczynniki w transmitancji Wyznaczanie połoŝenia biegunów i zer filtrów cyfrowych na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z: zplane(b, a) b, a współczynniki w transmitancji Przykład projektowania filtrów oraz badania ich charakterystyk przedstawia poniŝszy skrypt działający w środowisku MATLAB. Skrypt ten jest kontynuacją i stanowi rozwinięcie skryptu przedstawiającego przeprowadzenie FFT w środowisku MATLAB. % filtracja - filtr DP o cz. granicznej rownej 1350 Hz % generacja wspolczynnikow aproksymacji butterwortha [bb,ba]=butter(2,1350/(fs/2),'low'); % generacja wspolczynnikow aproksymacji czebyszewa 4
[cb,ca]=cheby1(2,2,1350/(fs/2),'low'); % generacja wspolczynnikow aproksymacji eliptycznej [eb,ea]=ellip(2,2,25,1350/(fs/2),'low'); % badanie charakterystyk zaprojektowanych filtrow [bh,bw]=freqz(bb,ba); [ch,cw]=freqz(cb,ca); [eh,ew]=freqz(eb,ea); figure; subplot(2,1,1) % podwykres amplitudy hold on plot(bw/pi*fs/2,abs(bh)); plot(cw/pi*fs/2,abs(ch),'r'); plot(ew/pi*fs/2,abs(eh),'k'); legend('butter','cheby1','ellip'); xlabel('f [Hz]'); ylabel(' H(jw) '); title('porownanie charakterystyk') subplot(2,1,2) % podwykres fazy hold on plot(bw/pi*fs/2,unwrap(angle(bh))); plot(cw/pi*fs/2,unwrap(angle(ch)),'r'); plot(ew/pi*fs/2,unwrap(angle(eh)),'k'); legend('butter','cheby1','ellip'); xlabel('f [Hz]'); ylabel('fi(jw)'); Rys. 2. Porównanie charakterystyk trzech filtrów. Proces filtracji przeprowadzić moŝna wykorzystując kilka wbudowanych w oprogramowanie MATLAB funkcji. Jedną z funkcji jest funkcja filter: [y] = filter(b, a, s) y sygnał wyjściowy (przefiltrowany) b, a współczynniki w transmitancji s sygnał wejściowy (filtrowany) Pełna lista parametrów powyŝszych funkcji dostępna jest w pomocy programu MATLAB. 5
PoniŜej zaprezentowano przykład skryptu realizującego zadanie filtracji począwszy od generacji sygnału aŝ do wykonania samej filtracji. close all clear all fs=1000; % czestotliwosc probkowania f1=100; % czestotliwosc pierwszej skladowej sygnalu f2=10; % czestotliwosc drugiej skladowej t=1/fs:1/fs:2; % wektor czasu y=sin(2*pi*f1*t) + sin(2*pi*f2*t); % obliczanie sygnalu y=f(t) % wykreslanie sygnalu figure(1) plot(t,y) title('sygnal oryginalny') xlabel('t [s]') % obliczanie wspolczynnikow filtru dolnoprzepustowego Butterwortha 2-ego % rzedu o czestotliwosci granicznej fd=50hz [b,a]=butter(2,50/(fs./2),'low'); % b,a to obliczone wspolczynniki dla danej konfiguracji flitru % pierwszy parametr rowny 2 odnosi sie do rzedu filtru % drugi parametr odnosi sie do czestotliwosci granicznej filtru; czestotliwosc ta miesci sie w przedziale % od 0-1 i jest obliczana na podstawie zalezonosci: % (czestotliwosc_graniczna)/(czestotliwosc_probkowania./2); % wspolczynnik ten jest rowny 1 dla czestotliwosci Nyquista, czyli % czestotliwosci rownej polowie czestotliwosci probkowania; % w przypadku filtrow pasmowych nalezy podac dwie czestotliwosci graniczne np [50, 100]./(fs./2) % trzeci parametr odnosi sie do rodzaju filtru: %'low' to dolnoprzepustowy; 'high' to gornoprzepustowy, % 'stop' to pasmowozaporowy, a 'bandpass' to pasmowo przepustowy; % wykreslenie odpowiedzi czestotliwosciowej filtru o wyznaczonych % wspolczynnikach figure(2) freqz(b,a); title('wyznaczenie odpowiedzi czestotliwosciowej filtru') % wyznaczenie odpowiedzi na skok jednostkowy filtru figure(3) stepz(b,a) title('wyznaczenie odpowiedzi na skok jednostkowy filtru') % wyznaczenie odpowiedzi impuslowej filtru figure(4) impz(b,a) title('wyznaczenie odpowiedzi impulsowej filtru') % badanie stabilnosci filtru figure(5) zplane(b,a) title('badanie stabilnosci filtru') %filtracja sygnalu 6
y1=filter(b,a,y); figure(6) plot(t,y,'k') hold on plot(t,y1,'r','linewidth',2) legend('sygnal przed filtracja', 'sygnal po filtracji'); Korzystając z prostej oraz odwrotnej FFT zadanie filtracji moŝna przeprowadzić równieŝ w dziedzinie częstotliwości. W takim przypadku w pierwszym kroku naleŝy wykonać obliczenia widma sygnału, następnie dokonać jego modyfikacji, a następnie przeprowadzić odwrotną FFT. Przykład realizacji tego typu filtracji został zobrazowany poniŝszym przykładem. % przyklad filtracji sygnalu w dziedzinie czestotliwosci close all clear all fs=10000; % czestotliwosc probkowania f1=1000; % czestotliwosc pierwszej skladowej sygnalu f2=50; % czestotliwosc drugiej skladowej t=0.0001:0.0001:2; % wektor czasu y=sin(2*pi*f1*t) + sin(2*pi*f2*t); % obliczanie sygnalu y=f(t) lt=length(t); % obliczanie dlugosci wektora czasu % wykreslanie sygnalu figure(1) plot(t,y) title('sygnal oryginalny') xlabel('t [s]') % szybka transformata fouriera sygnalu yfft= fft(y); pyfft = yfft.*conj(yfft); f=fs*(0:lt/2)/lt; figure(2); plot(f,pyfft(1:(lt/2)+1)) title('gestosc widma sygnalu oryginalnego') xlabel('f [Hz]') R = abs(yfft); theta = angle(yfft); figure(4) subplot(2,1,1) hold on; plot(f,r(1:(lt/2)+1),'r') title('gestosc widma sygnalu oryginalnego przed filtracja') xlabel('f [Hz]') % filtracja jednej skladowej sygnalu-> "zerowanie" wartosci widma w % przedziale odpowiadajacym danej czestotliwosci sygnalu skladowego yfft(25:end-25)=0; R1 = abs(yfft); theta1 = angle(yfft); 7
subplot(2,1,2) plot(f,r1(1:(lt/2)+1),'k') title('gestosc widma sygnalu po filtracji') xlabel('t [s]') % odwrotna szybka transformata foureira yifft = yfft; yi=ifft(yifft,length(t)); %wykreslenie sygnlau w dziedzinie czasu po filtracji figure(3) hold on; plot(real(yi),'r') title('sygnal po filtracji') xlabel('t [s]') ZADANIA I 1. Zaprojektować filtr cyfrowy 2-rzędu dolnoprzepustowy o częstotliwości granicznej f g = 0.3 f N (f N = f S /2). Zastosuj aproksymację Butterwortha. 2. Wyznaczyć: a. charakterystykę amplitudową i fazową, wykreślić ją w skali logarytmicznej i liniowej, b. połoŝenie biegunów i zer transmitancji, czy układ o tej transmitancji jest stabilny c. odpowiedź na skok jednostkowy, d. odpowiedź impulsową e. odpowiedź na sygnał prostokątny o częstotliwości f = 0.2 f N 3. Wyznaczyć parametry określone w pkt. 2 dla następujących filtrów: a. filtr NOI 2-rzędu dolnoprzepustowy, częstotliwość graniczna f g = 0.3 f N aproksymacja Bessela b. filtr NOI 2-rzędu dolnoprzepustowy, częstotliwość graniczna f g = 0.3 f N aproksymacja Czebyszewa 4. Zaprojektować układ o takiej transmitancji 2-go rzędu, aby jeden z biegunów znajdował się poza kołem jednostkowym. Wyznaczyć odpowiedź impulsową układu i odpowiedź na skok jednostkowy. Czy taki układ jest stabilny? 5. Zapoznać się z narzędziem fdatool ZADANIA II 1. Dla zadanego sygnału przeprowadź analizę widma i wyznacz częstotliwości sygnałów składowych. 2. Zaprojektuj filtry umoŝliwiające odfiltrowanie sygnału, tak by za kaŝdym razem pozostawała wyłącznie jedna składowa sygnału: dobierz częstotliwość graniczną, rząd filtru oraz typ aproksymacji. 3. Wykonaj ponownie analizę widma sygnału przefiltrowanego w celu weryfikacji przeprowadzonej filtracji. 8