Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby

Podróże po Imperium Liczb Część 8 Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012

MER - 37(980) - 20.05.2012

Spis treści Wstęp 1 1 Liczby Mersenne a 5 1.1 Początkowe informacje o liczbach Mersenne a.................. 7 1.2 Cyfry liczb Mersenne a.............................. 8 1.3 Twierdzenie o największym wspólnym dzielniku liczb Mersenne a...... 9 1.4 Liczby Mersenne a i liczby pierwsze....................... 11 1.5 Dzielniki pierwsze liczb Mersenne a....................... 13 1.6 Podzielniki postaci n + k............................. 15 1.7 Liczby M kn /M k.................................. 15 1.8 Różne fakty i zadania o podzielności i liczbach Mersenne a.......... 17 2 Liczby postaci a n - b n 19 2.1 Ogólne własności liczb a n - b n.......................... 19 2.2 Liczby postaci a n - 1............................... 21 2.3 Liczby 3 n - 1.................................... 24 2.4 Liczby 5 n - 1.................................... 26 2.5 Liczby 6 n - 1.................................... 27 2.6 Liczby 7 n - 1.................................... 28 2.7 Liczby 11 n - 1................................... 29 2.8 Inne liczby postaci a n - 1............................. 31 2.9 Liczby postaci (a+1) n - a n............................ 31 2.10 Liczby a n - a m................................... 33 2.11 Liczby pseudopierwsze i liczby Carmichaela................... 35 3 Liczby 11...1 (repunits) 37 3.1 Liczby pierwsze postaci e n............................ 37 3.2 Rozkłady na czynniki............................... 38 3.3 Równości z liczbami e n.............................. 39 3.4 Liczby e n i relacja podzielności.......................... 40 3.5 Liczby e n i wielomiany.............................. 42 3.6 Różne fakty i zadania z liczbami e n....................... 43 3.7 Liczby jedynkowe w innych systemach numeracji................ 43 4 Rozwinięcia liczb wymiernych 47 4.1 Rozwinięcia liczb rzeczywistych przy danej podstawie............. 47 4.2 O q-dzielnikach i q-kodzielnikach......................... 52 4.3 Rozwinięcia skończone............................... 55 4.4 Rozwinięcia okresowe............................... 57 4.5 Przykłady rozwinięć dziesiętnych ułamków prostych.............. 62 4.6 Przykłady q-rozwinięć ułamków prostych.................... 64 i

5 Okresy rozwinięć liczb wymiernych 67 5.1 Specjalne liczby pierwsze............................. 67 5.2 Długość okresu zasadniczego........................... 71 5.3 Długość okresu zasadniczego sumy dwóch liczb wymiernych.......... 73 5.4 Okresy zasadnicze i podzielność przez 9..................... 74 5.5 Okresy o parzystych długościach......................... 76 5.6 Okresy zasadnicze o długościach podzielnych przez 3.............. 83 5.7 Cykliczność okresów................................ 88 6 Liczby postaci a n + b n 95 6.1 Podzielność liczb a n + b n przez (a + b) s.................... 95 6.2 Podzielniki liczb a n + b n............................. 97 6.3 Liczby a n + b n i nwd............................... 98 6.4 Liczby postaci a n + 1............................... 100 6.5 Liczby 2 n + 1................................... 102 6.6 Liczby 3 n + 1................................... 105 6.7 Liczby 5 n + 1................................... 106 6.8 Liczby 2 n + 3 n................................... 106 6.9 Liczby 2 n + 5 n i 2 n + 7 n............................. 108 6.10 Liczby 3 n + u n................................... 110 6.11 Liczby 4 n + u n................................... 112 6.12 Liczby 5 n + u n................................... 113 7 Liczby Fermata i ich uogólnienia 115 7.1 Liczby Fermata.................................. 115 7.2 Liczby postaci n2 n ± 1............................... 119 7.3 Liczby postaci k2 n ±1............................... 120 7.4 Liczby postaci 2 n - a............................... 121 7.5 Różne fakty i zadania............................... 122 8 Liczby trójkątne 123 8.1 Własności liczb trójkątnych............................ 124 8.2 Cyfry liczb trójkątnych.............................. 124 8.3 Sumy liczb trójkątnych.............................. 126 8.4 Liczby trójkątne i ciągi arytmetyczne...................... 127 8.5 Równanie mt x = t y................................ 128 8.6 Liczby trójkątne i liczby pierwsze........................ 129 8.7 Iloczyny i ilorazy liczb trójkątnych........................ 130 8.8 Liczby trójkątne i liczby kwadratowe...................... 131 8.9 Liczby trójkątne i trójki pitagorejskie...................... 133 8.10 Liczby trójkątne i liczby potęgowe........................ 133 8.11 Odwrotności liczb trójkątnych.......................... 134 8.12 Liczby tójkątne modulo m............................ 134 8.13 Pseudo-Smarandache a funkcja z......................... 135 8.14 Różne fakty i zadania z liczbami trójkątnymi.................. 136 ii

9 Liczby tetraedralne, pięciokątne,... 139 9.1 Liczby tetraedralne................................ 139 9.2 Liczby pięciokątne................................. 142 9.3 Liczby sześciokątne................................ 143 9.4 Liczby wielokątne................................. 144 10 Sumy k-tych potęg kolejnych liczb naturalnych 145 10.1 Sumy kolejnych liczb naturalnych........................ 145 10.2 Liczby i wielomiany Bernoulliego......................... 148 10.3 Liczby postaci s k (n) i równości.......................... 152 10.4 Liczby postaci s k (n) i symbole Newtona..................... 154 10.5 Liczby postaci s k (n) i podzielność........................ 155 10.6 Różne fakty i zadania o sumach kolejnych k-tych potęg............ 156 Spis cytowanej literatury 158 Skorowidz nazwisk 164 Skorowidz 168 iii

Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 1894 roku (przeważnie 10 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularno-naukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularno-naukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. 1

Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a 1,..., a n oznaczamy przez nwd(a 1,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a 1,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a 1,..., a n ) lub [a 1,..., a n ]. Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Część całkowitą liczby rzeczywistej x oznaczamy przez [x]. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 01. Liczby wymierne; 02. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 10. Liczby i funkcje rzeczywiste; 11. Silnie i symbole Newtona; 12. Wielomiany; 13. Nierówności; 14. Równanie Pella; 15. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: http://www.mat.uni.torun.pl/~anow. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach 2008 2011. Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały. 2

o o o o o W ósmej książce z serii Podróże po Imperium Liczb, zajmujemy się różnego rodzaju liczbami naturalnymi. Książka składa się z dziesięciu rozdziałów. W rozdziale pierwszym zajmujemy się liczbami Mersenne a, czyli takimi liczbami naturalnymi, które są postaci M n = 2 n 1. W następnym rozdziale mówimy o uogólnieniach liczb Mersenne a. Podajemy w nim różne fakty, informacje i ciekawostki o liczbach postaci a n b n, gdzie a i b są ustalonymi liczbami naturalnymi, przy czym a > b. Oddzielne podrozdziały tego rozdziału dotyczą liczb 3 n 1, 5 n 1 i ogólniej a n 1. Mówimy tu też o liczbach pseudopierwszych i liczbach Carmichaela. Liczby postaci 10 n 1 zbudowane są z samych dziewiątek. Po podzieleniu ich przez 9 otrzymujemy liczby e n = 1 9 (10n 1), które w zapisie dziesiętnym mają same jedynki. Liczby postaci e n posiadają szczególne własności. Tym liczbom poświęcony jest cały rozdział trzeci. Z liczbami a n 1 spotkamy się również w rozdziałach 4 i 5. W tych rozdziałach zajmujemy się rozwinięciami dziesiętnymi liczb rzeczywistych i rozwinięciami przy dowolnej podstawie q 2. Spójrzmy na okresowe rozwnięcia dzisiętne pewnych ułamków: 1 7 = 0, (142857), 1 31 = 0, (032258064516129), 1 76 = 0, 01(315789473684210526). Widzimy okresy o długościach odpowiednio równych 6, 15 i 18. Jeśli długość okresu jest liczbą parzystą, to suma połówek tego okresu jest liczbą zbudowaną z samych dziewiątek: 142 + 857 999, 315789473 + 684210526 999999999. Jeśli natomiast długość okresu jest liczbą podzielną przez 3, to okres można podzielić na trzy części i suma tych części jest również liczbą zbudowaną z samych dziewiątek: 14 28 + 57 99, 03225 80645 + 16129 99999, 315789 473684 + 210526 999999. To nie są przypadkowe przykłady. Tak jest zawsze. Podobnie jest, gdy zamiast rozwinięć dziesiętnych, rozpatrujemy rozwinięcia przy dowolnej podstawie q 2. Wyjaśnienia tych zjawisk znajdziemy w rozdziale 5. Tam znajdziemy również inne ciekawe własności dotyczące okresów. Ogólne fakty, wraz z ich dowodami, o rozwinięciach przy dowolnej podstawie q, znajdują się w rozdziale 4. Rozdziały 1, 2, 3, 4, 5 dotyczą różnic liczb potęgowych. W następnych dwóch rozdziałach, zamiast różnic, badane są sumy liczb potęgowych. W rozdziale 6 zajmujemy się liczbami naturalnymi postaci a n + 1 oraz a n + b n, gdzie a i b są liczbami naturalnymi. W rozdziale 7 omawiamy najpierw liczby Fermata, czyli liczby naturalne postaci F n = 2 2n + 1. Następnie rozważamy różne uogólnienia liczb Fermata. Pojawiają się tu również liczby postaci n2 n ± 1, k2 n ± 1 lub 2 n 3 m + 1. 3

Pewne liczby naturalne nazywa się wielokątnymi. Wśród nich wyróżniane są liczby trójkątne, kwadratowe, pięciokątne, sześciokątne, itp. Liczby trójkątne, oznaczane przez t n, są sumami wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Tymi liczbami zajmujemy się w rozdziale 8. Na omówienie liczb kwadratowych przeznaczyliśmy oddzielną książkę z serii Podróże po Imperium Liczb (Część 3). Liczbami kwadratowymi już się więc tu specjalnie nie zajmujemy. W rozdziale 9 znajdują się pewne informacje o liczbach pięciokątnych, sześciokątnych oraz o liczbach wielokątnych. Ponadto, pojawiają się tu liczby tetraedralne, zwane często liczbami piramidalnymi. Powstają one przez sumowanie kolejnych liczb trójkątnych. W tej książce oznaczamy je przez T n. Zanotujmy, że T n = t 1 + t 2 + + t n = n(n + 1)(n + 2). 6 Jeśli k jest ustaloną liczbą naturalną, to dla każdej liczby naturalnej n przez s k (n) oznaczamy sumę 1 k + 2 k + + n k. Liczbami s k (n) zajmujemy się w ostatnim rozdziale 10. 4

1 Liczby Mersenne a Marin Mersenne (1588 1648); francuski teolog, matematyk i teoretyk muzyki. Każdą liczbę postaci M n = 2 n 1, gdzie n 0, nazywamy liczbą Mersenne a. Przykłady: M 0 = 0, M 1 = 1, M 2 = 3. Poniższe tabele przedstawiają liczby Mersenne a M n, dla 1 n 100, wraz z ich rozkładami kanonicznymi. M 1 = 1 M 2 = 3 = 3 M 3 = 7 = 7 M 4 = 15 = 3 5 M 5 = 31 = 31 M 6 = 63 = 3 2 7 M 7 = 127 = 127 M 8 = 255 = 3 5 17 M 9 = 511 = 7 73 M 10 = 1023 = 3 11 31 M 11 = 2047 = 23 89 M 12 = 4095 = 3 2 5 7 13 M 13 = 8191 = 8191 M 14 = 16383 = 3 43 127 M 15 = 32767 = 7 31 151 M 16 = 65535 = 3 5 17 257 M 17 = 131071 = 131071 M 18 = 262143 = 3 3 7 19 73 M 19 = 524287 = 524287 M 20 = 1048575 = 3 5 2 11 31 41 M 21 = 2097151 = 7 2 127 337 M 22 = 4194303 = 3 23 89 683 M 23 = 8388607 = 47 178481 M 24 = 16777215 = 3 2 5 7 13 17 241 M 25 = 33554431 = 31 601 1801 M 26 = 67108863 = 3 8191 2731 M 27 = 134217727 = 7 73 262657 M 28 = 268435455 = 3 5 29 43 113 127 M 29 = 536870911 = 233 1103 2089 M 30 = 1073741823 = 3 2 7 11 31 151 331 M 31 = 2147483647 = 2147483647 M 32 = 4294967295 = 3 5 17 257 65537 M 33 = 8589934591 = 7 23 89 599479 M 34 = 17179869183 = 3 131071 43691 M 35 = 34359738367 = 31 71 127 122921 M 36 = 68719476735 = 3 3 5 7 13 19 37 73 109 M 37 = 137438953471 = 223 616318177 M 38 = 274877906943 = 3 174763 524287 M 39 = 549755813887 = 7 79 121369 8191 M 40 = 1099511627775 = 3 5 2 11 17 31 41 61681 M 41 = 2199023255551 = 164511353 13367 M 42 = 4398046511103 = 3 2 7 2 43 127 337 5419 M 43 = 8796093022207 = 431 2099863 9719 M 44 = 17592186044415 = 3 5 23 89 397 683 2113 M 45 = 35184372088831 = 7 31 73 151 631 23311 M 46 = 70368744177663 = 3 47 2796203 178481 M 47 = 140737488355327 = 13264529 2351 4513 M 48 = 281474976710655 = 3 2 5 7 13 17 97 241 257 673 M 49 = 562949953421311 = 127 4432676798593 M 50 = 1125899906842623 = 3 11 31 251 601 4051 1801 5

6 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a M 51 = 2251799813685247 = 7 103 131071 11119 2143 M 52 = 4503599627370495 = 3 5 53 157 1613 8191 2731 M 53 = 9007199254740991 = 69431 20394401 6361 M 54 = 18014398509481983 = 3 4 7 19 73 87211 262657 M 55 = 36028797018963967 = 23 31 89 881 3191 201961 M 56 = 72057594037927935 = 3 5 17 29 43 113 127 15790321 M 57 = 144115188075855871 = 7 1212847 524287 32377 M 58 = 288230376151711743 = 3 59 233 1103 3033169 2089 M 59 = 576460752303423487 = 3203431780337 179951 M 60 = 1152921504606846975 = 3 2 5 2 7 11 13 31 41 61 151 331 1321 M 61 = 2305843009213693951 = 2305843009213693951 M 62 = 4611686018427387903 = 3 715827883 2147483647 M 63 = 9223372036854775807 = 7 2 73 127 337 649657 92737 M 64 = 18446744073709551615 = 3 5 17 257 641 6700417 65537 M 65 = 36893488147419103231 = 31 145295143558111 8191 M 66 = 73786976294838206463 = 3 2 7 23 67 89 683 599479 20857 M 67 = 147573952589676412927 = 761838257287 193707721 M 68 = 295147905179352825855 = 3 5 137 953 131071 43691 26317 M 69 = 590295810358705651711 = 7 47 10052678938039 178481 M 70 = 1180591620717411303423 = 3 11 31 43 71 127 281 86171 122921 M 71 = 2361183241434822606847 = 48544121 212885833 228479 M 72 = 4722366482869645213695 = 3 3 5 7 13 17 19 37 73 109 241 433 38737 M 73 = 9444732965739290427391 = 439 9361973132609 2298041 M 74 = 18889465931478580854783 = 3 223 25781083 616318177 1777 M 75 = 37778931862957161709567 = 7 31 151 601 10567201 100801 1801 M 76 = 75557863725914323419135 = 3 5 229 457 525313 174763 524287 M 77 = 151115727451828646838271 = 23 89 127 581283643249112959 M 78 = 302231454903657293676543 = 3 2 7 79 22366891 121369 8191 2731 M 79 = 604462909807314587353087 = 1113491139767 202029703 2687 M 80 = 1208925819614629174706175 = 3 5 2 11 17 31 41 257 4278255361 61681 M 81 = 2417851639229258349412351 = 7 73 97685839 71119 262657 2593 M 82 = 4835703278458516698824703 = 3 83 164511353 8831418697 13367 M 83 = 9671406556917033397649407 = 167 57912614113275649087721 M 84 = 19342813113834066795298815 = 3 2 5 7 2 13 29 43 113 127 337 1429 5419 14449 M 85 = 38685626227668133590597631 = 31 9520972806333758431 131071 M 86 = 77371252455336267181195263 = 3 431 2932031007403 2099863 9719 M 87 = 154742504910672534362390527 = 7 233 1103 9857737155463 2089 4177 M 88 = 309485009821345068724781055 = 3 5 17 23 89 353 397 683 2931542417 2113 M 89 = 618970019642690137449562111 = 618970019642690137449562111 M 90 = 1237940039285380274899124223 = 3 3 7 11 19 31 73 151 331 631 23311 18837001 M 91 = 2475880078570760549798248447 = 127 911 23140471537 112901153 8191 M 92 = 4951760157141521099596496895 = 3 5 47 277 1013 1657 2796203 178481 30269 M 93 = 9903520314283042199192993791 = 7 658812288653553079 2147483647 M 94 = 19807040628566084398385987583 = 3 283 165768537521 13264529 2351 4513 M 95 = 39614081257132168796771975167 = 31 191 30327152671 420778751 524287 M 96 = 79228162514264337593543950335 = 3 2 5 7 13 17 97 193 241 257 673 22253377 65537 M 97 = 158456325028528675187087900671 = 13842607235828485645766393 11447 M 98 = 316912650057057350374175801343 = 3 43 127 4432676798593 4363953127297 M 99 = 633825300114114700748351602687 = 7 23 73 89 199 33057806959 599479 153649 M 100 = 1267650600228229401496703205375 = 3 5 3 11 31 41 101 251 601 268501 8101 4051 1801 Następne przykłady: M 150 = 1427247692705959881058285969449495136382746623 = 3 2 7 11 31 151 251 331 601 1133836730401 10567201 100801 4051 1801 M 200 = 1606938044258990275541962092341162602522202993782792835301375 = 3 5 3 11 17 31 41 101 251 401 601 3173389601 61681 268501 2787601 340801 8101 4051 1801 M 300 = 203703597633448608626844568840937816105146839366593625063614044935438 1299763336706183397375 = 3 2 5 3 7 11 13 31 41 61 101 151 251 331 601 1201 1321 1182468601 1133836730401 13334701 268501 63901 10567201 100801 8101 4051 1801

Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a 7 1.1 Początkowe informacje o liczbach Mersenne a Przypomnijmy, że n-tą liczbą Mersenne a jest M n = 2 n 1. 1.1.1. Ciąg liczb Mersenne a (M n ) można zdefiniować rekurencyjnie: M 1 = 1, M n+1 = 2M n + 1 dla n 1. 1.1.2. Inna rekurencyjna definicja ciągu liczb Mersenne a: M 1 = 1, M 2 = 3, M n+2 = 3M n+1 2M n dla n 1. 1.1.3. Każda nieparzysta liczba naturalna jest dzielnikiem pewnej liczby Mersenne a. D. Załóżmy, że n jest nieparzystą liczbą naturalną. Wtedy liczby 2, n są względnie pierwsze, a więc - na mocy twierdzenia Eulera - liczba 2 (ϕ(n) 1 jest podzielna przez n. Zatem, n jest dzielnikiem liczby Mersenne a M ϕ(n). 1.1.4. M 6 = M 2 2 M 3, M 12 = 13M 2 M 3 M 4. 1.1.5. M 4n+2 = (2 2n+1 2 n+1 + 1)(2 2n+1 + 2 n+1 + 1). ([Gibl] 5). 1.1.6. Liczba M n nie jest postaci 7k + 5. ([IMO] Longlist 1992). 1.1.7. Żadna liczba Mersenne a większa od 1 nie jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku większym od 1. ([S59] 374, [MM] 47(4)(1974) 231). 1.1.8. M n x n 1 = n=1 1 (1 x)(1 2x), dla x < 1 2. ([S59] 378). 1.1.9. Niech K będzie zbiorem tych wszystkich liczb naturalnych, które są sumami różnych liczb Mersenne a. Przykład: K = {1, 3, 4, 7, 8, 10,... }. W dowolnym odcinku postaci [1, n] liczb naturalnych należących do K jest nie mniej niż pozostałych liczb naturalnych w tym odcinku. ([Kw] 4/1998 M1622). 1.1.10. Jeśli n > 1, to liczba Mersenne a M n nie jest podzielna przez n. ([S64] 16d, [Putn] 1972, [Br80] 16). D. Przypuśćmy, że istnieje taka liczba naturalna n 2, że n 2 n 1. Niech p będzie najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą n. Wtedy p 2 n 1 oraz (na mocy Małego Twierdzenia Fermata) p 2 p 1 1. Niech b będzie najmniejszą taką liczbą naturalną, że p 2 b 1. Wtedy b n oraz b p 1, a zatem b nwd(n, p 1). Ale nwd(n, p 1) = 1. Przypuśćmy bowiem, że nwd(n, p 1) = d 2. Istnieje wtedy liczba pierwsza q dzieląca jednocześnie liczby n oraz p 1. Zatem wtedy q n oraz q p 1 < p, a to jest sprzeczne z minimalnością wyboru liczby pierwszej p. Mamy więc b 1 = nwd(n, p 1), czyli b = 1 i stąd otrzymujemy sprzeczność: p 1 = 2 1 1.

8 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a 1.1.11. Jeśli n > 1, to 2 n 1 3 n 1. ([Mon] 6-7/1978 E2643). 1.1.12. Jeśli a jest liczbą całkowitą niepodzielną przez 3, to liczba a 13 a jest podzielna przez liczbę Mersenne a M 12. ([DoC] 181). 1.1.13. Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to 2 n 1 M n 1 (mod 9). ([DoC] 217). 1.1.14. Niech n N. Istnieje liczba naturalna m taka, że M n m 2 + 9 wtedy i tylko wtedy, gdy n jest potęgą dwójki. ([IMO] Shortlist 1998, [OM] Czechy-Słowacja 2000). S. Ligh, L. Neal, A note on Mersenne numbers, [MM] 47(4)(1974) 231-233. W. Narkiewicz, Mersenne s numbers, [Nar86] 23-33. R. S. Westfall, Mersenne Marin, Department of History and Philosophy of Science Indiana University, The Galileo Project Development Team, http://es.rice.edu/es/humsoc/galileo/htmltools/mailform.html 1.2 Cyfry liczb Mersenne a 1.2.1 (Maple). Liczby Mersenne a M 100, M 500, M 1000 i M 2000 mają odpowiednio 31, 151, 302 i 603 cyfr. M 100 = 1267650600228229401496703205375 M 500 = 32733906078961418700131896968275991522166420460430647894832913680961337964046745 54883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527589375 M 1000 = 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361 22493198378815695858127594672917553146825187145285692314043598457757469857480393 45677748242309854210746050623711418779541821530464749835819412673987675591655439 46077062914571196477686542167660429831652624386837205668069375 M 2000 = 11481306952742545242328332011776819840223177020886952004776427368257662613923703 13856659486316506269918445964638987462773447118960863055331425931356166653185391 29989145312280000688779148240044871428926990063486244781615463646388363947317026 04046635397090499655816239880894462960562331164953616422197033268134416890898445 85056023794848079140589009347765004290027167066258305220081322362812917612678833 17206598995396418127021779858404042159853183251540889433902091920554957783589672 03916008195721663058275538042558372601552834878641943205450891527578388262517543 5528800822842770817965453762184851149029375. 1.2.2. Ostatnie cyfry kolejnych liczb Mersenne a tworzą ciąg okresowy o okresie czystym: 1, 3, 7, 5. 1.2.3. Dwie ostatnie cyfry kolejnych liczb Mersenne a tworzą ciąg okresowy. Okres ma długość 20 i rozpoczyna się od wyrazu drugiego: 03, 07, 15, 31, 63, 27, 55, 11, 23, 47, 95, 91, 83, 67, 35, 71, 43, 87, 75, 51. 1.2.4. Trzy ostatnie cyfry kolejnych liczb Mersenne a tworzą ciąg okresowy. Okres ma długość 100 i rozpoczyna się od wyrazu trzeciego: 007, 015, 031, 063, 127, 255, 511, 023, 047, 095, 191, 383, 767, 535, 071, 143, 287, 575, 151, 303, 607, 215, 431, 863, 727, 455, 911, 823, 647, 295, 591, 183, 367, 735, 471, 943, 887, 775, 551, 103, 207, 415, 831, 663, 327, 655, 311, 623, 247, 495, 991, 983, 967, 935, 871, 743, 487, 975, 951, 903, 807, 615, 231, 463, 927, 855, 711, 423, 847, 695, 391, 783, 567, 135, 271, 543, 087, 175, 351, 703, 407, 815, 631, 263, 527, 055, 111, 223, 447, 895, 791, 583, 167, 335, 671, 343, 687, 375, 751, 503.

Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a 9 1.2.5. Jeśli s N, to ciąg utworzony z s ostatnich cyfr kolejnych liczb Mersenne a jest okresowy. Okres, długości 4 5 s 1, rozpoczyna się od wyrazu s-tego. 1.2.6. Niech A n = 2 2n (2 2n+1 1) = 2 2n M 2n+1. (1) Znaleźć ostatnią cyfrę liczby A n dla nieparzystego n. (2) Jeśli n jest nieparzyste, to przedostatnią cyfrą liczby A n jest 2. ([OM] Mołdawia 1998). 1.2.7. W ciągu M 1, M 2,..., M 2000 istnieje dokładnie 27 liczb Nivena, tzn. takich liczb naturalnych, które są podzielne przez sumę swoich cyfr. (Maple). 1.3 Twierdzenie o największym wspólnym dzielniku liczb Mersenne a Przypomnijmy, że M 0 = 0. 1.3.1. Niech m, n N. Jeśli resztą z dzielenia m przez n jest r, to resztą z dzielenia M m przez M n jest M r. ([S59] 373). D. Możemy założyć, że m > n. Niech m = kn + r, gdzie r, k N 0, jest 0 r < n. Mamy wtedy: 2 m 1 = 2 kn+r 1 = 2 r (2 n ) k 1 2 r + 2 r = 2 r ( (2 n ) k 1 k) + 2 r 1 = 2 r ( 1 + 2 n + 2 2n + + 2 (k 1)n) (2 n 1) + 2 r 1, czyli M m = 2 r ( (1 + 2 n + 2 2n + + 2 (k 1)n) M n + M r. Oczywiście 0 M r < M n. Liczba M r jest więc resztą z dzielenia liczby M m przez M n. Z powyższego faktu wynika następujące twierdzenie o największym wspólnym dzielniku liczb Mersenne a. Przypomnijmy, że przez (a, b) oznaczamy największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a i b. 1.3.2. Dla dowolnych liczb naturalnych m i n zachodzi równość (M n, M m ) = M (n,m). D. Jeżeli m = n to (m, n) = m i (2 m 1, 2 n 1) = 2 m 1 = 2 (m,n) 1. Załóżmy, że m > n i obliczmy największy wspólny dzielnik (m, n) przy pomocy algorytmu Euklidesa. Otrzymujemy wtedy ciąg równości: m = k 1 n + r 1, n = k 2 r 1 + r 2, r 1 = k 3 r 2 + r 3,..., r i 1 = k i+1 r i + r i+1, r i = k i+2 r i+1 + r i+2, w których wszystkie k j, r j są nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz m > n > r 1 > r 2 > > r i+1 > r i+2 = 0. Mamy wtedy (m, n) = r i+1. Z faktu 1.3.1 otrzymujemy ciąg równości (M m, M n ) = (M n, M r1 ) = (M r1, M r2 ) = (M r2, M r3 ) = = ( M ri+1, M ri+2 ) Zatem (M n, M m ) = M (n,m). = ( M ri+1, M 0 ) = ( Mri+1, 0 ) = M ri+1 = M (m,n).

10 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a Zanotujmy istotne wnioski wynikające z twierdzenia 1.3.2. 1.3.3. Liczby Mersenne a M n, M m są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy liczby m, n są względnie pierwsze. ([S59] 373, [BoL] 205 s.70, [DyM] 96). D. Jeśli (m, n) = 1, to (M n, M m ) = M (m,n) = M 1 = 1. Za lóżmy, że (M m, M n ) = 1 i przypuśćmy, że (m, n) = d 2. Wtedy mamy sprzeczność: 1 = (M m, M n ) = M d M 2 > 1. 1.3.4. M m M n m n. ([S59] 373). D. Jeśli m n, to (m, n) = m i wtedy M m = M (m,n) = (M m, M n ), czyli M m M n. Załóżmy, że M m M n. Wtedy M m = (M m, M n ) = M (m,n), więc m = (m, n) i stąd m n. Przez Mn oznaczać będziemy liczby naturalne zdefiniowane w następujący sposób. Przyjmujemy, że M1 = 1 oraz Mn = M α p 1 M α 1 p 2 M 2 p αs, s gdy n 2 i n = p α 1 1 pαs s jest rozkładem kanonicznym. Z wniosków 1.3.3 i 1.3.4 wynika: 1.3.5. Każda liczba Mersenne a M n jest podzielna przez M n. 1.3.6. Jeśli m n, to M m M n. Jest oczywiste, że jeżeli n jest potęgą liczby pierwszej, to M n = M n. Gdy n nie jest potęgą liczby pierwszej, iloraz M n /M n jest liczbą naturalną większą od 1. Przykłady: 1.3.7 (Maple). M 6 = 3M6 = M2 2 M 3, M 10 = 11M10 = 11M 2 M 5, M 12 = 3 13M12 = 13M 2 M 3 M 4, M 14 = 43M14 = 43M 2 M 7, M 15 = 151M15 = 151M 3 M 5, M 18 = 9 19M18 = 19M2 3 M 9, M 20 = 5 11 41M20, M 21 = 7 337M21, M 22 = 683M22, M 24 = 3 13 241M24, M 26 = 2731M26, M 28 = 29 43 113M28. 1.3.8 (Maple). Oznaczmy przez b n liczbę naturalną M n /M n. Liczby postaci b n są pierwsze dla następujących n : 6, 10, 14, 15, 22, 26, 33, 34, 38, 46, 62, 65, 69, 77, 85, 86, 93, 122, 129, 133, 145, 158, 202, 254, 334, 382, 398, 447, 471, 579, 626, 694, 745. Są to wszystkie tego rodzaju liczby pierwsze dla n 1000. Liczba pierwsza b 745 ma 178 cyfr: b 745 = 83659588082278083840975964993773410302670287057603763999203880122686356341067427847355603 68132645527979967389375398886546554802199221304636536176436401174235894274034246448282591. 1.3.9. Jeśli m, n N i m jest liczbą nieparzystą, to (M n + 2, M m 1) = 1. ([Mat] 3/1960 186, [Fom] 30/66).

Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a 11 1.4 Liczby Mersenne a i liczby pierwsze Tablica znanych liczb pierwszych Mersenne a M n. Źródła: [Yan] 32, [Ca05], [Gy04] 13. nr n cyfr rok odkrywca 1 2 1 2 3 1 3 5 2 4 7 3 5 13 4 1456? 6 17 6 1588 P.Cataldi 7 19 6 1588 P.Cataldi 8 31 10 1772 L.Euler 9 61 19 1883 I.M.Pervushin 10 89 27 1911 R.E.Powers 11 107 33 1914 R.E.Powers 12 127 39 1876 Lucas 13 521 157 1952 R.M.Robinson 14 607 183 1952 R.M.Robinson 15 1 279 386 1952 R.M.Robinson 16 2 203 664 1952 R.M.Robinson 17 2 281 687 1952 R.M.Robinson 18 3 217 969 1957 H.Riesel 19 4 253 1 281 1961 A.Hurwitz 20 4 423 1 332 1961 A.Hurwitz 21 9 689 2 917 1963 D.B.Gillies 22 9 941 2 993 1963 D.B.Gillies 23 11 213 3 376 1963 D.B.Gillies 24 19 937 6 002 1971 B.Tuckerman 25 21 701 6 533 1978 L.C.Noll, L.Nickel 26 23 209 6 987 1979 L.C.Noll 27 44 497 13 395 1979 Nelson, D.Slowinski 28 86 243 25 962 1982 D.Slowinski 29 110 503 33 265 1988 Colquitt, L.Welsh 30 132 049 39 751 1983 D.Slowinski 31 216 091 65 050 1985 D.Slowinski 32 756 839 227 832 1992 D.Slowinski, P.Gage 33 859 433 258 716 1994 D.Slowinski, P.Gage 34 1 257 787 378 632 1996 D.Slowinski, P.Gage 35 1 398 269 420 921 1996 J.Armengaud 36 2 976 221 895 932 1997 G.Spence 37 3 021 377 909 526 1998 R.Clarkson 38 6 972 593 2 098 960 1999 N.Hajratwala 39 13 466 917 4 054 946 2001 M.Cameron 40 20 996 011 6 320 430 2003 M.Shafer 41 24 036 583 7 235 733 2004 J.Findley 42 25 964 951 7 816 230 2005 M.Nowak 43 30 402 457 9 152 052 2005 C.Cooper, S.Boone 44 32 582 657 9 808 358 2006 C.Cooper, S.Boone 45 37 156 667 11 185 272 2008 H-M.Elvenich 46 43 112 609 12 978 189 2008 E.Smith

12 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a 1.4.1. Nie wiadomo czy liczb pierwszych Mersenne a jest nieskończenie wiele. 1.4.2. Jeśli M n jest liczbą pierwszą, to n jest liczbą pierwszą. U. Stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Mamy np. M 11 = 2047 = 23 89. 1.4.3. Niech a 2 i n 2. Jeżeli a n 1 jest liczbą pierwszą, to a = 2 i n jest liczbą pierwszą. 1.4.4. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna s taka, że wszystkie liczby są złożone. ([S64] 92). M s+1, M s+2,..., M s+n D. Niech s = (n + 1)! + 1. Z 1.3.4 wynika, że M 2 M s+1, M 3 M s+2,..., M n+1 M s+n. Wszystkie więc liczby M s+1,..., M s+n są złożone. 1.4.5 (Lucas-Lehmer). Rozważmy ciąg (b n ) zdefiniowany równościami Początkowe wyrazy: b 2 = 7, b 3 = 47, b 4 = 2207, b 5 = 4870847, b 6 = 23725150497407, b 1 = 3, b n+1 = b 2 n 2 dla n 1. b 7 = 562882766124611619513723647, b 8 = 316837008400094222150776738483768236006420971486980607. Niech p 3 będzie liczbą nieparzystą. Wtedy M p jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy M p dzieli b p 1. ([Ca05]). 1.4.6. Niech (b n ) będzie ciągiem występującym w 1.4.5. Zachodzą następujące równości. (1) b n = u 2 n+1/u 2 n, gdzie (u n ) jest ciągiem liczb Fibonacciego: u 1 = u 2 = 1, u n+2 = u n+1 + u n. (2) b n = u 2 n +1 + u 2 n 1, gdzie (u n ) jest ciągiem liczb Fibonacciego. (3) b n = w 2 n, gdzie (w n ) jest ciągiem zdefiniowanym równościami: w 1 = 1, w 2 = 3, w n+2 = w n+1 + w n. ([Mon] 57(8)(1950) 568-569). 1.4.7. Jeśli p jest liczbą pierwszą Germain (tzn. taką, że 2p + 1 również jest liczbą pierwszą) postaci 4k + 3, to M p nie jest liczbą pierwszą. ([MM] 35(5)(1962) 316-317). 1.4.8. Jeśli p jest liczbą pierwszą postaci 4k + 3, to liczba q = 2p + 1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy q M p. ([S59] 373).

Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a 13 1.4.9. Liczba M 53 = 9007199254740991 nie jest pierwsza, ale jej lustrzane odbicie 1990474529917009 jest liczbą pierwszą. W przedziale [1, 1000] jest sześć liczb naturalnych n takich, że lustrzane odbicie liczby M n jest liczbą pierwszą. Są to liczby: 2, 3, 5, 53, 189 oraz 293. (Maple). S. Feigelstock, Mersenne primes and group theory, [MM] 49(4)(1976) 198-199. I. Kaplansky, Lucas s tests for Mersenne numbers, [Mon] 52(4)(1945) 188-190. 1.5 Dzielniki pierwsze liczb Mersenne a 1.5.1. Liczba Mersenne a M n jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy n jest podzielne przez 3. ([IMO] 6, [MoP] 33). D. Wykorzystamy równość 7 = M 3. Jeśli 3 n, to (na mocy 1.3.4) 7 = M 3 M n. Niech 7 M n. Wtedy 7 = (7, M n ) = (M 3, M n ) = M (3,n). Ale (3, n) = 1 lub (3, n) = 3. Jeśli (3, n) = 1, to mamy sprzeczność: 7 = M (3,n) = M 1 = 1. Zatem (3, n) = 3, czyli 3 n. 1.5.2. 23 M n 89 M n 11 n. D. Wykorzystamy równość M 11 = 23 89. Jeśli 11 n, to (na mocy 1.3.4) 23 89 = M 11 M n. Niech 23 M n. Ponieważ 23 M 11, więc 23 (M 11, M n ) = (M 11, M n ) = M (11,n). Ale (11, n) = 1 lub (11, n) = 11. Jeśli (11, n) = 1, to mamy sprzeczność: 23 M (11,n) = M 1 = 1. Zatem (11, n) = 11, czyli 11 n. Podobnie postępujemy w przypadku, gdy 89 M n. W podobny sposób wykazujemy: 1.5.3 ([S59] 377). (1) 37 M n 36 n. (2) 47 M n 23 n. (3) 101 M n 100 n. 1.5.4. (1) 5 M n 15 M n 4 n. (2) 9 M n 21 M n 63 M n 6 n. (3) 11 M n 33 M n 93 M n 10 n. (4) 13 M n 35 M n 39 M n 45 M n 12 n. (5) 17 M n 51 M n 85 M n 8 n. (6) 19 M n 27 M n 57 M n 18 n. (7) 25 M n 41 M n 55 M n 75 M n 20 n.

14 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a 1.5.5. 7 3 M 147. Liczba M 147 = 178405961588244985132285746181186892047843327 ma 45 cyfr i dzieli się przez liczby pierwsze: 7, 127, 337. ([OM] Wietnam, Maple). 1.5.6. Jeśli p > 2 jest liczbą pierwszą, to dzielniki pierwsze liczby Mersenne a M p są postaci 2kp + 1, gdzie k N. ([S50] 119). 1.5.7 (Fermat, Euler). Jeśli p > 2 jest liczbą pierwszą, to dzielniki pierwsze liczby M p są postaci 8k ± 1, gdzie k N. ([Ca05]). 1.5.8. Dla każdej liczby naturalnej s istnieje liczba naturalna n taka, że liczba M n ma co najmniej s parami różnych dzielników pierwszych. ([S64] 83). D. Z małego twierdzenia Fermata wynika, że liczbą taką jest n = (q 1 1) (q s 1), gdzie q 1,..., q s są parami różnymi liczbami pierwszymi. 1.5.9. Niech a = 2M k 1 = 2 k 2, b = 2 k+1 M k 1 = 2 k (2 k 2), gdzie k > 1. Wtedy liczby a, b mają te same dzielniki pierwsze. Ponadto, liczby a + 1, b + 1 również mają te same dzielniki pierwsze. ([S64] 120a). U. Nie wiadomo czy istnieją jeszcze inne takie pary. 1.5.10. Jeśli p jest liczbą pierwszą postaci 8k + 1, to p M 4k. ([Dlt] 7/2002 z.438). 1.5.11. Jeśli p jest liczbą pierwszą postaci 8k + 7, to p M 4k+3, tzn. p M (p 1)/2. ([S59] 371, [Lem] 60). 1.5.12. Istnieje nieskończenie wiele par różnych liczb pierwszych p i q takich, że pq M pq 1. ([S59] 182). 1.5.13 (J. H. Jeans 1897). Niech p, q będą różnymi liczbami pierwszymi. Jeśli p M q 1 oraz q M p 1, to pq M pq 1. ([S59] 182). 1.5.14. Każda liczba postaci 2 2rn 1, gdzie r, n N, ma co najmniej 2r + 1 różnych dzielników pierwszych jeśli n > 2 r, z jednym wyjątkiem: r = 1, n = 3, 4 3 1 = 3 2 7. ([Mon] 1(1981) E2805). 1.5.15. Liczba Mersenne a 2 21999 1 posiada co najmniej 1999 różnych dzielników pierwszych. ([KoM] 1999(1) F3262).

Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a 15 1.6 Podzielniki postaci n + k 1.6.1. Jeśli n + 1 jest nieparzystą liczbą pierwszą, to (n + 1) M n. Wynika to z małego twierdzenia Fermata. Istnieją liczby naturalne n takie, że n+1 jest liczbą złożoną oraz (n+1) M n (patrz podrozdział Liczby pseudopierwsze i liczby Carmichaela ). Takimi liczbami są na przykład: 340, 560, 640, 1104, 1386, 1728, 1904, 2046, 2464, 2700, 2820. Wypisane liczby, to wszystkie liczby o tej własności, które są mniejsze od 3000. (Maple). 1.6.2. Wśród liczb naturalnych n mniejszych od 300 000 istnieją trzy takie, że (n + 2) M n. Są to liczby: 20735, 93525 i 228725. (Maple). 1.6.3. Istnieją liczby naturalne n takie, że (n+3) M n. Przykłady: 6, 12, 18, 30, 36, 48, 54, 60, 66, 84, 90. (Maple). 1.6.4. Istnieją tylko dwie liczby naturalne n 300 000 takie, że (n + 4) M n. Są to liczby: 3 i 40365. (Maple). 1.6.5. Istnieją liczby naturalne n takie, że (n + 5) M n. Przykłady: 20, 60, 80, 140, 160, 180, 200, 216. (Maple). 1.7 Liczby M kn /M k Każda liczba M kn jest (na mocy 1.3.4) podzielna przez M k. Stąd w szczególności wynika, że jeśli n N, to wszystkie liczby 1 3 M 2n = 1 3 (4n 1), 1 7 M 3n = 1 7 (8n 1), itp. są naturalne. 1.7.1 (Maple). Liczby a n = 1 3 (4n 1), dla n 30, wraz z ich rozkładami kanonicznymi. a 1 = 1 a 2 = 5 = 5 a 3 = 21 = 3 7 a 4 = 85 = 5 17 a 5 = 341 = 11 31 a 6 = 1365 = 3 5 7 13 a 7 = 5461 = 43 127 a 8 = 21845 = 5 17 257 a 9 = 87381 = 3 2 7 19 73 a 10 = 349525 = 5 2 11 31 41 a 11 = 1398101 = 23 89 683 a 12 = 5592405 = 3 5 7 13 17 241 a 13 = 22369621 = 8191 2731 a 14 = 89478485 = 5 29 43 113 127 a 15 = 357913941 = 3 7 11 31 151 331 a 16 = 1431655765 = 5 17 257 65537 a 17 = 5726623061 = 131071 43691 a 18 = 22906492245 = 3 2 5 7 13 19 37 73 109 a 19 = 91625968981 = 174763 524287 a 20 = 366503875925 = 5 2 11 17 31 41 61681 a 21 = 1466015503701 = 3 7 2 43 127 337 5419 a 22 = 5864062014805 = 5 23 89 397 683 2113 a 23 = 23456248059221 = 47 2796203 178481 a 24 = 93824992236885 = 3 5 7 13 17 97 241 257 673 a 25 = 375299968947541 = 11 31 251 601 4051 1801 a 26 = 1501199875790165 = 5 53 157 1613 8191 2731 a 27 = 6004799503160661 = 3 3 7 19 73 87211 262657 a 28 = 24019198012642645 = 5 17 29 43 113 127 15790321 a 29 = 96076792050570581 = 59 233 1103 3033169 2089 a 30 = 384307168202282325 = 3 5 2 7 11 13 31 41 61 151 331 1321

16 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a 1.7.2. Jedyną liczbą pierwszą postaci a n = 1 3 (4n 1) jest a 2 = 5. D. Zauważmy, że a n = 1 3 ( (2 n ) 2 1 ) = 1 3 (2n 1)(2 n + 1) oraz, że 2 n 1 (mod 3) lub 2 n 2 (mod 3). Niech n 3. Jeśli 2 n 1 (mod 3), to a n = uv, gdzie u = 1 3 (2n 1), v = (2 n + 1) są liczbami naturalnymi większymi od 1. Jeśli 2 n 2 (mod 3), to a n = uv, gdzie u = 2 n 1, v = 1 3 (2n + 1) są liczbami naturalnymi większymi od 1. 1.7.3. Niech a n = 1 3 (4n 1). (1) 3 a n 7 a n 3 n. (2) 5 a n 2 n. (3) 9 a n 19 a n 57 a n 73 a n 9 n. (4) 11 a n 31 a n 5 n. (5) 13 a n 15 a n 35 a n 39 a n 6 n. (6) 17 a n 4 n. 1.7.4. Jedyną liczbą pierwszą postaci a n = 1 7 (8n 1) jest a 3 = 73. D. Liczby a 1 i a 2 = 9 oczywiście nie są pierwsze. Niech n 4. Zauważmy, że a n = 1 7 ( (2 n ) 3 1 ) = 1 7 (2n 1)((2 n ) 2 + 2 n + 1) oraz, że 2 n 1 (mod 7) lub 2 n 2 (mod 7) lub 2 n 4 (mod 7). Jeśli 2 n 1 (mod 7), to a n = uv, gdzie u = 1 7 (2n 1), v = (4 n + +2 n + 1) są liczbami naturalnymi większymi od 1. W pozostałych przypadkach a n = uv, gdzie u = 2 n 1, v = 1 7 (4n + 2 n + 1) są liczbami naturalnymi większymi od 1. 1.7.5. Niech a n = 1 7 (8n 1). (1) 3 a n 9 a n 2 n. (2) 5 a n 13 a n 15 a n 39 a n 4 n. (3) 7 a n 7 n. (4) 11 a n 33 a n 93 a n 10 n. (5) 25 a n 41 a n 55 a n 20 n.

Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a 17 1.7.6 (Maple). Liczby a n = 1 7 (8n 1), dla n 30, wraz z ich rozkładami kanonicznymi. a 1 = 1 a 2 = 9 = 3 2 a 3 = 73 = 73 a 4 = 585 = 3 2 5 13 a 5 = 4681 = 31 151 a 6 = 37449 = 3 3 19 73 a 7 = 299593 = 7 127 337 a 8 = 2396745 = 3 2 5 13 17 241 a 9 = 19173961 = 73 262657 a 10 = 153391689 = 3 2 11 31 151 331 a 11 = 1227133513 = 23 89 599479 a 12 = 9817068105 = 3 3 5 13 19 37 73 109 a 13 = 78536544841 = 79 121369 8191 a 14 = 628292358729 = 3 2 7 43 127 337 5419 a 15 = 5026338869833 = 31 73 151 631 23311 a 16 = 40210710958665 = 3 2 5 13 17 97 241 257 673 a 17 = 321685687669321 = 103 131071 11119 2143 a 18 = 2573485501354569 = 3 4 19 73 87211 262657 a 19 = 20587884010836553 = 1212847 524287 32377 a 20 = 164703072086692425 = 3 2 5 2 11 13 31 41 61 151 331 1321 a 21 = 1317624576693539401 = 7 73 127 337 649657 92737 a 22 = 10540996613548315209 = 3 2 23 67 89 683 599479 20857 a 23 = 84327972908386521673 = 47 10052678938039 178481 a 24 = 674623783267092173385 = 3 2 5 13 17 19 37 73 109 241 433 38737 a 25 = 5396990266136737387081 = 31 151 601 10567201 100801 1801 a 26 = 43175922129093899096649 = 3 2 79 22366891 121369 8191 2731 a 27 = 345407377032751192773193 = 73 97685839 71119 262657 2593 a 28 = 2763259016262009542185545 = 3 2 5 7 13 29 43 113 127 337 1429 5419 14449 a 29 = 22106072130096076337484361 = 233 1103 9857737155463 2089 4177 a 30 = 176848577040768610699874889 = 3 3 11 19 31 73 151 331 631 23311 18837001 1.8 Różne fakty i zadania o podzielności i liczbach Mersenne a 1.8.1. Niech k 2 oraz n 1, n 2,..., n k będą liczbami naturalnymi takimi, że n 2 M n1, n 3 M n2, n 4 M n3,..., n k M nk 1, n 1 M nk. Wtedy n 1 = n 2 = = n k = 1. ([IMO] Shortlist 1985). 1.8.2. M 2 n M nmn. ([Mat] 2/1957 63, [S64] 15). 1.8.3. M 2 m M n mm m n. ([OM] Rosja 1997, [Kw] 5/1997). 1.8.4. n = 1093 = n 2 M n 1. ([Wino] 59, [S59a] s.19, [DoC] 168). 1.8.5. n = 3511 = n 2 M n 1. ([S59a] s.19). U. Nie wiadomo czy istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że n 2 M n 1 ([S59a] s.19). Liczby 1093 i 3511 są pierwsze. Nie są znane żadne inne liczby pierwsze o tej własności ([Nar86] 57, [Nar03] 57). Liczby kwadratowe postaci p 2, gdzie p jest liczbą pierwszą i p 2 2 p 1 1, nazywane są Wieferich square. W 1909 roku A. Wieferich udowodnił, że jeśli p jest liczbą pierwszą taką, że p 2 2 p 1 1, to równanie x p + y p = z p nie ma naturalnych rozwiązań ([Sha93] 157).

18 Liczby Mersenne a i inne. 1. Liczby Mersenne a 1.8.6. Jeśli n jest nieparzystą liczbą naturalną, to liczba Mersenne a M n! jest podzielna przez n. ([S64] 20, [Mat] 4-6/1969, [DoC] 211). 1.8.7. Jeśli n jest parzyste, to (n 2 1) M n!. ([AnAF] 30). D. ([AnAF]). Niech m = n + 1. Wtedy n = m 1, n 2 1 = m(m 2). Należy więc wykazać, że jeśli m jest nieparzyste, to liczba M (m 1)! jest podzielna przez m(m 2). Ponieważ ϕ(m) (m 1)!, więc M ϕ(m) M (m 1)!. Z twierdzenia Eulera wynika, że m M ϕ(m). Zatem m M (m 1)!. Mamy również ϕ(m 2) (m 1)! i stąd wynika, że M ϕ(m 2) M (m 1)!. Zatem (m 2) M (m 1)!. Liczba M (m 1)! jest więc podzielna przez m i przez (m 2). Liczby m i m 2 są względnie pierwsze (bo są nieparzyste). Mamy więc: m(m 2) M (m 1)!. 1.8.8. Liczba n i=0 M 2i n+1 i dzieli się przez M n+1!. ([Bryn] 5.15a). Kinga Karczewska, Liczby Mersenne a i ich uogólnienia, [Pmgr] 2011. R. R. Seeber, Mersenne and Fermat-form number congruences, [Mon] 75(1)(1)(1968) 21-25.

2 Liczby postaci a n - b n 2.1 Ogólne własności liczb a n - b n 2.1.1. Niech a > b będą liczbami naturalnymi i niech v n = a n b n dla n N 0. Jeśli n < m, to v n < v m. D. v m v n = a m b m a n + b n = a n (a m n 1) b n (b m n 1) > a n (b m n 1) b n (b m n 1) = v n (b m n 1) 0. 2.1.2. Niech a > b będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Niech m, n N. Jeśli r jest resztą z dzielenia m przez n, to ( a m b m, a n b n) ( = a n b n, a r b r). D. Niech m = kn + r, gdzie k i 0 r < n są liczbami całkowitymi. Mamy wtedy równość a m b m = (a m n b 0 + a m 2n b n + + a r b m n r )(a n b n ) + b kn (a r b r ) i z tej równości wynika, że (a m b m, a n b n ) = ( a n b n, b kn (a r b r ) ). Ponieważ (a, b) = 1, więc ( a n b n, b kn) = 1 i stąd Zatem, (a m b m, a n b n ) = (a n b n, a r b r ). ( a n b n, b kn (a r b r ) ) = (a n b n, a r b r ). 2.1.3. Niech a > b będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Wtedy (a n b n, a m b m ) = a (n,m) b (n,m) dla wszystkich n, m N. ([MM] 54(2)(1981) 86, [G-kp] 174(38), [Sand] 230). D. Dowodzimy to dokładnie tak samo jak twierdzenie 1.3.2. Wykorzystujemy algorytm Euklidesa i powyższy fakt 2.1.2. Oznaczmy: v s = a s b s dla s 0. Jeżeli m = n to (m, n) = m i (v m, v n ) = v m = v (m,n). Załóżmy, że m > n i obliczmy największy wspólny dzielnik (m, n) przy pomocy algorytmu Euklidesa. Otrzymujemy wtedy ciąg równości: m = k 1 n + r 1, n = k 2 r 1 + r 2, r 1 = k 3 r 2 + r 3,..., r i 1 = k i+1 r i + r i+1, r i = k i+2 r i+1 + r i+2, w których wszystkie k j, r j są nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz m > n > r 1 > r 2 > > r i+1 > r i+2 = 0. Mamy wtedy (m, n) = r i+1. Z faktu 2.1.2 otrzymujemy ciąg równości (v m, v n ) = (v n, v r1 ) = (v r1, v r2 ) = (v r2, v r3 ) = = ( v ri+1, v ri+2 ) Zatem (v m, v n ) = v (n,m). = ( v ri+1, v 0 ) = ( vri+1, 0 ) = v ri+1 = v (m,n). 19

20 Liczby Mersenne a i inne. 2. Liczby postaci a n - b n Z powyższego twierdzenia wynikają następujące wnioski. 2.1.4. Niech m, n N. Jeśli a > b są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to liczba a m b m dzieli liczbę a n b n wtedy i tylko wtedy, gdy n dzieli m. D. Niech v s = a s b s, dla s N 0. Jeśli m n, to (m, n) = m i wtedy v m = v (m,n) = (v m, v n ), czyli v m v n. Załóżmy, że v m v n. Wtedy v m = (v m, v n ) = v (m,n), więc m = (m, n) (patrz 2.1.1) i stąd m n. 2.1.5. Niech m, n N. Jeśli a > b są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to ( a n b n, a m b m) = a b (n, m) = 1. D. Niech v s = a s b s, dla s N 0. Jeśli (m, n) = 1, to (v n, v m ) = v (m,n) = v 1 = a b. Załóżmy, że (v n, v m ) = a b = v 1. Wtedy v (n,m) = (v n, v m ) = v 1 i z 2.1.1 wynika, że (n, m) = 1. W poniższych stwierdzeniach a i b są liczbami całkowitymi oraz n i m są liczbami naturalnymi. 2.1.6. n a b = n 2 a n b n 2.1.7. Jeśli (a, 133) = (b, 133) = 1, to 133 a 18 b 18. ([Grif] 89). 2.1.8. Jeśli a, b są różnymi liczbami zespolonymi takimi, że liczby a 2 b 2, a 3 b 3, a 5 b 5 są wymierne, to a, b, c są liczbami wymiernymi. ([MM] 73(4)(2000) 328). Każda z liczb postaci a n b n (gdzie a > b są liczbami naturalnymi) jest podzielna przez (a b). Mamy zatem liczby naturalne postaci a n b n a b = a n 1 + a n 2 b 1 + a n 3 b 2 + + a 1 b n 2 + b n 1. 2.1.9. Niech a > b będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Oznaczmy: Niech n, m N. Wtedy: (1) (w n, w m ) = w (n,m) ; (2) (w n, w m ) = 1 (n, m) = 1; (3) w n w m n m. w n = an b n, dla n N. a b D. (1). Niech v s = a s b s dla s N. Wtedy v s = (a b)w s i mamy: (a b)(w n, w m ) = ((a b)w n, (a b)w m ) = (v n, v m ) = v (n,m) = (a b)w (n,m). Zatem (w n, w m ) = w (n,m). Wykorzystaliśmy fakt 2.1.3. Własności (2) i (3) wykazujemy tak samo jak to zrobiliśmy w 2.1.5 i 2.1.4.

Liczby Mersenne a i inne. 2. Liczby postaci a n - b n 21 2.1.10. Niech a > b będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi i niech w n = an b n a b dla n N. Jeśli w n jest liczbą pierwszą, to n jest liczbą pierwszą. D. Jeśli n 2 nie jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba naturalna d taka, że d n, 1 < d < n i wtedy w d w n oraz 1 < w d < w n. 2.1.11. Jeśli n a n b n i a b, to liczba całkowita an b n ([GaT] 33/68). 2.1.12. a b ( a m b m ) ( a b, a b = a b, mb m 1). ([MM] 54(1)(1981) 37, [Gibl] 18). jest podzielna przez n. 2.2 Liczby postaci a n - 1 2.2.1. Konsekwencje twierdzenia Eulera lub jego uogólnienia. (1) 24 a 2 1 dla a Z, (a, 6) = 1. (2) 240 a 4 1 dla a Z, (a, 60) = 1. (3) 16 a 4 1 dla nieparzystych a Z. (4) 32 a 5 1 dla nieparzystych a Z. 2.2.2. (a, 35) = 1 = 240 (a 4 1)(a 4 + 15a 2 + 1). ([DoC] 179). 2.2.3. 1976 (2n + 1) 36 1. ([Kw] 12/1976 54). 2.2.4. ( ) a n 1, a m 1 = a (n,m) 1, dla m, n, a N, a > 1. ([S59] 11, [Mol2] 27, [K-Me] z.125). D. Jest to szczególny przypadek faktu 2.1.3. Przedstawiamy inny dowód. Istnieją liczby naturalne x i y takie, że (m, n) = mx ny. Niech d = (a m 1, a n 1). Wtedy a (m,n) 1 a m 1 oraz a (m,n) 1 a n 1, skąd a (m,n) 1 d. Z drugiej strony d a m 1, skąd d a mx 1 oraz d a n 1, czyli d a ny 1. Zatem, d a mx a ny = a ny (a mx ny 1), a ponieważ z tego, że d a m 1 i a > 1 wynika, że (d, a) = 1, więc d a mx ny 1, czyli d a (m,n) 1. Ostatecznie d = a (m,n) 1. 2.2.5. ( a m 1 a 1, a 1 ) = (a 1, m), dla a, m N, a 2. ([Mat] 4/1960 241, [S64] 8). D. Jest to szczególny przypadek faktu 2.1.12.

22 Liczby Mersenne a i inne. 2. Liczby postaci a n - b n 2.2.6. Niech a, m, n N, a 2, n m. Jeśli liczby a n 1 i a m 1 mają te same zbiory dzielników pierwszych, to a + 1 jest potęgą dwójki. ([IMO] Shortlist 1997, [Djmp] 295(624)). 2.2.7. Jeśli p q są liczbami pierwszymi oraz n 2 jest liczbą naturalną, to jest liczbą naturalną. ([Gibl] 19). (n pq 1)(n 1) (n p 1)(n q 1) 2.2.8. Niech p P, a N, p > 2, a > 1. Nieparzyste dzielniki pierwsze liczby a p 1 są dzielnikami liczby a 1 lub mają postać 2pk + 1, k N. ([Wino] 113). 2.2.9. Liczby naturalne a > 1 i b > 1 są takie, że b n 1 a n 1 dla każdego n N. Wykazać, że a = b k dla pewnego k N. ([S-kg] 80). 2.2.10. Jeśli p > 2 jest liczbą pierwszą i a, n N, to z podzielności p n a p 1 wynika podzielność p n 1 a 1. ([OM] Unsco Contest IASI 1995). 2.2.11. Niech p P, a, k N. Jeśli p k a 1, to p n+k a pn 1 dla każdego n N. ([Crux] 1992 s.84 z.1617). 2.2.12. n p n! 1, dla p P, n N, p n. ([Dlt] z.384). Wykazaliśmy (patrz 1.1.10), że jeśli a = 2, to dla każdej liczby naturalnej n 2, liczba a n 1 nie jest podzielna przez n. Dla liczb naturalnych a większych niż 2 podobna własnoćć nie zachodzi. Można udowodnić: 2.2.13. Dla każdej liczby naturalnej a 3 istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że n a n 1. ([OM] Rumunia 1978). Udowodnimy więcej: 2.2.14. Dla każdej liczby naturalnej a 3 istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że n 2 a n 1. ([Zw] 2010). D. ([Zw] 2010). Najpierw zauważmy, że jeśli a 3, to a n 1 > n 2 dla wszystkich n N (wykazujemy to na przykład stosując prostą indukcję matematyczną). Niech a 3 i niech n będzie taką liczbą naturalną (na przykład n = 1), że n 2 a n 1. Oznaczmy przez m liczbę naturalną an 1. Udowodnimy, że m > n oraz m 2 a m 1. Rozpoczynając od liczby n n = 1 otrzymamy w ten sposób rosnący ciąg liczb naturalnych o zadanej własności. Nierówność m > n wynika z nierówności wspomnianej na początku tego dowodu. Ponieważ n 2 a n 1, więc liczba m = an 1 jest podzielna przez n. Niech m = bn, gdzie n 1 < b N. Rozpatrzmy liczbę naturalną a m 1 a n 1 = 1 + an + a 2n + + a (b 1)n.