Metoda obliczania krzywej offset

Metoda obliczania krzywej offset ANDRZEJ KAWALEC MAREK MAGDZIAK Pomiar na obrabiarce sterowanej numerycznie (CNC) jest mo liwy przy wykorzystaniu g owic pomiarowych zamontowanych we wrzecionie danej obrabiarki (rys. 1). Programowanie pomiaru odbywa si przy u yciu odpowiednich cykli pomiarowych zainstalowanych w uk adzie sterowania obrabiarki CNC. Cykle pomiarowe mo na wykorzystywaç niezale nie lub korzystajàc z programów komputerowego wspomagania projektowania i pomiaru (CAD/CAI), np. PRODUC- TIVITY+ lub POWERINSPECT OMV. Zaletà tego typu programów jest mo liwoêç wizualizacji pomiaru w celu weryfikacji wyst powania ewentualnych kolizji oraz mo liwoêç pomiaru z o onych powierzchni swobodnych z korekcjà promienia koƒcówki trzpienia g owicy pomiarowej, zgodnie z wektorem normalnym do danego punktu pomiarowego powierzchni mierzonego przedmiotu. Przy u yciu tego typu programów mo na zaprogramowaç cykle pomiarowe. Wymaga to zastosowania odpowiedniego postprocesora do danego typu obrabiarki CNC i jej uk adu sterowania. Dodatkowo oprogramowanie POWERINSPECT OMV umo liwia sterowanie pracà obrabiarki CNC za pomocà zewn trznego stanowiska komputerowego z pomini ciem etapu postprocesora w programowaniu obrabiarek CNC na wzór programowania procesu pomiaru na wspó rz dnoêciowej maszynie pomiarowej. Pomiar powierzchni swobodnych z wykorzystaniem tylko cykli pomiarowych tak e jest mo liwy, np. przy u yciu cyklu L9821, b dàcego cz Êcià pakietu INSPECTION PLUS. Cykl L9821 wymaga podania dwóch parametrów: R7 (odleg oêç g owicy pomia- Dr hab. in. Andrzej Kawalec i mgr in. Marek Magdziak sà pracownikami Katedry Technik Wytwarzania i Automatyzacji Politechniki Rzeszowskiej. Rys. 1. Pomiar na obrabiarce CNC w warunkach produkcyjnych rowej od powierzchni mierzonej) i R1 (kàt mi dzy wektorem normalnym w punkcie pomiarowym mierzonej powierzchni a osià X uk adu wspó rz dnych przedmiotu). Wykorzystanie cyklu L9821 w przypadku pomiaru powierzchni swobodnych wymaga jego u ycia dla ka dego punktu pomiarowego niezale nie, co powoduje wyd u enie czasu przygotowania programu pomiarowego. Wadà wymienionych metod pomiaru na obrabiarce CNC jest mo liwoêç korekcji promienia koƒcówki trzpienia pomiarowego tylko zgodnie z wektorem normalnym nominalnym. Na podstawie literatury mo na wyró niç wiele metod korekcji promienia koƒcówki trzpienia g owicy pomiarowej zgodnie z wektorem normalnym rzeczywistym, uwzgl dniajàcym postaç rzeczywistego przedmiotu, w danym punkcie pomiarowym mierzonej powierzchni. Metody korekcji promienia mo na 26

zastosowaç zarówno w przypadku pomiaru krzywych, jak i powierzchni. W pracy doktorskiej [1] przedstawiono i poddano analizie trzy metody korekcji promienia koƒcówki trzpienia g owicy pomiarowej w przypadku pomiaru krzywych. Rozpatrywanymi metodami by y metody korekcji promienia przy u yciu funkcji liniowych, okr gów oraz funkcji ciàg ych. W przypadku funkcji liniowych wektor korekcji w danym punkcie pomiarowym jest prostopad y do prostej przechodzàcej przez dwa sàsiednie punkty, które sà zlokalizowane po obu jego stronach na danej krzywej. Wykorzystanie okr gów do korekcji promienia polega na konstrukcji kolejnych okr gów na podstawie trzech sàsiednich punktów danej mierzonej krzywej, przy czym punkt pomiarowy, dla którego wektor normalny jest poszukiwany, znajduje si w Êrodku mi dzy dwoma sàsiednimi punktami. Kierunek wektora normalnego okreêla prosta przechodzàca przez dany punkt pomiarowy i Êrodek danego okr gu. W przypadku metody korekcji z wykorzystaniem funkcji ciàg ych zastosowano interpolacj na podstawie wielomianu trygonometrycznego. Nowa metoda korekcji, w przypadku pomiaru krzywych, zosta a zaproponowana w pracy doktorskiej [2]. Metoda ta wykorzystuje informacj o dwusiecznej kàta, który tworzà wektory normalne do prostych przechodzàcych przez dany punkt pomiarowy i dwa sàsiednie punkty pomiarowe znajdujàce si po obu stronach mierzonego profilu. W pracy dodatkowo przedstawiono metody korekcji promienia w przypadku pomiaru krzywych z u yciem funkcji liniowych, okr gów, funkcji offset, która jest dost pna w systemach komputerowego wspomagania projektowania (CAD) oraz przy wykorzystaniu oprogramowania wspó rz dnoêciowej maszyny pomiarowej. W przypadku pomiaru powierzchni w pracy [2] przedstawiono metod korekcji promienia koƒcówki trzpienia g owicy pomiarowej na podstawie iloczynu wektorowego [3], iloczynu wektorowego z zastosowaniem tzw. wspó czynników wagowych [4], metod korekcji opracowanà w pracy doktorskiej [5] oraz metod korekcji opartà na funkcji offset systemów CAD. W pracy doktorskiej [5] przedstawiono metod korekcji promienia koƒcówki trzpienia pomiarowego w przypadku pomiaru powierzchni. Zaproponowany algorytm wyszukuje punkty znajdujàce si w sàsiedztwie danego punktu pomiarowego, dla którego poszukiwany jest wektor normalny. Wyszukiwane punkty zlokalizowane sà na Êcie ce danego punktu pomiarowego i na Êcie kach pomiarowych sàsiednich. Na kolejnym etapie dzia ania algorytmu obliczane sà wektory z danego punktu pomiarowego do punktów sàsiednich. Dla ka dej pary wektorów obliczany jest wektor do nich prostopad y. Poszukiwany wektor normalny dla danego punktu pomiarowego, który okreêla kierunek korekcji promienia koƒcówki trzpienia g owicy pomiarowej, jest wektorem wypadkowym wyznaczonym na podstawie wszystkich wektorów normalnych, które obliczono na wczeêniejszym etapie dzia ania algorytmu. W artykule [3] przedstawiono metod korekcji promienia koƒcówki trzpienia pomiarowego w przypadku pomiaru powierzchni swobodnych. Metoda ta polega na wyznaczaniu siatki trójkàtów na bazie zaobserwowanych punktów pomiarowych zlokalizowanych na sàsiednich Êcie kach pomiarowych. Poszukiwany wektor jednostkowy dla danego punktu pomiarowego jest obliczany jako wynik iloczynu wektorowego wektorów stanowiàcych dwa boki trójkàta. Podobnà metod obliczania wektorów korekcji promienia koƒcówki trzpienia g owicy pomiarowej przedstawiono w artykule [4]. Istotnà ró nicà jest zastosowanie tzw. wspó czynników wagowych. W pierwszym etapie algorytmu wyznaczane sà cztery punkty w sàsiedztwie danego punktu pomiarowego. Na ich podstawie obliczane sà cztery wektory styczne, których kierunek okreêlony jest na podstawie danego punktu pomiarowego i czterech sàsiednich punktów. Na kolejnym etapie nast puje obliczenie czterech wektorów normalnych na podstawie iloczynu wektorowego wektorów stycznych, które zosta y obliczone w etapie wczeêniejszym, oraz ich wektorów jednostkowych. Nast pnie obliczany jest wektor wypadkowy z czterech wektorów jednostkowych, wspó czynniki wagowe w dwóch odmianach oraz iloczyny wektorów jednostkowych i wspó czynników wagowych. Wynikiem iloczynów sà cztery nowe wektory. Na ostatnim etapie algorytmu obliczany jest wektor normalny, który jest wypadkowym z czterech wektorów obliczonych wczeêniej. Metody przedstawione w [3 5], dotyczàce korekcji promienia w przypadku pomiaru powierzchni swobodnych, zosta y poddane analizie porównawczej w [6]. W artykule [7] przedstawiono natomiast metod wyznaczania punktu pomiarowego skorygowanego w przypadku pomiaru krzywych z wykorzystaniem skaningowej g owicy pomiarowej. Algorytm wykorzystuje kolejne po o enia koƒcówki trzpienia g owicy pomiarowej pracujàcej w trybie skanowania. Na podstawie kolejnych po o eƒ g owicy pomiarowej tworzony jest przybli ony zarys mierzonego profilu przez po àczenie uków b dàcych cz Êcià zarysu koƒcówki pomiarowej znajdujàcej si w kolejnych po o eniach. Jako przybli ony, skorygowany punkt pomiarowy dla zaobserwowanego punktu pomiarowego w danym ustawieniu g owicy pomiarowej obliczany jest punkt Êrodkowy danego uku, który jest cz Êcià przybli onego zarysu mierzonego profilu. Nast pnie obliczana jest korekcja rzeczywistego punktu pomiarowego przybli onego na podstawie algorytmu wykorzystujàcego logik rozmytà. Krzywa offset Metoda obliczania krzywej offset wykorzystuje krzywe Béziera. Danymi wejêciowymi do algorytmu metody sà zaobserwowane punkty pomiarowe P 0,..., P n reprezentujàce Êrodki koƒcówki trzpienia g owicy pomiarowej w kolejnych jej po o eniach (rys. 2). Na podstawie zbioru punktów zaobserwowanych i przy uwzgl dnieniu wektorów a 0, a 1,..., a n obliczane sà punkty kontrolne P 0, P 0 +a 0 -a 1, P 1 +a 1, P 2 -a 2, P 2, P 2 +a 2,..., P n -a n, P n i tworzony wielobok charakterystyczny krzywej. Na podstawie tak obliczonego wieloboku charakterystycznego obliczana jest krzywa bazowa. Krzywa powstaje poprzez po àczenie poszczególnych segmentów reprezentujàcych krzywe Béziera i interpoluje zaobserwowane punkty pomiarowe. W punktach po àczenia segmentów krzywej, 27

Rys. 2. Zaobserwowane punkty pomiarowe b dàce rezultatem pomiaru na obrabiarce sterowanej numerycznie które odpowiadajà punktom interpolowanym, spe niona jest klasa ciàg oêci G 2. Wektory a 1,..., a n-1 obliczane sà na podstawie uk adu równaƒ (1). Uk ad równaƒ (1) utworzono w odniesieniu do wszystkich punktów po àczenia segmentów Béziera. Natomiast wektory a 0 i a n obliczane sà na podstawie równaƒ (2) i (3). Na podstawie wieloboku charakterystycznego krzywej bazowej interpolujàcej zaobserwowane (1) (2) (3) punkty pomiarowe, zaobserwowanych punktów pomiarowych oraz wartoêci offsetu tworzony jest wielobok charakterystyczny krzywej offset. WartoÊç offsetu wynika z promienia koƒcówki trzpienia pomiarowego. WartoÊç ta jest wynikiem procesu kwalifikacji zespo u g owicy pomiarowej. Na podstawie wieloboku charakterystycznego obliczana jest krzywa offset reprezentujàca skorygowane punkty pomiarowe. Dok adnoêç obliczania krzywej offset wynika z zadeklarowanej wartoêci tolerancji. W przypadku kiedy ró nica mi dzy rzeczywistà wartoêcià offsetu a nominalnà, która wynika z procesu kwalifikacji zespo u g owicy pomiarowej, przekracza wartoêç tolerancji, to do ka dego segmentu Béziera, w obr bie którego zanotowano odchy k, dodawane sà nowe punkty interpolowane. Badania numeryczne i doêwiadczalne przeprowadzono w przypadku pojedynczego punktu dodawanego w Êrodku danej krzywej reprezentujàcej segment Béziera. Dla nowej grupy punktów interpolowanych dzia- anie algorytmu zostaje powtórzone. Algorytm koƒczy swoje dzia anie w momencie, kiedy wszystkie odchy ki mieszczà si w polu tolerancji obliczenia krzywej offset. Badania numeryczne Badania numeryczne przeprowadzono na wybranych szeêciu przyk adach uwzgl dniajàcych ró ny stopieƒ skomplikowania krzywych. W badaniach uwzgl dniono nast pujàce wartoêci offsetu: 1,0; 2,0 mm. Obliczenia przeprowadzono dla nast pujàcych wartoêci tolerancji danej krzywej offset: 0,001; 0,005; 0,01; 0,05; 0,1; 0,5 mm. Celem badaƒ numerycznych by o porównanie liczby punktów kontrolnych oraz czasu obliczeƒ krzywych offset dla zadanych wartoêci tolerancji. Badania numeryczne zosta y zrealizowane z wykorzystaniem komputera klasy PC o nast pujàcych parametrach technicznych: CPU Intel Core 2 Duo 2,00 GHz (3 MB), RAM 3,00 GB. Rys. 3. Wyniki badaƒ numerycznych dla przyk adów 1, 2 Rys. 4. Wyniki badaƒ numerycznych dla przyk adów 3, 4 28

Na rys. 3 8 przedstawiono wybrane wyniki badaƒ numerycznych dla wartoêci offsetu 1,0 mm i 2,0 mm. Rys. 7. Wyniki badaƒ numerycznych dla przyk adów 3, 4 Rys. 5. Wyniki badaƒ numerycznych dla przyk adów 5, 6 Rys. 8. Wyniki badaƒ numerycznych dla przyk adów 5, 6 Rys. 6. Wyniki badaƒ numerycznych dla przyk adów 1, 2 Badania doêwiadczalne Badania doêwiadczalne przeprowadzono z wykorzystaniem wspó rz dnoêciowej maszyny pomiarowej LH 87 (MPE E = 2,0+(L/300) µm, MPE P = 2,0 µm) wyposa onej w g owic pomiarowà SP25M (MPE Tij = 2,6 µm, MPT τij = 72,0 s) i oprogramowanie pomiarowe Metrosoft. Pierwszym celem badaƒ doêwiadczalnych, podobnie jak w przypadku badaƒ numerycznych, by o porównanie liczby punktów kontrolnych oraz czasu obliczeƒ krzywej offset dla wybranych wartoêci tolerancji na przyk adzie rzeczywistego przedmiotu (rys. 9). Obliczenia przeprowadzono dla nast pujàcych wartoêci tolerancji danej krzywej offset: 0,0001; 0,001; 0,005; 0,01; 0,05; 0,1; 0,5 mm. Drugim celem badaƒ doêwiadczalnych by o porównanie krzywej offset, reprezentujàcej skorygowane punkty pomiarowe, z metodà korekcji promienia koƒcówki trzpienia g owicy pomiarowej, która jest realizowana przez oprogramowanie wspó rz dnoêciowej maszyny pomiarowej. Badania doêwiadczalne przeprowadzono dla pi ciu krzywych b dàcych wybranymi przekrojami danego przedmiotu mierzonego (rys. 9), pr dkoêci skanowania 4 mm/s, kroków próbkowania: 0,1; 1,0 mm i wartoêci offsetu 1,00005 mm. WartoÊç offsetu wynika a z procesu kwalifikacji. Badania doêwiadczalne przeprowadzono z korekcjà i bez korekcji promienia koƒcówki trzpienia pomiarowego. 29

Dodatkowo przeprowadzono pomiary przedmiotu, którego powierzchnia górna ma zmiennà krzywizn tylko w jednym kierunku (rys. 11). W tab. II przedstawiono odchy ki mi dzy obliczonymi krzywymi offset a punktami pomiarowymi skorygowanymi obliczonymi przez oprogramowanie wspó rz dnoêciowej maszyny pomiarowej. Rys. 9. Przedmiot mierzony w trakcie badaƒ doêwiadczalnych Wyniki dotyczàce porównania liczby punktów kontrolnych i czasu obliczeƒ krzywej offset dla ró nych wartoêci tolerancji przedstawiono na wybranych dwóch przyk adach na rys. 10. Odchy ki mi dzy obliczonymi krzywymi offset a punktami pomiarowymi skorygowanymi i obliczonymi przez oprogramowanie wspó rz dnoêciowej maszyny pomiarowej przedstawiono w tab. I. Rys. 10. Wyniki badaƒ doêwiadczalnych dla krzywych 1, 2 TABELA I. Odchy ki mi dzy krzywà offset a punktami pomiarowymi skorygowanymi Nr krzywej Odchy ka, mm 1 0,012 2 0,008 3 0,007 4 0,004 5 0,004 TABELA II. Odchy ki mi dzy krzywà offset a punktami pomiarowymi skorygowanymi (drugi przedmiot mierzony) Nr krzywej Odchy ka, mm 1 0,014 2 0,008 Rys. 11. Przedmiot mierzony o zmiennej krzywiênie w jednym kierunku Podsumowanie Przedstawiona metoda obliczania krzywej offset zosta a wykorzystana do korekcji promienia koƒcówki trzpienia g owicy pomiarowej dla przypadku pomiaru powierzchni swobodnych na obrabiarce CNC. Zastosowanie metody umo liwia wykorzystanie do pomiaru powierzchni swobodnych cykli pomiarowych dost pnych w ramach oprogramowania INSPECTION PLUS. To rozwiàzanie jest alternatywà dla stosowania zaawansowanych programów CAD/CAI. Dodatkowo zaletà metody obliczania krzywej offset jest mo liwoêç uwzgl dnienia informacji o rzeczywistym kszta cie mierzonego przedmiotu. LITERATURA 1. Juras B.: Metoda pomiaru zarysu o zmiennej krzywiênie na wielowspó rz dnoêciowej maszynie pomiarowej. Praca doktorska, Wydzia Mechaniczny, Politechnika Krakowska, Kraków 1997. 2. Szelewski M.: Metrologiczna analiza dyskretyzacji na wspó rz dnoêciowych maszynach pomiarowych i modelowania w systemie CAD wybranych elementów w procesie in ynierii odwrotnej. Praca doktorska, Wydzia Budowy Maszyn i Zarzàdzania, Politechnika Poznaƒska, Poznaƒ 2008. 3. Liang S.-R., Lin A. C.: Probe-radius compensation for 3D data points in reverse engineering. Computers in Industry No. 48/2002, pp. 2241 2251. 4. Lin Y. C., Sun W. I.: Probe Radius Compensated by the Multi- Cross Product Method in Freeform Surface Measurement with Touch Trigger Probe CMM. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology No. 21/2003, pp. 902 909. 5. Wójcik A.: Metoda oceny dok adnoêci odwzorowania powierzchni swobodnych w zastosowaniu do in ynierii odwrotnej. Praca doktorska, Wydzia Mechaniczny, Politechnika Krakowska, Kraków 2005. 6. Jagoda J., Karbowski K., Komenda Z.: Ocena dok adnoêci wybranych metod korekcji promieniowej koƒcówki pomiarowej. Przeglàd Mechaniczny nr 9/2007/S, ss. 146 152. 7. Woêniak A., Mayer J. R. R., Ba aziƒski M.: Stylus tip envelop method: corrected measured point determination in high definition coordinate metrology. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology No. 42/2009, pp. 505 514. 30