Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liczb Część 09. Sześciany, Bikwadraty i Wyższe Potęgi Rozdział. Sześciany Andrzej Nowicki 24 kwietnia 202, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści Sześciany 5. Cyfry sześcianów.................................. 6.2 Lustrzane odbicia sześcianów........................... 7.3 Cyfry sześcianów w różnych systemach numeracji............... 8.4 Sumy cyfr sześcianów.............................5 Końcowe cyfry sześcianów............................. 2.6 Własności sześcianów............................... 3.7 Istnienie lub nieistnienie pewnych sześcianów.................. 4.8 Różnice dwóch sześcianów............................ 5.9 Odwrotności sześcianów.............................. 5.0 Różne fakty i zadania z sześcianami....................... 7 Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow.

Sześciany Każdą liczbę postaci n 3, gdzie n jest liczbą naturalną, nazywamy sześcianem liczby naturalnej lub krótko sześcianem. Poniższa tabela przedstawia sześciany n 3, dla n 300. 5 3265 0 03030 5 344295 20 82060 25 58325 2 8 52 40608 02 06208 52 35808 202 8242408 252 6003008 3 27 53 48877 03 092727 53 358577 203 8365427 253 694277 4 64 54 57464 04 24864 54 3652264 204 8489664 254 6387064 5 25 55 66375 05 57625 55 3723875 205 86525 255 658375 6 26 56 7566 06 906 56 379646 206 87486 256 677726 7 343 57 8593 07 225043 57 3869893 207 8869743 257 6974593 8 52 58 952 08 25972 58 394432 208 8892 258 77352 9 729 59 205379 09 295029 59 409679 209 929329 259 7373979 0 000 60 26000 0 33000 60 4096000 20 926000 260 7576000 33 6 22698 36763 6 47328 2 939393 26 777958 2 728 62 238328 2 404928 62 425528 22 952828 262 7984728 3 297 63 250047 3 442897 63 4330747 23 9663597 263 89447 4 2744 64 26244 4 48544 64 440944 24 9800344 264 83744 5 3375 65 274625 5 520875 65 449225 25 38375 265 8609625 6 4096 66 287496 6 560896 66 4574296 26 0077696 266 882096 7 493 67 300763 7 6063 67 4657463 27 02833 267 903463 8 5832 68 34432 8 643032 68 474632 28 0360232 268 9248832 9 6859 69 328509 9 68559 69 4826809 29 0503459 269 946509 20 8000 70 343000 20 728000 70 493000 220 0648000 270 9683000 2 926 7 3579 2 7756 7 50002 22 079386 27 025 22 0648 72 373248 22 85848 72 5088448 222 094048 272 2023648 23 267 73 38907 23 860867 73 57777 223 089567 273 2034647 24 3824 74 405224 24 906624 74 5268024 224 239424 274 20570824 25 5625 75 42875 25 95325 75 5359375 225 390625 275 20796875 26 7576 76 438976 26 2000376 76 545776 226 54376 276 2024576 27 9683 77 456533 27 2048383 77 5545233 227 697083 277 2253933 28 2952 78 474552 28 209752 78 5639752 228 852352 278 2484952 29 24389 79 493039 29 246689 79 5735339 229 2008989 279 277639 30 27000 80 52000 30 297000 80 5832000 230 267000 280 2952000 3 2979 8 5344 3 224809 8 592974 23 232639 28 228804 32 32768 82 55368 32 22968 82 6028568 232 248768 282 22425768 33 35937 83 57787 33 2352637 83 628487 233 2649337 283 2266587 34 39304 84 592704 34 240604 84 6229504 234 282904 284 22906304 35 42875 85 6425 35 2460375 85 633625 235 2977875 285 234925 36 46656 86 636056 36 255456 86 6434856 236 344256 286 23393656 37 50653 87 658503 37 257353 87 6539203 237 332053 287 236303 38 54872 88 68472 38 2628072 88 6644672 238 348272 288 23887872 39 5939 89 704969 39 268569 89 675269 239 36599 289 2437569 40 64000 90 729000 40 2744000 90 6859000 240 3824000 290 24389000 4 6892 9 75357 4 280322 9 696787 24 3752 29 246427 42 74088 92 778688 42 2863288 92 7077888 242 472488 292 24897088 43 79507 93 804357 43 2924207 93 789057 243 4348907 293 2553757 44 8584 94 830584 44 2985984 94 730384 244 4526784 294 254284 45 925 95 857375 45 3048625 95 744875 245 470625 295 25672375 46 97336 96 884736 46 3236 96 7529536 246 4886936 296 25934336 47 03823 97 92673 47 376523 97 7645373 247 5069223 297 2698073 48 0592 98 9492 48 324792 98 7762392 248 52522 298 26463592 49 7649 9702 49 3307949 78805 249 5438249 2 267308 50 25000 00 000000 50 3375000 200 8000000 250 5625000 300 27000000 5

6 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany. Cyfry sześcianów... (5 + + 2) 3 = 52, (4 + 9 + + 3) 3 = 493, (5 + 8 + 3 + 2) 3 = 5832, ( + 7 + 5 + 7 + 6) 3 = 7576, ( + 9 + 6 + 8 + 3) 3 = 9683, ([Je88], [Bedn] 48)...2. Każdy wyraz następujących ciągów jest sześcianem liczby naturalnej. ( ) () 33, 03030, 00300300,... ; 3, 0 3, 000 3,..., ([Mat] 6/954 02). (2) 729, 9702, 70029, 970002,..., ([MaS] 2/8). (3) 078, 3 0778, 3 07778,..., ([IMO] Longlist 967, [Djmp] s.42). 3..3. Liczby 926 i 804357 są sześcianami liczb naturalnych: 926 = 2 3, 804357 = 93 3. Do ich zapisu wykorzystano wszystkie cyfry 0,,..., 9; każdą jeden raz. Jest to jedyny przykład tego rodzaju. ([Mon] 47(3)(940) E377)...4. Liczby 8 i 2437569 są sześcianami liczb naturalnych: 8 = 2 3, 2437569 = 289 3. Do ich zapisu wykorzystano wszystkie niezerowe cyfry,..., 9; każdą jeden raz. Są jeszcze dwa przykłady tego typu: ([Mon] 47(3)(940) E377). 8 = 2 3, 3246759 = 39 3 oraz 25 = 5 3, 438976 = 76 3...5. Liczby:, 8, 64 i 205379 są sześcianami liczb naturalnych: = 3, 8 = 2 3, 64 = 4 3, 205379 = 59 3. Wykorzystano wszystkie cyfry 0,,..., 9; każdą jeden raz. Nie ma trzech liczb tego rodzaju. ([Mon] 47(3)(940) E377)...6. Sześciany 2437569 = 289 3 i 3246759 = 39 3 zbudowane są z tych samych cyfr. Podobnie: 42875 = 35 3, 54872 = 38 3 oraz 25 = 5 3, 52 = 8 3. ([Mon] 47(3)(940) E377)...7. Dla każdej liczby naturalnej m istnieje sześcian, którego początkowe cyfry są odpowiednio równe cyfrom liczby m. Podobny fakt zachodzi również dla dowolnych systemów numeracji. ([N-2]).

Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany 7.2 Lustrzane odbicia sześcianów Jeśli n jest liczbą naturalną, to przez n oznaczać będziemy liczbę naturalną powstałą z cyfr liczby n zapisanych w odwrotnej kolejności. Mówić będziemy w tym przypadku, że n jest lustrzanym odbiciem liczby n. Przykłady: 2345 = 5432, 4453377 = 7733544, 9200 = 29. Takie liczby n pojawiły się już w [N-2] i [N-3]. W tym podrozdziale zajmować się będziemy liczbami postaci n, gdzie n będzie sześcianem liczby naturalnej. Mówimy, że liczba naturalna n jest palindromiczna, jeśli n = n. Przykłady liczb palindromicznych: 232, 3443, 4..2.. Wszystkie palindromiczne liczby postaci n 3 dla n < 0 6. 3 =, 2 3 = 8, 7 3 = 343, 3 = 33, 0 3 = 03030, 3 = 36763, 00 3 = 00300300, 220 3 = 066252660, 000 3 = 00030003000, 00 3 = 03060706030, 0 3 = 3346433, 0000 3 = 00003000030000, 00 3 = 033394493330, 00 3 = 33333333. Pojawiła się liczba 220. Jest to jedyna znana do tej pory taka liczba naturalna, która nie jest palindromiczna i ma palindromiczny sześcian..2.2. Każdy wyraz ciągu 33, 03030, 00300300,, jest palindromicznym sześcianem. Palindromicznych sześcianów istnieje więc nieskończenie wiele..2.3. 0 3 = 03336433 33463330 = 0 3 00 3 = 0033036333 3336303300 = 00 3 000 3 = 0003300363033 3303630033000 = 000 3 000 3 = 0030330633030 0303360330300 = 000 3 00 3 = 00333369766763 36766796333300 = 00 3. Istnieją sześciany, których lustrzane odbicia są liczbami pierwszymi. Najmniejszym takim sześcianem jest liczba 5 3, której lustrzane odbicie jest liczbą pierwszą 52. Dopisując z prawej strony zera, otrzymujemy nieskończoną serię sześcianów, których lustrzane odbicia są liczbami pierwszymi: (5 3 ) = (50 3 ) = (500 3 ) = = 52. W dalszym ciągu zajmować się będziemy tylko takimi sześcianami, które nie są podzielne przez 0..2.4. W przedziale [, 00] istnieją trzy niepodzielne przez 0 liczby naturalne n takie, że lustrzane odbicie liczby n 3 jest liczbą pierwszą. Są to liczby: 5, 52, 89. W przedziale [, 000] takich liczb jest 59, a w przedziale [, 0 000] jest ich 45. (Maple).

8 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany.3 Cyfry sześcianów w różnych systemach numeracji.3.. 3 3 = 0 2, 2 3 = 22 3..3.2. 5 3 = 33 4, 7 3 = 03030 4, 65 3 = 00300300 4, 257 3 = 00030003000 4, 025 3 = 00003000030000 4, 4097 3 = 00000300000300000 4. 6 3 = 33 5, 26 3 = 03030 5, 26 3 = 00300300 5, 626 3 = 00030003000 5, 326 3 = 00003000030000 5, 5626 3 = 00000300000300000 5..3.3. 7 3 = 33 6, 37 3 = 03030 6, 27 3 = 00300300 6, 297 3 = 00030003000 6, 7777 3 = 00003000030000 6, 46657 3 = 00000300000300000 6, 2737 3 = 00000030000003000000 6..3.4. 3 3 = 33 8, 9 3 = 33 8, 65 3 = 03030 8, 73 3 = 36763 8, 53 3 = 00300300 8, 4097 3 = 00030003000 8, 46 3 = 03060706030 8, 32769 3 = 00003000030000 8, 26245 3 = 00000300000300000 8, 262657 3 = 00300600700600300 8. 2 3 = 7, 4 3 = 2 7, 8 3 = 33 7, 6 3 = 464 7, 50 3 = 03030 7, 00 3 = 3333 7, 200 3 = 2466642 7, 344 3 = 00300300 7, 688 3 = 0330330 7, 376 3 = 23633632 7, 2402 3 = 00030003000 7, 4804 3 = 0033003300 7, 9608 3 = 20363036302 7, 6808 3 = 00003000030000 7, 3366 3 = 0003300033000 7, 67232 3 = 20036300363002 7. 2 3 = 8 9, 0 3 = 33 9, 38 3 = 83238 9, 82 3 = 03030 9, 9 3 = 36763 9, 730 3 = 00300300 9, 6562 3 = 00030003000 9, 6643 3 = 03060706030 9, 59050 3 = 00003000030000 9..3.5. (2 + + 0 + ) 3 = 20 3, (2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 2) 3 = 200222 3..3.6. (2 + 0) 3 = 20 4, (3 + + 2 + 0) 3 = 320 4, ( + + + + 3) 3 = 3 4, (2 + 3 + + 2 + ) 3 = 232 4, (3 + 3 + 2 + 2 + 0) 3 = 33220 4, ( + 0 + 2) 3 = 02 5, (4 + 0 + 2 + 2) 3 = 4022 5, ( + 0 + 4 + 0 + 4) 3 = 0404 5, (2 + 3 + 4 + 0 + 3) 3 = 23403 5, (3 + 2 + 2 + 4 + 2) 3 = 32242 5.

Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany 9.3.7. (3 + 2 + + 3) 3 = 323 6, ( + 0 + 0 + 5 + 5) 3 = 0055 6, (2 + 3 + 3 + 4 + 3) 3 = 23343 6, (3 + 0 + 5 + 4 + 4) 3 = 30544 6..3.8. ( + ) 3 = 7, ( + 2 + ) 3 = 2 7, ( + 3 + 3 + ) 3 = 33 7, (2 + 0 + 6 + ) 3 = 206 7, (3 + 6 + + ) 3 = 36 7, (5 + 0 + + 6) 3 = 506 7, ( + 2 + 5 + 6 + ) 3 = 256 7, ( + 4 + 6 + 4 + ) 3 = 464 7..3.9. (3 + 3 + 0) 3 = 330 8, (4 + 2 + 2 + 5) 3 = 4225 8, (5 + 2 + 7 + 0) 3 = 5270 8..3.0. (3 + 0) 3 = 30 9, (4 + 2 + ) 3 = 42 9, (4 + 5 + 6 + 0) 3 = 4560 9, (5 + 5 + 5 + ) 3 = 555 9, ( + 7 + 6 + + 8) 3 = 768 9, (4 + 8 + 8 + 4 + 8) 3 = 48848 9..4 Sumy cyfr sześcianów Przez s(n) oznaczamy sumę cyfr liczby naturalnej n..4.. Niech n N. Istnieje sześcian liczby naturalnej, którgo suma cyfr jest równa n wtedy i tylko wtedy, gdy resztą z dzielenia liczby n przez 9 jest 0, lub 8. D. Niech n = s(a 3 ), gdzie a N. Reszta z dzielenia liczby postaci a 3 przez 9 jest równa 0, lub 8. Ponieważ s(a 3 ) a 3 (mod 9), więc n = s(a 3 ) b (mod 9), gdzie b {0,, 8. Niech n będzie dowolną liczbą podzielną przez 9. Wówczas n jest postaci s(a 3 ), gdzie a N. Mamy bowiem: a m = (0 m ) 3 = 7 00... 0 2, s(a m ) = 9 2m, dla m m m m b m = (0 m 6) 3 = 52 00... 0 767 5904, s(b m ) = 9(2m ), dla m 4. m 2 m 3 m 4 Ponadto, s(3 3 ) = s(27) = 9 = 9, s(3 9 ) = s(9683) = 27 = 9 3 oraz s(9 7 ) = s(4782969) = 45 = 9 5. Niech n będzie liczbą postaci 9k +. W tym przypadku mamy: a m = (0 m 3) 3 = 00... 0 26 73, s(a m ) = 9(2m ) +, dla m 2 m m 2 m 2 b m = (0 m 9) 3 = 73 00... 0 242 27, s(b m ) = 9(2m ), dla m 3. m 2 m 3 m 3 Ponadto, s(7 3 ) = s(343) = 0 = 9 +, s( 3 ) = s() = = 9 0 + oraz s(3 3 ) = s(297) = 9 = 9 2 +. Niech n będzie liczbą postaci 9k + 8. W tym przypadku mamy: a m = (0 m 2) 3 = 4 00... 0 2, s(a m ) = 9 2(m ) + 8, dla m 2 m m 2 m b m = (0 m 5) 3 = 85 00... 0 74 875, s(b m ) = 9(2m ) + 8, dla m 3. m 2 m 2 m 3 Ponadto, s(8 3 ) = s(52) = 8 = 9 0 + 8, s(47 3 ) = s(03823) = 7 = 9 + 8 oraz s(95 3 ) = s(857375) = 35 = 9 3 + 8.

0 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany.4.2. Jeśli n 000 i n 2 = s(n) 3, to n = lub n = 27. ([Ibe] 9)..4.3. Liczba n ma 9 cyfr. Wiadomo, że s(n) = 3. Ile może wynosić s(n 3 )? Odp. 9, 8 lub 27. ([Fom] 20/73)..4.4. Liczby n =, 8, 7, 8, 26, 27 spełniają równość Są to wszystkie tego rodzaju liczby naturalne. s(n 3 ) = n. D. Załóżmy, że liczba naturalna n spełnia równość s(n 3 ) = n. Niech k będzie liczbą cyfr liczby n. Wtedy 0 k n < 0 k oraz 0 3(k ) n 3 < 0 3k. Stąd mamy: 0 k n = s(n 3 ) 9 3k = 27k < 0 2 k, więc 0 k 3 < k i stąd k 3. Liczba n jest więc mniejsza od 000. Wystarczy zatem tylko zbadać wszystkie liczby naturalne co najwyżej 3-cyfrowe. Wśród nich tylko liczby, 8, 7, 8, 26, 27 spełniają rozpatrywaną równość..4.5. Spójrzmy na przykłady: = s(n), 3 = s(n 3 ), dla n = ; 2 = s(n), 2 3 = s(n 3 ), dla n = 2 lub n = ; 3 = s(n), 3 3 = s(n 3 ), dla n = lub n = 0; 4 = s(n), 4 3 = s(n 3 ), dla n = 0; 5 = s(n), 5 3 = s(n 3 ), dla n = 00000000000; 6 = s(n), 6 3 = s(n 3 ), dla n = 000000000000000000000000. Czy dla każdej liczby naturalnej m istnieje liczba naturalna n taka, że s(n) = m i s(n 3 ) = m 3?.4.6. Czy stnieje taka liczba naturalna n, że s(n) = 00 oraz s(n 3 ) = 00 3? ([OM] Rosja 2009, citekwant 4/200 s.57). Odpowiedzi na te pytania są pozytywne. Wynika to z następującego stwierdzenia..4.7. Dla każdej liczby naturalnej m istnieje liczba naturalna n taka, że gdzie s(n) = m oraz s(n 3 ) = m 3. D. Przypomnijmy najpierw następujący uogólniony wzór Newtona: (a + + a m ) n = i,..., i s a i... aim m, i + +i m=n i + +i m=n oznacza, że sumowanie przebiega wszystkie ciągi nieujemnych liczb całkowitych (i,..., i m ) takie, że i + + i m = n. Występujące tu współczynniki postaci i,..., i m są liczbami (naturalnymi) zdefiniowanymi jako i,..., i s = (i + i 2 + + i s )!. i!i 2!... i s!

Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany Szczegóły znajdziemy w [N] w podrozdziale o uogólniononych symbolach Newtona.. Niech teraz m będzie daną liczbą naturalną i niech n = m 0 4k = 0 4 + 0 6 + + 0 4m. k= Suma cyfr liczby n jest równa m. Podnosząc n do trzeciej potęgi, otrzymujemy: ( ) n 3 = i,..., i m 0 i4 +i 24 2 + +i m4 m. i + i m=3 Jeśli i,..., i m są nieujemnymi liczbami całkowitymi, których suma jest równa 3, to są to liczby mniejsze od 4. Każdy więc uogólniony symbol Newtona i,..., i m, występujący w równości ( ), jest jedną z cyfr, 3 lub 6. Z jednoznaczności przedstawienia liczb w systemie numeracji o podstawie 4 wynika, że potęgi dziesiątki, występujące po prawej stronie równości ( ), są parami różne. Liczba n 3 zbudowana jest więc z cyfr 0,, 3, 6. Zatem s(n 3 ) = i,..., i m = i,..., i m i i2 im = ( + + + ) 3 = m 3, i + i m=3 i + i m=3 Mamy więc: s(n) = m oraz s(n 3 ) = m 3. Rozpatrzmy ciągi postaci n, D(n), D(D(n)), D(D(D(n))),, gdzie D : N N jest funkcją przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n sumę jej cyfr podniesioną do trzeciej potęgi, tzn. D(n) = s(n) 3. Spójrzmy najpierw na kilka przykładów takich ciągów: 5, 5 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, ; 6, 6 3, 9 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, ; 22, 4 3, 0 3,,,,,, ; 49, 3 3, 9 3, 28 3, 9 3, 28 3, 9 3, 28 3, ; 59, 4 3, 7 3, 7 3, 7 3, 7 3, 7 3, 7 3, ; 8, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, ; 9, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3,. W każdym z tych ciągów pojawił się wyraz należący do zbioru { 3, 8 3, 7 3, 8 3, 9 3, 26 3, 27 3. Udowodnimy, że tak jest zawsze..4.8. Niech D : N N będzie funkcją określoną wzorem D(n) = s(n) 3, dla n N. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna k taka, że D k (n) jest jedną z liczb: 3, 8 3, 7 3, 8 3, 9 3, 26 3, 27 3. D. (). Najpierw udowodnimy, że jeśli m 7 jest liczbą naturalną, to (9m) 3 < 0 m. Zrobimy to metodą indukcji matematycznej ze względu na m. Dla m = 7 mamy: (9m) 3 = 250047 < 0 6 = 0 m. Niech m 7 i niech (9m) 3 < 0 m. Wtedy ( ) ( 9(m + ) 3 9 3 (m + m ) 3 = 9 3 7 ( ) 3 8 m 3 < 52 7 343 0m < 0 0 m = 0 m,

2 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany a zatem, (9(m + )) 3 < 0 (m+) i to kończy nasz indukcyjny dowód. (2). Teraz wykżemy, że jeśli n 0 6, to D(n) < n. Załóżmy, że n 0 6 i niech m będzie liczbą cyfr liczby n. Wtedy m 7 oraz 0 m n. Korzystamy z nierówności udowodnionej w punkcie () i mamy: D(n) = s(n) 3 (9m) 3 < 0 m n, a więc D(n) < n. (3). Teraz wystarczy zbadać tylko te wszystkie liczby naturalne n, które są mniejsze od 0 6. W tym celu wystarczy tylko zbadać wszystkie sześciany mniejsze od 0 6, czyli liczby 3, 2 3,..., 3. Sprawdzamy to na przykład za pomocą komputera. W każdym przypadku widzimy, że zachodzi rozważana teza..5 Końcowe cyfry sześcianów ).5.. Niech (c p, c p,..., c, c 0 (gdzie p 0) będzie ciągiem cyfr układu dziesiętnego, przy czym nwd(c 0, 0) =. Istnieje wtedy liczba naturalna n taka, że końcowymi cyframi liczby n 3 są odpowiednio cyfry c p, c p,..., c 0. ([OM] Ukraina 8). D. Indukcja ze względu na p 0. Dla p = 0 jest to oczywiste, gdyż 3 =, 7 3 = 243, 3 3 = 27 oraz 9 3 = 729. Niech p > 0 i załóżmy, że (c p,..., c, c 0 ) jest danym ciągiem cyfr takim, że nwd(c 0, 0) =. Na mocy indukcji istnieje liczba naturalna m taka, że końcowe cyfry liczby m 3 tworzą ciąg (c p, c p 2,..., c, c 0 ). Niech a będzie cyfrą liczby m 3 stojącą na p-tym (licząc od końca) miejscu, tzn. m 3 =... ac p c p 2... c c 0. Niech b {0,,..., 9 będzie taką cyfrą, że a + b c p (mod 0). Ponieważ ostatnią cyfrą liczby m jest, 3, 7 lub 9, więc ostatnią cyfrą liczby 3m 2 jest 3 lub 7. Istnieje zatem liczba k {0,, 2,..., 9 taka, że ostatnią cyfrą liczby 3m 2 k jest b. (Mamy bowiem, modulo 0, następujące równości: 0 3 = 0, 3 = 3, 2 3 = 6, 3 3 = 9, 4 3 = 2, 5 3 = 5, 6 3 = 8, 7 3 =, 8 3 = 4, 9 3 = 7 oraz 0 7 = 0, 7 = 7, 2 7 = 4, 3 7 =, 4 7 = 8, 5 7 = 5, 6 7 = 2, 7 7 = 9, 8 7 = 6, 9 7 = 3.) Niech n = m+0 p k. Wtedy n 3 = m 3 +3m 2 k 0 p +3mk 2 0 2p +k 3 0 3p i jest oczywiste, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą ciąg (c p, c p,..., c, c 0 )..5.2. Znaleźć liczbę naturalną n taką, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 87. Odp. n = 436943, n 3 = 83404267424087. ([OM] Ukraina 8)..5.3. Przykłady liczb naturalnych n takich, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą daną liczbę m. m n n 3 7 43 28257 87 436943 83404267424087 987 5527436943 68877345564637488967987 9 39 6395209 99 26639 890609653399 89 7539 43887202288252089 9 9 700000029 23455432 53298784 54039272027257023455432 23456789 464658829 0032347823658697823456789 234567898765432 80608557875784... 60234567898765432 98765432 875784 6695557808362798765432 20022003 7680587 368302493763542720022003 (Maple i dowód.5.).

Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany 3.5.4. Jeśli liczba naturalna n ma w zapisie dziesiętnym na końcu s dziewiątek, to liczba n 3 ma na końcu co najmniej s dziewiątek..5.5. Jeśli ostatnią cyfrą liczby n 3 jest 5, to przedostatnią cyfrą tej liczby jest 2 lub 7..5.6. () Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 25, to trzy ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę 25 lub 625. (2) Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 75, to trzy ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę 375 lub 875. (3) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 25 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k + 5. (4) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 375 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k + 5. (5) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 625 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k + 25. (6) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 875 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k + 35..5.7. Liczba n 3 nie może mieć w zapisie dziesiętnym końcówki 4375, To samo z końcówkami: 4375, 0625 oraz 875..6 Własności sześcianów.6.. Każda liczba postaci n 3 jest sumą n kolejnych liczb nieparzystych. ([WyKM] 56-52). D. 2 3 = 3 + 5, 3 3 = 7 + 9 +, 4 3 = 3 + 5 + 7 + 9,. Niech a = n(n ). Wtedy (a + ) + (a + 3) + + (a + 2n ) = n 3..6.2. Z równości ( ) n(n + ) 2 ( n(n ) n 3 = 2 2 wynika, że każdy sześcian liczby naturalnej jest różnicą dwóch liczb kwadratowych. ([S50] 50)..6.3. W ciągu kolejnych liczb naturalnych, 2, 3... wykreślamy co trzecią liczbę. W nowym ciągu, 2, 4, 5, 7, 8,... każdy wyraz zastępujemy sumą tego wyrazu i wszystkich poprzedzających go wyrazów. W nowym ciągu, 3, 7, 2, 9, 27, 37, 48, 6,... wykreślamy co drugi wyraz i następnie każdy wyraz nowego ciągu zastępujemy sumą tego wyrazu i wszystkich go poprzedzających. Otrzymany w ten sposób ciąg jest ciągiem wszystkich kolejnych sześcianów liczb naturalnych. ([Mat] -2/955 78). ) 2.6.4. Jeśli liczby x, y i x2 + y 2 + 6 xy całkowitej. ([OM] Estonia 6, [Pa97]). są całkowite, to x2 + y 2 + 6 xy jest sześcianem liczby.6.5. Niech a, b, c Z. Jeśli nwd(a, c) = i bc(a 2 b 2 ) = a(c 2 b 4 ), to a jest sześcianem. ([MG] 88(5)(2004) s.66).

4 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany.6.6. Jeśli x, y, z, a, b, c są niezerowymi liczbami takimi, że x + y + z = a + b + c = 0, to a 3 + b 3 + c 3 x 3 + y 3 + z 3 = abc xyz. ([Dlt] 4/9)..6.7. Niech a N i niech x n = n 3 + a dla n N. Wtedy: ) () nwd (x n, x n+, x n+2 = dla n N; (2) jeśli a jest sześcianem, to istnieje n takie, że nwd(x n, x n+ ) > ; (3) nie istnieje takie a, że nwd(x n, x n+ ) = dla każdego n N; (4) jeśli p jest liczbą pierwszą dzielącą nwd(x n, x n+ ) dla pewnego n, to p 27a 2 +. ([Kw] 5/9 M680)..7 Istnienie lub nieistnienie pewnych sześcianów.7.. Dla każdej liczby naturalnej n > 32 pomiędzy liczbami n i 2n istnieje co najmniej jeden sześcian liczby naturalnej. ([Mat] 5/952 55, [S64] 67, [S68] 02). D. Zauważmy najpierw, że jeśli k 4, to (k+) 3 < 2k 3. Istotnie: 2k 3 (k+) 3 = k 3 3k 2 3k > k 3 3k 2 4k = k(k 4)(k + ) 0. Jeśli 33 n < 64, to n < 4 3 < 2n. Niech teraz n 64 i niech k będzie największą liczbą naturalną taką, że k 3 n. Wtedy (k + ) 3 > n oraz k 4. Mamy zatem: n < (k + ) 3 < 2k 3 2n..7.2. Dla każdej liczby naturalnej n > 9 pomiędzy liczbami n i 3n istnieje co najmniej jeden sześcian liczby naturalnej. ([AndG] 63)..7.3. Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych a, b takich, że liczby a b i a 2 + 3b 2 + są sześcianami liczb całkowitych. ([OM] St Petersburg 7)..7.4. Istnieje nieskończenie wiele sześcianów postaci 7 n + 7 m, gdzie n i m są różnymi liczbami naturalnymi. Każda bowiem liczba jest sześcianem równym (2 7 s ) 3. 7 +3s + 7 3s.7.5. Istnieje nieskończenie wiele sześcianów postaci 26 n + 26 m, gdzie n i m są różnymi liczbami naturalnymi. Każda bowiem liczba jest sześcianem równym (3 26 s ) 3. 26 +3s + 26 3s.7.6. Jeśli w nieskończonym postępie arytmetycznym o wyrazach naturalnych istnieje sześcian liczby naturalnej, to takich sześcianów w tym postępie istnieje nieskończenie wiele.

Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany 5.7.7. Nie ma trzech różnych sześcianów liczb naturalnych tworzących postęp arytmetyczny. ([S59] 30)..7.8 (Maple). Przykłady trójek (a, b, c), liczb naturalnych takich, że a < b < c i wszystkie liczby ab + c, bc + a, ca + b, są sześcianami. (, 2, 62), (, 2, 95), (, 27, 37), (, 37, 475), (2, 5, 34), (2, 7, 30), (3, 0, 34), (5, 29, 367), (8, 27, 296), (8, 37, 26), (9, 20, 36), (0, 5, 66), (2, 9, 5), (2, 39, 44)..8 Różnice dwóch sześcianów.8.. 72 = 6 3 5 3 = 9 3 2 3, 728 = 2 3 0 3 = 9 3 3. ([Mat] 3/984 80)..8.2. Liczba 72 jest najmniejszą liczbą naturalną mającą dwa różne rozkłady na różnicę dwóch sześcianów liczb naturalnych. ([Mat] 3/984 80)..8.3. 3367 = 5 3 2 3 = 6 3 9 3 = 34 3 33 3. ([Mat] 3/984 80)..8.4. 72 3 35 3 = 44 3 7 3 = 38 3 ( ) 3. ([Dlt] 4/200 6-7)..8.5. Niech x Z. Jeśli (x + ) 3 x 3 = n 2 dla pewnego naturalnego n, to n = a 2 + (a + ) 2 dla pewnego a Z. Przykład: 8 3 7 3 = 3 2, 3 = 2 2 + 3 2. ([IMO] Longlist 97). A. Górski, Trzy równe różnice dwóch sześcianów, [Dlt] 4/200 6-7..9 Odwrotności sześcianów Odwrotnościami sześcianów zajmowaliśmy sią już w pierwszej książce serii Podróże po Imperium Liczb [N-] (lub [N-a]). W tym podrozdziale przypominamy tylko pewne zagadnienia pochodzące z tej książki..9.. Równanie x 3 + y 3 = nie ma rozwiązań naturalnych. z3 D. Przypuśćmy, że takie naturalne rozwiązanie (x, y, z) istnieje. Wtedy po pomnożeniu stronami przez (xyz) 3 otrzymujemy równość (yz) 3 + (xz) 3 = (xy) 3. Dobrze wiadomo jednak, że równanie x 3 + y 3 = z 3 nie ma rozwiązań naturalnych.

6 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany.9.2. 2 3 + 2 3 = 2 2, 65 3 + 260 3 = 520 2, (4 3 6) 3 + (9 3 6) 3 = (8 27 3 6) 2..9.3. Równanie x 3 + y 3 = ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. z2.9.4. Jeśli x, y, z są liczbami naturalnymi takimi, że x 3 + y 3 =, to nwd(x, y) 2. z2.9.5. 9 3 + 2 3 + 72 3 =. Zauważmy, że nwd(9, 2, 72) = 3 oraz 3 8. Inne przykłady 83 tego typu: () 95 3 + 7 3 + 570 3 =, nwd(95, 7, 570) = 9 oraz 9 90. 903 (2) 40 3 + 70 3 + 340 3 =, nwd(40, 70, 340) = 0 oraz 0 9. 93 (3) 20 3 + 252 3 + 266 3 =, nwd(20, 252, 266) = 2 oraz 2 7. (Maple). 73.9.6. Równanie x 3 + y 3 + z 3 = ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. t3 D. Z poprzednich przykładów wynika, że co najmniej jedno rozwiązanie naturalne (x, y, z, t) istnieje. Każda więc czwórka postaci (ax, ay, az, at), gdzie a N, też jest rozwiązaniem naturalnym rozpatrywanego równania..9.7. 2 3 + 5 3 + 20 3 = 0 3. Równość tę otrzymujemy dzieląc obie strony znanej równości 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 przez 60 3. Istnieje więc rozwiązanie naturalne równania x 3 + y 3 + z 3 = t 3 takie, że nwd(x, y, z) =. Czy istnieje inne tego typu rozwiązanie naturalne? Nie znam odpowiedzi na to pytanie. (5.02.2008)..9.8. Dla każdej liczby naturalnej s 3 równanie x 3 0 = x 3 + + x 3 s ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. ([S64] 5)..9.9. 3 + 2 3 + + n 3 < 5. ([IMO] Longlist 969, [OM] Grecja 2005). 4.9.0..9.. 3 3 + 4 3 + + n 3 <. ([OM] Irlandia 0). 2 ( ) ( 2 3 ) ( 3 3 ) 4 3 ( ) n 3 >. ([IMO] Longlist 97). 2

Sześciany, bikwadraty.... Sześciany 7.0 Różne fakty i zadania z sześcianami.0.. Cztery różne przedstawienia liczby 025 w postaci x 2 + y 3 : 025 = 32 2 + 3 = 3 2 + 4 3 = 30 2 + 5 3 = 5 2 + 0 3. ([MG] 529(200) 67)..0.2 (Maple). Cztery różne rozkłady postaci x 2 + y 3. 65537 = 256 2 + 3 = 255 2 + 8 3 = 29 2 + 26 3 = 22 2 + 37 3, 05633 = 325 2 + 2 3 = 303 2 + 24 3 = 264 2 + 33 3 = 43 2 + 44 3, 8385 = 428 2 + 3 = 293 2 + 46 3 = 256 2 + 49 3 = 87 2 + 56 3, 2730625 = 3568 2 + 3 = 3425 2 + 00 3 = 3397 2 + 06 3 = 275 2 + 200 3..0.3. 6257025 = 4032 2 + 3 = 3430 2 +65 3 = 2645 2 +20 3 = 254 2 +24 3 = 795 2 +250 3 ; pięć różnych rozkładów postaci x 2 + y 3. (Maple)..0.4. 28344977 = 5324 2 + 3 = 5323 2 +22 3 = 530 2 +53 3 = 4765 2 +78 3 = 40 2 +226 3 = 3372 2 + 257 3 ; sześć różnych rozkładów postaci x 2 + y 3. (Maple)..0.5. Jeśli f(x) = 3x 2 3x +, to liczby są sześcianami. (L. Kurlandczyk 9). f( ), f(0), f(), f(2).0.6. Znaleźć wszystkie pary (a, b) liczb naturalnych, dla których liczby a 3 + 6ab +, b 3 + 6ab + są sześcianami. Odp. (a, b) = (, ). ([OM] Polska 9/2000)..0.7. Dla dowolnej liczby rzeczywistej r > 0 istnieją liczby naturalne a i b takie, że b 3 < a 2 < b 3 + rb. ([IMO] Shortlist 9, [Zw] 200). Agnieszka Bajak, Wykresy płaskich krzywych algebraicznych trzeciego i czwartego stopnia, [Pmgr] 9.

8 Sześciany, bikwadraty.... Sześciany Literatura [AndG] T. Andreescu, R. Gelca, Mathematical Olympiad Challenges, Birkhäuser, Boston - Basel - Berlin, 2004. [Bedn] W. Bednarek, Zbiór Zadań dla Uczniów Lubiących Matematykę, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk, 5. [Djmp] D. Djukić, V. Janković, I. Matić, N. Petrović, The IMO Compendium. A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads: 959-2004, Problem Books in Mathematics, Springer, 2006. [Dlt] Delta, popularny polski miesięcznik matematyczno-fizyczno-astronomiczny. [Fom] D. V. Fomin, Sankt-Petersburskie Olimpiady Matematyczne (po rosyjsku), Politechnika, Sankt- Petersburg, 4. [Ibe] Iberoamerican Mathematical Olympiad. [IMO] Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna. [Je88] S. Jeleński, Śladami Pitagorasa, wydanie 8, PSiP, Warszawa, 988. [Kw] Kwant, popularne czasopismo rosyjskie. [MaS] Matematyka w Szkole, popularne czasopismo rosyjskie. [Mat] [MG] Matematyka, polskie czasopismo dla nauczycieli. The Mathematical Gazette, angielskie popularne czasopismo matematyczne. [Mon] The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America. [N-] A. Nowicki, Liczby Wymierne, Podróże po Imperium Liczb, cz., Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie pierwsze 2008; Wydanie drugie 202. [N-a] A. Nowicki, Liczby Wymierne, Podróże po Imperium Liczb, cz.. Wydanie drugie. Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, 202. [N-2] [N-3] [N] [OM] A. Nowicki, Cyfry Liczb Naturalnych, Podróże po Imperium Liczb, cz.2, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie pierwsze 2008; Wydanie drugie 202. A. Nowicki, Liczby Kwadratowe, Podróże po Imperium Liczb, cz.3, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie pierwsze 2009; Wydanie drugie 202. A. Nowicki, Silnie i Symbole Newtona, Podróże po Imperium Liczb, cz., Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, 20. Olimpiada Matematyczna. [Pa97] H. Pawłowski, Zadania z Olimpiad Matematycznych z Całego Świata, Tutor, Toruń, 7. [Pmgr] Praca magisterska, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu, Wydział Matematyki i Informatyki. [S50] W. Sierpiński, Teoria Liczb, Warszawa - Wrocław, 950. [S59] W. Sierpiński, Teoria Liczb II, PWN, Warszawa, 959. [S64] [S68] W. Sierpiński, 200 Zadań z Elementarnej Teorii Liczb, Biblioteczka Matematyczna 7, PZWS, Warszawa, 964. W. Sierpiński, Arytmetyka Teoretyczna, (wydanie 4), Biblioteka Matematyczna 7, PWN, Warszawa, 968. [WyKM] W. A. Wyszenskij, I. W. Kartaszow, W. I. Michaiłowskij, M. I. Jadrenko, Zbiór Zadań Kijowskich Olimpiad Matematycznych (po rosyjsku), 935-983, Kijów, 984. [Zw] Zwardoń, Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej.