Lekcja Strona z Wykresy Wykresy tworzymy:. Z menu Insert Graph i następnie wybieramy rodzaj wykresu jaki chcemy utworzyć;. Z menu paska narzędziowego "Graph Toolbar" wybierając przycisk z odpowiednim wykresem; 3. Skrótem klawiszowym: - wykres XY (X,Y Plot) - {shift}+, - wykres biegunowy (Polar Plot) - {ctrl}+7, - wykres 3D powierzchniowy (Surface Plot) - {ctrl}+, - wykres 3D warstwicowy (Contour Plot) - {ctrl}+5, - wykres 3D punktowy (3D Scater Plot). Wykresy X - Y Po wybraniu tego wykresu MathCad tworzy pusty wykres z sześcioma znacznikami, po trzy na osi OX i OY.. Znacznik pośrodku osi odciętych służy do wprowadzenia nazwy zmiennej definiującej przedział zmian na osi OX. Zmienna ta może być zmienną iteracyjną lub zmienną indeksowaną.. Znacznik pośrodku osi rzędnych ma zawierać wykreślane wyrażenie. Może to być zmienna iteracyjna lub indeksowana, lub wyrażenie albo funkcja od nich zależna. 3. Skrajne znaczniki na osi poziomej i pionowej służą do określenia zakresu zmian dla dziedziny funkcji i jej wartości. MathCad domyślnie przyjmuje pełny przedział zmian, tak aby wykres w całości mieścił się na rysunku. Wartości domyślne zmienić można modyfikując liczby wpisane na granicach zakresów osi OX oraz OY. Rysując wykres, MathCad zaznacza po jednym punkcie dla każdej wartości zmiennej z przedziału na osi OX oraz OY. Punkty są łączone liniami prostymi. Zmienne używane do opisu osi OX i OY muszą być wcześniej zdefiniowane. Aby zmienić rodzaj linii (Line) łączącej punkty wykresu, oraz symbol (Symbol) używany do rysowania punktów, należy dwukrotnie kliknąć lewym lub przyciskiem myszy na rysunku. Ustawień dokonuje się w otwartym oknie formatowania. Wykres wektora Dane z osi OX oraz OY są w postaci zbioru punktów zapisanych w wektorach.. Wykreślane wektory muszą posiadać tę samą liczbę elementów.. Jeżeli stosujemy zmienne indeksowane, to indeksy muszą być identyczne na osi OX i OY. 4 3 := y 9 := y = 4 6 5 5 6 36 4 y Dane do wykresów zapisane są w wektorach i y. Powinny mieć one taką samą liczbę współrzędnych. 4 6.9.8
Lekcja Strona z := 5 i:=.. 5 i.5 + i := Zmienna przyjmuje wartości z przedziału [.5,5.5] z krokiem 5/. ep i y i := i Dla każdej wartości [i] obliczamy wartość wykreślanego wyrażenia y[i]. y 5 Modyfikując zmieniamy jakość uzyskanego rysunku 4 6 Wykres funkcji Aby go utworzyć należy:. Zdefiniować przedział zmian dla zmiennej umieszczonej na osi OX.. a środkowym znaczniku osi OX wpisać nazwę odpowiedniej zmiennej. 3. a środkowym znaczniku osi OY wpisać wykreślane wyrażenie lub funkcję. 4. acisnąć F9, lub kliknąć poza obszarem wykresu, aby ujrzeć wykres. :=, 9.9.. Zmienna przyjmuje wartości z przedziału [-,] z krokiem. 5 + 5 5 Zamiast wpisywać wykreślane wyrażenie na wykresie, można wcześniej zdefiniować wykreślaną funkcję i w miejsce znacznika na osi OY wpisać nazwę funkcji. f () + := Wykreślana funkcja 5 f 5 5.9.8
Lekcja Strona 3 z a osiach wpisywać możemy zarówno nazwy zmiennych bez indeksów jak też z indeksami. W tym drugim przypadku musimy pamiętać, aby indeksy na obu osiach były identyczne. Krzywa Lissajous := j :=.. j j j := sin π y := cos6 π j y j Modyfikując zmieniamy jakość uzyskanego rysunku j Wykres z zastosowaniem obliczeń iteracyjnych Kardioida := i:=.. π =.34 Θ i := π i Ten zapis oznacza, że zmienna Θ przyjmuje wartości z przedziału [,*π] z założonym krokiem π/. r i := cos Θ i + i := r i cos Θ i y i := r i sin Θ i y Zmieniając wielkość proszę sprawdzić jak wpływa to na precyzję wykonania rysunku. UWAGA MathCad "pamięta" wcześniejsze definicje. Proszę zmienić na i sprawdzić co wyjdzie!.9.8
Lekcja Strona 4 z a osi OX używać możemy zarówno zmiennej iteracyjnej lub indeksowanej, jak też funkcji zależnej od takiej zmiennej Wykres Kardioidy z zastosowaniem funkcji := Θ := π,.. π Zmienna Θ przyjmuje wartości z przedziału [,π] z krokiem π/. cos( Θ) + r Θ := Θ r( Θ) cos ( Θ ) := y Θ := r( Θ) sin ( Θ ) y( Θ) a osiach OX i OY mamy funkcje zależne od zmiennej iteracyjnej Θ. Θ Wykresy większej ilości funkcji/wyrażeń Wykreślanie większej ilości funkcji na jednym wykresie: - definiujemy wszystkie potrzebne funkcje; - wprowadzamy wykres z Insert Graph; - po wprowadzeniu pierwszego wyrażenia w miejsce znacznika, obejmujemy je polem wyboru i naciskamy przecinek; - w miejsce powstałego nowego znacznika wpisujemy kolejne wyrażenie. Wszystkie wykreślane funkcje zależą od tego samego argumentu := 8 j :=.. j := π 4 π + j y j := j sin j y j.5 j.5 j W tym przypadku na osi OX wystarczy wpisać tylko ten jeden argument. j.9.8
Lekcja Strona 5 z Wykreślane funkcje mają różne argumenty := 8 j :=.. 8 t := 5, 4.9.. 5 π j := 4 π + j y j := j sin( j ) ft :=. t + 3 4 y j ft () ft () 4 j, t, t MathCad zestawia wyrażenia w pary: Pierwsze wyrażenie na osi OX zestawia z pierwszym wyrażeniem na osi OY, drugie z drugim, itd. Wyrażenia w parach powinny używać tych samych indeksów i przedziałów zmiennej. Pomiędzy parami mogą wystąpić różnice. Formatowanie wykresów Aby zmienić wygląd wykresu klikamy prawym przyciskiem myszy na formatowanym wykresie: - Zoom pozwala wybrać fragment wykresu i powiększyć go; - Trace pozwala na odczytanie współrzędnych rysowanych punktów; - Format pozwala zmieniać wygląd wykresu, opisywać osie i wykres. :=,... f sin := f.5 Korzystając z funkcji Zoom powiększyć początkowy fragment wykresu.5.5.9.8
Lekcja Strona 6 z Wykresy 3D Wykreślanie funkcji dwóch zmiennych wymaga zastosowania wykresów 3D powierzchniowych lub warstwicowych. W tym przypadku nie operuje się przedziałami dla zmiennych i funkcji, a macierzami wartości. Po wprowadzeniu wykresu z menu Insert Graph Surface Plot ukazuje się obszar wykresu z znacznikiem, w którego miejsce należy wpisać nazwę macierzy zawierającą wartości rysowanej funkcji dwóch zmiennych. Po wciśnięciu klawisza F9 lub kliknięciu poza obszarem wykresu, ukaże się wykres. Każdy element macierzy reprezentowany jest jako punkt położony na określonej wysokości w stosunku do siatki. Wysokość ta jest proporcjonalna do wartości tego elementu macierzy. Skala na osiach OX oraz OY dobierana jest arbitralnie. Standardowo pierwszy wiersz macierzy rozciąga się w prawo od tylnego, lewego rogu siatki, natomiast pierwsza kolumna rozciąga się od tylnego lewego rogu siatki w kierunku oglądającego. Wykresy powierzchniowe - trójwymiarowe wykresy powierzchni Chcąc uzyskać wykres powierzchniowy należy:. Zdefiniować funkcję dwóch zmiennych, której wykres chcemy uzyskać.. Zdefiniować przedziały zmian dla zmiennych oraz liczbę wykreślanych punktów na osiach OX i OY. 3. Zdefiniować zmienne jako równomiernie rozłożone punkty na osiach OX i OY. 4. Wypełnić macierz wartościami wykreślanej funkcji w zadanych punktach siatki. 5. Wprowadzić wykres powierzchniowy. 6. W miejsce znacznika wpisać nazwę macierzy zawierającą wartości funkcji. := i:=.. j :=.. Liczba wykreślanych punktów i.5 +.5 i := y j :=.5 +.5 j Siatki punktów na osiach OX i OY fy (, ) sin + y := Wykreślana funkcja M i, j f i, y j := Macierz zawierająca punkty, które chcemy umieścić na wykresie. Klikając na rysunku otwieramy menu pozwalające modyfikować jego wygląd. Zmieniać można przezroczystość, kolor, skalę szarości. Wykonywać można obroty (Rotation), przechylać (Tilt). Można również zmienić sposób prezentacji z powierzchniowego wykresu na warstwicowy..9.8
Lekcja Strona 7 z Wykresy parametryczny MathCad pozwala na tworzenie parametrycznych wykresów powierzchniowych. W tym przypadku w miejsce znacznika pod obszarem wykresu wpisuje się nazwy trzech macierzy oddzielone przecinkami i zawierających współrzędne punktów wykresu na osiach OX, OY i OZ. Macierze te zapisywane są w nawiasie. TORUS := m:=.. n:=.. m n φ m := π θ n π r := 3 Liczba wykreślanych punktów wzdłuż osi OX i OY := Siatki punktów na osiach OX i OY Promień wewnętrzny φ oraz θ przyjmują wartości z przedziału od do π R := 6 Promień zewnętrzny Wykreślana funkcja ( ) cos( φ m ) ( ) sin( φ m ) X mn, := R + r cos θ n Y mn, := R + r cos θ n Z mn, := r sin θ n Macierze X, Y oraz Z zawierają punkty współrzędnych wzdłuż wszystkich trzech osi OX, OY i OZ, odpowiednio..9.8
Lekcja Strona 8 z Wykresy warstwicowe Wykresy warstwicowe tworzy się dokładnie tak samo jak powierzchniowe, z tym, że zamiast wykresu powierzchniowego (Surface Plot) wprowadzamy wykres warstwicowy (Contour Plot). := i:=.. j :=.. Liczba punktów na wykresie w i := i yw j j Wykreślana funkcja := Siatki punktów na osiach OX i OY ( 9 ) +( 9y ) ( 9 + ) 9y + fy (, ) 4 49 :=.75 e +.75 e. ep ( 9 4) ( 9 7) +( 9y 3) +.5 e 4 ( 9y 7)... Kontynuację pisanego wyrażenia w nowym wierszu uzyskuje się kombinacją klawiszy {ctrl}+{enter} M i, j := fw i, yw j Macierz zawierająca punkty, które chcemy umieścić na wykresie..9.8
Lekcja Strona 9 z Wykres 3D punktowy a wykresach 3D możemy przedstawiać obok powierzchni przestrzenny przebieg pojedynczych krzywych. Wykres taki wprowadzamy z menu Insert Graph - 3D Scater Plot. W miejsce znacznika pod wykresem należy wpisać trzy wektory opisujące kolejno współrzędne wykreślanej przestrzennie krzywej wzdłuż osi OX, OY i OZ. Ru ():= u Su ():= u Tu := cos() u := 3 i:=.. Ru ( i ) u i := 5 + rr i := ss i := S u i tt i := Tu i i Wykreślana funkcja zdefiniowana parametrycznie Wektory zawierające współrzędne wzdłuż osi OX, OY i OZ, odpowiednio..9.8
Lekcja Strona z Problemy do samodzielnego rozwiązania. Wykreślić funkcję daną w postaci parametrycznej: (t)=sin(at), y(t)=sin(bt), gdzie a i b są parametrami. Zmieniając wartości parametrów a i b sprawdzić jak wpłynie to na postać funkcji.. Wykonać wykres koła danego równaniami (t)=o+rcos(t), y(t)=yo+rsin(t), gdzie o i yo są współrzędnymi środka koła, a r promieniem. Zmieniając promień wyrysować kilka koncentrycznych kół. Zmieniając położenie środka koła wyrysować kilka kół przesuniętych względem siebie. 3. Wykonać wykres asteroidy danej równaniami (t)=a*cos(t)^3, y(t)=a*sin(t)^3 dla różnych wartości parametru a. 4. Wykonać wykres cykloidy danej równaniami (t)=a*(t-sin(t)), y(t)=a*(-cos(t)) dla różnych wartości parametru a. 5. Wykonać wykres spirali Archimedesa: r(θ)=a*θ, (Θ)=r(Θ)*cos(Θ), y(θ)=r(θ)*sin(θ), dla różnych wartości parametru a. 6. Wykonać wykres spirali logarytmicznej r(θ)=a*cos(θ)+b, (Q)=r(Q)*cos(Q), y(q)=r(q)*sin(q), dla różnych wartości parametrów a i m. 7. Wykonać wykres ślimaka r(θ)=a+b*cos(θ), (Θ)=r(Θ)*cos(Θ), y(θ)=r(θ)*sin(θ), dla różnych wartości parametrów a i b. 8. Wykonać wykres Lemniskaty r^(θ)=*a^*cos(θ), (Θ)=r(Θ)*cos(Θ), y(θ)=r(θ)*sin(θ), dla różnych wartości parametru a. 9. Wykonać wykres funkcji f()=^- dla z przedziału [-,].. Wykonać wykres funkcji f()={^- dla ^-> i w przeciwnym razie} dla z przedziału [-,].. Wykonać wykres funkcji f()={^- dla > i -^ dla <=}. należy do przedziału [-,].. Wykonać wykres funkcji y() t t t d + 3. Przedstawić na wykresie przebieg funkcji y() krokiem.. 4. Przedstawić na wykresie przebieg funkcji f() := dla z przedziału [-5,5]. d sin() t dt + d cos() 5. Przedstawić na wykresie przebieg funkcji f 6. Przedstawić na wykresie przebieg funkcji f()=^3+^-+5. := dla z przedziały [-π,π] z := 3. 3 ():= 5 4 4 55 3 + + 5544 + 584. 7. Przedstawić na wykresie przebieg funcji y od danej w postaci uwikłanej + y y y+ + 3 5 y =..9.8
Lekcja Strona z Wykonać wykresy powierzchniowe i warstwicowe następujących funkcji:. f(,y)=sin(^)+cos(y^) dla z przedziału [-.5,.5] oraz y z przedziału [-.5,.5].. f(,y)=sin()^+cos(y)^ dla z przedziału [-.5,.5] oraz y z przedziału [-.5,.5]. 3. f(,y)=sin()*cos(y) dla i y z przedziału [-,]. 4. f(,y)=ep(-^-y^) dla i y z przedziału [-,]. 5. Rysunek sfery danej parametrycznie (f,t)=sin(f)*cos(t), y(f,t)=sin(t)*cos(t), z(f,t)=cos(f), dla f i t przyjmujących wartości z przedziału [,π]. 6. f(,y)=sin()+cos(y). 7. X(u,v)=v, Y(u,v)=v*cos(u), Z(u,v)=sin(u). 8. P()=cos(), R()=sin(), S()=cos()+sin(). 9. G(,y)=sqroot(+(/5-/5)^+(/5-y/5)^).. f(,y)=cos(+sin(y)) dla i y z przedziału [,π]..9.8