Nazwa modułu: Analiza matematyczna 2 Rok akademicki: 2014/2015 Kod: EME-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Mikroelektronika w technice i medycynie Specjalność: - Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: - Język wykładowy: Polski Profil kształcenia: Ogólnoakademicki (A) Semestr: 2 Strona www: Osoba odpowiedzialna: dr Matsiuk Lesia (mlesya31@gmail.com) Osoby prowadzące: Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Powiązania z EKK Sposób weryfikacji efektów kształcenia (forma zaliczeń) Wiedza M_W001 Zna pojęcia granicy, ciągłości funkcji wielu zmiennych, wymienia warunki konieczne i wystarczające różniczkowalności funkcji wielu zmiennych oraz warunki konieczne i wystarczające istnienia ekstremum lokalnego i warunkowego funkcji wielu zmiennych. M_W002 Zna definicje i zastosowania całek podwójnych, potrójnych, krzywoliniowych i powierzchniowych. M_W003 Potrafi opisać metody rozwiązywania podstawowych typów równań różniczkowych i układów równań różniczkowych. Umiejętności M_U001 Potrafi zbadać ciągłość, wyznaczyć granicę, różniczkę oraz ekstrema lokalne i warunkowe funkcji wielu zmiennych. M_U002 Potrafi znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej. 1 / 5
M_U003 Potrafi obliczać całki podwójne, potrójne, krzywoliniowe i powierzchniowe oraz stosować powyższe całki do opisu zagadnień fizycznych i geometrycznych. M_U004 Potrafi znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych, jednorodnego, zupełnego. M_U005 Potrafi zastosować transformatę Laplace a do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych zwyczajnych. Kompetencje społeczne M_K001 Student rozumie potrzebę i zna możliwości ciągłego dokształcania się w zakresie kompetencji matematycznych potrzebnych inżynierowi. ME1A_K01 Aktywność na zajęciach Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Forma zajęć Wykład audytoryjne laboratoryjne projektowe Konwersatori um seminaryjne praktyczne terenowe warsztatowe Inne E-learning Wiedza M_W001 M_W002 M_W003 Umiejętności M_U001 M_U002 Zna pojęcia granicy, ciągłości funkcji wielu zmiennych, wymienia warunki konieczne i wystarczające różniczkowalności funkcji wielu zmiennych oraz warunki konieczne i wystarczające istnienia ekstremum lokalnego i warunkowego funkcji wielu zmiennych. Zna definicje i zastosowania całek podwójnych, potrójnych, krzywoliniowych i powierzchniowych. Potrafi opisać metody rozwiązywania podstawowych typów równań różniczkowych i układów równań różniczkowych. Potrafi zbadać ciągłość, wyznaczyć granicę, różniczkę oraz ekstrema lokalne i warunkowe funkcji wielu zmiennych. Potrafi znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej. 2 / 5
M_U003 M_U004 M_U005 Potrafi obliczać całki podwójne, potrójne, krzywoliniowe i powierzchniowe oraz stosować powyższe całki do opisu zagadnień fizycznych i geometrycznych. Potrafi znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych, jednorodnego, zupełnego. Potrafi zastosować transformatę Laplace a do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych zwyczajnych. Kompetencje społeczne M_K001 Student rozumie potrzebę i zna możliwości ciągłego dokształcania się w zakresie kompetencji matematycznych potrzebnych inżynierowi. Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć) Wykład Metryki Definicja metryki. Zbieżność ciągu w przestrzeni metrycznej. Ciąg Cauchy ego. Przestrzeń zupełna i Banacha. Funkcje wielu zmiennych Przykłady funkcji wielu zmiennych. Otoczenie i sąsiedztwo punktu w R^n. Zbiory otwarte, domknięte, ograniczone, zwarte i spójne w R^n. Granica ciągu punktów w R^n. Granica funkcji wielu zmiennych. Granice iterowane. Definicja ciągłości funkcji wielu zmiennych. Własności funkcji ciągłych. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Definicja pochodnej kierunkowej, pochodnych cząstkowych i różniczkowalności funkcji w punkcie. Interpretacje geometryczne pochodnych. Warunki konieczne i wystarczające różniczkowalności. Różniczka zupełna i jej interpretacja geometryczna. Związki różniczki zupełnej z pochodnymi kierunkowymi i cząstkowymi. Własności różniczki zupełnej. Macierzowy zapis różniczki. Gradient funkcji. Różniczka funkcji wektorowej. Macierz Jacobi ego i jakobian odwzorowania różniczkowalnego. Twierdzenie o różniczkowalności złożenia odwzorowań. Ekstrema funkcji wielu zmiennych Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Tw. Schwarza. Różniczka rzędu drugiego i jej macierzowy zapis. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych. Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego. Warunek wystarczający istnienia ekstremum wykorzystujący określoność formy kwadratowej. Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych. Metoda Lagrange a. Warunek konieczny istnienia ekstremum. Funkcje uwikłane Warunek wystarczający na istnienie funkcji uwikłanej. Badanie ekstremów lokalnych funkcji uwikłanych. 3 / 5
Całka podwójna Definicja całki podwójnej. Twierdzenie Fubiniego i twierdzenie o całce iterowanej dla obszaru normalnego. Obliczenie całki podwójnej. Sprowadzenie całki podwójnej do iterowanej. Zamiana zmiennych. Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych. Zastosowanie całki podwójnej do obliczania pola powierzchni, masy, środka ciężkości i momentu bezwładności obszarów płaskich. Całka potrójna Obliczenie całki potrójnej. Zamiana zmiennych w całkach potrójnych. Współrzędne walcowe i sferyczne w całkach potrójnych. Zastosowanie geometryczne i fizyczne całki potrójnej. Całki krzywoliniowe Definicja całki krzywoliniowej zorientowanej. Własności i obliczanie. Definicja całki krzywoliniowej niezorientowanej. Własności i obliczanie. Wzór Greena. Zastosowanie geometryczne i fizyczne. Wyznaczenie masy, momentów statycznych i środka ciężkości krzywej, momentów bezwładności i innych. Praca pola sił. Całki powierzchniowe Definicja całki powierzchniowej. Sprowadzenie do całki podwójnej. Zastosowania. Równania różniczkowe pierwszego rzędu Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych zwyczajnych. Formalna definicja równania różniczkowego i jego rozwiązania. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania różniczkowego rzędu pierwszego. Proste typy równań różniczkowych i metody ich rozwiązywania Przykładowe typy równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych, jednorodne, zupełne, Lagrange a. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów. Układy równań różniczkowych liniowych. Istnienie i postać rozwiązania. Przykłady. Transformata Laplace a Niektóre własności transformaty. Wyznaczanie transformaty na podstawie równania różniczkowego. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty. Twierdzenia o rozkładzie, przesunięciu rzeczywistym, przesunięciu zespolonym, splocie. audytoryjne Funkcje wielu zmiennych wyznaczanie granic ciągów i funkcji. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych wyznaczanie pochodnych kierunkowych, cząstkowych, różniczki zupełnej, gradientu funkcji. Wyznaczanie macierzy Jacobi ego. Wyznaczanie ekstremów lokalnych i warunkowych funkcji wielu zmiennych Badanie ekstremów lokalnych funkcji uwikłanych. Obliczenie całki podwójnej. Zastosowanie całki podwójnej do obliczania pola powierzchni, masy, środka ciężkości i momentu bezwładności obszarów płaskich. Obliczenie całki potrójnej. Zastosowanie geometryczne i fizyczne całki potrójnej. Obliczanie całek krzywoliniowych. Zastosowania. Obliczanie całek powierzchniowych. Zastosowania. Równania różniczkowe pierwszego rzędu przykłady. Badanie istnienia i jednoznaczności rozwiązań. Rozwiązywanie prostych typów równań różniczkowych i układów równań różniczkowych. Transformata Laplace a w zastosowaniu do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych zwyczajnych. Sposób obliczania oceny końcowej Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny końcowej OK jest otrzymanie pozytywnej oceny z ćwiczeń i z egzaminu. Przy czym warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest posiadanie oceny 4 / 5
pozytywnej z ćwiczeń. Po obliczeniu oceny średniej ważonej według wzoru SW = 0,5 OC + 0,5 OE, gdzie OC jest średnią arytmetyczną ocen uzyskanych we wszystkich terminach zaliczeń z ćwiczeń, OE jest średnią arytmetyczną ocen uzyskanych we wszystkich terminach z egzaminu. Ocena końcowa OK jest obliczana według zależności: if SW >4.75 then OK:=5.0 (bdb) else if SW >4.25 then OK:=4.5 (db) else if SW >3.75 then OK:=4.0 (db) else if SW >3.25 then OK:=3.5 (dst) if SW >2.25 then OK:=3 (dst) else OK:=2.0 Wymagania wstępne i dodatkowe Wiedza matematyczna z zakresu szkoły średniej oraz wiedza z zakresu modułu Analiza 1. Zalecana literatura i pomoce naukowe 1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT. W-wa 1997 2. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2. Warszawa, PWN, 2005 3. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa, 1993 4. J. Niedoba, W. Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe, AGH, Kraków, 2001 Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu Nie podano dodatkowych publikacji Informacje dodatkowe Brak Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS) Forma aktywności studenta Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe Udział w wykładach Udział w ćwiczeniach audytoryjnych Samodzielne studiowanie tematyki zajęć Przygotowanie do zajęć Sumaryczne obciążenie pracą studenta Punkty ECTS za moduł Obciążenie studenta 4 godz 45 godz 139 godz 5 ECTS 5 / 5