STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste w przestrzeni są równoległe, jeśli zawierają się w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się. 2 proste są skośne, jeśli nie istnieje płaszczyzna zawierająca obie proste. Proste i są prostopadłe w przestrzeni gdy prosta jest prostopadła do prostej, równoległej do i przecinającej. Proste równoległe Proste przecinające się Proste skośne Proste prostopadłe (, ) PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI Prosta jest równoległa do płaszczyzny, jeżeli nie ma z nią punktów wspólnych lub leży na niej. Jeżeli prosta nie jest równoległa do płaszczyzny, wówczas prosta przecina płaszczyznę w punkcie. Prosta jest prostopadła do płaszczyzny, jeżeli jest prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie. KĄT POMIĘDZY PROSTĄ I PŁASZCZYZNĄ Jeśli prosta nie jest ani równoległa ani prostopadła do płaszczyzny, to kątem nachylenia prostej do płaszczyzny nazywamy kąt ostry pomiędzy prostą i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. TWIERDZENIE O 3 PROSTYCH PROSTOPADŁYCH Niech będzie prostą, która nie jest równoległa i nie jest prostopadła do płaszczyzny, a prostą zawierającą się w płaszczyźnie i przechodzącą przez punkt wspólny prostej i płaszczyzny. Prosta jest prostopadła do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do rzutu prostej na płaszczyznę. Prosta prostopadła do płaszczyzny 1 Kąt pomiędzy prostą i płaszczyzną Prosta leżąca na płaszczyźnie prostopadła do prostej przecinającej płaszczyznę

PŁASZCZYZNY W PRZESTRZENI Płaszczyznę w przestrzeni jednoznacznie wyznaczają: 3 niewspółliniowe punkty 2 przecinające się proste Prosta i punkt poza nią 2 różne proste równoległe Płaszczyzny nazywamy równoległymi, jeżeli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się. Płaszczyzny, które nie są równoległe przecinają się. Częścią wspólną dwóch przecinających się płaszczyzn jest prosta. Dwie płaszczyzny nazywamy prostopadłymi, jeżeli istnieje taka prosta, która zawiera się w jednej z tych płaszczyzn i jest prostopadła do drugiej płaszczyzny. Płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej Płaszczyzny prostopadłe Kątem dwuściennym nazywamy zbiór złożony z dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednej z dwóch figur wyciętych z przestrzeni przez sumę tych półpłaszczyzn. Kątem liniowym kąta dwuściennego nazywamy kąt płaski otrzymany w wyniku przecięcia kąta dwuściennego płaszczyzną prostopadłą do jego krawędzi. Miarą kąta dwuściennego nazywamy miarę jego kąta liniowego. Odległość punktu od płaszczyzny jest równa odległości tego punktu od jego rzutu prostokątnego na płaszczyznę. A' - rzut prostokątny punktu A na płaszczyznę p. - odległość punktu A od płaszczyzny p. Kąt dwuścienny Odległość punktu od płaszczyzny 2

FIGURY PRZESTRZENNE (BRYŁY) Figurę nazywamy przestrzenną (bryłą), jeżeli nie zawiera się w żadnej płaszczyźnie. Figurę w przestrzeni nazywamy ograniczoną, jeżeli zawiera się w pewnej kuli. Figurę w przestrzeni nazywamy nieograniczoną, jeżeli nie zawiera się w żadnej kuli. WIELOŚCIANY Bryłę nazywamy wielościanem, jeżeli jej brzeg jest sumą skończonej liczby wielokątów, zwanych ścianami wielościanu, przy czym: 1. Jeśli dwa wielokąty zawierają się w jednej płaszczyźnie, to mają co najwyżej jeden punkt wspólny, 2. Każde dwa punkty brzegowe bryły można połączyć łamaną zawartą w jej brzegu. Boki ścian wielościanu nazywamy krawędziami, a wierzchołki ścian - wierzchołkami wielościanu. Twierdzenie Eulera. Jeśli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s ścian, to GRANIASTOSŁUP Graniastosłupem nazywamy wielościan, którego dwie ściany, zwana podstawami, są przystającymi wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są równoległobokami, których wszystkie wierzchołki są jednocześnie wierzchołkami podstaw. Graniastosłupy dzielimy na: proste krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw pochyłe jego krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw prawidłowe o podstawach będących wielokątami foremnymi równoległościany podstawą jest równoległobok, a przeciwległe ściany są równoległe prostopadłościany wszystkie ściany to prostokąty sześciany wszystkie ściany to kwadraty Wysokość graniastosłupa jest to odległość między podstawami. Przekątna graniastosłupa jest to odcinek łączący dwa wierzchołki nie leżące na jednej ścianie. OSTROSŁUP Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego podstawa jest dowolnym wielokątem, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku S, który nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa. Wysokość ostrosłupa to odległość wierzchołka od podstawy.ostrosłupy dzielimy na: proste na podstawie których można opisać okrąg, a punkt w którym wysokość styka się z podstawą, jest jednocześnie środkiem tego okręgu czworościany o podstawie trójkąta prawidłowe krawędzie boczne są równej długości a podstawą jest wielokąt foremny KĄTY W W GRANIASTOSŁUPACH I OSTROSŁUPACH Kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy (zarówno dla graniastosłupa jak i ostrosłupa) nazywamy kąt pomiędzy prostą prostopadłą do krawędzi podstawy, leżącą w płaszczyźnie tej ściany i podstawą. Kątem nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy nazywamy zaś kąt pomiędzy tą krawędzią i podstawą. Kąt nachylenia ścian bocznych jest to kąt pomiędzy płaszczyznami tych ścian. 3

Wielościanem foremnym (bryłą platońską) nazywamy wielościan wypukły, którego ściany są przystającymi wielokątami foremnymi. Oto WSZYSTKIE PIĘĆ wielościanów foremnych: czworościan sześcian ośmiościan dwunastościan dwudziestościan BRYŁY OBROTOWE Są to bryły ograniczone powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu). Najważniejsze bryły obrotowe to: Walec. Bryła powstała w wyniku obrotu prostokąta wokół jednej z krawędzi Jeżeli promień podstawy walca wynosi r, wysokość h, to: Pole powierzchni bocznej walca Pole powierzchni całkowitej walca Objętość walca Stożek. Bryła powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej Jeżeli promień podstawy walca wynosi r, wysokość h, a tworząca l to: Pole powierzchni bocznej stożka Pole powierzchni całkowitej stożka Objętość stożka Kula. Bryła powstała w wyniku obrotu koła wokół jego średnicy Jeżeli promień kuli wynosi r, to: Pole powierzchni kuli (sfery) Objętość kuli Przykładowe zadania Zadanie 1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole jednej ściany bocznej jest trzy razy mniejsze od pola podstawy. Obliczyć objętość tego ostrosłupa przyjmując, że długość krawędzi podstawy wynosi 14cm. Wyznacz sinus kąta między sąsiednimi krawędziami bocznymi tego ostrosłupa. Rozwiązanie. Ostrosłup prawidłowy czworokątny to ostrosłup o podstawie kwadratu. Jego ściany boczne to trójkąty równoramienne. Do wyznaczenia objętości potrzebna jest nam wysokość ostrosłupa. Oznaczmy ją. Pole podstawy. Zatem pole ściany bocznej. Skoro mamy pole możemy wyznaczyć wysokość ściany bocznej.. 4

Wreszcie, z twierdzenia Pitagorasa mamy:. Ostatecznie: Sinus kąta między sąsiednimi krawędziami bocznymi wyznaczymy ze stosunku Teraz musimy skorzystać ze znajomości tożsamości trygonometrycznych. Otóż: Oczywiście Ostatecznie mamy Zadanie 2. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości jego krawędzi jest równa 48, a pole powierzchni całkowitej 90. Oblicz długości krawędzi graniastosłupa i jego objętość. Rozwiązanie. Ponieważ graniastosłup ten ma u podstawy kwadrat, oznaczmy krawędzie graniastosłupa odpowiednio. Objętość graniastosłupa. Mamy dane: i Z pierwszego równania wyliczamy, po czym podstawiamy do drugiego. Otrzymujemy. Nietrudno sprawdzić, że równanie ma 2 rozwiązania: i, którym odpowiadają i. Zadanie 3 Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 8, a jeden z kątów ma miarę 30 O. Powierzchnia boczna tego graniastosłupa po rozwinięciu na płaszczyznę jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa. Rozwiązanie. Obliczmy przyprostokątne trójkąta w podstawie. Liczmy pole powierzchni całkowitej i objętość: Zadanie 4 W pojemniku o kształcie walca o promieniu podstawy R = 8 umieszczono dwie kule o promieniu r = 5, w ten sposób, że są do siebie styczne i każda z nich dotyka powierzchni bocznej walca, jak na rysunku. Jaka co najmniej musi być wysokość pojemnika, aby kule całkowicie się w nim mieściły. Oblicz objętość tego walca. Rozwiązanie. W pojemniku o najmniejszej wysokości kule są do siebie styczne oraz są styczne do podstaw pojemnika. Wysokość pojemnika możemy podzielić na trzy odcinki AD, BC i CE. Pierwszy i 5

trzeci mają długość r = 5 a długość drugiego możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego ABC. Zauważmy, że długość odcinka AB to średnica podstawy walca minus dwa promienie wpisanych kul. Zatem: Zatem wysokość walca wynosi: a jego objętość: 6

ZADANIA SPRAWDZAJĄCE 1. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach jeśli: a) b) c) 2. Oblicz objętość sześcianu jeśli jego przekątna ma długość. 3. Oblicz długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o polu powierzchni bocznej i objętości. 4. Suma długości krawędzi dwóch sześcianów wynosi a suma ich objętości. Oblicz długości krawędzi tych sześcianów. 5. W prostopadłościanie przekątna o długości nachylona jest do podstawy pod kątem. Przekątna podstawy tworzy z bokiem podstawy kąt. Oblicz objętość prostopadłościanu. 6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a wysokość. Oblicz wysokość ściany bocznej i długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa. 7. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku a krawędzie boczne nachylone są do podstawy pod kątem. Znajdź objętość tego ostrosłupa. 8. Znajdź pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości i kącie płaskim przy wierzchołku tego ostrosłupa. 9. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny prostokątny o przyprostokątnej długości. Wiedząc że wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość oblicz objętość tego ostrosłupa. 10. Prostokąt o bokach 3 i 4 obrócono wokół krótszego boku. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. 11. Oblicz objętość walca o polu powierzchni całkowitej i polu powierzchni bocznej. 12. Oblicz pole przekroju osiowego walca jeżeli przekątna przekroju osiowego ma długość, a pole powierzchni bocznej wynosi. 13. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka o wysokości i tworzącej. 14. Oblicz objętość bryły powstałej po obrocie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych i dookoła przeciwprostokątnej. 15. Oblicz objętość stożka którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny o wysokości. 16. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym którego przeciwprostokątna ma długość. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka. 17. Oblicz średnicę kuli o objętości równej sumie objętości kuli o średnicy oraz kuli o średnicy 8. 18. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w sześcian do objętości tego sześcianu. 19. W sześcian o krawędzi wpisano kulę. Oblicz pole powierzchni i objętość tej kuli. 20. Ile razy trzeba zwiększyć długość promienia kuli by jej objętość wzrosła dwukrotnie? 7