Problemy na rozgrzewkę Problem 1 (Znakomita dama i nieuczciwy jubiler) Pewna znakomita dama miała krzyżyk, zdobiony dużymi brylantami. Nie wiedziała ile było brylantów i zupełnie ją to nie interesowało. Jej uwagę zwróciła inna właściwość krzyżyka. Licząc brylanty z dowolnego końca krzyżyka do jego podstawy zawsze naliczała 9 kamieni. Pewnego dnia krzyżyk trzeba było oddać do naprawy. Przy tej okazji dama opowiedziała o tej właściwości jubilerowi. Proszę zobaczyć! Z któregokolwiek końca ramion liczę brylanty, zawsze przy podstawie otrzymam 9. W ten sposób za każdym razem wiem czy ilość kamieni się zgadza. Tylko w ten sposób sprawdza Pani czy w krzyżyku zgadza się ilość brylantów? zapytał jubiler. Tak, ale to mi zupełnie wystarcza. Po skończonej naprawie również tym sposobem sprawdzę czy wszystko jest w porządku. Jubiler okazał się nieuczciwy. Wyjął i zostawił sobie dwa brylanty, przerobił krzyżyk i zwrócił damie. Dama przeliczyła kamienie i uznała, że wszystko się zgadza. W jaki sposób jubiler przerobił krzyżyk tak, że dama nie zauważyła kradzieży? Łatwo zauważyć, że jubiler odciął po jednym końcu z poprzeczki krzyżyka, po czym przesunął ją o jeden rząd wyżej. W ten sposób z krzyżyka z poprzedniego rysunku otrzymuje się krzyżyk poniższy Dama przeliczając brylant swoim sposobem, to znaczy licząc od każdego końca do podstawy zawsze zliczała 9 kamieni i nie zauważyła oszustwa. 1
Oczywiście, żeby znaleźć pomyłkę lekkomyślnej damy i zauważyć nieuczciwość jubilera, nie trzeba mieć drogocennych kamieni. Aby to pokazać wystarczy wziąć 15 kamyków, 15 guzików lub 15 kart. Spójrzmy na rysunki: Krzyżyk przed przeróbką i po przeróbce Zamiast przywłaszczać sobie 2 kamienie, jubiler równie dobrze mógł dodać do krzyżyka 2 własne brylanty. Dama przy swoim sposobie liczenia tego również nie zauważyłaby. W tym celu wystarczy, żeby jubiler dodał do końców poprzeczki po jednym brylancie a całą poprzeczkę opuścił o jeden rząd w dół. Jubiler postąpił nieuczciwie, ale i naiwna okazała się dama nie licząc wszystkich kamieni. Widać, że umiejętność liczenia do 9 nie wystarcza, aby nie popaść w kłopoty już przy prostych rachunkach. Problem 2 (Magiczna sztuczka) Wezmę 10 kart od dziesiątki do asa (lub 10 kostek domina od 10 do 1) i układam po kolei w rzędzie, tak żeby nie było widać liczby oczek. Pierwszą kartą od lewej strony jest dziesiątka, ostatnią as. Odwracam się i proszę obserwatora, żeby przestawił kilka kart z prawej strony, po kolei na lewą, nie mieszając kart między sobą (np. trzy ostatnie karty z prawej niech obserwator, po kolei przełoży na lewą stronę). Potrafię za pierwszym razem odsłonić kartę, której liczba oczek pokaże ile kart przełożono. Którą kartę odsłonię i dlaczego? Odsłaniam pierwszą kartę po lewej stronie. Liczba jej oczek pokazuje ile kart przełożono. Aby to wyjaśnić popatrzmy na rysunek poniżej. Pokazano tam sposób ułożenia kart (lub kostek domina) na początku ale odwróconych oczkami do góry. 2
Jeżeli obserwator przełoży kilka kart ze strony prawej na lewą, to ostatnia karta, którą będzie przekładał ma liczbę oczek równą ilości przełożonych kart (bo karty ułożone są po kolei od 10 do 1 oczka). Ostatnia karta przekładana będzie zarazem pierwszą kartą z lewej strony po przełożeniu. Dla czterech kart pokazuje to kolejny rysunek. Teraz już widać, że nie ma tu żadnej magii a tylko obserwacja pewnej prawidłowości. Można tę sztuczkę kontynuować dalej. Jeżeli odwrócę się ponownie a obserwator przełoży ze strony prawej na lewą, kolejne trzy karty. To odwrócenie karty piątej ( 5 4 1) po tym zabiegu, pokaże ile kart przełożył obserwator za drugim razem. Dlaczego? Wyjaśnienie również nie nastręcza trudności. Spójrzmy na rysunek. Porzućmy karty i spróbujmy tę sztuczkę opisać matematycznie. Zauważmy, że wyjściową sytuację przedstawia 10 liczb rozmieszczonych w następujący sposób: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Zauważmy ponadto, że pierwsza liczba stojąca z lewej strony pokazuje, na której pozycji stoi liczba 1. Po przełożeniu kart otrzymany wynik można opisać innym układem liczb: 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 Tym razem również pierwsza liczba stojąca z lewej strony pokazuje pozycję liczby 1. Przekładamy karty ponownie i sytuację z rys. 2.3 w układzie liczb opisujemy tak: 7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 3
Oczywiście pierwsza liczba z lewej strony pokazuje pozycję liczby 1. Za kolejnym razem niech obserwator przełoży 2 karty, otrzymamy układ liczb: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 Jak widać jedynka stoi na dziewiątej pozycji. Możemy eksperymentować wielokrotnie, zawsze pierwsza liczba z lewej strony wskaże pozycję liczby 1. Możemy też zaobserwować trudniejszą nieco prawidłowość: za pierwszym razem obserwator przełożył 4 karty i odczytaliśmy to z pozycji 1, za drugim razem obserwator przełożył 3 karty i odczytaliśmy to z pozycji 4+1=5 (liczba przełożonych poprzednio kart + 1), za trzecim razem obserwator przełożył 2 karty, odczytaliśmy to z pozycji 3+4+1=8 (liczba przełożonych poprzednio kart + 1), gdyby obserwator za czwartym razem przełożył 7 kart odczytalibyśmy to z pozycji 2+3+4+1=10 (liczba przełożonych poprzednio kart + 1), gdyby obserwator za piątym razem przełożył 1 kartę odczytalibyśmy to z pozycji 7+2+3+4+1=17 (liczba przełożonych poprzednio kart + 1). Uwaga: 17 pozycja to przecież pozycja 10 i jeszcze siedem, czyli tak naprawdę pozycja 7. Istnieje w matematyce specjalne określenia na takie dziwne dodawanie. Nazywa to się dodawanie modulo 10 i wynikiem tej operacji nie jest zwykła suma, tylko reszta z dzielenia zwykłej sumy przez 10. Dopóki ta reszta wynosiła 0 (np. dla sum 3+4+1=8 lub 2+3+4+1=10) nie zauważaliśmy nic szczególnego. Dopiero dla sumy 7+2+3+4+1=17 okazało się, że zwykła suma nie rozwiąże problemu a suma modulo 10 (7+2+3+4+1=7 (mod 10)) pokazała pozycję, która nas interesuje. Oczywiście można liczyć sumy modulo każda inna liczba np. 5 lub 2. Nie istnieje tylko suma modulo 0 (bo przez 0 się nie dzieli). Natomiast suma modulo 1 jest taka sama jak zwykła suma. Problem 3 (Mnożenie na palcach) Jeżeli ktoś ma kłopot z zapamiętaniem tabliczki mnożenia przez 9 polecamy taki prosty sposób. Kładziemy przed sobą dwie dłonie z wyciągniętymi palcami. Oczywiście mamy 10 palców. Jeżeli teraz podniesiemy np. 4 palec, to na lewo przed nim pozostaną 3 na prawo za nim pozostanie 6 i mamy 4 9 36. Podobnie gdybyśmy podnieśli 7 palec, to na lewo pozostanie 6 palców a na prawo pozostaną 3 palce i mamy 7 9 63. Jak widać nasze dłonie stały się najprostszą maszyną liczącą. Taki sposób mnożenia stanie się zrozumiały jak przyjrzymy się słupkowi z mnożeniem przez 9: 1 9 09 2 9 18 3 9 27 4 9 36 5 9 45 4
6 9 54 7 9 63 8 9 72 9 9 81 10 9 90 Zauważmy, że w wyniku cyfry dziesiątek rosną od 0 do 9 (09 to przecież 9). cyfry jedności maleją od 9 do 0. Jeżeli teraz staniemy np. na 6 pozycji (podniesiemy szósty palec). To nad tą pozycją będzie 5 cyfr (0...4) w kolumnie dziesiątek (pięć palców z lewej strony). Pod tą pozycją będą 4 cyfry (3...0) w kolumnie jedności (cztery palce z prawej strony). Problem 4 (Żart liczbowy) Jak z liczby 666 otrzymać liczbę półtora raza większą nie wykonując żadnych działań arytmetycznych? Liczba półtora raza większa od 666 to oczywiście 666 1.5 999 i już teraz widać, że wystarczy 666 obrócić o 180 o (jak to się mówi do góry nogami ), co nie jest przecież żadnym działaniem arytmetycznym. Problem 5 (Dzielenie jabłek) W koszu mamy 5 jabłek. Jak je podzielić między 5 osób tak, żeby każda osoba otrzymała po jednym jabłku i jedno jabłko pozostało w koszyku? Oczywiście jedna osoba ma otrzymać koszyk z jabłkiem, każdy ma wtedy po jabłku i jedno jabłko jest w koszyku. Zauważmy, że czasami najprostsze odpowiedzi są tak oczywiste, że na początku nie bierze się ich pod uwagę. Problem 6 (Liczenie kotów) W pokoju są cztery kąty. w każdym kącie siedzi kot. Na przeciw każdego kota siedzą trzy koty. Na ogonie każdego kota też siedzi kot. Ile kotów jest w pokoju? W pokoju siedzą 4 koty, każdy na swoim ogonie. Ponieważ każdy kot siedzi w kącie, więc siedzi na przeciwko 3 pozostałych kotów (na przeciwko kąta w pokoju są trzy inne kąty). Problem 7 (Zabawy liczbami) Napiszmy następującą tablicę cyfr: 1 1 1 3 3 3 5 5 5 7 7 7 9 9 9 Z wypisanych 15 cyfr należy skreślić 12 cyfr tak, żeby pozostałe dały liczbę 20. 5
Można na przykład skreślać tak: 1 1 1 3 3 3 5 5 5 7 7 7 + 9 9 9 2 0 Problem 8 Pewien człowiek napisał o sobie takie zdanie: Wszystkich palców mam dwadzieścia pięć, na jednej ręce tyle co na ręce drugiej a na obu nogach dziesięć. Czy jest to możliwe? Możliwe, wystarczy tylko w podanym zdaniu poprawić interpunkcję: Wszystkich palców mam dwadzieścia, pięć na jednej ręce, tyle co na ręce drugiej a na obu nogach dziesięć. Problem 9 Dwóch ułanów ciągle zakładało się, który jest lepszym jeźdźcem i organizowali gonitwy na torze. Pewnego dnia jeden zaproponował drugiemu. Zróbmy zawody jeździeckie ale tym razem wygra ten, którego koń przybędzie drugi na metę. Cały pułk przybył na tor aby obserwować tak niezwykłą rywalizację. Sędzia dał sygnał do startu, zawodnicy w ślimaczym tępię rozpoczęli bieg. Minęło kilka godzin, wszyscy byli bardzo znużeni a zawodnicy nie przebyli nawet czwartej części dystansu. Wtem stary ułan wykrzyknął dosyć tego! Podbiegł do zawodników i szepnął im coś na ucho. Ci po chwili pędzili już jak szaleni. Po paru minutach dopadli mety i zgodnie z zakładem wygrał ten, którego koń przybył jako drugi. Co szepnął im stary ułan, że nie rezygnując z zakładu zawodnicy rozpoczęli szybki bieg do mety? Stary ułan kazał im zamienić się końmi. 6