gimnazjalista.fundacja2lo.pl

Transkrypt

1 O kwadratach liczbowych Problem 1 Pewien właściciel restauracji miał w piwniczce regał do przechowywania wina. Regał był w kształcie kwadratu i posiadał 9 jednakowych, kwadratowych przegródek. Środkową przegródkę restaurator pozostawił pustą. W czterech narożnych umieścił po 6 butelek wina a w czterech przegródkach między narożnymi umieścił po 9 butelek. Łącznie restaurator miał w piwniczce butelek. Za każdym razem kiedy restaurator schodził do piwniczki sprawdzał, że suma butelek przy każdym boku kwadratu wynosi 1. W restauracji pracował nieuczciwy kelner, który podkradał wino. Robił to w taki sposób, że za każdym razem wynosił z piwniczki po 4 butelki, przestawiając pozostałe tak, żeby ich suma przy każdym boku kwadratu wynosiła stale 1. Ile razy kelner dokonał kradzieży i ile butelek łącznie wyniósł z piwniczki? Kelner stosował taki sposób podkradania butelek. Z każdej środkowej przegródki brał po butelce (łącznie 4 butelki) dla siebie i po butelce (łącznie 4 butelki) dokładał do przegródek narożnych. W ten sposób ze środkowej przegródki ubywały butelki ale po 1 butelce przybywało do przegródek narożnych (przy każdym boku były takie dwie) w związku z czym suma się zgadzała ( ). Były 4 przegródki środkowe, skoro brał po butelki z każdej, to brał 8 butelek, 4 odkładał do przegródek narożnych a 4 podkradał. Ponieważ na początku w każdej przegródce środkowej było 9 butelek, kelner mógł 4 razy dokonać kradzieży (do 5 kradzieży brakowało po 1 butelce). Łącznie więc ukradł butelek wina. Kolejne kradzieże pokazuje poniższy rysunek. 1

2 Spróbujmy opisać tę sytuację matematycznie. Oznaczmy przez a liczbę butelek w narożnych przegródkach, przez b liczbę butelek w przegródkach między narożnymi. Niech ponadto S oznacza liczbę wszystkich butelek, L niech oznacza sumę butelek przy dowolnym boku kwadratu. Mamy zatem: L a b S 4a 4b ( a b a) b (a b) b Z ostatniego równania widać, że jeżeli zmniejszymy b o liczbę x to S zmniejszy się o 4x natomiast L o x. Żeby więc L było stałe to do każdego z a należy dodać. Mamy 4 przegródki a x w takim razie wszystkie a zwiększamy łącznie o x, czyli o połowę tego co zabraliśmy ze x wszystkich przegródek b. Ponieważ ma być całkowite, najmniejsza wartość x, dlatego nieuczciwy kelner z przegródek między narożnymi odejmował po butelki przy każdej kradzieży. Rozważmy teraz sytuację, gdy ilość butelek nie jest symetrycznie rozmieszczona w przegródkach. Najogólniej w każdej z przegródek może być inna liczba. Przyjmijmy, że w przegródkach jest m, f, n, g, q, h, p, k butelek. Czy w takiej sytuacji nieuczciwy kelner mógłby dokonywać kradzieży? Jeżeli przez L oznaczymy sumę butelek przy każdym boku kwadratu, to liczba wszystkich butelek wyrazi się wzorem: S 4L ( m n q p) Komórki narożne przy sumowaniu L liczone są podwójnie dlatego należało je odjąć. Ze wzoru tego wynika, że zwiększając sumę m n q p przy stałym L zmniejszamy całkowitą ilość butelek. Stałe L osiągniemy jeżeli zmniejszać będziemy przynajmniej dwie komórki znajdujące się między narożnymi. Jeżeli f i g zmniejszymy każdą o x (razem zmniejszyliśmy o x) to do n wystarczy dodać x żeby sumy liczone wzdłuż boków nie zmieniły się. Nieuczciwy kelner ukradłby wiec w ten sposób x butelek. W każdym wypadku symetrycznego rozmieszczenia butelek bądź nie, taki sposób sprawdzania stanu nie wykryje ewentualnej kradzieży. Problem W pewnym biurze składającym się z 9 pomieszczeń na planie kwadratu, środkowy pokój zajmował kierownik a 8 pokoi po bokach urzędnicy, po 3 w każdym pokoju. Kierownik z bardzo złym wzrokiem, trzy razy na dzień sprawdzał czy wszyscy są w pracy zliczając liczbę pracowników w dowolnych trzech pokojach wzdłuż boku kwadratu. Za każdym razem wychodziło 9 i

3 kierownik był przekonany, że wszystko jest w porządku. Jednak przed pierwszym obchodem kierownika do biura przyszło 4 znajomych urzędników. Przed drugim obchodem 4 znajomi wraz z 4 urzędnikami wyszli do miasta. Przed trzecim obchodem urzędnicy powrócili i każdy z nich przyprowadził z sobą po znajomych. Jak to się stało, że kierownik niczego nie zauważył? Zadanie podobne jest do poprzedniego. Tym razem nie tylko ujmujemy od sumy wszystkich urzędników ale i dodajemy do tej sumy. W biurze pracuje 4 urzędników (bez kierownika). Jeżeli liczbę osób w każdym pokoju narożnym zmodyfikujemy o x, to liczbę wszystkich urzędników zmodyfikujemy o 4x. Liczbę urzędników w pokojach wzdłuż boku kwadratu zmodyfikujemy o x (podobnie jak w zadaniu poprzednim). Jeżeli liczbę osób w każdym pokoju środkowym zmodyfikujemy o x, to liczbę wszystkich urzędników zmodyfikujemy także o 4x ale liczbę urzędników w pokojach wzdłuż boku kwadratu zmodyfikujemy tylko o x. Jeżeli z pokoi narożnych ujmiemy po 1 osobie, to żeby zachować liczbę wzdłuż boku kwadratu do pokoi środkowych należy dodać po osoby. Łączna liczba urzędników wzrośnie o 4 (rysunek lewy). Jeżeli do pokoi narożnych dodamy po 1 osobie, to żeby suma osób w pokojach wzdłuż boku kwadratu nie uległa zmianie z pokoi środkowych należy ująć po osoby. Łączna liczba urzędników zmniejszy się o 4 (rysunek środkowy). Jeżeli z pokoi narożnych ujmiemy po osoby, to żeby zachować sumę wzdłuż boku kwadratu, do pokoi środkowych należy dodać po 4 osoby. Łączna liczba urzędników wzrośnie o 8 (rysunek prawy). Problem 3 W kwadracie złożonym z 16 jednakowych klatek należy rozmieścić 4 jednakowe litery w taki sposób, żeby na żadnej linii pionowej i poziomej oraz przekątnej kwadratu nie znalazły się dwie litery. Na ile sposobów można to zrobić? 3

4 Jedno z rozwiązań pokazuje rysunek. Ponieważ mamy 4 linie i 4 kolumny, któraś z 4 liter musi być na przekątnej. Litera stojąca na przekątnej blokuje dla innych liter tą, że przekątną oraz jedną linię pionową i jedną linię poziomą, na której stoi. Zblokowane linie pozioma i pionowa przechodzą przez drugą przekątną blokując na niej klatki dla innych liter. Wobec tego na drugiej przekątnej istnieją tylko dwie klatki gdzie stać może druga litera (na rysunku powyżej zostały tek klatki wyróżnione). Zauważmy, że jeżeli na przekątnych rozmieścimy litery to dla kolejnych dwóch liter pozostanie tylko jeden układ. Skoro na pierwszej przekątnej są 4 miejsca gdzie można postawić literę, na drugiej takie miejsca, razem otrzymujemy 8 możliwości. Gdyby litery były różne, to do każdego z układu liter w komórkach kwadratu moglibyśmy wstawić różne rozmieszczenia liter między sobą. Pierwsza litera może stać na dowolnym z 4 miejsc. Druga litera już tylko na jednym z 3 miejsc (bo jedno miejsce zajmuje pierwsza litera). Trzecia litera może stać na jednym z miejsc. Na literę czwartą pozostaje 1 miejsce. Razem otrzymamy możliwe rozmieszczenia czterech różnych liter. Skoro każdy z układów liter na kwadracie może zajmować dowolne rozmieszczenie liter między sobą łącznie otrzymujemy możliwe przypadki. Problem 4 W kwadracie składającym się z 16 jednakowych klatek należy rozmieścić po cztery litery a, b, c, d w taki sposób aby jednakowe litery nie stały w jednej linii, jednym rzędzie lub jednej przekątnej kwadratu. Na ile sposobów można to uczynić? Zauważmy przede wszystkim, że w rogach kwadratu muszą stać różne litery. Rozmieszczając w rogach różne litery ustalmy jakie litery stać mogą w pozostałych klatkach jednej z przekątnych. Jeżeli weźmiemy przekątną a, d to stać na niej mogą tylko litery c, d i to na dwa sposoby. 4

5 Teraz łatwi już wywnioskować rozkład pozostałych liter. Zacznijmy od klatek przy bokach kwadratu. Jako ostatnie wypełnimy klatki na drugiej przekątnej. Na podstawie powyższego możemy ustalić, że po ustawieniu liter w narożnikach mamy możliwości na ustawienie pozostałych liter. Litery w narożnikach można ustawić na 4 sposoby (patrz zadanie poprzednie). Wobec tego dla naszego zadania wszystkich możliwych ustawień liter