Ryzyko inwestycji na dwóch wybranych rynkach. Optymalny portfel ze względu na VAR i ES. Paweł Karyś

Ryzyko inwestycji na dwóch wybranych rynkach. Optymalny portfel ze względu na VAR i ES. Paweł Karyś 11 czerwca 2015

Spis treści 1 Wstęp 2 2 Opis wybranych rynków 3 2.1 WIG20............................................... 3 2.2 DAX................................................ 5 3 Miara ryzyka 6 3.1 Koherentna miara ryzyka.................................... 6 3.2 Value at Risk........................................... 7 3.3 Expected Shortfall........................................ 10 4 Portfel jednoskładnikowy 12 4.1 Testowanie normalności rozkładów............................... 15 4.2 Oszacowanie VaR i ES...................................... 15 5 Portfel dwuskładnikowy 18 5.1 Analiza rozkładu portfela dwuskładnikowego......................... 18 5.1.1 Test Mardii........................................ 19 5.1.2 Wykres kde........................................ 20 5.2 Oszacowanie VaR i ES portfela dwuskładnikowego...................... 21 5.3 Dywersyfikacja portfela..................................... 22 6 Funkcja kopuły 25 6.1 Twierdzenie Sklara i poszczególne kopuły........................... 25 6.2 Oszacowanie VaR i ES za pomocą kopuły........................... 27 7 Podsumowanie 32 Spis literatury 34 Wykaz rysunków 35 Wykaz tabel 36 Dodatek A 37 Dodatek B 38 1

Rozdział 1 Wstęp Kiedy inwestujemy pieniądze, to chcemy osiągnąć zysk. Każda inwestycja obarczona jest jednak ryzykiem. Celem tej pracy jest wybór optymalnego portfela ze względu na ryzyko. Będziemy rozważać portfel inwestycyjny złożony z dwóch indeksów giełdowych, których opis wraz z wykresami notowań mieści się w drugim rozdziale. Szczególnym przypadkiem będzie portfel jednoskładnikowy złożony w 100% z jednego indeksu giełdowego. Do pomiaru ryzyka użyjemy dwóch miar zagrożenia jakimi są wartość zagrożona (ang. Value at Risk, VaR) oraz uśredniona wartość zagrożona (ang. Expected Shortfall, ES) często stosowanych w instytucjach finansowych. Zaletą wspomnianych miar jest to, że wyrażają one ryzyko w postaci jednej liczby, przez co są łatwe do porównywania między poszczególnymi inwestycjami. Istnieje wiele sposobów estymowania VaR i ES. Definicje i twierdzenia związane z miarami ryzyka znajdują się w trzecim rozdziale. W rozdziale czwartym będziemy szacować miary ryzyka portfeli jednoskładnikowych korzystając danych historycznych z okresu 61 miesięcy. Za pomocą programu SAS Base wyliczymy 60 stóp strat dla WIG20 oraz DAX i zbadamy normalność ich rozkładu. Na podstawie zebranych informacji oszacujemy VaR i ES na dwa sposoby: korzystając z parametrów przyjętych rozkładów normalnych, oraz bezpośrednio z empirycznych stóp strat. Na końcu tego rozdziału zinterpretujemy wyniki dla inwestycji 1 miliona złotych. W piątym rozdziale rozważymy inwestycję w portfel dwuskładnikowy. Aby to zrobić najpierw zbadamy normalność rozkładu dwuwymiarowego za pomocą testu Mardii. Przyjrzymy się również wykresowi funkcji gęstości kde. Zastanowimy się także jak kwotę przeznaczoną na inwestycję podzielić między wybrane aktywa, aby ryzyko było jak najmniejsze, a więc będziemy dywersyfikować portfel inwestycyjny. Oszacujemy miary ryzyka dla różnych portfeli dwuskładnikowych i porównamy je z portfelami jednoskładnikowymi sprawdzając własność subaddytywności. W niniejszej pracy przybliżymy także pojęcie funkcji kopuły, twierdzenia z nią związane oraz sposób jej zastosowania w estymowaniu miar ryzyka. Pokrótce przedstawimy również pięć kopuł dostępnych w SAS. Dla najlepiej dopasowanej kopuły korzystając z rozkładów brzegowych wygenerujemy próbkę 1000 danych i ponownie oszacujemy VaR i ES dla portfeli dwuskładnikowych. Na końcu znajduje się podsumowanie pracy oraz dwa dodatki. Pierwszy z nich zawiera potrzebne definicje, drugi natomiast to kod użyty do analizy danych, oszacowania miar ryzyka, dopasowania kopuły oraz dywersyfikacji portfela napisany w programie SAS Base. 2

Rozdział 2 Opis wybranych rynków Będziemy rozważać inwestycję w dwa wybrane indeksy giełdowe WIG20 i DAX. Poprzez inwestycję w indeks giełdowy będziemy rozumieć zakup akcji spółek należących do tego indeksu. Rozdział ten został napisany w oparciu o [6], [8] i [10]. Indeks giełdowy to wartość obliczona na podstawie kursów wyselekcjonowanych spółek. Jest on wskaźnikiem stanu rynku - odźwierciedla ogólną sytuację rynkową, opisuje tendencje występujące na rynku akcji. Najstarszym indeksem giełdowym na świecie jest Średnia Przemysłowa Dow Jones (Dow Jones Industrial Average - DJIA), w skład której wchodzi obecnie 30 największych przedsiębiorstw amerykańskich. Twórcami indeksu byli Charles Dow i statystyk Edward Jones, a pierwszy raz został opublikowany 26 maja 1896 roku. 2.1 WIG20 Indeks WIG20 (Warszawski Indeks Giełdowy) obliczany jest na podstawie notowań 20 największych i najpłynniejszych spółek notowanych na warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych (GPW). Indeks został wprowadzony 16 kwietnia 1994 roku, a wartość bazowa wynosiła 1000 punktów. Najniższą ceną na zamknięciu było 577,90 pkt. (28 marca 1995), a najwyższą najwyższa 3917,87 pkt. (29 października 2007). Po 31 grudnia 2015 roku indeks ten zostanie zastąpiony przez WIG30, który powstał 23 września 2013 poprzez dołączenie do WIG20 dziesięciu nowych spółek. Jest to indeks typu cenowego co znaczy, że przy jego obliczaniu bierze się pod uwagę tylko ceny zawartych w nim transakcji, a nie uwzględnia się dochodów z tytułu dywidend. Skład spółek WIG20 jest ustalany na podstawie kapitalizacji rynkowej i wartość obrotu akcjami tych spółek i jest aktualizowany co kwartał. Muszą one również spełniać poniższe kryteria: liczba akcji w wolnym obrocie większa od 10%, wartość akcji w wolnym obrocie większa od 1 mln EUR, spółka nie może być oznaczona w sposób szczególny, spółka nie może być zakwalifikowana do segmentu Lista Alertów oraz znajdować się w Strefie Niskiej Płynności. W ramach WIG20 nie może być notowanych więcej niż 5 spółek z jednego sektora. Aktualnie w skład indeksu wchodzą między innymi: PZU (14,5%), PKN ORLEN (9%), PGE (8%), MBANK (3%), 3

EUROCASH (1,5%). Gdzie liczby w nawiasach oznaczają procentowy udział w indeksie. WIG20 obliczany jest następującym wzorem P (i)s(i) ( 1000 P (0)S(0)) K(t) gdzie: S(i) Pakiet uczestnika indeksu i na danej sesji, P(i) - Kurs uczestnika indeksu i na danej sesji, S(0) - Pakiet uczestnika indeksu i na sesji w dniu bazowym, P(0) - Kurs uczestnika indeksu i na sesji w dniu bazowym, K(t) - Współczynnik korygujący indeksu na danej sesji. Rysunek 2.1: Wykres notowań WIG20 dla ostatnich 5 lat ([8]) Rysunek 2.1 pokazuje notowania WIG20 z okresu ostatnich 5 lat w postaci wykresu świecowego. W 2011 roku przez kilka miesięcy utrzymuje się bessa co mogło być spowodowane arabską wiosną, katastrofą w Fukushimie, a przede wsystkim kryzysem w Grecji i niepewnymi rządami w Europie. 4

2.2 DAX DAX, czyli Deutscher Aktienindex jest najważniejszym niemieckim indeksem akcji Giełdy Niemieckiej Frankfurter Wertpapierbörse. Jest on obliczany na podstawie notowań 30 największych niemieckich spółek. Datą bazową indeksu jest 30 grudnia 1987 roku z wartością bazową 1000 punktów, a został wprowadzony 1 lipca 1988 roku z poziomem 1163,52 pkt. Dla celów statystycznych obliczono wartości indeksu wstecz aż do 1959 roku. Swój największy poziom osiągnął 16 lipca 2007 roku wynikiem 8105,69 punktów. DAX, inaczej niż WIG20, jest indeksem wynikowym (ang. Performanceindex) co oznacza, że przy jego obliczaniu bierze się pod uwagę nie tylko wzrost cen akcji, ale i również dochody z tytułu dywidend. W skład indeksu wchodzą takie spółki jak: Bayer (10,2%), Allianz (7,8%), Deutsche Bank (4%), BMW (3,6%), Henkel (2%), Adidas (1,5%), Lufthansa (0,8%), gdzie liczby w nawiasach wyrażają wagi tych spółek w DAX. Rysunek 2.2: Wykres notowań DAX dla ostatnich 5 lat ([8]) Rysunek 2.2 przedstawia 5-letni wykres świecowy notowań cen akcji DAX. Podobnie jak w przypadku indeksu WIG20 w 2011 występuje spadek cen, który mógł być spowodowany tymi samymi niekorzystnymi wydarzeniami w Europie i na świecie, jednak w drugiej części zaczyna się hossa, która trwa do teraz. 5

Rozdział 3 Miara ryzyka Ryzyko w najogólniejszym ujęciu to możliwość wystąpienia jakiegoś niepożądanego zdarzenia. My zajmiemy się bliżej ryzykiem finansowym, które jest możliwością, że zwrot z inwestycji będzie niższy niż oczekiwany. Najczęstsze rodzaje ryzyka finansowego to: ryzyko rynkowe (market risk) zwane również ryzykiem systematycznym (systematic risk) - związane ze zmianami wartości instrumentów finansowych, kursów walut, stóp procentowych lub cen towarów; ryzyko kredytowe (credit risk) - dotyczy ryzyka nie wywiązania się z umowy spłaty kredytu przez kredytobiorcę; ryzyko płynności (liquidity risk) - ryzyko utraty zdolności do terminowego regulowania zobowiązań płatniczych; ryzyko operacyjne (operational risk) - wynikające z nieodpowiedniej działalności operacyjnej firmy (obejmuje również ryzyko prawne) oraz ze zdarzeń zewnętrznych, np. przestępstwa popełnione przez pracowników, klęski żywiołowe. Nas interesować będzie ryzyko rynkowe inwestycji w indeksy giełdowe WIG20 i DAX. Ryzyko finansowe jest mierzalne co pozwala nam nim odpowiednio zarządzać i dążyć do tego aby ryzyko inwestycji było jak najmniejsze. Służą do tego miary ryzyka. Wyróżniamy następujące miary ryzyka: miary zmienności - mierzące rozproszenie rezultatów rzeczywistych wokół założonego celu, np. wariancja, odchylenie standardowe, p-te momenty i p-te momenty centralne; miary zagrożenia - uwzględniają tylko możliwość poniesienia strat i zajmują się określaniem ich wielkości, np. wartość zagrożona (Value at Risk) i uśredniona wartość zagrożona (Expected Shortfall); miary wrażliwości - nie podają konkretnego poziomu ryzyka, lecz pokazują wpływ czynników ryzyka, np.współczynnik beta, współczynnik determinacji R 2. Ta część została napisana na podstawie [10] i [7]. 3.1 Koherentna miara ryzyka Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, a L 0 (Ω, F, P ) zbiorem wszystkich zmiennych losowych określonych na przestrzeni mierzalnej (Ω, F ). Miara ryzyka to funkcja określona na zbiorze M, nazywanym stożkiem wypukłym. 6

Definicja 3.1.1 (Stożek wypukły) Zbiór zmiennych losowych M L 0 (Ω, F, P ) nazywamy stożkiem wypukłym jeśli: stałe należą do M, L 1, L 2 M L 1 + L 2 M, λ > 0, L M λl M. Zmienne losowe zbioru M będziemy rozumieli jako stopy strat inwestycji w przedziale czasowym, który w naszym przypadku wynosi jeden miesiąc. Definicja 3.1.2 (Miara ryzyka) Miarą ryzyka nazywamy funkcję rzeczywistą ρ : M R zdefiniowaną na stożku wypukłym. Wartości przyjmowane przez miarę ρ są rzeczywiste więc można w łatwy sposób porządkować i porównywać inwestycje pod względem ryzyka. Philippe Artzner, Freddy Delbaen. Jean-Marc Eber i David Heath w 1998 roku zaproponowali aksjomaty, które powinna spełniać dobra miara ryzyka i taką miarę nazywamy koherentną miarą ryzyka. Definicja 3.1.3 Funkcję ρ : M R nazywamy koherentną miarą ryzyka jeśli spełnia poniższe aksjomaty: Aksjomat 3.1.4 (Niezmienniczość na translację) l R L M ρ(l + L) = l + ρ(l). Aksjomat 3.1.5 (Subaddytywność) L1,L 2 M ρ(l 1 + L 2 ) ρ(l 1 ) + ρ(l 2 ). Aksjomat 3.1.6 (Dodatnia jednorodność) λ>0 ρ(λl) = λρ(l). Aksjomat 3.1.7 (Monotoniczność) L1,L 2 M L 1 L 2 ρ(l 1 ) ρ(l 2 ) p.w. Aksjomat monotoniczności 3.1.7 można zapisać równoważnie w łatwiejszy sposób do badania. Lemat 3.1.8 Jeśli miara ρ jest subaddytywna i dodatnio jednorodna to: ( ) ( ) L1,L 2 M L 1 L 2 ρ(l 1 ) ρ(l 2 ) L 1 0 ρ(l 1 ) 0 3.2 Value at Risk W roku 1994 instytucja finansowa JP Morgan opublikowała metodologię zarządzania ryzykiem Risk- Metrics, pozwalającą m.in. obliczać VaR. Od tego czasu wartość zagrożona jest szeroko używaną miarą ryzyka rynkowego jak i również kredytowego oraz operacyjnego. Value at Risk zakłada, że w normalnych warunkach rynkowych, w określonym horyzoncie czasowym i na zadanym poziomie ufności nie stracimy więcej niż pewna ustalona wartość. Definicja 3.2.1 (Value at Risk) Niech L będzie zmienną losową oznaczającą stopę straty portfela inwestycyjnego. Na zadanym poziomie ufności α, Value at Risk jest najmniejszą taką liczba l, że prawdopodobieństwo przekroczenia jej przez L jest nie większe niż (1 α): V ar α (L) = inf{l R : P (L > l) 1 α} = inf{l R : F L (l) α} (3.1) 7

Wzór 3.1 jest więc kwantylem rzędu α dystrybuanty zmiennej losowej L V ar α (L) = q α (F L ) Definicja 3.2.2 (Kwantyl) Liczbę q spełniającą warunki: nazywamy kwantylem rzędu α zmiennej losowej X. P (X q) α i P (X < q) α Zakładając, że rozkład stóp strat jest normalny oraz znając parametry tego rozkładu, wartość zagrożoną możemy oszacować ze wzoru 3.2. Uwaga 3.2.3 (Value at Risk dla rozkładu normalnego [1]) Niech L będzie zmienną losową oznaczającą stopę straty portfela inwestycyjnego. Jeśli L ma rozkład normalny z parametrami N (µ, σ), to V ar α (L) = µ + σφ 1 (α), (3.2) gdzie Φ 1 (α) jest kwantylem rzędu α rozkładu normalnego standardowego. VaR wyraża się pojedynczą liczbą co jest jest dużą zaletą, gdyż pozwala w prosty sposób porównywać ryzyko różnych inwestycji między sobą. Value at Risk nie jest jednak w ogólności miara koherentną, ponieważ nie spełnia aksjomatu subadddytywności 3.1.5. Subaddytywność z praktycznego punktu widzenia oznacza, że suma ryzyk inwestycji w pojedyncze aktywa nie przekracza ryzyka inwestycji łącznej w te aktywa. Poniżej przedstawimy przykład pokazujący, że wartość zagrożona nie posiada własności subaddytywności. Przykład 3.2.4 (Kontrprzykład na brak subaddytywności) Rozpatrzmy inwestycję w 50 akcji różnych spółek giełdowych wartości 40 zł o niezależnych stopach zwrotu, z których każda z prawdopodobieństwem 0,97 wypłaca 42 zł, a z prawdopodobieństwem 0,03 wypłaca 5 zł. Przeanalizujmy dwa portfele. Portfel A będzie składał się z 50 akcji jednej spółki. Portfel B będzie składał się z 50 akcji różnych spółek. Przez X i oznaczmy zmienną binarną taką, że P (X i = 0) = P (L i = 35) = 0, 03 P (X i = 1) = P (L i = 2) = 0, 97 gdzie L i jest funkcją straty i-tej akcji określoną następująco L i = 35X i 2(1 X i ) = 37X i 2 VaR na poziomie ufności 95% dla portfela A wynosi V ar 0,95 (50L 1 ) 3.1.6 = 50V ar 0,95 (L 1 ) = 50 ( 2) = 100 VaR na poziomie ufności 95% dla portfela B wynosi 50 50 V ar 0,95 ( L i ) = V ar 0,95 ( (37X i 2)) i=1 i=1 50 = V ar 0,95 (37 X i 100) 3.1.6,3.1.4 50 = 37 V ar 0,95 ( X i ) 100 i=1 i=1 8

Zauważmy, że 50 i=1 X i ma rozkład dwumianowy z parametrami B(50, 0.03) zatem Tak więc 50 50 37V ar 0,95 ( X i ) 100 = 37q 0,95 ( X i ) 100 = 37 4 100 = 48 i=1 i=1 50 V ar 0,95 ( L i ) > 50V ar 0,95 (L 1 ) co przeczy warunkowi subaddytywności 3.1.5. Zatem VaR nie jest miarą koherentną. Value at Risk spełnia jednak pozostałe trzy aksjomaty miary koherentnej. Lemat 3.2.5 i=1 Value at Risk spełnia aksjomat niezmienniczości (3.1.4),dodatniej jednorodności (3.1.6) i monotoniczności (3.1.7). Dowód. Niezmienniczość 3.1.4 V ar α (L + l) = inf{x R : P (L + l > x) 1 α} = inf{x R : P (L + l x) > α} Dodatnia jednorodność 3.1.6 Monotoniczność 3.1.7 = inf{x R : P (L x l) > α} = inf{y + l R : F } {{ } L (y) > α} y = inf{y R : F L (y) > α} + l = V ar α (L) + l V ar α (λl) = inf{x R : P (λl x) > α} λ>0 = inf{x R : P (L x ) > α} }{{} λ y Niech L 1 L 2 i x R. Wtedy zachodzi = inf{λy R : F L (y) > α} = λv ar α (L) L 2 x L 1 x {ω Ω : L 2 x} {ω Ω : L 1 x} P (L 2 x) > α P (L 1 x) > α {x R : P (L 2 x) > α} {x R : P (L 1 x) > α} inf{x R : P (L 2 x) > α} inf{x R : P (L 1 x) > α} V ar α (L 2 ) V ar α (L 2 ) Dodatkowo mamy twierdzenie, które mówi o tym, że w pewnych przypadkach VaR posiada własność subaddytywności. Poprzedzimy je definicją rozkładu sferycznego i rozkładu eliptycznego. Definicja 3.2.6 (Rozkład sferyczny [3]) Mówimy, że wektor losowy X = (X 1, X 2,, X p ) T ma rozkład sferyczny jeśli dla każdej macierzy ortogonalnej U, tzn. zachodzi równość rozkładów, czyli F (UX) = F (X). UU T = I p 9

Definicja 3.2.7 (Rozkład eliptyczny [3]) Mówimy, że wektor losowy X ma rozkład eliptyczny jeśli istnieje taka macierz A, wektor µ oraz wektor Y o rozkładzie sferycznym, że F (X) = F (AX+µ). Twierdzenie 3.2.8 (Subaddytywność Value at Risk [1]) Niech X = (X 1, X 2,, X p ) T ma rozkład eliptyczny oraz M = {L : L = λ 0 + jest stożkiem. Wówczas p λ j X j, λ j R} L1,L 2 M V ar α (L 1 + L 2 ) V ar α (L 1 ) + V ar α (L 2 ) Tak więc Value at Risk jest miarą koherentna w przypadku gdy analizowane dane mają rozkład eliptyczny. Przykładem takiego rozkładu jest rozkład wielowymiarowy normalny (definicja 5.1.1). j=1 3.3 Expected Shortfall VaR mówi nam jakiej maksymalnej straty możemy spodziewać się w α przypadkach, ale nie informuje nas wielkościach strat w pozostałych 1 α przypadkach. W tym celu skonstruowano miarę Expected Shortfall, posiadająca podstawowe własności miary VaR. ES uwzględnia wielkości strat po przekroczeniu ustalonego poziomu wyrażonego miarą Value at Risk, więc ES α V ar α. Mianowicie Expected Shortfall uśrednia straty nie mniejsze niż VaR. Definicja 3.3.1 (Expected Shortfall) Niech L będzie zmienną losową oznaczającą stopę straty portfela inwestycyjnego taką, że E L < z dystrybuantą F L oraz niech α będzie ustalonym poziomem ufności. Wówczas Expected shortfall nazywamy ES α (L) = 1 1 α 1 α V ar u (L)du = 1 1 α 1 α q u (F L )du (3.3) Korzystając z Mocnego Prawa Wielkich Liczb możemy zapisać Expected Shortfall w wersji dla statystyk pozycyjnych. Twierdzenie 3.3.2 (Expected Shortfall dla statystyk pozycyjnych [1]) Niech L 1, L 2, będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie oraz niech E L <. Wówczas dla statystyk pozycyjnych L 1,n L 2,n L n,n zachodzi równość lim n n(1 α) i=1 L i,n Uwaga 3.3.3 (Expected Shortfall dla próbki [4]) n(1 α) = ES α(l) z pr. 1 (3.4) Niech L 1, L 2,, L n będzie ciągiem realizacji zmiennej losowej L oraz niech α będzie ustalonym poziomem ufności. Wówczas dla statystyk pozycyjnych L 1,n L 2,n L n,n określamy estymator Expected Shortfall w następujący sposób ÊS α (L) = n(1 α) i=1 L i,n n(1 α). (3.5) 10

Podobnie jak w przypadku wartości zagrożonej, zakładając rozkład normalny stop strat, Expected Shortfall można estymować korzystając z prostego wzoru 3.6. Uwaga 3.3.4 (Expected Shortfall dla rozkładu normalnego [1]) Załóżmy, że L ma rozkład normalny z parametrami N (µ, σ 2 ). Wówczas ES α (L) = µ + σ φ(φ 1 (α)) 1 α, (3.6) gdzie φ jest gęstością standardowego rozkładu normalnego, a Φ 1 (α) kwantylem rzędu α standardowego rozkładu normalnego. W łatwy sposób można zauważyć, że z definicji 3.3.1 Expected Shortfall spełnia aksjomaty niezmienniczości 3.1.4, dodatniej jednorodności 3.1.6 i monotoniczność 3.1.7. Udowodnimy, że ES jest miarą koherentną w ogólności, czyli spełnia dodatkowo aksjomat subaddytywności 3.1.5. Lemat 3.3.5 (Subaddytywność Expected Shortfall [1]) Expected Shortfall spełnia aksjomat subaddytywności 3.1.5. Dowód. Niech (L 1, L 1 ), (L 2, L 2 ),, (L n, L n ) ciąg wektorów o rozkładzie łącznym (L, L). Oznaczmy przez (L + L) i ciąg niezależnych zmiennych losowych, takich że (L + L) i = L i + L i Dla statystyk pozycyjnych (L + L) 1,n (L + L) 2,n (L + L) n,n zauważmy, że m (L + L) i,n = sup{(l + L) i1 + + (L + L) im : 1 i 1 < < i m n} i=1 = sup{(l i1 + L i1 ) + + (L im + L im ) : 1 i 1 < < i m n} sup{l i1 + + L im : 1 i 1 < < i m n} + sup{ L i1 + + L im : 1 i 1 < < i m n} m m = L i,n + i=1 i=1 L i,n Przyjmując m = n(1 α) oraz przechodząc do granicy n i korzystając z twierdzenia 3.3.2 otrzymujemy: ES α (L + L) ES α (L) + ES α ( L) Zatem Expected Shortfall jest miarą koherentną. 11

Rozdział 4 Portfel jednoskładnikowy W tym rozdziale zajmiemy się oszacowaniem VaR i ES dla portfeli składających się tylko z WIG20 lub DAX. Do estymowania Value at Risk i Expected Shortfall użyjemy następujących metod statystycznych: 1. metoda wariancji-kowariancji (parametryczna), 2. metoda symulacji historycznej (empiryczna), 3. metoda Monte Carlo (kopuł). Pierwsza metoda opiera się na założeniu, że stopy strat pochodzą z rozkładu normalnego i estymowaniu VaR i ES odpowiednio ze wzorów 3.2 i 3.6. Druga z nich polega na założeniu, że rozkład stóp strat portfela inwestycyjnego zaobserwowanego w przeszłości będzie bliski temu, który zaobserwujemy w przyszłości. Na podstawie historycznych danych będziemy określać empiryczny rozkład stóp strat i badając go będziemy szacować miary ryzyka. Metodę Monte Carlo zastosujemy tylko dla portfela dwuskładnikowego. Polega ona na wygenerowaniu dużej ilości danych (np. 1000) na podstawie teoretycznego rozkładu stóp strat dopasowanego do empirycznego rozkładu. Będziemy analizować dane WIG20 i DAX ([8]) przedstawione odpowiednio w tabelach 4.1, 4.2. Stopy strat obliczyliśmy według poniższego wzoru (kod w Dodatku B1). gdzie: L i,j - stopa straty w i-tym miesiącu dla j-tego aktywa, W i,j - cena zamknięcia w i-tym miesiącu dla j-tego aktywa, i = 1, 2,, 60, j = 1, 2. L i,j = W i,j W i+1,j W i,j 100% (4.1) 12

Tabela 4.1: Stopy strat WIG20 Lp Zamkniecie L2 Lp Zamkniecie L2 1 2265.01-32 2371.42-5.010 2 2495.6-10.181 33 2317.56 2.271 3 2547.52-2.080 34 2421.54-4.487 4 2433.81 4.464 35 2582.98-6.667 5 2271.03 6.688 36 2492.76 3.493 6 2474.67-8.967 37 2452.01 1.635 7 2431.11 1.760 38 2370.07 3.342 8 2615.22-7.573 39 2319.15 2.148 9 2651.27-1.378 40 2485.5-7.173 10 2611.6 1.496 41 2245.64 9.650 11 2744.17-5.076 42 2326.59-3.605 12 2704.86 1.432 43 2384.22-2.477 13 2717.81-0.479 44 2391.53-0.307 14 2816.96-3.648 45 2528.97-5.747 15 2913.13-3.414 46 2584.68-2.203 16 2903.61 0.327 47 2400.98 7.107 17 2802.01 3.499 48 2355.89 1.878 18 2726.31 2.702 49 2518.53-6.904 19 2450.95 10.100 50 2462.47 2.226 20 2188.73 10.699 51 2439.09 0.949 21 2371.57-8.354 52 2429.51 0.393 22 2288.07 3.521 53 2408.81 0.852 23 2144.48 6.276 54 2320.85 3.652 24 2332.17-8.752 55 2416.97-4.142 25 2317.11 0.646 56 2500.29-3.447 26 2286.53 1.320 57 2463.68 1.464 27 2240.57 2.010 58 2416.93 1.898 28 2096.35 6.437 59 2315.94 4.178 29 2275.3-8.536 60 2341-1.082 30 2185.67 3.939 61 2339.79 0.052 31 2258.29-3.323 13

Tabela 4.2: Stopy strat DAX Lp Zamkniecie L1 Lp Zamkniecie L1 1 5598.46-32 7216.15-3.520 2 6153.55-9.915 33 7260.63-0.616 3 6135.7 0.290 34 7405.5-1.995 4 5964.33 2.793 35 7612.39-2.794 5 5965.52-0.020 36 7776.05-2.150 6 6147.97-3.058 37 7741.7 0.442 7 5925.22 3.623 38 7795.31-0.692 8 6229.02-5.127 39 7913.71-1.519 9 6601.37-5.978 40 8348.84-5.498 10 6688.49-1.320 41 7959.22 4.667 11 6914.19-3.374 42 8275.97-3.980 12 7077.48-2.362 43 8103.15 2.088 13 7272.32-2.753 44 8594.4-6.062 14 7041.31 3.177 45 9033.92-5.114 15 7514.46-6.720 46 9405.3-4.111 16 7293.69 2.938 47 9552.16-1.561 17 7376.24-1.132 48 9306.48 2.572 18 7158.77 2.948 49 9692.08-4.143 19 5784.85 19.192 50 9555.91 1.405 20 5502.02 4.889 51 9603.23-0.495 21 6141.34-11.620 52 9943.27-3.541 22 6088.84 0.855 53 9833.07 1.108 23 5898.35 3.129 54 9407.48 4.328 24 6458.91-9.504 55 9470.17-0.666 25 6856.08-6.149 56 9474.3-0.044 26 6946.83-1.324 57 9326.87 1.556 27 6761.19 2.672 58 9980.85-7.012 28 6264.38 7.348 59 9805.55 1.756 29 6416.28-2.425 60 10694.32-9.064 30 6772.26-5.548 61 10663.51 0.288 31 6970.79-2.932 14

4.1 Testowanie normalności rozkładów Przed oszacowaniem miar ryzyka zbadamy czy jednowymiarowe dane pochodzą z rozkładu normalnego. Posłużymy się programem SAS Base, a konkretnie procedurą PROC UNIVARIATE z opcją normal. Kod znajduje się w Dodatku B2. Na poziomie istotności α = 5% zbadamy następujące hipotezy: H 0 : analizowane dane pochodzą z rozkładu normalnego, H A : analizowane dane nie pochodzą z rozkładu normalnego. Przeprowadzimy testy normalności, a konkretnie test Shapiro-Wilka, który opiera się na statystykach pozycyjnych i jest uważany za jeden z najmocniejszych testów normalności oraz na testy Kołmogorowa- Smirnowa, Cramera-von Misesa, Andersona-Darlinga, które na różne sposoby badają różnicę miedzy dystrybuantą teoretyczną, a dystrybuantą empiryczną. Dla danych stóp strat indeksu WIG20 otrzymujemy wyniki zawarte w tabeli 4.3. Tabela 4.3: Testy normalności WIG20 Test Statystyka Wartość p Shapiro-Wilka W 0.9766 P r. < W 0.3027 Kołmogorowa-Smirnowa D 0.0903 P r. > D > 0.1500 Cramera-von Misesa W-kwadr. 0.088363 P r. > D 0.1612 Andersona-Darlinga A-kwadr. 0.493736 P r. > D 0.2168 Zarówno w teście Shapiro-Wilka jak i w testach opartych o dystrybuantę empiryczną wartość p jest większa zadanego poziomu istotności α, zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H 0, tak więc przyjmujemy, że stopy strat WIG20 pochodzą z rozkładu normalnego. Tabela 4.4: Testy normalności DAX Test Statystyka Wartość p Shapiro-Wilka W 0.9318 P r. < W 0.0024 Kołmogorowa-Smirnowa D 0.0813 P r. > D > 0.1500 Cramera-von Misesa W-kwadr. 0.053639 P r. > D > 0.2500 Andersona-Darlinga A-kwadr. 0.515984 P r. > D 0.1920 Badając stopy strat DAX otrzymujemy wyniki dane w tabeli 4.4. Inaczej niż w przypadku badania normalności danych WIG20 wartość p w teście Shapiro-Wilka jest mniejsza od zadanego poziomu istotności α. Jednak wartości p testów Kołmogorowa-Smirnowa, Cramera-von Misesa, Andersona-Darlinga są znacznie większe od poziomu istotności, więc przyjmiemy, że dane pochodzą z rozkładu normalnego. 4.2 Oszacowanie VaR i ES W metodzie symulacji historycznej (empirycznej) Value at Risk jest kwantylem na zadanym poziomie α z empirycznych danych, więc wartość zagrożoną na poziomie ufności α = 95% oszacujemy wykorzystując PROC MEANS z opcją P95. Expected Shortfall w metodzie symulacji historycznej wyestymujemy korzystając z uwagi 3.3.3, jako średnią z 5% najgorszych przypadków. Kody użyte do oszacowań znajdują się w Dodatku B3. Wyniki otrzymane metodą symulacji historycznej zostały umieszczone w tabeli 4.5. 15

Tabela 4.5: Miary ryzyka - metoda empiryczna WIG20 DAX V ar 0.95 8.37850 4.77800 ES 0.95 10.1496667 10.4763333 W metodzie wariancji-kowariancji (parametrycznej) w przypadku portfela jednoskładnikowego, VaR i ES estymujemy bezpośrednio z uwag 3.2.3 i 3.3.4. W podrozdziale 4.1 przyjęliśmy, że stopy strat WIG20 i DAX pochodzą z rozkładów normalnych. Do oszacowania miary ryzyka metodą wariancji-kowariancji potrzebne są jeszcze parametry tych rozkładów. Podstawiając odpowiednie wartości z tabeli 4.6 do wzoru 3.2 Tabela 4.6: Parametry przyjętych rozkładów normalnych WIG20 DAX Średnia -0.1751333-1.1962333 Odchylenie standardowe 4.96175222 4.80377011 estymujemy VaR: WIG20 DAX V ar 0.95 = 0.1751333 + 4.96175222 1.644854 = 7.986223 Korzystając ze wzoru 3.3.4 estymujemy ES: WIG20 DAX V ar 0.95 = 1.1962333 + 4.80377011 1.644854 = 6.705265 ES 0.95 = 0.1751333 + 4.96175222 0.1031356 0.05 ES 0.95 = 1.1962333 + 4.80377011 0.1031356 0.05 Tabela 4.7 zestawia wyniki dla metody parametrycznej. = 10.05954, = 8.712565. 16

Tabela 4.7: Miary ryzyka - metoda parametryczna WIG20 DAX V ar 0.95 7.986 6.705 ES 0.95 10.059 8.712 Oszacujmy teraz kwotę potrzebną na zabezpieczenie inwestycji. Analizujemy inwestycję 1 mln złotych w WIG20 i inwestycję 1 mln złotych w DAX. W tabeli 4.8 zostały zestawione wyniki. Tabela 4.8: Wartość ryzyka inwestycji [zł] Metoda empiryczna Metoda parametryczna V ar 0.95 ES 0.95 V ar 0.95 ES 0.95 WIG20 83 785 101 496 79 862 100 595 DAX 47 780 104 763 67 053 87 126 Interpretacja miar ryzyka obliczonych metodą symulacji historycznej dla WIG20: Przy zadanym horyzoncie czasowym, który wynosi 1 miesiąc w 95% przypadkach nie stracimy więcej niż 83 785 złotych. W pozostałych 5% przypadkach wielkość strat wyniesie średnio 101 496 złotych. Interpretacja miar ryzyka obliczonych metodą wariancji-kowariancji dla WIG20: Przy zadanym horyzoncie czasowym, który wynosi 1 miesiąc w 95% przypadkach nie stracimy więcej niż 79 862 złotych. W pozostałych 5% przypadkach wielkość strat wyniesie średnio 100 595 złotych. Analogicznej interpretacji można dokonać dla DAX. 17

Rozdział 5 Portfel dwuskładnikowy W tym rozdziale przeanalizujemy inwestycję kwoty 1 mln złotych w portfel dwuskładnikowy składający się z WIG20 i DAX. Najpierw zajmiemy się badaniem czy łączny rozkład stóp strat pochodzi z dwuwymiarowego rozkładu normalnego. Następnie oszacujemy miary ryzyka dla portfela dwuskładnikowego z równymi udziałami obu składników. Na końcu tego rozdziału spróbujemy znaleźć jak najmniej ryzykowany podział portfela. 5.1 Analiza rozkładu portfela dwuskładnikowego Metoda wariancji-kowariancji zakłada wielowymiarowy rozkład normalny portfela wieloskładnikowego, będziemy więc weryfikować hipotezę czy wektor losowy (L 1, L 2 ) posiada dwuwymiarowy rozkład normalny. Najpierw zdefiniujmy wielowymiarowy rozkład normalny. Definicja 5.1.1 (Rozkład wielowymiarowy normalny [3]) Wektor ma niezdegenerowany rozkład normalny (gaussowski) X N (µ, Σ), jeśli EX = µ, Σ = E(X µ)(x µ) T oraz detσ 0, gęstość wyraża się wzorem 1 ( f(x) = (2π) p/2 Σ exp 1 ) 1/2 2 (x µ)σ 1 (x µ) dla x R p. (5.1) W przypadku p = 2 parametry rozkładu przyjmują postać: [ ] [ µx σx 2 cov(x, Y ) µ =, Σ = cov(x, Y ) µ y σ 2 y ] = [ σ 2 x ρσ x σ y ρσ x σ y σ 2 y ]. Funkcja gęstości wektora (X, Y ) przedstawia się następująco ( [ ]) 1 f(x, y) = 2πσ x σ exp 1 (x µ x ) y 1 ρ 2 2(1 ρ 2 ) σx 2 + (y µ y) σy 2 2ρ(x µ x)(y µ y ), σ x σ y gdzie ρ = ρ(x, Y ) jest współczynnikiem korelacji Pearsona. 18

5.1.1 Test Mardii Do zbadania czy dane pochodzą z dwuwymiarowego rozkładu normalnego można posłużyć się testem Mardii. Dla próby losowej X 1, X 2,, X n z p-wymiarowego wektora losowego definiuje się estymator p-wymiarowej skośności β 1,p = 1 n 2 oraz estymator p-wymiarowej kurtozy β 2,p = 1 n gdzie n i=1 j=1 n [(X i X) T S 1 (X j X)] 3 n [(X i X) T S 1 (X i X)] 2 i=1 X = 1 n jest estymatorem wartości oczekiwanej µ, oraz n i=1 X i S = 1 n (X i X)(X i X) T n i=1 jest nieobciążonym estymatorem macierzy kowariancji Σ. Hinduski statystyk Kantilal Mardia pokazał, że przy założeniu hipotezy zerowej, która mówi o tym, że dane pochodzą z wielowymiarowego rozkładu normalnego, prawdziwe są zależności: n 6 β 1,p χ 2 p(p + 1)(p + 2) ( ) 6 β 2,p N (p(p + 2), 8p(p + 2) ) n Do zbadania normalności rozkładu danych w programie SAS Base użyjemy procedury PROC CALIS z opcją KURTOSIS (kod w Dodatku B4). Mianowicie sprawdzimy czy Kappa wg Mardii, Średnia skalowana kurtoza wielowymiarowa oraz Skorygowana średnia skalowana kurtoza wielowymiarowa są większe od 2 2 p+2, gdzie p to wymiar wektora. W naszym przypadku p = 2, więc p+2 = 1 2. Badamy hipotezę zerową H 0, mówiącej o tym, że dane pochodzą z rozkładu dwuwymiarowego normalnego, przeciwko hipotezie alternatywnej H A zaprzeczającej temu, że dane pochodzą z rozkładu dwuwymiarowego normalnego. Wyniki uzyskane w teście znajdują się w tabeli 5.1. Tabela 5.1: Test kurtozy Mardii Kappa wg Mardii (Browne, 1982) 0.4030 Średnia skalowana kurtoza wielowymiarowa 0.6732 Skorygowana średnia skalowana kurtoza wielowymiarowa 0.6732 Wszystkie trzy wartości są większe od 1 2, zatem nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H 0. Przyjmujemy zatem, że wektor losowy (L 1, L 2 ) posiada dwuwymiarowy rozkład normalny. Tak więc wiedząc, że rozkład normalny jest przykładem rozkładu eliptycznego oraz na podstawie twierdzenia 3.2.8 Value at Risk jest miarą koherentną. Do estymowania miar ryzyka w metodzie wariancji-kowariancji (parametrycznej) potrzebujemy parametrów przyjętego rozkładu, które uzyskujemy procedurą PROC CORR (kod w Dodatku B4). Są to 19

kolejno: wektor wartości oczekiwanych µ = [ 1.19623 0.17513 ] (5.2) macierz kowariancji 5.1.2 Wykres kde Σ = [ 23.07620727 15.75870163 15.75870163 24.61898510 ]. (5.3) Do zilustrowania rozkładu wektora losowego (L 1, L 2 ) użyjemy programu SAS Base i posłużymy się procedurą PROC KDE, która estymuje wykres funkcji gęstości (kod w Dodatku B5). Rysunek 5.1 przedstawia dwuwymiarowy wykres konturowy rozkładu i gęstości wektora losowego (L 1, L 2 ) gdzie L 1 to stopy strat DAX, a L 2 stopy strat WIG20. Rysunek 5.2 to trójwymiarowy sposób przedstawienia tego samego co na rysunku 5.1. Analizując wykresy możemy podejrzewać, że dane pochodzą z dwuwymiarowego rozkładu normalnego. Rysunek 5.1: Wykres konturowy 20

Rysunek 5.2: Wykres powierzchniowy nałożony na histogram 5.2 Oszacowanie VaR i ES portfela dwuskładnikowego Oszacujemy Value at Risk i Expected Shortfall dla portfela dwuskładnikowego. Z jednego miliona złotych połowę inwestujemy w DAX, a połowę w WIG20. Posługując się metodą historyczną (empiryczną) policzymy miary ryzyka dla L 3 = 1 2 L 1 + 1 2 L 2. Postępujemy podobnie jak w przypadku portfeli jednoskładnikowych, tak więc korzystając z definicji Value at Risk 3.1 oraz z uwagi o Expected Shortfall z próbki 3.3.3 (kod w Dodatku B6) otrzymujemy wyniki zestawione w tabeli 5.2. Tabela 5.2: Miary ryzyka portfela dwuskładnikowego - m. empiryczna 1 2 DAX + 1 2 W IG20 V ar 0.95 7.0255000 ES 0.95 9.866167 W podrozdziale 5.1 przyjęliśmy, że wektor losowy (L 1, L 2 ) posiada dwuwymiarowy rozkład normalny. Zatem dowolna kombinacja liniowa składowych [ tego wektora L = ω 1 L 1 + ω 2 L 2 posiada jednowymiarowy rozkład normalny N (ωµ, ωσω T ) gdzie ω = ω 1 ω 2 ]. Wykorzystamy tę własność do oszacowania miar ryzyka w metodzie wariancji-kowariancji (parametrycznej) dla L 3 = 1 2 L 1 + 1 2 L 2. Ponownie użyjemy uwag 3.2.3 i 3.3.4 zakładających rozkład normalny. 21

Wzory 3.2 i 3.6 dla L 3 przedstawiają się następująco [ gdzie ω = 1 2 1 2 ]. V ar α = ωµ + ωσω T Φ 1 (α) (5.4) ES α = ωµ + ωσω T φ(φ 1 (α)) 1 α Wstawiając odpowiednie dane z 5.2 i 5.3 uzyskujemy wyniki dla portfela dwuskładnikowego. (5.5) Tabela 5.3: Miary ryzyka portfela dwuskładnikowego - m. parametryczna 1 2 DAX + 1 2 W IG20 V ar 0.95 6.634039 ES 0.95 8.493542 5.3 Dywersyfikacja portfela W poprzednim podrozdziale rozważyliśmy portfel 1 2 DAX+ 1 2WIG20, czy jest to jednak najlepszy podział portfela? Chcąc to sprawdzić spróbujemy znaleźć wagi w 1 i w 2 dla DAX i WIG20 tak aby ryzyko nowego portfela w 1 DAX+w 2 WIG20 było jak najmniejsze. Najpierw zaczerpniemy z Nowoczesnej teorii portfela (Modern portfolio theory) zapoczątkowanej przez Harry ego Markowitza w latach 50 ubiegłego stulecia. Główną ideą tej teorii jest to aby przy ustalonym poziomie ryzyka, maksymalizować oczekiwaną stopę zwrotu portfela, albo odwrotnie, przy ustalonej oczekiwanej stopie zwrotu minimalizować ryzyko portfela. Ryzyko portfela w tym przypadku będziemy mierzyć miarą zmienności w postaci wariancji. Jako oczekiwaną stopę zwrotu portfela będziemy rozumieć Natomiast jako wariancję portfela E(L) = E(w 1 L 1 + w 2 L 2 ) = w 1 E(L 1 ) + w 2 E(L 2 ) σ 2 L = w 2 1σ 2 L 1 + w 2 2σ 2 L 2 + 2w 1 w 2 cov(l 1, L 2 ), gdzie cov(l 1, L 2 ) jest kowariancją między L 1 i L 2, którą można zapisać w postaci cov(l 1, L 2 ) = ρ 12 σ L1 σ L2, ρ 12 - współczynnik korelacji Pearsona między L 1 i L 2. Nas interesuje portfel jak najmniej ryzykowny, chcemy więc minimalizować wariancję przy warunku w 1 +w 2 =1. Zatem wariancja będzie postaci σ 2 L = w 2 1σ 2 L 1 + (1 w 1 ) 2 σ 2 L 2 + 2w 1 (1 w 1 )cov(l 1, L 2 ) (5.6) Podstawiając wartości z macierzy kowariancji 5.3 do równania 5.6 otrzymujemy σ 2 L = w 2 1 23.076 + (1 w 1 ) 2 24.619 + 2w 1 (1 w 1 ) 15.759. (5.7) W powyższym równaniu σ 2 L oznaczymy jako f(w 1), czyli funkcję zmiennej w 1. Aby znaleźć jej minimum obliczymy pochodną i przyrównamy ją do 0. f(w) = 16.177w 2 1 17.720w 1 + 24.619 f w = 32.354w 1 17.720 = 0 22

Stąd w 1 = 0.548 w 2 = 0.452 Zatem nasz zdywersyfikowany portfel przedstawia się następująco 0.548 DAX + (1 0.548)W IG20 = 0.548 DAX + 0.452 W IG20 Szacując miary ryzyka metodą wariancji-kowariancji (parametryczną) dla tak zdywersyfikowanego portfela otrzymujemy wyniki zawarte w tabeli 5.4. Tabela 5.4: Miary ryzyka portfela z minimalną wariancją 54.8%DAX + 45.2%W IG20 1 2 DAX + 1 2 W IG20 V ar 0.95 6.57822 6.634039 ES 0.95 8.435999 8.493542 Widzimy, że rzeczywiście 6.57822 < 6.634039 oraz 8.435999 < 8.493542, tak więc minimalizując ryzyko w postaci wariancji udało nam się również zmniejszyć VaR i ES. My chcemy jednak znaleźć wagi portfela tak, aby wartość Value at Risk była jak najmniejsza. Używając kodu w Dodatku B7 znajdujemy wagi dla portfela minimalną wartością zagrożoną estymowaną metodą parametryczną. w 1 = 0.72 w 2 = 0.28 W tym przypadku portfel inwestycyjny jest postaci 0.72 W IG20 + 0.28 DAX i ten portfel będziemy traktować jako optymalny ze względu na ryzyko. Miary ryzyka dla powyższego portfela zawarte zostały w tabeli 5.5. Tabela 5.5: Miary ryzyka optymalnego portfela - m. parametryczna 72%DAX + 28%W IG20 V ar 0.95 6.4909223 ES 0.95 8.3711366 23

Zestawmy teraz wszystkie wyniki w tabeli 5.6. Tabela 5.6: Zestawienie portfeli Metoda empiryczna Metoda parametryczna V ar 0.95 ES 0.95 V ar 0.95 ES 0.95 WIG20 8.378 10.149 7.986 10.059 DAX 4.778 10.476 6.705 8.712 1 2 DAX + 1 2W IG20 7.025 9.866 6.634 8.493 54.8%DAX + 45.2%W IG20 6.927 9.844 6.578 8.436 72%DAX + 28%W IG20 6.289 10.084 6.490 8.371 Widzimy, że ES oszacowane metodą symulacji historycznej dla zdywersifikowanego portfela jest większe niż dla portfela z równym udziałem aktywów (10.0849867 > 9.8661674). Mogło się tak zdarzyć, gdyż minimalizujemy ryzyko estymowane metodą parametryczną. Expected Shortfall jest miarą koherentną w ogólności, więc spełnia też warunek subaddytywności 3.1.5, jednak Value at Risk spełnia ten warunek tylko gdy badany rozkład stóp strat posiada rozkład eliptyczny. W podejściu parametrycznym przyjęliśmy, że (L 1, L 2 ) pochodzi z dwuwymiarowego rozkładu normalnego, zatem w tym przypadku VaR powinien być subaddytywny i tak też jest. V ar 0.95 ( 1 2 L 1 + 1 2 L 2) 1 2 V ar 0.95(L 1 ) + 1 2 V ar 0.95(L 2 ) 6.634 < 1 2 6.705 + 1 7.986 = 7.345 2 V ar 0.95 (54.8%L 1 + 45.2%L 2 ) 54.8%V ar 0.95 (L 1 ) + 45.2%V ar 0.95 (L 2 ) 6.578 < 54.8% 6.705 + 45.2% 7.986 = 7.284 V ar 0.95 (72%L 1 + 28%L 2 ) 72%V ar 0.95 (L 1 ) + 28%V ar 0.95 (L 2 ) 6.490 < 72% 6.705 + 28% 7.986 = 7.063 W podejściu empirycznym nie zakładamy żadnego rozkładu i w tym przypadku VaR nie musi być subaddytywny, co też ma miejsce. 7.025 > 1 2 4.778 + 1 8.378 = 6.578 2 6.927 > 54.8% 4.778 + 45.2% 8.378 = 6.405 6.289 > 72% 4.778 + 28% 8.378 = 5.786 24

Rozdział 6 Funkcja kopuły W podrodziale 5.1.1 sprawdzaliśmy hipotezę zerową czy wektor (L 1, L 2 ) pochodzi z dwuwymiarowego rozkładu normalnego i przyjęliśmy ją. Co jednak gdybyśmy odrzucili hipotezę zerową? Badanie rozkładów wielowymiarowych danych sprawia trudności, jednak z pomocą przychodzi nam funkcja kopuły. Znając rozkłady brzegowe, poprzez funkcję kopuły możemy modelować rozkład łączny. 6.1 Twierdzenie Sklara i poszczególne kopuły Funkcję kopuły możemy określić jako dystrybuantę wielowymiarową z jednostajnymi rozkładami brzegowymi. My w całym tym rozdziale ograniczymy się do kopuł dwuwymiarowych. Definicja 6.1.1 2-wymiarową kopułą nazywamy funkcję C : I 2 I, gdzie I = [0, 1], spełniającą warunki: 1. C(u, v) jest niemalejąca względem u i v, 2. C(1, v) = v, C(u, 1) = u, 3. u2 u 1 v 2 v 1 C(u 2, v 2 ) C(u 2, v 1 ) C(u 1, v 2 ) + C(u 1, v 1 ) 0. Dla kopuł istnieje następujące ograniczenie. Twierdzenie 6.1.2 (Ograniczenie Frecheta) Niech C : I 2 I będzie 2-wymiarową funkcją kopułą. Wówczas: max(u + v 1, 0) C(u, v) min(u, v) (6.1) Lewa strona nierówności 6.1 zwana jest kopułą przeciwmonotoniczną, natomiast prawa strona tej samej nierówności to kopuła monotoniczna. Kluczowym w pracy z kopułami jest twierdzenie Abe Sklara. Poprzedzimy je innym ważnym twierdzeniem o transformacji kwantyla (1.) i tranformacji prawdopodobieństwa (2.). Twierdzenie 6.1.3 ([1]) Niech G będzie dystrybuantą, a G 1 będzie uogólnioną dystrybuantą odwrotną G 1 (y) = inf{x : G(x) y}. 1. Jeśli U U(0, 1) ma standardowy rozkład jednostajny, to P (G 1 (U) x) = G(x). 2. Jeśli Y ma ciągła dystrybuantę G, to G(Y ) U(0, 1). 25

Twierdzenie 6.1.4 (Sklara) Niech F będzie dystrybuantą łączną z dystrybuantami brzegowymi F 1, F 2. Wtedy istnieje kopuła C : I 2 I taka, że dla każdego u, v R = [, + ] F (u, v) = C(F 1 (u), F 2 (v)). (6.2) Ponadto, jeśli F 1, F 2 są funkcjami ciągłymi to C jest jednoznacznie określona. W przeciwnym wypadku C jest wyznaczona jednoznacznie na RanF 1 RanF 2, gdzie RanF i = F i (R) dla i = 1, 2. Odwrotnie, jeśli C jest kopułą i F 1, F 2 są dystrybuantami brzegowymi, wtedy funkcja F zdefiniowana jak w 6.2 jest dystrybuantą łączną z dystrybuantami brzegowymi F 1, F 2. Znając twierdzenie Sklara 6.1.4 będziemy modelować rozkład łączny (L 1, L 2 ) F za pomocą rozkładów F L1 i F L2 oraz kopuły C F (u, v) = C(F L1 (u), F L2 (v)) Weźmy η, ξ U(0, 1) o dystrybuancie (η, ξ) C(u, v). Wiemy, że L 1 = F 1 L 1 (η) L 2 = F 1 L 2 (ξ) Otrzymujemy rozkład łączny F (u, v) = P (L 1 u, L 2 v) = P (F 1 L 1 (η) u, F 1 L 2 (ξ) v) = P (η F L1 (u), ξ F L2 (v)) = C(F L1 (u), F L2 (v)) W programie SAS Base mamy dostępnych pięć kopuł, które pochodzą z rodzin kopuł eliptycznych i archimedejskich. Do pierwszej z tych rodzin należy kopuła normalna oraz kopuła T. Do rodziny kopuł archimedejskich należy kopuła Claytona, Gumbela oraz Franka. Poniżej krótko scharakteryzujemy każdą z kopuł (napisane na podstawie [1] i [9]). Kopuła normalna może być zapisana jako C ρ (u 1, u 2 ) = Φ ρ (Φ 1 (u 1 ), Φ 1 (u 2 )) gdzie Φ oznacza dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego, a Φ ρ jest dystrybuantą dwuwymiarowego rozkładu normalnego N 2 (0, ρ) z współczynnikiem korelacji ρ. Kopuła T jest związana z rozkładem t-studenta i można ją zapisać następująco C ν,ρ = t ν,ρ (t 1 ν (u 1 ), t 1 ν (u 2 )), gdzie t ν oznacza dystrybuantę rozkładu t-studenta o ν stopniach swobody, a t ν,ρ oznacza dystrybuantę dwuwymiarowego rozkładu t-studenta o ν stopniach swobody i współczynniku korelacji ρ. Kopuły z rodziny archimedejskiej można przedstawić w następującej postaci C(u, v) = ϕ [ 1] (ϕ(u) + ϕ(v)) gdzie ϕ : I [0, ] jest ściśle malejącą i ciągła funkcją nazywaną generatorem kopuły, taką że ϕ(1) = 0, a ϕ [ 1] jest pseudo-odwrotnością ϕ określoną następująco ϕ [ 1] ϕ 1 (x) dla 0 x ϕ(0) (x) = 0 dla ϕ(0) x Parametrem kopuł z tej rodziny jest θ. Dla kopuły Claytona generator zdefiniowany jest następująco ϕ(t) = θ 1 (t θ 1), 26

a sama funkcja jest postaci C θ (u, v) = [u θ + v θ 1] 1/θ, gdzie θ > 0. Generator kopuły Franka wyraża się wzorem natomiast funkcja gdzie θ (, + )\{0}. Generatorem kopuły Gumbela jest C θ (u, v) = 1 θ log [ 1 + exp( θt 1) ϕ(t) = log[ exp( θ 1) ], (exp( θu) 1)(exp( θv) 1) ], exp( θ 1) ϕ(t) = ( log(t)) θ, funkcja kopuły to C θ (u, v) = exp [(( log(u)) θ + ( log(v)) θ) 1/θ], gdzie θ > 1. 6.2 Oszacowanie VaR i ES za pomocą kopuły Znając twierdzenie Sklara oraz sposób w jaki możemy modelować rozkład łączny (podrodział 6.1) przejdźmy do dopasowania kopuły do danych w celu oszacowania miar ryzyka metodą Monte Carlo (kopuł). W programie SAS Base użyjemy procedury PROC COPULA, która dopasowuje kopułę do naszych danych, estymując parametr kopuły. Na podstawie najlepiej dopasowanej kopuły wygenerujemy próbkę tysiąca danych z rozkładu jednostajnego standardowego i odwrócimy je za pomocą rozkładów brzegowych L 1 N ( 1.196, 23.076) i L 2 N ( 0.175, 24.619). Z tak otrzymanej próbki oszacujemy Value at Risk i Expected Shortfall. Przedstawimy teraz parametry kopuł wyestymowane przez SAS. Dla kopuły normalnej jedynym parametrem jest macierz korelacji [ Kopuła T również posiada macierz korelacji [ 1 0.662 0.662 1 1 0.683 0.683 1 ] ] Dla tej kopuły SAS estymuje również liczbę stopni swobody ν, w tym przypadku równą 5.807. Dla kopuł archimedejskich SAS estymuje parametr theta. Parametry oszacowane dla naszych danych znajdują się w tabeli 6.1. Rysunki 6.1-6.5 to wykresy funkcji gęstości dla poszczególnych kopuł. Tabela 6.1: Parametr theta Clayton Frank Gumbel θ 1.206 5.066 1.905 27

Rysunek 6.1: Wykres gęstości dla kopuły normalnej Rysunek 6.2: Wykres gęstości dla kopuły T 28

Rysunek 6.3: Wykres gęstości dla kopuły Claytona Rysunek 6.4: Wykres gęstości dla kopuły T 29

Rysunek 6.5: Wykres gęstości dla kopuły Gumbela Kryteria, według których dobierzemy najlepiej dopasowaną kopułę to Log Likelihood (im większe tym lepsze dopasowanie), AIC (im mniejsze tym lepsze dopasowanie) oraz SBC (im mniejsze tym lepsze dopasowanie). Tabela 6.2 przedstawia powyższe kryteria zestawione dla analizowanych kopuł. Tabela 6.2: Dopasowanie kopuły T Clayton Frank Gumbel Log Likelihood 17.84095 12.86155 15.13502 18.19941 AIC -31.68190-23.72309-28.27003-34.39883 SBC -27.49321-21.62875-26.17569-32.30448 Widać, że najlepiej dopasowana do danych jest kopuła Gumbela. Oszacujmy Value at Risk i Expected Shortfall dla różnych portfeli korzystając z definicji VaR 3.2.1 oraz z uwagi 3.3.3. Otrzymujemy wyniki zawarte w tabeli 6.3. 30

Tabela 6.3: Miary ryzyka dla portfeli dwuskładnikowych - m. kopuł VaR ES 1 2 DAX+ 1 2WIG20 7.028 9.023 54.8%DAX + 45.2%W IG20 6.956 8.938 72%DAX + 28%W IG20 6.713 8.759 Dla porównania w ten sam sposób oszacujemy miary ryzyka używając pozostałych kopuł z parametrami z tabeli 6.1 dla naszego optymalnego portfela, czyli 72%DAX + 28%W IG20. Tabela 6.4 zestawia wyniki tych działań. Tabela 6.4: Miary ryzyka dla wszystkich kopuł Normalna T Clayton Frank Gumbel VaR 6.875 6.546 5.713 5.788 6.713 ES 9.195 8.933 7.390 7.682 8.759 Widzimy, że np. dla kopuł Claytona i Franka wartości VaR i ES są niższe, jednak my, modelując kopuły nie szukamy najmniejszej wartości miary ryzyka, lecz najbardziej prawdopodobnej. 31

Rozdział 7 Podsumowanie Celem tej pracy była ocena i skonstruowanie optymalnego portfela inwestycyjnego ze względu na ryzyko w postaci Value at Risk oraz Expected Shortfall. My dokonaliśmy tego na kilka sposobów, spróbujmy pokrótce ocenić ich słuszność. W tym celu zestawmy jeszcze raz wszystkie wyniki dla portfeli jednoskładnikowych oraz dwuskładnikowych w jednej tabeli. Tabela 7.1: Zestawienie inwestycji Metoda empiryczna Metoda parametryczna Metoda kopuł V ar 0.95 ES 0.95 V ar 0.95 ES 0.95 V ar 0.95 ES 0.95 WIG20 8.378 10.149 7.986 10.059 - - DAX 4.778 10.476 6.705 8.712 - - 1 2 DAX + 1 2W IG20 7.025 9.866 6.634 8.493 7.028 9.023 54.8%DAX + 45.2%W IG20 6.927 9.844 6.578 8.436 6.956 8.938 72%DAX + 28%W IG20 6.289 10.084 6.490 8.371 6.713 8.759 Widzimy, że w przypadku inwestycji w DAX, estymując VaR metodą symulacji historycznej (empiryczną) otrzymaliśmy najniższą ze wszystkich wartości - 4.778. Jednak taki sposób szacowania przy zaledwie 60 danych historycznych może być niedokładny, i tak na przykład VaR dla inwestycji w DAX jest taki sam na poziomie ufności od 95.1% do 96.6% i wynosi 4.889, a w przedziale 96.7% do 98.3% rośnie do 7.348. Dla poziomu ufności α > 98.3% VaR zwiększa się ponad dwukrotnie do wartości 19.192 (kod w Dodatku B9). Metodą wariancji-kowariancji (parametryczną), która zakłada normalność rozkładu stóp strat. Przeprowadziliśmy więc testy normalności dla danych jednowymiarowych L 1, L 2 oraz dla wektora dwuwymiarowego (L 1, L 2 ) i w żadnym przypadku nie odrzuciliśmy hipotezy zerowej mówiącej o normalności rozkładu. Zatem oszacowanie miar ryzyka tą metodą w tym przypadku wydaje się być słuszne. W metodzie Monte Carlo (kopuł) zapoznaliśmy się z teorią funkcji kopuł, za pomocą których możemy modelować rozkład łączny znając rozkłady brzegowe, które są łatwiejsze do badania. Najlepiej dopasowaną kopułą okazała się być kopuła Gumbela i w oparciu o nią oraz korzystając z przyjętych rozkładów L 1 N ( 1.196, 23.076) i L 2 N ( 0.175, 24.619) wygenerowaliśmy dużą próbkę, na podstawie której oszacowaliśmy VaR i ES. Tak więc i ta metoda oceny ryzyka jawi się jako uzasadniona. Podsumowując, jeśli miałbym wybrać inwestycję najmniej ryzykowną i równocześnie wiarygodną, wybrałbym inwestycję w portfel dwuskładnikowy o udziałach w aktywa 72% DAX i 28% WIG20. Osza- 32

cowania VaR i ES dla inwestycji 1 mln złotych wynoszą odpowiednio 64 900 zł i 83 731 zł w metodzie wariancji-kowariancji oraz 67 130 zł i 87 590 zł w metodzie Monte Carlo. 33

Bibliografia [1] Alexander J. McNeil, Rüdiger Frey, Paul Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools, Princeton University Press, 2005. [2] Kevin Dowd: Measuring Market Risk, John Wiley & Sons Ltd, 2002. [3] dr hab. Karol Dziedziul: Teoria ryzyka z SAS, http://www.mif.pg.gda.pl/homepages/kdz/ teoriaryzyka/ryzyko.pdf, (data dostępu 21.03.2015). [4] Carlo Acerbi, Dirk Tasche: Expected Shortfall: a natural coherent alternative to Value at Risk, 2001, http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0105191.pdf, (data dostępu 16.04.2015). [5] Carlo Acerbi, Dirk Tasche: On the coherence of Expected Shortfall, 2002, http://arxiv.org/pdf/ cond-mat/0104295.pdf, (data dostępu 16.04.2015). [6] Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie: Indeksy Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie, styczeń 2015, http://www.gpw.pl/, (data dostępu 21.03.2015). [7] Krzysztof Jajuga, Teresa Jajuga: Inwestycje, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2008. [8] http://stooq.pl/, (data dostępu 05.03.2015). [9] http://support.sas.com/documentation/, (data dostępu 10.05.2015). [10] http://en.wikipedia.org/wiki/, (data dostępu 10.05.2015). 34

Spis rysunków 2.1 Wykres notowań WIG20 dla ostatnich 5 lat ([8])....................... 4 2.2 Wykres notowań DAX dla ostatnich 5 lat ([8])........................ 5 5.1 Wykres konturowy........................................ 20 5.2 Wykres powierzchniowy nałożony na histogram........................ 21 6.1 Wykres gęstości dla kopuły normalnej............................. 28 6.2 Wykres gęstości dla kopuły T.................................. 28 6.3 Wykres gęstości dla kopuły Claytona.............................. 29 6.4 Wykres gęstości dla kopuły T.................................. 29 6.5 Wykres gęstości dla kopuły Gumbela.............................. 30 35

Spis tabel 4.1 Stopy strat WIG20........................................ 13 4.2 Stopy strat DAX......................................... 14 4.3 Testy normalności WIG20.................................... 15 4.4 Testy normalności DAX..................................... 15 4.5 Miary ryzyka - metoda empiryczna............................... 16 4.6 Parametry przyjętych rozkładów normalnych......................... 16 4.7 Miary ryzyka - metoda parametryczna............................. 17 4.8 Wartość ryzyka inwestycji [zł].................................. 17 5.1 Test kurtozy Mardii....................................... 19 5.2 Miary ryzyka portfela dwuskładnikowego - m. empiryczna.................. 21 5.3 Miary ryzyka portfela dwuskładnikowego - m. parametryczna................ 22 5.4 Miary ryzyka portfela z minimalną wariancją......................... 23 5.5 Miary ryzyka optymalnego portfela - m. parametryczna................... 23 5.6 Zestawienie portfeli........................................ 24 6.1 Parametr theta.......................................... 27 6.2 Dopasowanie kopuły....................................... 30 6.3 Miary ryzyka dla portfeli dwuskładnikowych - m. kopuł................... 31 6.4 Miary ryzyka dla wszystkich kopuł............................... 31 7.1 Zestawienie inwestycji...................................... 32 36