Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 59 Politechniki Wrocławskiej Nr 59 Studia i Materiały Nr 26 26 dławik, indukcyjność, pomiar indukcyjności Józef NOWAK *, Jerzy BAJOREK *, Andrzej KAŁWAK *, Józef KOLASA *, * Grzegorz KOSOBUDZKI F WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI DŁAWIKÓW W WARUNKACH ICH PRACY W elektroenergetyce dławiki są stosowane najczęściej do tłumienia pulsacji wyprostowanego prądu zmiennego głównie dla potrzeb trakcji elektrycznej. Parametrem charakteryzującym dławik jest jego indukcyjność, którą należy wyznaczyć przy obecności dużej składowej stałej prądu i w zależności od wartości tej składowej. Jednoznacznie określonej metody wyznaczania indukcyjności dławików nie ma. Normy [1] i [2] pozostawiają sposób pomiaru do uzgodnienia pomiędzy użytkownikiem a wykonawcą. Postawione są tylko wymagania: aby badania typu wykonać prądem, którego przebieg odpowiada rodzajowi pracy dławika, aby metoda pomiaru uwzględniała składową zmienną nałożoną na prąd stały oraz aby wyniki pomiarów indukcyjności podać w funkcji wartości średniej prądu pulsującego w całym zakresie stosowania dławika. Do pomiaru indukcyjności dławików opracowywanych i produkowanych dla potrzeb trakcji elektrycznej stosuje się specjalnie wykonywaną aparaturę laboratoryjną i trudne do stosowania modele teoretyczne dla jej wyznaczenia [3]. Z przeprowadzonych przez autorów badań wynika, że są tyko dwie możliwości wyznaczenia indukcyjności dławika w warunkach jego pracy. Rzeczywistą wartość indukcyjności dławików o charakterystyce liniowej, nieliniowej symetrycznej, nieliniowej niesymetryczne oraz nieliniowej niejednoznacznej można wyznaczyć tylko dla zerowej składowej zmiennej prądu; zarówno wtedy, gdy przebieg prądu jest symetryczny jak również wtedy, gdy zawiera składową stałą. Uśrednioną indukcyjność dławika w warunkach jego pracy można natomiast wyznaczyć mierząc powierzchnię pętli, jaką tworzy charakterystyka dławika we współrzędnych prąd, napięcie (moc bierną) i wartość skuteczną pochodnej prądu [4]. Układ dla wyznaczenia indukcyjności dławików w warunkach ich pracy można zestawić stosując wcześniej opracowany przez nas indukcyjny czujnik prądu oraz synchronicznie działające przetworniki wartości chwilowych liniowo przetworzonych przebiegów wielkości elektrycznych i magnetycznych [5, 6]. 1. ANALIZA TEORETYCZNA * Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, 5-372 Wrocław ul. Smoluchowskiego 19; jerzy.bajorek@pwr.wroc.pl; andrzej.kalwak@pwr.wroc.pl; jozef.kolasa@pwr.wroc.pl; grzegorz.kosobudzki@pwr.wroc.pl
1.1. DŁAWIK Dławik jest obiektem elektromagnetycznym, w którym energia prądu elektrycznego zamienia się głównie na energię pola magnetycznego. Zasadniczym elementem dławika jest uzwojenie (cewka). Jeśli wytworzony, na skutek przepływu prądu w uzwojeniu, strumień magnetyczny zamyka się w powietrzu, to charakterystyka dławika ( i) ψ = f (1.1) jest liniowa, gdzie ψ strumień magnetyczny skojarzony z uzwojeniem, i prąd. Dla wzmocnienia strumienia w dławiku stosuje się obwody ferromagnetyczne całkowicie zamknięte lub ze szczeliną powietrzną. Charakterystyka dławika (1.1) staje się wtedy nieliniowa. Dławiki pracują przy zasilaniu symetrycznym napięciem, a także w obecności składowej stałej w napięciu i pobieranym przez dławik prądzie. 1.2. DEFINICJA INDUKCYJNOŚCI. Siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu obejmującym strumień magnetyczny w dławiku jest proporcjonalna do pochodnej tego strumienia dψ e =. (1.2) Jeżeli strumień ψ skojarzony z uzwojeniem jest proporcjonalny do prądu w uzwojeniu, to równanie (1.2) zapisuje się w postaci gdzie di e = L, (1.3) L = ψ (1.4) i indukcyjnością dławika liniowego. Strumień skojarzony z uzwojeniem dławika o liczbie zwojów N jest równy sumie strumieni φ n objętych przez poszczególne zwoje uzwojenia dławika N ψ = φ n. (1.5) n= 1 Jeżeli każdy zwój obejmuje ten sam strumień, to ψ = N φ. (1.6)
Jeżeli w obwodzie magnetycznym dławika występują elementy ferromagnetyczne, to indukcyjność dławika nie jest stała, lecz zależy od prądu. Zależność jest nie tylko nieliniowa ale także niejednoznaczna. Indukcyjność definiuje się jednak nadal na podstawie równań (1.2) i (1.3), Z których wynika, że dψ L =. (1.7) di 1.3. MODELE ZASTĘPCZE DŁAWIKA. Procesy elektromagnetyczne zachodzące w dławiku można modelować za pomocą obwodu elektrycznego (rys.1.1). Rezystancja R modeluje rozpraszanie energii elektrycznej w uzwojeniu i elementach ferromagnetycznych, C przedstawia zastępczą pojemność elektryczną między zwojami cewki, natomiast L jest indukcyjnością dławika. Rys. 1.1. Obwód elektryczny modelujący procesy elektromagnetyczne zachodzące w dławiku Fig. 1.1. Electric circuit modeling electromagnetic process proceed in reactor Prąd i pobierany przez obwód zależy od napięcia u według równań gdzie i = i, (1.8) L i C dil u = R il + L, (1.9) i C du = C (1.1) prąd płynący przez pojemność C. Z równań (1.8), (1.9) i (1.1) otrzymuje się jedno równanie
di du d u u = R i + L R C L C (1.11) 2 model matematyczny dławika. Równanie różniczkowe (1.11) jest równaniem nieliniowym, z którego nie da się wyznaczyć indukcyjności L w przypadku ogólnym, na podstawie napięcia i pobieranego prądu przez dławik w warunkach jego pracy. Model dławika (rys.1.1) trzeba koniecznie uprościć. Należy pominąć pojemność C, pozostawiając szeregowo połączoną rezystancję R i indukcyjność L (rys.1.2). 2 Rys. 1.2. Uproszczony obwód zastępczy dławika Fig. 1.2. Simplified equivalent circuit of reactor Równanie opisujące uproszczony obwód zastępczy dławika jest liniowe di u = R i + L. (1.12) Z tego równania da się wyznaczyć indukcyjność L nawet wtedy, gdy nie jest stała oraz gdy jest wieloznaczna. Jeśli prąd i pobierany przez dławik zawiera składową zmienną i ~ i składową stałą i = i = i~ + i, (1.13) to również napięcie przyłożone u do dławika zawiera składową zmienną u ~ i składową stałą u = = u = u~ + u. (1.14) Podstawiając zależności (1.13) i (1.14) do równania (1.12) otrzymuje się u u= = ~ + = d ~ + ( i~ + i= ) R + L ( i i= ). (1.15) Rezystancja R modeluje proces rozpraszania energii elektrycznej w obwodzie prądowym i w magnetowodzie R = R 1 +. (1.16) R m
Jeśli w równaniu (1.15) uwzględni się zależność (1.16) oraz właściwości: pochodna składowej stałej jest równa zeru di= =, składowa stała napięcia jest tylko spadkiem napięcia na rezystancji obwodu prądowego spowodowanym przez składową stałą prądu u= = R1 i =, składowa stała prądu nie powoduje spadku napięcia na rezystancji dynamicznej magnetowodu R m =, to równanie (1.15) upraszcza się do postaci i = di = Ri~ L. (1.17) ~ u ~ + Równanie (1.17), dla składowych zmiennej przy obecności składowej stałej w napięciu i w prądzie, ma dokładnie taką samą postać jak równanie (1.12). Wynika stąd, że cała informacja o parametrach R, L jest zawarta w składowych zmiennych napięcia i prądu. Dla wyznaczenia parametrów R, L nie jest więc potrzebne uwzględnienia składowych stałych tych wielkości. 2. BADANIA EKSPERYMENTALNE 2.1. SYSTEM WYZNACZANIA INDUKCYJNOŚCI Opracowany układ dla wyznaczania indukcyjności dławika w warunkach jego pracy, realizujący funkcje wynikające z równania (1.17), jest przedstawiony na rysunku 2.1. Sygnał di e = M, (2.1) zależny tylko od składowej zmiennej pobieranego przez dławik prądu, otrzymuje się stosując do przetwarzania prądu czujnik indukcyjny [6]. Sygnał zależny tylko od składowej zmiennej napięcia otrzymuje się za pomocą dzielnika pojemnościoworezystancyjnego. Jeśli spadek napięcia na rezystancji (sygnał) jest o kilka rzędów mniejszy od spadku napięcia na pojemności, to
du u 1 = RC. (2.2) Rys. 2.1.Układ do wyznaczania indukcyjności dławika w warunkach jego pracy Fig. 2.1. System for determining inductance of reactor under normal operating conditions Dla dowolnego przebiegu składowej zmiennej napięcia i składowej zmiennej prądu, prawidłową wartość indukcyjności otrzymuje się tylko dla zerowej wartości chwilowej prądu (1.17). Jeśli w chwili t i(t ) =, to
u~ ( t ) L =, (2.3) i ( t ) ~ gdzie i ~ pochodna prądu. Chwila t, w której składowa zmienna prądu przechodzi przez wartość zerową jest wykrywana (w układzie rysunek 2.1) przez porównanie scałkowanego sygnału (2.1) z wartością zerową za pomocą komparatora napięcia. Wartość napięcia w chwili t jest wynikiem operacji całkowania wzmocnionego sygnału (2.2) w przedziale czasu od chwili t do chwili najbliższego przejścia napięcia przez wartość zerową (próbkowanie całkowe napięcia). Dla otrzymania wartości pochodnej prądu w chwili t realizowana jest operacja całkowania zróżniczkowanego sygnału (2.1) w przedziale od chwili t do chwili najbliższego przejścia pochodnej prądu przez wartość zerową (próbkowanie całkowe pochodnej prądu). Chwila, w której składowa zmienna napięcia przechodzi przez wartość zerową jest wykrywana przez porównanie tej składowej z wartością zerową. Podobnie jest wykrywana chwila przejścia pochodnej prądu przez wartość zerową przez porównanie sygnału (2.1) z wartością zerową. 2.2. ZALEŻNOŚĆ INDUKCYJNOŚCI OD PRĄDU Badania zależności charakterystyk dławików od wartości chwilowych prądu wykonano przy symetrycznym przemagnesowywaniu ich obwodów magnetycznych. Schemat zestawionego do badań układu pomiarowego przedstawia rysunek 2.2. Układ zawiera trzy tory pozwalające synchronicznie (jednocześnie) mierzyć wartości chwilowe napięcia, prądu i pochodnej prądu oraz ciągi tych wartości chwilowych równomiernie wypełniające okres. Tor 1 służący do pomiaru wartości chwilowych napięcia można łatwo dostosować do pomiaru wartości chwilowych strumienia zastępczego; wystarczy tylko pominąć układ różniczkujący napięcie.
Rys. 2.2. Schemat układu do wyznaczania charakterystyk dławików Fig. 2.2 System diagram for determining characteristics of reactors Zawarte w okresie ciągi odpowiadających sobie wartości chwilowych napięcia i prądu pozwalają także wyznaczyć moc bierną dławika, która dla dowolnych przebiegów napięcia i prądu jest proporcjonalna do powierzchni pętli jaką tworzy charakterystyka dławika we współrzędnych: prąd, napięcie [4]. Z równania (1.17) i (2.4) wynika, że T 1 du~ Q = i~ d t 2. (2.4) π ' ( I ) 2 T Q = L ~, (2.5) 2π gdzie I ~ wartość skuteczna pochodnej prądu. L indukcyjność uśredniona.
1 L [H] 8 6 4 2 + 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 i [A] Rys. 2.3. Zależność indukcyjności od wartości chwilowych prądu dławika z zamkniętym magnetowodem ferromagnetycznym Fig. 2.3. The dependence of inductance of closed magnetic circuit reactor versus instantaneous current value Rysunek 2.3 przedstawia zależność, wyznaczonej według wzoru (1.7) indukcyjność dławika z zamkniętym magnetowodem ferromagnetycznym, od wartości chwilowych prądu. Strumień magnetyczny w magnetowodzie mierzono za pomocą specjalnie nawiniętych zwojów. Zależność (rys. 3.2) jest silnie nieliniowa i niejednoznaczna. Na krańcach przedziału zmienności prądu indukcyjność jest nieoznaczona (pochodna prądu staje się zerowa). Dla zerowych wartości chwilowych prądu występuje charakterystyczny punkt (zaznaczony krzyżykiem) przecięcie gałęzi charakterystyki. Wartość indukcyjności w tym punkcie można wyznaczyć mierząc wartość chwilową napięcia przyłożonego do obiektu i wartość chwilową pochodnej pobieranego prądu w chwili, gdy prąd przechodzi przez wartość zerową (2.3). Linią przerywaną zaznaczono wartość uśrednioną indukcyjności wyznaczoną według równania (2.5) na podstawie zmierzonych ciągów odpowiadających sobie wartości chwilowych napięcia, prądu i pochodnej prądu. Przetwarzając liniowo przyłożone do dławika napięcie i pobierany prąd można wyznaczyć tylko szczególne wartości indukcyjności. Dla dowolnej wartości chwilowej prądu wyznaczenie rzeczywistej indukcyjności dławika z magnetowodem ferromagnetycznym w warunkach jego pracy jest nierealne.
1 u/i.9.8.7.6.5.4.3.2.1.8.64.48.32.16.16.32.48.64.8 i [A] Rys. 2.4. Charakterystyka dławika ze szczeliną, długość szczeliny równa 1% długości magnetowodu, prąd sinusoidalny o wartości skutecznej,5a Fig. 2.4. Characteristic of reactor, gap length is equal to 1% magnetic core length, rms value of sinusoidal current,5a 1 u/i.9.8.7.6.5.4.3.2.1 1.6 1.28.96.64.32.32.64.96 1.28 1.6 i [A] Rys. 2.5. Charakterystyka dławika ze szczeliną, prąd sinusoidalny o wartości skutecznej 1A Fig. 2.5. Characteristic of reactor, rms value of sinusoidal current 1A
1 u/i [H].9.8.7.6.5.4.3.2.1 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5 2 2.5 i [A] Rys. 2.6. Charakterystyka dławika ze szczeliną, prąd sinusoidalny o wartości skutecznej 1,5A Fig. 2.6. Characteristic of reactor, rms value of sinusoidal current 1,5A 1 u/i.9.8.7.6.5.4.3.2.1 3 2.4 1.8 1.2.6.6 1.2 1.8 2.4 3 i [A] Rys. 2.7. Charakterystyka dławika ze szczeliną, prąd sinusoidalny o wartości skutecznej 2A Fig. 2.7. Characteristic of reactor, rms value of sinusoidal current 2A
Nawet niewielka szczelina powietrzna stanowiąca na przykład jeden procent średniej długości magnetowodu powoduje znaczne poprawienie liniowości dławika. Indukcyjność, którą można zmierzyć w warunkach pracy dławika w punkcie i = jest w otoczeniu tego punktu praktycznie stała (rys. 2.4) i bliska wartości uśrednionej wyznaczonej według równania (2.5) (linia przerywana). Przedstawione na rysunkach (2.4), (2.5), (2.6) i (2.7) charakterystyki dowodzą, że rzeczywista indukcyjność dławika, którą można zmierzyć tylko dla chwilowej wartości prądu równej zeru nie zależy od zakresu zmienności prądu. Rzeczywista wartość indukcyjności nie zależy także od rezystancji zastępczej dławika. Dowodzi tego charakterystyka przedstawiona na rysunku 2.8. Charakterystykę tę wyznaczono dla układu, dławik z dołączonym szeregowo rezystorem. 1 u/i.9.8.7.6.5.4.3.2.1 1.6 1.4 1.2 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1.2 1.4 i [A] Rys.2.8. Charakterystyka układu: dławik ze szczelną (długość szczeliny równa 1% długości magnetowodu) połączony szeregowo z rezystorem Fig. 2.8. Characteristic of serial connection reactor (gap length is equal to 1% magnetic core length) and resistor Na rysunku 2.9 są przedstawione charakterystyki we współrzędnych prąd, strumień zastępczy (pętle histerezy) samego dławika i dławika z dołączonym rezystorem. Pętle te znacznie się różnią; jednak nachylenie stycznej w punkcie i = jest na obydwu pętlach jednakowe i równe rzeczywistej indukcyjności dławika. Wynika stąd ogólny wniosek: indukcyjność zmierzona dla wartości chwilowej prądu równej zeru jest jedyną wartością niezależną od rezystancji zastępczej obiektu elektromagnetycznego.
,2 ` [Wb],1 b a -,1 -,2-1,5-1 -,5,5 1 1,5 i [A] Rys 2.9. Pętle histerezy dławika (a) i układu szeregowo połączonego dławika z rezystorem (b) Fig. 2.9. Hysteresis loops of reactor (a) and serial connection reactor and resistor (b) 3. WNIOSKI Indukcyjność jest jednoznacznie zdefiniowana dla obiektów liniowych, jako stały współczynnik proporcjonalności strumienia skojarzonego z obwodem prądowym do natężenia prądu w tym obwodzie. Dla obiektów nieliniowych przyjmuje się, że indukcyjność jest równa pochodnej strumienia względem prądu. W warunkach pracy dławika informacja o jego indukcyjności jest dostępna tylko w składowej zmiennej przyłożonego napięcia i składowej zmiennej pobieranego prądu. Składowa stała napięcia i składowa stała prądu nie zawierają takiej informacji. Na podstawie informacji zawartej w napięciu i w prądzie można wyznaczyć indukcyjność dławika tylko przy założeniu, że można go zastąpić dwójnikiem w postaci szeregowo połączonej rezystancji i indukcyjności oraz tylko w szczególnych punktach jego charakterystyki dynamicznej ψ = f(i), w takich, w których składowa zmienna prądu przechodzi przez wartość zerową. Na podstawie informacji zawartej w napięciu i prądzie można wyznaczyć także indukcyjność uśrednioną dławika mierząc moc bierną i wartość skuteczną pochodnej prądu.
Sygnał zależny od składowej zmiennej prądu przy obecności składowej stałej można pobrać tylko za pomocą czujnika indukcyjnego, a sygnał zależny tylko od składowej zmiennej napięcia przy obecności składowej stałej za pomocą dzielnika pojemnościowo-rezystancyjnego. Sygnały pomiarowe dla wyznaczania indukcyjności są proporcjonalne do pochodnej prądu i pochodnej napięcia. Do ich przetworzenia najlepiej nadaje się metoda próbkowania całkowego. Indukcyjność wyznaczona w punkcie, w który wartość chwilowa składowej zmiennej prądu jest równa zeru nie zależy od zakresu zmienności prądu i jest jedyną wartością niezależną od rezystancji zastępczej dławika. LITERATURA [1] Transformatory i dławiki trakcyjne, PN-IEC 31:1998 [2] Transformatory trakcyjne i dławiki w taborze kolejowym, PN-EN 631 [3] Buze A. Pomiar indukcyjności dławika prądu pulsującego przy użyciu przekładnika prądu stałego, Przegląd Elektrotechniczny, 8 (24), nr.2, 157-16 [4] Kosobudzki G., Nawrocki Z., Nowak J., Measure of Electric Reactive Power, Metrology and Measurement Systems, 11 (25), n.2, 131-149 [5] Kałwak A., Kolasa J., Nowak J., Przetwarzanie wartości chwilowych prądu sieciowego, Przegląd Elektrotechniczny, 8 (24), nr.2, 154-157 [6] Bajorek J., Kosobudzki G., Kałwak A., Kolasa J., Nowak J., Indukcyjne przetwarzanie prądu sieciowego o dowolnym kształcie, Raport PRE nr 15/25 DETERMINATION OF REACTOR INDUCTANCE UNDER NORMAL OPERATING CONDITIONS Inductance of reactors witch are made for electric traffic purpose are measured by special made measuring apparatus. Theoretical models of reactors are difficulty to used for inductance measurement. Determining inductance of reactors under normal operating conditions are possible when use one of two methods. That come from our research results. Real value of reactor inductance could be determine only for zero-sequence alternating current. Average value of reactor inductance could be determine by measure loop surface in u,i coordinates and rms value of current derivative.