EKONOMETRIA WYKŁAD. Maciej Wolny

EKONOMETRIA WYKŁAD Maciej Wolny mwolny@chorzow.wsb.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/mwolny/default.aspx

AGENDA. Wprowadzenie (informacje organizacyjne, czym jest ekonometria, zakres wykładu).. Model ekonometryczny (model regresji liniowej, etapy budowy modelu i jego wykorzystanie, prognozowanie). 3. Badania operacyjne Programowanie liniowe (budowa modelu, typowe zagadnienia, metoda geometryczna). 4. Analiza przepływów międzygałęziowych.

Literatura. MaddalaG.S.: Ekonometria, PWN, Warszawa 006.. Wybór testów do weryfikacji liniowych modeli ekonometrycznych, red. K. Jakowska-Suwalska, Wyd. Pol. Śl., Gliwice 0. 3. Ekonometria, red. J. Dziechciarz, Wyd. AE we Wrocławiu, Wrocław 00. 4. Welfe A.: Ekonometria, PWE, Warszawa 998. 5. Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, red. K. Kukuła, PWN, Warszawa 0.

Zaliczenie/Egzamin Pozytywna ocena z ćwiczeń Egzamin test 50%-60% dst 60%-70% dstplus 70%-80% db 80%-90% dbplus 90%-00% bdb

Czym jest ekonometria? Dosłownie: mierzenie w ekonomii. Zastosowanie metod statystycznych i matematycznych do analizy danych ekonomicznych w celu nadania teoriom ekonomicznym kontekstu empirycznego oraz ich potwierdzenia lub odrzucenia.

Ekonometria Nauka o mierzeniu i modelowaniu zjawisk ekonomicznych, w tym ich zależności od innych zjawisk ekonomicznych, demograficznych i socjologicznych oraz od zjawisk przyrodniczych i technicznych w celach poznawczych, symulacyjnych i predyktywnych.

Źródło: [3 s. 9] Miejsce ekonometrii

Ekonometria sensu largo Badania operacyjne Wielowymiarowa analiza statystyczna Modelowanie ekonometryczne (sensu stricto) Analiza zależności jednej zmiennej ekonomicznej od zespołu instrumentów ją kształtujących modele jednorównaniowe. Analiza zależności i współzależności wielu zmiennych w zespole wielu zmiennych modele wielorównaniowe. Analiza i modelowanie współwystępowania wyróżnionej zmiennej wraz z przebiegiem czasu modele tendencji rozwojowej.

Model ekonometryczny Model to uproszczona reprezentacja rzeczywistego procesu lub obiektu. Model ekonometryczny to układ funkcji opisujących (przybliżone) zależności zmiennych ekonomicznych od innych zmiennych.

Analiza ekonometryczna Źródło: [ s.35]

Źródło: [ s.37]

Postać modelu () - jednorównaniowego Y f ( X, X,..., X, ξ ) k Zmienna objaśniana (zależna, endogeniczna) Zmienna objaśniająca (niezależna, egzogeniczna) Składnik losowy Postać zależności, charakter zależności

Etapy (przykład ). Określenie zmiennych objaśnianych.. Określenie potencjalnych zmiennych objaśniających. 3. Badanie charakteru zależności między zmiennymi. 4. Wybór postaci analitycznej zależności. 5. Wybór zmiennych objaśniających do modelu. 6. Estymacja parametrów modelu. 7. Weryfikacja modelu. 8. Wykorzystanie modelu.

Etapy (przykład ). Określenie zmiennych objaśnianych.. Określenie potencjalnych zmiennych objaśniających. 3. Badanie charakteru zależności między zmiennymi. 4. Wybór postaci analitycznej zależności. 5. Estymacja parametrów modelu. 6. Weryfikacja modelu. 7. Wykorzystanie modelu.

Przykładowy model

Dobór zmiennych do modelu Kryteria statystyczne liniowego Zmienne w modelu: silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą oraz słabo skorelowane między sobą wzajemnie. Np. metoda wskaźników pojemności informacyjnej, metoda analizy grafów, metoda analizy macierzy współczynników korelacji.

Metoda Hellwiga metoda wskaźników pojemności informacyjnej Rozpatruje się wszystkie kombinacje potencjalnych zmiennych objaśniających Dla każdej kombinacji oblicza się integralny wskaźnik pojemności informacyjnej: h Dla każdej zmiennej w kombinacji oblicza się indywidualny wskaźnik pojemności informacyjnej: h Najlepszą kombinacją jest ta, dla której jest największe

Model regresji liniowej Prosta postać analityczna Łatwa interpretacja wartości parametrów ξ α α α α + + + + + k k X X X Y... 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (... 0 0 e S a S a S a S a S X a X a X a a Y k k k ε + + + + + PARAMETRY STRUKTURALNE MODELU k X k X X Y α α α α + + + +... ˆ 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,... ˆ 0 0 k k k a S a S a S a S e S X a X a X a a Y + + + +

Dane i reszty modelu kn n n k k n x x x x x x x x x X y y y y........................,... + ε Xa y Xa ŷ a k a a a... 0 n n n y y y y y y y y e e e e ˆ... ˆ ˆ... ˆ...

Estymacja parametrów Wartości teoretyczne powinny się jak najmniej różnić od wartości rzeczywistych y yˆ y Xa min Problem. Wartości jest n suma Problem. Różnice mogą się kumulować np. (-)+(-)+30+0+0 kwadraty różnic ( ˆ) ( ) y y y Xa min

Metoda Najmniejszych Kwadratów y X X X a T T ) ( Macierz wariancji i kowariancji szacunków parametrów strukturalnych modelu: ) ˆ ( ) ( ) ( k n e k n y y k n e e S X X S a D n t t n t t t T e T e

Założenia Postać modelu jest liniowa względem parametrów lub sprowadzalna do liniowej Zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi Zmienne są niezależne i nie są współliniowe Reszty modelu mają charakter losowy r(x)k+ n (rząd macierzy X jest równy liczbie szacowanych parametrów) E(ε)0 (Wartość oczekiwana składnika losowego wynosi zero) D (ε)σ I (Macierz wariancji i kowariancji jest diagonalna, o takich samych elementach na głównej przekątnej składnik losowy ma stałą wariancję i nie występuje autokorelacja składnika losowego)

Przykład Na podstawie poniższych danych t y t x t x t 0 0 0 3 3 0 0 4 3 5 5 Oszacować parametry strukturalne, wariancję odchyleń losowych oraz standardowe błędy szacunku parametrów modelu liniowego opisującego zależność zmiennej Y od zmiennych X oraz X

0 0 0 0 0, 5 3 3 X y 0 a a a a y X X X a T T ) (

3 3 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X X T y X X X a T T ) (

a ( X X ) T X T y ( X T X ) 5 3 det( X T X ) 3 3 4

+ + + + + + + + + 6 4 0 4 6 0 3 3 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 3 ) ( 3 5 ) ( 5 ) ( 3 ) ( 3 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 3 3 3 3 3 T D T D T X X X X y X X X a T T ) (

,5,0 0,0,0,5 0,5 0,0 0,5 0,5 6 4 0 4 6 0 4 ) ( ) det( ) ( T D T T T X X X X X X y X X X a T T ) (

y X X X a T T ) ( 8 0 5 5 3 3 0 0 0 0 0 y X T

y X X X a T T ) (,0 0,5,5 8 0 5 6 4 0 4 6 0 4 a ) ( X X T y X T 0, 0,5,5 ˆ x x y +

yˆ,5 0,5 x +, 0 x Wariancja odchyleń t y t x t x t y^t e t e t 0 0,50-0,50 0,5 0,00 0,00 0,00 3 3 0 0,50 0,50 0,5 4 3 4,00 -,00,00 5 5 4,00,00,00,50,50,50 S,5 S, e e 5 Standardowy błąd modelu

Macierz wariancji i kowariancji D ( a) S e ( X T X ) 0,5 0,5,5 0,5,5 0,0,0 0,65 0,65 0,000 0,65,875,5 0,000,5,875 0,0,0,5 S( a 0 ) 0,65 0,79 S( a ),875, 37 S( a ),875,37

Model ˆ y,50 0,50 x +,00 x, S e, (0,79) (,37) (,37)

W MS Excel

Weryfikacja modelu Procedury weryfikacyjne mają za zadanie sprawdzenie przydatności modelu do celów analitycznych. Procedury te mają charakter ciągły i mają służyć poprawie własności modelu. Weryfikacja polega na badaniu własności modelu w celu potwierdzenie dobroci modelu, poznaniu i akceptacji własności, poprawie modelu lub jego odrzuceniu.

Weryfikacja obejmuje Badanie stopnia dopasowania modelu do opisywanego zjawiska Badanie siły oddziaływania zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą Badanie rozkładu reszt w celu sprawdzenia, czy przyjęte założenia przy szacowaniu parametrów są spełnione

Badanie własności reszt -losowość Czy rozkład reszt jest losowy? Weryfikacja postaci analitycznej modelu czy nie ma przesłanek do odrzucenia liniowej zależności Jeśli rozkład reszt jest losowy, to spełnione jest założenie MNK: Reszty modelu mają charakter losowy Jeśli nie jest losowy, to należy zmienić postać zależności lub przekształcić zmienne

Test warunkowej liczby serii (reszt) Przy badaniu modelu ekonometrycznego test liczby serii służy do weryfikacji hipotezy: H 0 : znaki reszt są losowe (postać analityczna modelu jest poprawna) wobec hipotezy alternatywnej: H : znaki reszt nie są losowe (postać analityczna modelu nie jest poprawna)

Procedura testu liczby serii. Dane uporządkuj wg kolejności jednostek czasu, a dla danych przekrojowych według rosnących wartości zmiennej objaśniającej (!). Oblicz liczbę serii S reszt modelu. Serią jest każdy podciąg reszt wyłącznie dodatnich lub wyłącznie ujemnych (zero jest neutralne) 3. Z tablic testu liczby serii dla danej liczby reszt dodatnich (lub tych których jest więcej) n oraz reszt ujemnych (lub tych których jest mniej) n oraz przyjętego poziomu istotności α(tj. dla α/ oraz -α/) odczytaj dwie wartości krytyczne S oraz S 4. Jeżeli spełniony jest warunek: S < S < S, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 W przeciwnym wypadku odrzuca się hipotezę H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej

Tablice testu liczby serii

Przykład Należy zweryfikować hipotezę dotyczącą losowości rozkładu reszt (α0,05) H 0 : Reszty modelu są losowe H : Reszty modelu nie są losowe S 3 S8 S 9 n 6,n 5 Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że rozkład reszt modelu ma charakter losowy

Test losowości inne spojrzenie Sprawdzenie H 0 (o losowości próby) polega na uporządkowaniu wszystkich wyników próby pobranej ze zbiorowości generalnej o dowolnym rozkładzie w ciąg niemalejący i wyznaczeniu z tego ciągu mediany (Me). Następnie powraca się do pierwotnego uporządkowania wyników i poszczególnym liczbom przypisuje się oznaczenia literowe według zasady: Jeśli x i < Me, to a, Jeśli x i > Me, to b. Wyniki x i Me nie są brane pod uwagę. W rezultacie takiego postępowania otrzymujemy ciąg symboli a i b. Każdy podciąg symboli jednego rodzaju występujących bezpośrednio po sobie nazywamy serią.

Liczbę serii występujących w danym ciągu oznaczamy przez k. Oddzielnie zlicza się liczbę liter a i oddzielnie b. Liczby te oznaczamy przez n i n. Liczba serii (k) ma znany i stablicowany rozkład zależny tylko od n i n. Dla ustalonego poziomu istotności a w tablicach rozkładu serii (testu liczby serii) szukamy takich dwóch wartości krytycznych k i k, aby spełnione były warunki: Jeżeli k < k < k, to nie ma podstaw do odrzucenia H 0, o losowości próby. Jeśli n > 0 lub n > 0 ( duża próba), to należy dodatkowo obliczyć statystykę: gdzie: k s k α P( k k) oraz P( k k nn n + n + z k s k nn (nn n n) ( n + n ) ( n + n ) k α ) Rozkład statystyki tej można przybliżać rozkładem normalnym. Wartość krytyczną odczytujemy z tablic rozkładu N(0,) dla ustalonego poziomu istotności i dwustronnego obszaru krytycznego.

Przykład 3. W celu oszacowania średniej liczby telefonów zainstalowanych w blokach przy pewnej ulicy wylosowano do próby 7 bloków i otrzymano następujące wyniki (liczbę telefonów): 0, 57, 55, 50, 7, 9, 9, 30, 49, 60, 36, 3, 5, 3, 34, 3,. Na poziomie istotności α 0,05 zweryfikować hipotezę, ze wybór bloków do próby był losowy. H 0 : próba jest losowa; H : próba nie jest losowa 0 9 a 57 0 b 3 55 b 4 50 3 b 5 7 5 a 6 9 7 a 7 9 9 a 8 30 30 a 9 49 3 b 0 60 3 b 36 34 b 3 36 3 5 49 a 4 3 50 a 5 34 55 b 6 3 57 b 7 60 a k n n k k 7 8 8 3 Me3 Wybór bloków do próby był wyborem losowym przy przyjętym poziomie istotności

Źródło: [] Badanie normalności odchyleń

Test zgodności Hellwiga (n 30). Ustandaryzuj reszty modelu:,. Uporządkuj u t wg wartości niemalejących (opcjonalnie) 3. Odczytaj z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego wartości dystrybuanty dla u t 4. Wyznacz tzw. cele dzieląc odcinek <0;> na n równych części 5. Przyporządkuj wartości z pkt. 3. do cel i określ liczbę cel pustych K 6. Z tablic test zgodności Hellwiga dla danej liczby obserwacji n oraz poziomu istotności αodczytaj wartości K oraz K 7. Jeżeli K <K<K to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0

Źródło: []

Źródło: []

Przykład 3 Na poziomie istotności α0,05 zbadaj normalność poniższego ciągu reszt modelu liniowego, którego parametry zostały oszacowane MNK. t e t 0,65-0,975 3 0,60 4 0,55 5-0,35 6-0,35 7-0,5 8 0,5 9 0,50 0 0,35 0,375-0,5 3-0,0

Najpierw losowość t e t e t u t F(u t ) 0,65 0,3906,6 0,9467-0,975 0,9506 -,5 0,0059 3 0,60 0,056 0,4 0,6603 4 0,55 0,040 0,40 0,6555 5-0,35 0,055-0,6 0,70 6-0,35 0,056-0,84 0,007 7-0,5 0,056-0,3 0,3734 8 0,5 0,056 0,3 0,666 9 0,50 0,065 0,65 0,7407 0 0,35 0,099 0,8 0,790 0,375 0,406 0,97 0,8336-0,5 0,056-0,3 0,3734 3-0,0 0,0484-0,57 0,850 SUMA 0,000,9494 0,0000 ŚREDNIA 0,4995 cele od do 0 0,0769 0,0769 0,538 0,538 0,308 0,308 0,3077 0,3077 0,3846 0,3846 0,465 0,465 0,5385 0,5385 0,654 0,654 0,693 0,693 0,769 0,769 0,846 0,846 0,93 0,93,0000! " # 0,4995

K5, n3 Ponieważ K <K<K to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności reszt modelu.

Test Jarque-Bera Testem hipotezy H 0 jest statystyka: gdzie: Statystyka JBma rozkład chi kwadrat z dwoma stopniami swobody. Jeśli JB>χ * to H 0 odrzucamy na rzecz H. ( ) + 3 4 6 B B n JB n t t n t t S e n B S e n B 4 4 3 3 ˆ, ˆ

Badanie autokorelacji

Test Durbina-Watsona

Test Durbina-Watsona

Test Durbina-Watsona

Procedura testowa

Przykład 4.

Badanie stałości wariancji

Test Goldfelda-Quandta

Procedura

Przykład 5

Badanie dopasowania modelu do danych empirycznych

Przykład 6

Badanie istotności parametrów strukturalnych

Przykład 7

Badanie wpływu zmiennej Miarą znaczenia zmiennej objaśniającej x i w wyjaśnianiu zmian zmiennej objaśnianej jest współczynnik b i zdefiniowany w następujący sposób: ( ) * ) +,- / ) Im większa wartość bezwzględna tego współczynnika, tym większy wpływ i-tej zmiennej na zmienną objaśnianą. Znak informuje czy i-ta zmienna jest stymulantą czy destymulantą.

Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego Prognozę na okres T > n można wyznaczyć ze wzoru: Y* α α α + α T 0 + X * T + X * T +... k X * kt gdzie: X* T, X* T, X* kt to prognozy zmiennych objaśniających X, X, X k w okresie T>n, w zapisie macierzowym: gdzie: X * T X * X *... X * T T kt Y * T ( X * T ) T a

Błąd ex ante to odchylenie standardowe błędu B T prognozy Y* T na okres T. Błąd ex ante oznacza się przez V* T : gdzie S e to odchylenie standardowe reszt modelu liniowego. Względny błąd ex ante prognozy Y* T : który informuje jaką część prognozy stanowi błąd ex ante * ) ( ) * ( * + T T T T e T X X X X S V ( 00%), * * * T T T Y V W Błąd ex ante

Przykład 8 S e n ( y n k t t Y * t ) 5,4808 0,548 0,0000 0,693,0986,3863 * X T,5649 X,6094,798,9459,0794,97,306,3979,4849

Przykład (błąd ex ante) V * T S e [( X * T ) T ( X T X ) X * T + ] 0,548 ( 0,0+ ) 0,850 * * VT ηt 00% * y T 0,633%

Badania operacyjne Programowanie matematyczne, teoria gier

Podstawowe definicje Badania operacyjne zajmują się problematyką podejmowania optymalnych decyzji. Dyscyplina pozwalająca wyznaczyć metodę i rozwiązane określonych problemów decyzyjnych. Metodologia badań operacyjnych.

Metodologia badań operacyjnych. Określenie problemu decyzyjnego.. Budowa modelu matematycznego lub symulacyjnego. 3. Pozyskanie informacji wejściowej, ustalenie parametrów modelu. 4. Przetwarzanie informacji, procedura obliczeniowa. 5. Analiza jakości rozwiązań modelu. 6. Weryfikacja modelu sprawdzenie adekwatności. 7. Wdrożenie rozwiązania.

Program matematyczny Zmienna decyzyjna: x(x,x,,x n ) Funkcja celu: F(x) max Ograniczenia: g j (x) b j, j,,,m.

Zadaniem programowania liniowego (PL) w postaci standardowej nazywamy problem znalezienia maksimum funkcji: f(x) c x +c x + +c n x n zwanej funkcją celu. Przy spełnieniu przez wektor x następujących warunków ograniczających wyznaczających zbiór rozwiązań dopuszczalnych D. a x +a x + +a n x n b a x +a x + +a n x n b a m x +a m x + +a mn x n b m x,,x n 0 Rozwiązanie optymalne, to rozwiązanie dopuszczalne, dla którego wartość funkcji celu jest MAX.

Program liniowy możemy zapisać jako: c T x max Ax b x 0 Możemy również mówić o następującej postaci: c T x min Ax b x 0

Dla każdego programu liniowego (programu pierwotnego PLP) można zapisać program do niego dualny (PLD). Program liniowy pierwotny (PLP) c T x Ax x c T x Ax x max 0 b min 0 b Program liniowy dualny (PLD) b b T T y A y A T y T y y y min 0 0 c max c

Dla rozwiązań optymalnych wartości funkcji celu programu liniowego pierwotnego i dualnego mają taką samą wartość. Jeżeli i-ty warunek PLD w rozwiązaniu optymalnym spełniony jest z nierównością (ostro), to odpowiadająca mu i-ta zmienna ( x i ) w optymalnym rozwiązaniu PLP przyjmuje wartość zero. I odwrotnie Spełniony jest układ równań: twierdzenie o komplementarności (a i x +a i x + +a in x n - b i )y i 0 dla i,,, m (a j y +a j y + +a mj y m - c j )x j 0 dla j,,, n

Przykład 9 Inwestor pragnie zainwestować 00 tys. PLN w określone fundusze inwestycyjne: rynku pieniężnego oraz akcji. Dane dotyczące funduszy przedstawia tabela: Charakterystyka Rynek pieniężny Akcje Min stopa zwrotu (%) 3 - Średnia stopa zwrotu (%) 3 0 Max stopa zwrotu (%) 4 50 Określ optymalną strukturę portfela inwestycji przy założeniu, że:. minimalna stopa zwrotu będzie nieujemna,. średnia stopa zwrotu będzie maksymalna, 3. maksymalna stopa zwrotu będzie nie mniejsza niż 7%. Jaka jest średnia stopa zwrotu przy optymalnej inwestycji? Zbuduj program dualny i rozwiąż go.

x -wielkość inwestycji w fundusz rynku pieniężnego (tys. PLN) x -wielkość inwestycji w fundusz akcji (tys. PLN) 0, 00 ) ( 0,07 0,50 0,04 0 0,0 0,03 max 0,0 0,03 + + + + x x x x x x x x x x x x

x 0 00 0,03 x + 0,0 x x 3 x 0 max 0,03 x 0,0 x 0 x 0 0 x 0 30 80 60 40 x + x 00 0 x 0 00 x 00 0 0-0 0 0 40 60 80 00 0 0,04 x + 0,50 x 0,07 ( x + x) x

Inwestor powinien 40% swoich środków przeznaczyć na inwestycję w fundusz rynku pieniężnego (40 tys. zł), a 60% w fundusz akcji (60 tys. zł). Przy takiej alokacji środków uzyska (oczekiwaną) średnią stopę zwrotu w wysokości 7,%.

0, 00 0 0,43 0,03 0 0,0 0,03 max 0,0 0,03 + + + x x x x x x x x x x dowolne + + + + + 3 3 3 3 0,, 0,0 0,43 0,0 0,03 0,03 0,03 min 00 0 0 y y y y y y y y y y y y W rozwiązaniu optymalnym ograniczenie nieaktywne

0,03 y 0,0 y 00 y + + 3 y y y y 3 3 3 min 0,03 0,0 0, dowolne MS Excel + narzędzie Solver

. W arkuszu kalkulacyjnym wpisujemy formuły ograniczeń i funkcji celu:

. W menu Dane, z sekcji Analiza wybieramy Solver. 3. i wypełniamy odpowiednie pola:

4. Rozwiąż i komunikat

Teoria gier z naturą Wynik działania zależy od tego, jaką podejmujemy decyzję oraz od tego, jaki wystąpi stan natury. Przyjmujemy, że mamy n możliwych decyzji i może wystąpić m stanów. Nie są znane prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych stanów. Dana jest macierz [a ij ], gdzie a ij oznacza zysk z podjęcia i tej decyzji, jeżeli zaistnieje j-ty stan natury.

Reguła WALDA (maximin) Dla każdej decyzji i ustal minimalny zysk i wybierz jako optymalną decyzję k, dla której w w i k min j max i { a } ij { w } i Reguła HURWICZA Ustal liczbę α ( 0 α ) zwaną współczynnikiem ostrożności, dla każdej decyzji i oblicz: h i ( ) { } ( ) { } α α min a + α max a jako optymalną strategie wybierz decyzję k, dla której j ij j ij h k ( α ) max{ h ( α )} i i

Kryterium SAVAGE A Dla każdego stanu natury ustal maksymalny zysk: Utwórz tablicę względnych strat (żalu) S, gdzie: z s j ij z max i j { a } ij a ij Dla każdej decyzji ustal maksymalną stratę względną: s i max j { s } ij Wybierz jako optymalną decyzję k, dla której: s k min i { s } i

Przykład 0 W tabeli przedstawiono wyniki (pozytywne) podjęcia decyzji D, D, D3 przy wystąpieniu możliwych stanów natury S, S, S3, S4. Które decyzje są optymalne ze względu na kryteria: Walda, Hurwicza(α0,5), Savage a. S S S3 S4 D 00 0 70 0 D 90 30 80 00 D3 0 00 60 30

Kryterium Walda S S S3 S4 Min D 00 0 70 0 70 D 90 30 80 00 80 D3 0 00 60 30 60

Kryterium Hurwicza S S S3 S4 Min Max Hurwicz D 00 0 70 0 70 0 95 D 90 30 80 00 80 30 05 D3 0 00 60 30 60 30 95

Kryterium Savage a S S S3 S4 D 00 0 70 0 D 90 30 80 00 D3 0 00 60 30 Max 0 30 80 30 S S S3 S4 Max D 0 0 0 0 0 D 0 0 0 30 30 D3 0 30 0 0 30

Gry dwuosobowe o sumie zero

Przypływy międzygałęziowe http://main.chorzow.wsb.pl/~asojda/ http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx

Wprowadzenie