ZASTOSOWANIE METODY HOMOGENIZACJI DO WYZNACZANIA STAŁ YCH MATERIAŁ OWYCH MATERIAŁ U NIEJEDNORODNEGO

Podobne dokumenty
ZASTĘPCZE STAŁE MATERIAŁOWE DREWNA KONSTRUKCYJNEGO MODYFIKOWANEGO POWIERZCHNIOWO PMM

ĆWICZENIE 15 WYZNACZANIE (K IC )

W Ł A Ś CIWOŚ CI MATERIAŁ U POROWATEGO W ZALEŻ NOŚ CI OD ZAWARTOŚ CI CZYNNIKA MODYFIKUJĄ CEGO

ĆWICZENIE 1 STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA METALI - UPROSZCZONA. 1. Protokół próby rozciągania Rodzaj badanego materiału. 1.2.

ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLVI NR 3 (162) 2005

Wyboczenie ściskanego pręta

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA

Badania właściwości zmęczeniowych bimetalu stal S355J2- tytan Grade 1

Modele materiałów

INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

ROZDZIAŁ 2 RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OSIOWA. σ = (2.1a) ε = (2.1b) σ = i, j = 1,2,...6 (2.2a) ε = i, j = 1,2,...6 (2.

WYKORZYSTANIE MES DO WYZNACZANIA WPŁYWU PĘKNIĘCIA W STOPIE ZĘBA KOŁA NA ZMIANĘ SZTYWNOŚCI ZAZĘBIENIA

ROZKŁ AD NAPRĘŻE Ń W PŁ YCIE Z DREWNA MODYFIKOWANEGO PODDANEJ ZGINANIU

Politechnika Białostocka

Temat 3 (2 godziny) : Wyznaczanie umownej granicy sprężystości R 0,05, umownej granicy plastyczności R 0,2 oraz modułu sprężystości podłużnej E

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA

ANALIZA BELKI DREWNIANEJ W POŻARZE

MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ

Nauka o Materiałach. Wykład VIII. Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste. Jerzy Lis

Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

Ć w i c z e n i e K 4

MODELOWANIE WIELOSKALOWE GRADIENTOWYCH KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH

Mechanika i wytrzymałość materiałów instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

Politechnika Białostocka

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ

Laboratorium wytrzymałości materiałów

Dobór materiałów konstrukcyjnych cz. 4

Defi f nicja n aprę r żeń

INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 4

Laboratorium wytrzymałości materiałów

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA

MODELOWANIE PROCESU WYTRZYMAŁOŚCI NA ROZCIĄGANIE KOMPOZYTU DREWNO POLIMETAKRYLAN METYLU

Metody badań materiałów konstrukcyjnych

MATERIAŁOZNAWSTWO vs WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.

α k = σ max /σ nom (1)

ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

WYZNACZANIE PRACY WYJŚCIA ELEKTRONÓW Z LAMPY KATODOWEJ

WPŁYW GĘSTOŚCI SUROWCA NA BILANSOWANIE PRODUKTÓW KLASYFIKACJI HYDRAULICZNEJ W HYDROCYKLONACH W OPARCIU O WYNIKI LASEROWYCH ANALIZ UZIARNIENIA**

UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A

SPRAWOZDANIE Z BADAŃ

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

Temat 2 (2 godziny) : Próba statyczna ściskania metali

MODELOWANIE WARSTWY POWIERZCHNIOWEJ O ZMIENNEJ TWARDOŚCI

PL B BUP 12/13. ANDRZEJ ŚWIERCZ, Warszawa, PL JAN HOLNICKI-SZULC, Warszawa, PL PRZEMYSŁAW KOŁAKOWSKI, Nieporęt, PL

Katedra Inżynierii Materiałów Budowlanych

2.2 Wyznaczanie modułu Younga na podstawie ścisłej próby rozciągania

Badanie ugięcia belki

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A

(21) Num er zgłoszenia:

SYMULACJA TŁOCZENIA ZAKRYWEK KORONKOWYCH SIMULATION OF CROWN CLOSURES FORMING

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

ĆWICZENIE NR.6. Temat : Wyznaczanie drgań mechanicznych przekładni zębatych podczas badań odbiorczych

OKREŚLENIE PARAMETRÓW MATERIAŁOWYCH KOŚCI BELECZKOWEJ NA PODSTAWIE SYMULACJI NA POZIOMIE MIKROSKOPOWYM

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

CECHOWANIE TERMOELEMENTU Fe-Mo I WYZNACZANIE PUNKTU INWERSJI

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Nasyp przyrost osiadania w czasie (konsolidacja)

MODEL STANOWISKA DO BADANIA OPTYCZNEJ GŁOWICY ŚLEDZĄCEJ

wiczenie 15 ZGINANIE UKO Wprowadzenie Zginanie płaskie Zginanie uko nie Cel wiczenia Okre lenia podstawowe

Pomiar twardości ciał stałych

Laboratorium metrologii

SPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA, WSPÓŁCZYNNIKA POISSONA, MODUŁU SZTYWNOŚCI I ŚCIŚLIWOŚCI DLA MIKROGUMY.

ODPORNOŚĆ STALIWA NA ZUŻYCIE EROZYJNE CZĘŚĆ II. ANALIZA WYNIKÓW BADAŃ

Temat 1 (2 godziny): Próba statyczna rozciągania metali

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7

WYZNACZANIE WYTRZYMAŁOŚCI BETONU NA ROZCIĄGANIE W PRÓBIE ZGINANIA

LABORATORIUM NAUKI O MATERIAŁACH

WPŁYW ODKSZTAŁCENIA WZGLĘDNEGO NA WSKAŹNIK ZMNIEJSZENIA CHROPOWATOŚCI I STOPIEŃ UMOCNIENIA WARSTWY POWIERZCHNIOWEJ PO OBRÓBCE NAGNIATANEM

BADANIA MODUŁÓW SPRĘŻYSTOŚCI I MODUŁÓW ODKSZTAŁCENIA PODBUDÓW Z POPIOŁÓW LOTNYCH POD OBCIĄŻENIEM STATYCZNYM

Dobór materiałów konstrukcyjnych cz. 15

Metoda Elementów Skończonych - Laboratorium

Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń

PROPOZYCJA ZASTOSOWANIA WYMIARU PUDEŁKOWEGO DO OCENY ODKSZTAŁCEŃ PRZEBIEGÓW ELEKTROENERGETYCZNYCH

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności

CIEPLNE I MECHANICZNE WŁASNOŚCI CIAŁ

INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Numeryczne metody analizy konstrukcji

LABORATORIUM Z FIZYKI

WPŁYW ZAKŁÓCEŃ PROCESU WZBOGACANIA WĘGLA W OSADZARCE NA ZMIANY GĘSTOŚCI ROZDZIAŁU BADANIA LABORATORYJNE

ANALIZA NUMERYCZNA PŁASZCZYZNY FAZOWEJ DLA FALI BIEGNĄCEJ W MATERIALE ZAHORSKIEGO

I. Temat ćwiczenia: Definiowanie zagadnienia fizycznie nieliniowego omówienie modułu Property

Rzuty aksonometryczne służą do poglądowego przedstawiania przedmiotów.

WYKRYWANIE USZKODZEŃ W LITYCH ELEMENTACH ŁĄCZĄCYCH WAŁY

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Nr ćwiczenia : 1

ANALiZA WPŁYWU PARAMETRÓW SAMOLOTU NA POZiOM HAŁASU MiERZONEGO WEDŁUG PRZEPiSÓW FAR 36 APPENDiX G

WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE SPRĘŻYSTOŚĆ MATERIAŁ. Właściwości materiałów. Właściwości materiałów

MODELOWANIE MATERIAŁÓW KOMPOZYTOWYCH

Transkrypt:

ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLVII NR (66) 006 Lesł aw Kyzioł Akademia Marynarki Wojennej ZASTOSOWANIE METODY HOMOGENIZACJI DO WYZNACZANIA STAŁ YCH MATERIAŁ OWYCH MATERIAŁ U NIEJEDNORODNEGO STRESZCZENIE Podano przebieg badań i sposób wyznaczania stałych materiałowych pojedynczych warstw sosnowego drewna wczesnego i późnego. Założono, że każda z warstw jest zbudowana z materiału jednorodnego transwersalnie-izotropowego. Na tej podstawie określano po pięć stałych sprężystości warstw drewna wczesnego i późnego. Wykorzystując metodę homogenizacji, za pomocą związków zachodzących pomiędzy parametrami mikro- i makrostruktury wyznaczono dziewięć stałych efektywnych drewna sosnowego jako materiału ortotropowego. Słowa kluczowe: materiał transwersalno-izotropowy, materiał ortotropowy, homogenizacja, stałe efektywne. WSTĘP Elementem strukturalnym badanego drewna sosnowego jest jego warstewkowość. Konsekwencją warstewkowości drewna jest anizotropia właściwości mechanicznych. W celu zobrazowania relacji warstewkowość anizotropia drewna przeanalizowano parametry efektywne sprężystości. Obliczenia przeprowadzono dla drewna sosnowego. Materiał ten charakteryzuje regularna budowa, na którą składają się warstwy drewna wczesnego i późnego. W analizie założono, że każda z warstw jest zbudowana z materiału jednorodnego transwersalnie-izotropowego. Na tej podstawie przedstawiono metodykę określania własności efektywnych struktur warstwowych. 8

Lesław Kyzioł W myśl przyjętej zasady, że pojedyncze warstwy wykazują budowę materiału transwersalnie-izotropowego, określano doświadczalnie po pięć stałych sprężystości warstw drewna wczesnego i późnego. Celem zasadniczym pracy jest, by na podstawie badań eksperymentalnych pojedynczych warstw drewna wczesnego i późnego, w oparciu o metodę homogenizacji, wyznaczyć dziewięć stałych efektywnych drewna jako materiału ortotropowego. BADANY MATERIAŁ. WYNIKI BADAŃ a b c Rys.. Geometria próbki wyciętej w kierunku osi: a) x ; b) x ; c) x 84 Zeszyty Naukowe AMW

Zastosowanie metody homogenizacji do wyznaczania stałych materiałowych... Na rysunku. przedstawiono kształt i wymiary próbek do badań właściwości mechanicznych pojedynczej warstwy drewna. Ponadto pokazano umiejscowienie prostokątnej rozety tensometrycznej na płaszczyźnie (x, x ) oraz tensometr na płaszczyźnie (x, x ), za pomocą których mierzono odkształcenia. Część pomiarową próbki stanowiła pojedyncza warstwa drewna (wczesnego lub późnego). Przebieg i wyniki badań podano w pracy []. Sposób określania stałych materiałowych przedstawiono na przykładzie próbki o przekroju A wyciętej z warstwy drewna naturalnego rozciąganej siłą F (rys..,.). Rozciąganie w kierunku osi x Rozciąganie w kierunku osi x x x ε x ε ε 45 ε ε 45 x ε Rys.. Pomiar odkształceń próbki poddanej obciążeniu w kierunku osi x Rys.. Pomiar odkształceń próbki poddanej obciążeniu w kierunku osi x Wykorzystując uogólnione prawo Hooke a [,,, 4], wyznaczono stałe sprężystości pojedynczych warstw, których wartości podano w tabeli. Warstwy Wczesne Późne Tabela. Stałe sprężystości warstwy drewna wczesnego i późnego E = E [GPa].6.50 E [GPa] 8.60 6.0 G = G [GPa] 5.0 G [GPa] 0.7.4 ν = ν = ν ν = ν ν 0. 0.0 0.0 0.5 0.05 0.076 Rys. 4. Geometria próbki (66) 006 85

Lesław Kyzioł Na rysunku 4. przedstawiono kształt i wymiary próbek wykonanych z części przyobwodowej. Osie próbek pokrywały się z kierunkiem włókien oraz biegły w kierunku prostopadłym do włókien. Tak więc, oś próbki pokrywała się kolejno z osiami x, x oraz x. Próbki te zawierały przynajmniej cztery warstwy i odpowiadały właściwościami materiałowi ortotropowemu. Na podstawie przeprowadzonych badań materiał wykazał wartości stałych materiałowych, których wyniki zamieszczono w tabeli. Tabela. Stałe materiałowe drewna naturalnego E E E G G G ν ν ν ν ν ν.5.5.85 0.7.04 0.9 0.07 0.5 0.06 0. 8 6 ANALIZA WYNIKÓW BADAŃ Bazując na wynikach pomiarów w skali mikro i wykorzystując metodę homogenizacji, przeprowadzono obliczenia, których celem było określenie zastępczych stałych materiałowych kompozytu drewna na podstawie stałych materiałowych warstw. Uzyskane w wyniku obliczeń metodą homogenizacji wartości parametrów zastępczych zostały zweryfikowane za pomocą stałych materiałowych uzyskanych w badaniach eksperymentalnych. Zgodność wyników otrzymanych z pomiarów i badań będzie dowodem na poprawność zastosowanej metody homogenizacji. Metoda homogenizacji spełnia rolę wspierającego narzędzia laboratoryjnego, ponadto pozwala na określenie wpływu błędu pomiaru w skali mikro na błąd wyniku w skali makro. Miarą błędu w skali mikro jest ścieśnianie lub rozrzut błędu w skali makro. Jeżeli występuje ścieśnianie, to zachodzi dobre odwzorowanie błąd maleje; wówczas mamy wiarygodność poprawności zastosowanej metody homogenizacji. Oznacza to, że wykonując badania tym samym sprzętem na poziomie mikro i makro, lepiej jest dokonywać pomiarów na poziomie mikro i przeliczać na makro błąd pomiaru się zacieśnia. Natomiast jeżeli mały błąd na poziomie mikro generuje duży na poziomie makro, wówczas badania na poziomie mikro są bezpodstawne, ponieważ każdy pomiar jest obarczony błędem i obliczenia metodą homogenizacji są obarczone dużym rozrzutem. Związki (9 7) [podane w poprzednim artykule pt. Wyznaczanie stałych materiałowych drewna metodą homogenizacji] umożliwiły analizę ilościową wpływu poszczególnych parametrów na wartości analizowanych własności efektywnych. Wyniki przedstawiono na rysunkach 5 7. 86 Zeszyty Naukowe AMW

Zastosowanie metody homogenizacji do wyznaczania stałych materiałowych... W pierwszej kolejności obliczeń określono wpływ składowych współczynników Younga (określonych w sposób eksperymentalny) drewna wczesnego E i późnego E na wartości efektywnych stałych sprężystości bielastego drewna sosnowego. Celem było określenie wrażliwości parametrów w skali mikro na wartości parametrów efektywnych. W szerokim zakresie zmieniano wartości E i E charakteryzujące materiał ośrodka. Wyniki badań zaprezentowano w postaci wykresów na rysunkach 5 7. Zaprezentowano tylko wybrane stałe efektywne. a) E E. 5.5 0. 4 E b) E E.6.575.57 0. 5 4 E Rys. 5. Zależność efektywnych współczynników Younga bielastego drewna sosny: a) dla kierunku anatomicznego promieniowego; b) wzdłużnego od współczynników sprężystości warstw drewna wczesnego E i późnego E (66) 006 87

Lesław Kyzioł ν E 0.08 0.06 0.04 0. 4 E 5 Rys. 6. Zależność efektywnych współczynników Poissona bielastego drewna sosny od współczynników sprężystości warstw drewna wczesnego E i późnego E G E. 0 0. 4 E 5 Rys. 7. Zależność efektywnych współczynników Kirchoffa bielastego drewna sosny od współczynników sprężystości warstw drewna wczesnego E i późnego E Zgodnie z przewidywaniami, wzrostowi wartości E i E towarzyszy znaczny wzrost parametrów efektywnych E, E, E (rys. 5a, b), G, ν, ν i tylko nieznaczny pozostałych parametrów (rys. 6., 7.). Wynika to z budowy materiału, jakim jest drewno, którego parametry zostały zdefiniowane zależnościami (9 7) wyrażającymi wzajemne relacje zachodzące pomiędzy nimi w skali mikro i makro. Zaobserwować można znaczenie wartości współczynników określonych eksperymentalnie w skali mikro, wpływających na wartości współczynników efektywnych. Stąd wynika konieczność przeprowadzenia maksymalnie dokładnie badań eksperymentalnych pojedynczych warstwy włókien drewna wczesnego i późnego. Na podstawie zaprezentowanych wykresów można zaobserwować, jak mały błąd w skali mikro wpływa na wielkości parametrów w skali makro. Ponadto widać, jak 88 Zeszyty Naukowe AMW

Zastosowanie metody homogenizacji do wyznaczania stałych materiałowych... duża jest wrażliwość parametrów, które zostały pomierzone w skali mikro i ich wpływ na wartości efektywne. Na rysunkach dodatkowo przedstawiono płaszczyzny średnich wartości parametrów efektywnych drewna, które są równoległe do płaszczyzn podstawy (o osiach współrzędnych E krawędź E ). Uzyskana krawędź przecięcia się płaszczyzny średnich wartości parametrów efektywnych z płaszczyzną, której wartości efektywne są zależne od wartości składowych ( E i E ), jest zbiorem pary współczynników E i E odpowiadających średniej stałej wartości współczynnika efektywnego. Odpowiadające tej krawędzi (linii) parametry efektywne zależne od E i E pozwalają wygenerować wartości współczynników efektywnych. W zagadnieniach sprężystych istnieje reakcja jednoznaczna parametry efektywne powstają tylko z jednej pary punktów E i E. Gdyby wszystkie krawędzie (linie) reprezentujące parametry efektywne uzależnić od E i E, wówczas przecięłyby się w jednym punkcie będącym rozwiązaniem tego zagadnienia. Optymalnym rozwiązaniem wszystkich współczynników efektywnych zależnych od składowych współczynników Younga E i E jest para punktów o współrzędnych E = 0. 6GPa i GPa E =. 50. W następnej kolejności określono (rys. 8. 0.) wpływ składowych współczynników Poissona (wyznaczonych eksperymentalnie) ν i ν na wartości analizowanych efektywnych stałych sprężystości bielastego drewna sosnowego. E ν..5 0. 0. 0. ν Rys. 8. Zależność efektywnych współczynników Younga bielastego drewna sosny od współczynników Poissona warstw drewna wczesnego i późnego ν ν (66) 006 89

Lesław Kyzioł a) ν ν 0. 0. 0. ν b) ν ν 0 0. 0 0. 0.7 0.9 0. 0. ν Rys. 9. Zależność efektywnych współczynników Poissona bielastego drewna sosny od współczynników Poissona warstw drewna wczesnego ν i późnego ν G ν. 0 0. 0. 0. ν Rys. 0. Zależność efektywnych współczynników Kirchoffa bielastego drewna sosny od współczynników Poissona warstw drewna wczesnego i późnego 90 Zeszyty Naukowe AMW

Zastosowanie metody homogenizacji do wyznaczania stałych materiałowych... Również w tym przypadku niewielki wzrost współczynników składowych ( ν i ν ) wywołuje znaczny wzrost współczynników efektywnych E (rys. 8.), G oraz ν i ν (rys. 9a, b). Zmiana współczynników ν i ν nie ma żadnego wpływu na zmianę efektywnych wartości współczynników E, E oraz G (rys. 0.) i tylko bardzo nieznacznie na ν. Uzyskane w wyniku obliczeń wielkości zostały zweryfikowane za pomocą stałych materiałowych uzyskanych w badaniach eksperymentalnych. W rezultacie obliczeń (tabela.) uzyskano stałe efektywne bielastego drewna sosnowego dla udziału drewna wczesnego w drewnie n =. Tabela. Stałe efektywne drewna sosnowego określone w wyniku zastosowania metody homogenizacji E E E G G G ν ν ν ν ν ν.5.5.60 0.9.04 0.9 0.06 0 0.06 0. 8 6 WNIOSKI. Wykorzystując metodę homogenizacji, można określić, jak poszczególne parametry składowe wpływają na wartości wszystkich parametrów efektywnych. Metoda ta umożliwia określenie trendu wrażliwości parametrów efektywnych kompozytu wygenerowanych z jego parametrów składowych.. Niedokładności, jakie miały miejsce w skali mikro, są przenoszone automatycznie na skalę makro. Można na podstawie zaprezentowanych wykresów zaobserwować dokładność i wrażliwość parametrów, jakie zostały pomierzone w skali mikro i ich wpływ na wartości efektywne.. Metoda homogenizacji pozwala na określenie parametrów efektywnych sprężystości na podstawie tylko wybranych parametrów, tych które były możliwe do określenia w skali mikro. Właściwie opracowany model matematyczny oraz właściwie dobrane parametry sprężystości w skali mikro (których pomiar jest wykonany z największą dokładnością) pozwalają na określenie parametrów efektywnych. 4. Różnica wartości parametrów efektywnych określonych eksperymentalnie i obliczona z wykorzystaniem metody homogenizacji nie przekracza 5%. Uzyskane wartości parametrów metodą homogenizacji mogą zostać wykorzystane w obliczeniach inżynierskich. (66) 006 9

Lesław Kyzioł BIBLIOGRAFIA [] Bensoussan A., Lions J. L., Papanicolau G., Asymptotic analysis for periodic structures, North-Holland Publishing Company, Amsterdam 978. [] Kyzioł L., Analiza właściwości drewna konstrukcyjnego nasyconego polimerem MM, AMW, Gdynia 004. [] Łydżba D., Zastosowania metody asymptotycznej homogenizacji w mechanice gruntów i skał, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 00. [4] Sanchez-Palenica E., Non-homogeneous Media and Vibration Theory, Lecture Notes in Physies, 7, Springer-Verlag, Berlin 980. ABSTRACT The paper presents investigations and a way of determining material constants for single layers of early and late pine-wood. It was assumed that each layer is composed of homogenous material transversally isotropic. This was used to determine five constants of resilience of early and late wood layers. The homogenization method was used to determine nine effective constants for pine wood as ortotropic material. Recenzent dr hab. inż. Zbigniew Powierża, prof. nadzw. AM w Gdyni 9 Zeszyty Naukowe AMW