Matematyka to nauka o naszych wspólnych urojeniach. Ale urojenia jak to urojenia, jak się je nieco usystematyzuje to stają się rzeczywistością. To już druga część słynnego kompendium czyli funkcje trygonometryczne, podstawy geometrii płaskiej oraz przestrzennej w pigułce. Zapraszam do lektury i zaliczania! 8-) Funkcje trygonometryczne. Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie w związku z zagadnieniami pomiarów na powierzchni Ziemi oraz potrzebami żeglugi morskiej. Na rozwój trygonometrii miały też znaczący wpływ astronomia. Istnieją cztery podstawowe funkcje trygonometryczne: sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg) Oprócz nich definiuje się również secans (sec) i cosecans (cosec) lecz są one obecnie rzadko używane (odpowiednio odwrotność cosinusa i sinusa). Definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. Funkcje trygonometryczne dla kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego przy kącie wewnętrznym. =, =, =, = Ponieważ trójkąt jest prostokątny, zachodzi prosta zależność pomiędzy kątami i β. Mianowicie: =90 β. Zatem oczywiście spełnione są następujące równości: = (90 ), = (90 ), = (90 ), =(90 ). Rysując odpowiednie trójkąty łatwo wyznaczyć funkcje trygonometryczne dla kątów 30 O, 45 O, 60 O. Wartości funkcji dla powyższych kątów znajdują się w poniższej tabeli. 30 O 45 O 60 O 1 3 3 3 3 3 1 1 1 3 Jak widać z powyższego rysunku kąt α zawiera się w przedziale (0,90 ). Jednak funkcje trygonometryczne można również zdefiniować dla kątów spoza tego przedziału, w szczególności dla kątów o dowolnej mierze. W tym celu musimy wprowadzić definicję. Definicja funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego. Dotychczas za jednostkę miary kąta przyjmowaliśmy stopień (1 O ), czyli kąta prostego. Dla zdefiniowanego poniżej kąta skierowanego będziemy posługiwać się inną jednostką miary. Otóż będzie to długość łuku okręgu o promieniu jednostkowym, którą wyznacza dany kąt. I tak odpowiednio kąt pełny (360 O ) wyznacza łuk o długości, kąt półpełny (180 O ), wyznacza łuk o długości, kąt prosty (90 O ), wyznacza łuk o długości, itd. Obierzmy na płaszczyźnie prostokątny układ współrzędnych OXY. Następnie zaczepmy półprostą w początku układu współrzędnych O, połóżmy ją na osi OX, wybierzmy na niej punkt M znajdujący się w odległości r od początku układu współrzędnych O i zacznijmy obrót wokół tego punktu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Półprosta ta będzie tworzyć z osią OX pewien kąt skierowany. Jego miara może być dowolna, gdyż półprostą możemy obrócić wokół O dowolną ilość razy. Oczywiście co kąt sytuacja będzie się powtarzać, co wskazuje że funkcje trygonometryczne powtarzają swoje wartości co. 3 3 Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego określa się wzorami: =, =, =, = Funkcje jak to funkcje. Lubią mieć wykresy. Na wykresach kąt został zastąpiony przez. Oto one:
y = sinx y = cosx y = tgx y = ctgx Warto chwilę zadumać się nad tymi malunkami. Widać uderzające podobieństwo pomiędzy pierwszymi i drugimi wykresami. W istocie, wykres funkcji cosinus jest po prostu przesuniętym o w lewo wykresem funkcji sinus. W związku z tym obydwie funkcje mają ten sam okres, wynoszący. Ponadto, co widać z wykresu funkcje te są określone dla wszystkich (także ujemnych - wartości ujemne odpowiadają obrotowi półprostej w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara). Kolejną rzeczą, którą widać jest to, że sinus i cosinus przyjmują wartości z przedziału < 1,1>. wykresy z prawej również są do siebie podobne. Pierwsze co uderza to powtarzające się gałęzie w "pasach" o szerokości. Drugie, że wykres kotangensa powstaje z wykresu tangensa poprzez odbicie symetryczne względem osi OY i przesunięcie w prawo o wartość. Trzecie, że obydwie funkcje w regularnych odstępach są nieokreślone, tangens we wszystkich wielokrotnościach, kotangens w nieparzystych wielokrotnościach. I wreszcie, zarówno tangens jak i kotangens mogą przyjmować dowolne wartości. Jak widać z wykresów funkcje trygonometryczne są okresowe. W przypadku sinusa i cosinusa okres wynosi. Tangens powtarza się częściej, co. Powstaje pytanie jak zmnienia się okres funkcji trygonometrycznej gdy pomnożymy argument funkcji przez liczbę. Nietrudno stwierdzić, że okres funkcji = wynosi. Związek pomiędzy współczynnikiem stojącym przy x i okresem funkcji trygonometrycznej pozostawiam do samodzielnego ustalenia. Tożsamości trygonometryczne. Piękne jest wzajemne przenikanie się funkcji trygonometrycznych. Świadczą o tym tożsamości. Oto i one. Jedynka trygonometryczna to tożsamość trygonometryczna postaci: + = Mówi nam ona, że dla każdej wartości suma kwadratów sinusa i cosinusa = 1. Piękne, nieprawdaż...? Dowód? Spróbujmy zastosować twierdzenie Pitagorasa. Inne: =, =, =, = Wzory redukcyjne. To po prostu wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego, a dalej dla kąta o mierze z zakresu od 0 do 45. W poniższych wzorach używana jest miara łukowa kąta. Oto kilka z nich: ( )=, ( )=, =, =... i wiele wiele innych. Wyprowadzenie ich jest dziecinnie łatwe. Należy tylko wnikliwie przyjrzeć się kątowi skierowanemu w układzie współrzędnych. Wzory redukcyjne można wyprowadzić na podstawie symetrii wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Zadanie 1. Sprawdź tożsamości = = = = = = + = = + =( + ) = = = + Przekształcamy tym razem prawą stronę. = + = = + + = + = = = + = = + = + + = = ( ) + = + = = Znak funkcji trygonometrycznych. "W pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus". Która ćwiartka jest która? Numeracja biegnie wraz ze wzrostem kąta. Jeśli już mowa o
znaku, to można odczytać z wykresu, że funkcja sinus jest nieparzysta. Podobnie wygląda sytuacja dla tangensa i kotangensa. Cosinus wyłamuje się z towarzystwa, gdyż jest funkcją parzystą. Okresowość funkcji trygonometrycznych wykorzystywana jest... do gnębienia uczniów. Równania trygonometryczne, bo o nich mowa, mają na ogół nieskończenie wiele rozwiązań. Równaniem trygonometrycznym nazywamy takie równanie, w którym zmienna występuje tylko w wyrażeniu, z którego oblicza się wartości funkcji trygonometrycznych. Zatem równanie = nie jest równaniem trygonometrycznym natomiast równanie = nim jest. Na przykład rozwiążmy powyższe równanie =. Jak to ugryźć? Chodzi o punkty przecięć sinusoidy i cosinusoidy. Jeden rzut oka na wykresy tych funkcji wystarcza by się przekonać, że jest ich nieskończenie wiele. Ale nie ma się czym zrażać. Widać, że są one rozłożone regularnie. Zadanie. Rozwiąż równania = Korzystając z wzorów redukcyjnych zamieńmy cosinus na sinus, otrzymujemy: = ( ) z czego wynikają następujące rozwiązania: = + = + = Otóż niewątpliwie cosinusy będą równe w przypadku równości =, co jak łatwo stwierdzić zachodzi dla =. Cy jest to jedyne rozwiązanie tego równania? Otóż nie, z racji parzystości cosinusa musimy rozpatrzyć przypadek =. Reasumując: = + = = = Ponieważ pierwsze rozwiązanie zawiera się w drugim, zatem =. +=+ (*trudne!) Oczywiście nie wolno zapominać o dziedzinie, po pierwsze musi być +,+ a także, dla zachowania sensu tangensa i cotangensa + i. Podnieśmy obie strony równania do kwadratu: (+) =+ + =(+) += = + Łatwo sprawdzić, że w przedziale < wielkość = spełnia zastrzeżenia dziedziny (+,+ ), zaś dla =, +<0, zatem nie spełnia. Reasumując, =+. Planimetria. To dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (płaskich). Z planimetrii przypomnę jedynie twierdzenie Talesa. Twierdzenie Talesa. Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi (na rysunku są tylko dwie proste m i n, ale twierdzenie zachodzi dla dowolnej ich liczby), to długości odcinków wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta. Zachodzi również twierdzenie odwrotne (jeżeli odpowiednie odcinki są proporcjonalne, to proste m i n są równoległe). Mamy zatem: =, a także = =. Proporcje te wynikają z podobieństw trójkątów ~. A teraz niespodzianka! To by było na tyle planimetrii. Ponieważ zakładam, że każdy jest z nią za pan brat i beczkę soli z nią zjadł 8-). Jak się wkrótce okaże, znienawidzona przez wszystkich stereometria to też taka planimetria, tyle że bardziej, hm, jak to powiedzieć (pękata?). Ale w dalszym ciągu punkty pozostaną w niej punktami, proste prostymi. Tylko rola płaszczyzny zostanie zredukowana. W planimetrii była całym Wszechświatem, tu w stereometrii będzie tylko jednym z nieskończenie wielu światów. Dobra, dość filozofowania, w końcu od tego jest imć Machul
Stereometria. To dział geometrii w przestrzeni trójwymiarowej. Odpowiednikiem figur płaskich ze stereometrii będą bryły (np. kula, sześcian, ostrosłup i ogólnie dowolny obiekt posiadający objętość). Sporo miejsca poświęcimy na omówienie wielościanów. Otóż wielościan to bryła, ograniczona przez powierzchnię utworzoną z wielokątów, które stykają się tylko bokami. Wielościan musi posiadać przynajmniej 4 ściany. Rodzaje wielościanów. Graniastosłupem nazywamy wielościan, którego dwie ściany, zwana podstawami, są przystającymi wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są równoległobokami, których wszystkie wierzchołki są jednocześnie wierzchołkami podstaw. Graniastosłupy dzielimy na: proste krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw pochyłe jego krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw prawidłowe o podstawach będących wielokątami foremnymi równoległościany podstawą jest równoległobok, a przeciwległe ściany są równoległe prostopadłościany wszystkie ściany to prostokąty sześciany wszystkie ściany to kwadraty Wysokość graniastosłupa jest to odległość między podstawami. Przekątna graniastosłupa jest to odcinek łączący dwa wierzchołki nie leżące na jednej ścianie. Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego podstawa jest dowolnym wielokątem, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku S, który nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa. Ostrosłupy dzielimy na: proste na podstawie których można opisać okrąg, a punkt w którym wysokość styka się z podstawą, jest jednocześnie środkiem tego okręgu czworościany o podstawie trójkąta prawidłowe krawędzie boczne są równej długości a podstawą jest wielokąt foremny Wysokość ostrosłupa to odległość wierzchołka od podstawy. Z doświadczenia wiem, że największe kłopoty w graniastosłupach i ostrosłupach sprawiają kąty. Otóż kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy (zarówno dla graniastosłupa jak i ostrosłupa) nazywamy kąt pomiędzy prostą prostopadłą do krawędzi podstawy, leżącą w płaszczyźnie tej ściany i podstawą. Kątem nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy nazywamy zaś kąt pomiędzy tą krawędzią i podstawą. Jeszcze innym zagadnieniem jest kąt nachylenia ścian bocznych. Kąty nachylenia prostych i płaszczyzn szczegółowo opisałem w dziale STEREOMETRIA na kątowej stronie matematycznej. Wielościanem foremnym (bryłą platońską) nazywamy wielościan wypukły, którego ściany są identycznymi wielokątami foremnymi. Poniżej znajduje się WSZYSTKIE PIĘĆ wielościanów foremnych: czworościan sześcian ośmiościan dwunastościan dwudziestościan Bryły obrotowe to bryły ograniczone powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu). Najważniejsze bryły obrotowe to: Walec bryła powstała w Jeżeli promień podstawy walca wynosi r, wysokość h, to: wyniku obrotu prostokąta Pole powierzchni bocznej walca wokół jednej z krawędzi = Pole powierzchni całkowitej walca = ( + ) Objętość walca Stożek bryła powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej Kula bryła powstała w wyniku obrotu koła wokół jego średnicy = Jeżeli promień podstawy walca wynosi r, wysokość h, a tworząca l to: Pole powierzchni bocznej stożka = Pole powierzchni całkowitej stożka = ( + ) Objętość stożka = Jeżeli promień kuli wynosi r, to: Pole powierzchni kuli (sfery) = Objętość kuli =
Zadanie 1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole jednej ściany bocznej jest trzy razy mniejsze od pola podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa przyjmując, że długość krawędzi podstawy wynosi 14cm. Wyznacz sinus kąta między sąsiednimi krawędziami bocznymi tego ostrosłupa. Rozwiązanie. Ostrosłup prawidłowy czworokątny to ostrosłup o podstawie kwadratu. Jego ściany boczne to trójkąty równoramienne. Do wyznaczenia objętości potrzebna jest nam wysokość ostrosłupa. Oznaczmy ją. Pole podstawy =. Zatem pole ściany bocznej =. Skoro mamy pole możemy wyznaczyć wysokość ściany bocznej. = = = =. Wreszcie, z twierdzenia Pitagorasa mamy: + = =( ) = =. = Ostatecznie: = Sinus kąta między sąsiednimi krawędziami bocznymi wyznaczymy ze stosunku = Teraz musimy skorzystać ze znajomości tożsamości trygonometrycznych. Otóż: = = = = Oczywiście = = = Ostatecznie mamy = = = == Zadanie. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości jego krawędzi jest równa 48, a pole powierzchni całkowitej 90. Oblicz długości krawędzi graniastosłupa i jego objętość. Rozwiązanie. Ponieważ graniastosłup ten ma u podstawy kwadrat, oznaczmy krawędzie graniastosłupa odpowiednio,. Objętość graniastosłupa =. Mamy dane: + = i + = Z pierwszego równania wyliczamy =, po czym podstawiamy do drugiego. Otrzymujemy + ( )=. Nietrudno sprawdzić, że równanie ma rozwiązania: = i =, którym odpowiadają = i =. Zadanie 3 Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 8, a jeden z kątów ma miarę 30 O. Powierzchnia boczna tego graniastosłupa po rozwinięciu na płaszczyznę jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa. Rozwiązanie. Obliczmy przyprostokątne trójkąta w podstawie. = = =, =++=++=+ Liczmy pole powierzchni całkowitej i objętość: = = = = + =+(+) =+ = = (+)=+ Zadanie 4 W pojemniku o kształcie walca o promieniu podstawy R = 8 umieszczono dwie kule o promieniu r = 5, w ten sposób, że są do siebie styczne i każda z nich dotyka powierzchni bocznej walca, jak na rysunku. Jaka co najmniej musi być wysokość pojemnika, aby kule całkowicie się w nim mieściły. Oblicz objętość tego walca. Rozwiązanie. W pojemniku o najmniejszej wysokości kule są do siebie styczne oraz są styczne do podstaw pojemnika. Wysokość pojemnika możemy podzielić na trzy odcinki AD, BC i CE. Pierwszy i trzeci mają długość r = 5 a długość drugiego możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego ABC. Zauważmy, że długość odcinka AB to średnica podstawy walca minus dwa promienie wpisanych kul. Zatem: = = = Zatem wysokość walca wynosi: i objętość: = = = =++= = =