Techniki świetlne Wykład 4 Obliczenia podstawowych wielkości fotometrycznych Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ Miejsce konsultacji: pokój 18/11 bud. A-1
Obliczenia rozsyłów światłości PRZYPOMNIENIE: Wykres światłości to zależność światłości w danym kierunku od kąta tego kierunku w stosunku do osi optycznej dla określonej płaszczyzny przekroju bryły fotometrycznej, zawierającej oś optyczną. Obliczenia rozsyłów światłości są zasadniczo przedmiotem badań konstruktorów opraw oświetleniowych. Ze względu na (bardzo często) złożony kształt opraw, obliczenia takie są najczęściej wstępem do założeń konstrukcyjnych ostateczne wyniki uzyskiwane są na drodze pomiarów.
Obliczenia rozsyłów światłości Analogicznie, dla źródeł światła, rozsyły światłości są najczęściej wyznaczane na drodze pomiarowej (to nawet łatwiejsze CZEMU?). Ale można, przy pewnych założeniach upraszczających, dokonać przybliżonych obliczeń rozsyłów światłości niektórych form źródeł światła. W obliczeniach światłości można wykorzystać definicję luminancji: L C, C, dic, di ds' ds cos Dla wartości średnich: I LS cos LS' gdzie S (γ) oznacza pole powierzchni pozornej źródła światła widzianego z kierunku kąta γ.
Obliczenia rozsyłów światłości Przyjmując założenia, że: a) luminancja dowolnego punktu powierzchni świecącej źródła światła jest stała; b) każdy punkt powierzchni świecącej źródła ma stałą luminancję dla każdego kąta obserwacji (źródło lambertowskie), to obliczenie światłości źródła światła w danym kierunku sprowadza się do obliczenia jego pola pozornej powierzchni S (γ) z tego kierunku. Założona stała wartość luminancji może być obliczona też w sposób uproszczony z zależności określającej tzw. luminancję gabarytową źródła światła: L g 0 S g strumień świetlny źródła światła powierzchnia gabarytowa źródła światła
Obliczenia rozsyłów światłości Punktowe źródło światła Obraz powierzchni świecącej jest taki sam, niezależnie od kierunku obserwacji. Czyli: niekoniecznie musi być DALEKIE ważne, żeby geometrycznie wyglądało tak samo z każdego kierunku! Przykłady: źródło sferyczne, krótka skrętka walcowa, kuliste klosze mleczne, gwiazdy. W tym przypadku: L const S' const I LS' więc: const I, biorąc pod uwagę zależność światłości kierunkowej od strumienia świetlnego oraz fakt, że pełny kąt bryłowy to ILE? otrzymujemy: I 4 0 C, const
I Obliczenia rozsyłów światłości Powierzchniowe źródło światła Źródło światła w postaci ograniczonej płaskiej powierzchni, świecącej jedną stroną. Dodatkowo zakładamy, że ta świecąca powierzchnia ma stała luminancję: L const Przykład: Ciało doskonale czarne z definicji kandeli; wszelkie matowe powierzchnie, odbijające światło (kartka papieru, ściana, sufit). W tym przypadku: I ostatecznie: 0cos S' S' LS' LS' 0cos IMAX cos czyli rozsył zgodny z prawem Lamberta! (okrąg styczny do punktu środkowego elementu świecącego) (rzut powierzchni na kierunek obserwacji!)
Linia świetlna Obliczenia rozsyłów światłości Źródło światła o kształcie bardzo wydłużonego walca, promieniującego strumień świetlny symetrycznie w stosunku do swojej osi i identycznie na każdym odcinku długości. Linia świetlna, teoretycznie nieskończenie cienka, musi być urealniona przez przyjęcie skończonego wymiaru średnicy i długości, inaczej luminancja rosłaby do. Przykład: Liniowa świetlówka, światłowód promieniujący bokiem, długa i prosta skrętka żarówki, dekoracyjny wąż świetlny. W tym przypadku obrazem pozornym linii świetlnej jest prostokąt, którego szerokość odpowiada średniej szerokości linii x a długość jest dla każdego kąta inna i zmienia się od 0 do maksymalnej długości y. Wtedy: I LS' Lxy sin IMAX sin
Obliczenia rozsyłów światłości Świetlówka kołowa bardziej skomplikowany przypadek... Linia świetlna, ale zawinięta w obwarzanek (czyli torus). Podstawą obliczeń rozsyłu światłości świetlówki kołowej jest wyznaczenie wielkości jej pola pozornej powierzchni z różnych kierunków obserwacji. Jest to więc problem czysto geometryczny. Można go rozwiązać tradycyjnie (tzn. przy wykorzystaniu znanych wzorów geometrycznych) używając przybliżonego modelu świetlówki albo numerycznie, obliczając rzeczywistą wartość pola pozornej powierzchni poprzez rzutowanie modelu przestrzennego na określone płaszczyzny. Przykład liczbowy dla świetlówki o mocy W: Strumień świetlny: 0 =150 lm Średnica rury: d=9mm Duża średnica torusa: D=181mm
Świetlówka kołowa Obliczenia rozsyłów światłości Założenia, będące podstawą obliczeń: 1. Pomijamy nieświecący odcinek obwodu torusa związany z elektrodami;. Luminancja całej powierzchni świetlówki jest stała i wynosi L= 0 /S, gdzie S oznacza powierzchnię gabarytowa świetlówki; 3. Promieniowanie z każdego elementu powierzchni świetlówki odbywa się zgodnie z prawem Lamberta. Schemat obliczeń: 1. Obliczenie pola powierzchni gabarytowej: A) skorzystanie z wzoru na pole powierzchni bocznej torusa (nie znam ); B) wyprostowanie torusa i obliczenie powierzchni bocznej walca: S ( D / ) d / 57107mm 0,0571m. Obliczenie luminancji gabarytowej: L 150lm /( 0,0571m ) 6971cd / m
Świetlówka kołowa Obliczenia rozsyłów światłości Schemat obliczeń cd.: 3. Pole powierzchni pozornej świetlówki można policzyć w sposób przybliżony jako różnica pól powierzchni elipsy opisanej na zewnętrznym gabarycie torusa i elipsy wpisanej w wewnętrzny gabaryt torusa. Dla zmieniającego się kąta w stosunku do osi obrotu świetlówki, charakteryzującego kierunek obliczanej światłości, wymiary dużej osi większej elipsy (A) i dużej osi mniejszej elipsy (a) nie ulegną zmianie. Zmieniają się małe osie obu elips, w przybliżeniu zgodnie z cos. Daje to wzór na pole powierzchni pozornej: S( ) AB ab ( A B )cos Dd cos
Świetlówka kołowa Obliczenia rozsyłów światłości Schemat obliczeń cd.: 3a. Dla pewnego kąta obserwacji gr znika mniejsza elipsa: Kąt graniczny można obliczyć ze wzoru (tutaj: 80,78º): gr arccos( d / D) Dla kąta gr =90º obraz pozorny świetlówki nie przypomina z kolei elipsy widok z tego kierunku to prawie prostokąt z dwoma połówkami koła!
Świetlówka kołowa Obliczenia rozsyłów światłości Schemat obliczeń cd.: Obliczony wykres światłości świetlówki kołowej Z pewnym przybliżeniem wygląda to jak świecenie dwustronne powierzchni lambertowskiej!
Obliczenia rozsyłów światłości Uwagi ogólne: 1) Obliczenie rozkładu światłości zawiera więc, jako element podstawowy, określenie wielkości pozornej powierzchni świecącej widzianej z określonego kierunku; ) W przypadku promieniowania zgodnego z prawem Lamberta jest to więc problem wyłącznie geometryczny! 3) W rzeczywistych przypadkach istotny jest rzeczywisty rozkład luminancji źródła/oprawy, który ze względu na użyte materiały i kierunkowość odbicia/transmisji, może mieć istotnie inny rozkład, niż źródło lambertowskie
Obliczenia strumienia świetlnego Przypomnienie DEFINICJA strumienia świetlnego: wielkość fotometryczna, wyprowadzona ze strumienia energetycznego (mocy promienistej), na podstawie oceny promieniowania za pomocą odbiornika, którego względna czułość widmowa odpowiada czułości widmowej ludzkiego oka, przystosowanego do jasności: K m 0 V d e, Definicję tę można wykorzystać tylko dla źródeł, których rozkład promieniowania przypomina rozkład ciała czarnego. W praktyce: strumień światła jest po prostu MIERZONY.
Obliczenia strumienia świetlnego W pewnych sytuacjach zachodzi konieczność obliczania części strumienia świetlnego, która oświetla dany obiekt. Ta część strumienia decyduje o wytworzonym poziomie natężenia oświetlenia obiektu. W takiej sytuacji niezbędna jest znajomość przestrzennego rozkładu gęstości strumienia świetlnego źródła bądź oprawy, czyli po prostu rozkładu światłości: I f C, oraz ich relacji geometrycznej (położenia kątowego, odległości) z obiektem oświetlanym. Ważne się staje, pod jakim kątem bryłowym z punktu oświetlającego widać obiekt i jaki strumień świetlny jest w tym kącie wyemitowany ze źródła.
Obliczenia strumienia świetlnego Obliczenia strumienia świetlnego na podstawie rozkładów światłości symetrycznych obrotowo Jeżeli bryła fotometryczna oprawy/źródła jest symetryczna obrotowo, jej rozkład przestrzenny światłości charakteryzuje wykres światłości w jednej płaszczyźnie przekroju, przechodzącego przez oś symetrii I(). Jeżeli oprawa jest usytuowana symetrycznie względem obiektu oświetlanego i obiekt tez jest symetryczny obrotowo, obliczenia są bardzo proste. Gorzej, gdy któraś z symetrii jest niezachowana
Obliczenia strumienia świetlnego Obliczenia strumienia świetlnego na podstawie rozkładów światłości symetrycznych obrotowo na podstawie analitycznej funkcji opisującej rozkład światłości W przypadku symetrii obrotowej rozkładu światłości strumień świetlny wypromieniowany w pewnym kącie bryłowym dla pewnego stożka można wyrazić zależnością: d Id Skoro kąt bryłowy jest tu symetryczny obrotowo, można go wyrazić jako funkcję kąta płaskiego: 1 cos Co po zróżniczkowaniu daje: d sind I ostatecznie pozwala na obliczenie szukanego strumienia świetlnego jako: I sind 0
Obliczenia strumienia świetlnego Obliczenia strumienia świetlnego na podstawie rozkładów światłości symetrycznych obrotowo na podstawie analitycznej funkcji opisującej rozkład światłości PUNKTOWE ŹRÓDŁO ŚWIATŁA Ponieważ w tym przypadku: I I 0 const Więc strumień świetlny wypromieniowany wewnątrz stożka o połówkowym kącie przywierzchołkowym γ: I 0 1 cos max 180
Obliczenia strumienia świetlnego Obliczenia strumienia świetlnego na podstawie rozkładów światłości symetrycznych obrotowo na podstawie analitycznej funkcji opisującej rozkład światłości ELEMENT POWIERZCHNI ŚWIECĄCEJ LAMBERTOWSKO Ponieważ w tym przypadku: I I MAX cos Więc strumień świetlny wypromieniowany wewnątrz stożka o połówkowym kącie przywierzchołkowym γ: max 90 I MAX 1 cos
max Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Obliczenia strumienia świetlnego Obliczenia strumienia świetlnego na podstawie rozkładów światłości symetrycznych obrotowo na podstawie analitycznej funkcji opisującej rozkład światłości LINIA ŚWIETLNA Ponieważ w tym przypadku: I I MAX sin Więc strumień świetlny wypromieniowany wewnątrz stożka o połówkowym kącie przywierzchołkowym γ: I MAX sin
Obliczenia strumienia świetlnego Obliczenia strumienia świetlnego na podstawie wykresu światłości W praktyce mamy najczęściej do dyspozycji albo zmierzony, albo obliczony rozsył światłości, który trudno opisać analitycznie a nawet, gdyby taki analityczny model zastosować, obliczanie odpowiednich całek byłoby skomplikowane. Podstawą obliczeń strumienia świetlnego jest wtedy wykres światłości, który trzeba połączyć z odpowiednim podziałem obszaru wypromieniowywania tego strumienia. Metody obliczeniowe: 1) Rachunkowa (całka przybliżona sumą skończoną); ) Wohlauera (dla brył fotometrycznych symetrycznych obrotowo, wykorzystuje biegunowy wykres rozsyłu światłości); 3) Rousseau (również dla opraw o symetrii obrotowej, pomocniczy wykres światłości w przeskalowanych współrzędnych).
Obliczenia strumienia świetlnego Obliczenia strumienia świetlnego dla niesymetrycznych obrotowo rozkładów światłości lub niesymetrycznego kąta bryłowego wiązki świetlnej W tym przypadku stosujemy obliczenia numeryczne, bazujące na dyskretyzacji powierzchni (przestrzeni), przy czym dyskretyzować można zarówno powierzchnię źródła/oprawy, jak i kąt bryłowy, w którym dokonujemy obliczeń (co ma przełożenie na dyskretyzację powierzchni obiektu ).
Obliczenia natężenia oświetlenia Natężenie oświetlenia jest parametrem, którego obliczenia i pomiary są najczęściej wykonywane w technice świetlnej DLACZEGO? Większość norm określających zapotrzebowanie na oświetlenie obiektu wyraża wymagania w postaci natężenia oświetlenia. Natężenie oświetlenia w płaszczyźnie oka jest np. miarą olśnienia przeszkadzającego. Czemu jednak nie luminancja? Ponieważ luminancja oświetlanych obiektów i powierzchni zależy nie tylko od strumienia świetlnego padającego na ten obiekt, ale też od właściwości odbiciowych oświetlanych powierzchni! Dlatego podstawową procedurą większości algorytmów, prowadzących do wyznaczenia rozkładu oświetlenia np. wnętrz pomieszczeń jest obliczanie rozkładu natężenia oświetlenia wybranych powierzchni tych wnętrz.
Obliczenia natężenia oświetlenia Obliczanie rozkładu natężenia oświetlenia za pomocą procedur komputerowych sprowadza się do stosowania prawa odwrotności kwadratów odległości: E e I r e 0 cos Pytanie, na ile to prawo jest stosowalne? Dwa skrajne przypadki: 1) Ciało promieniuje zgodnie z prawem Lamberta zagadnienie określenia światłości i powiązania jej z proporcją wymiarów ciała promieniującego do odległości, w której obliczane jest natężenie oświetlenia, rozwiązać analitycznie; ) Wiązka świetlna odbijana od powierzchni bądź przez nią przepuszczona promieniuje w bardzo wąskim kącie bryłowym (reflektory, projektory) ze względu na specyfikę odbicia kierunkowego strumienia świetlnego sumowanie działania oświetlającego poszczególnych wiązek zachodzi w sporej odległości.
Obliczenia natężenia oświetlenia Obliczanie rozkładu natężenia oświetlenia wywołanego promieniowaniem rozproszonym powierzchni świecących Przykład: kwadratowa powierzchnia świecąca o boku a=m, której luminancja w kierunku punktu P wynosi L=1000cd/m. Punkt P położony jest na osi symetrii w odległości 1m. Obliczenie I: źródłem punktowym jest cały kwadrat: I LS 1000 4 E P 4000lx r r 1 Obliczenie II: źródłem punktowym są cztery składowe kwadraty: S L cos 35 I1 E 4 1000 4 0,8 P 4 cos 35 4 cos 35 0,8 1807lx r r 1, 1 1
Obliczenia natężenia oświetlenia Obliczanie rozkładu natężenia oświetlenia wywołanego przez okrągłą tarczę świecącą o stałej luminancji E Lcos d Stosując znane już wzory dla brył o symetrii obrotowej: 1 cos Otrzymujemy: Z rysunku: E Lsin d sind sin D D l oraz: L I D
Obliczenia natężenia oświetlenia Obliczanie rozkładu natężenia oświetlenia wywołanego przez okrągłą tarczę świecącą o stałej luminancji cd. Przyjmując oznaczenie: l D k można wyrazić natężenie oświetlenia jako: E l I 1 gdzie: 1 4k 4k Współczynnik ten jest miarą dokładności, z jaką prawo odwrotności kwadratu odległości wyraża natężenie oświetlenia w zależności od proporcji odległości l punktu P do średnicy D tarczy świecącej.
Obliczenia natężenia oświetlenia l D k 0,5 1 3 4 5 7 10 1,5 1.06 1,03 1,015 1,01 1,005 1,003 1 Obliczanie rozkładu natężenia oświetlenia wywołanego przez okrągłą tarczę świecącą o stałej luminancji cd.
Obliczenia natężenia oświetlenia Obliczanie natężenia oświetlenia wywołanego promieniowaniem odbitym od powierzchni zwierciadlanych W układach opraw oświetleniowych bardzo często do kształtowania bryły fotometrycznej wykorzystuje się powierzchnie odbłyśników zwierciadlanych. Charakter emisji strumienia świetlnego jest tu zupełnie inny, niż promiennika lambertowskiego. Odbicie elementarne źródła światła jest to wiązka promieni odbitych od dowolnego punktu powierzchni zwierciadlanej, która emituje w kierunku tego punktu źródło światła. Kształt odbicia elementarnego, rozumiany jako zarys przekroju, zależy od kształtu źródła światła i położenia punktu odbicia. Wymiar kątowy odbicia elementarnego jest zależny od wielkości źródła światła i odległości źródła światła od powierzchni odbijającej.
Obliczenia natężenia oświetlenia Obliczanie natężenia oświetlenia wywołanego promieniowaniem odbitym od powierzchni zwierciadlanych Reflektor paraboloidalny, ze źródłem światła umieszczonym w ognisku nie wszystkie odbicia elementarne biorą udział w oświetlaniu badanych punktów.
Obliczenia natężenia oświetlenia Obliczanie natężenia oświetlenia wywołanego promieniowaniem odbitym od powierzchni zwierciadlanych Graniczna odległość fotometrowania GOF zwierciadlanych reflektorów paraboloidalnych jest to taka odległość liczona od lustra w kierunku osi optycznej, począwszy od której każdy punkt położony na osi jest obejmowany (oświetlany) przez każde odbicie elementarne bryły źródła światła. Przykład: reflektor o średnicy D=0cm, ogniskowej f=5 cm i promieniu sfery r=0,5m ma GOF równą ok. 00 cm, czyli dwa razy więcej niż odległość, przy której można stosować prawo odwrotności kwadratów dla źródła lambertowskiego.