Ćwiczenie 33 Kondensatory Cel ćwiczenia Pomiar ojemności kondensatorów owietrznych i z warstwą dielektryka w celu wyznaczenia stałej elektrycznej ε i rzenikalności względnych ε r różnych materiałów. Wrowadzenie Kondensator jest układem rzewodników oddzielonych warstwą izolatora. Przez ojemność kondensatora C rozumiemy stosunek ładunku Q do naięcia między okładkami U Q C =. (1) U Poularny, acz uroszczony wzór na ojemność kondensatora łaskiego ε ε S C = r, () d wyraża wartość C jako funkcję owierzchni okładki S, odległości między okładkami d, wsółczynnika ε = 8,85 F/m nazwanego stałą elektryczną* i rzenikalności elektrycznej ε r materiału między okładkami kondensatora (tab. 1). Ze wzoru () wynika, że dla wyznaczenia stałych ε i ε r należy zmierzyć ojemność kondensatorów o znanych wymiarach geometrycznych, różniowego i wyełnionego dielektrykiem. W yz n a cz a nie stał e j elektryc z n ej ε W naszym ekserymencie rzybliżeniem kondensatora różniowego jest kondensator owietrzny (rys. 1). Okładkami kondensatora są kołowe łyty metalowe. Określoną odległość między łytami uzyskuje się rzez umieszczenie w trzech miejscach stosu izolujących krążków. Do omiaru ojemności kondensatora stosujemy cyfrowy miernik ojemności. Wartości ε nie możemy wyznaczać wrost ze wzoru () z dwóch owodów. Po ierwsze krążki określające odległość d między łytami wykonane są z materiału o rzenikalności dielektrycznej ε r znacznie większej od jedności, co owoduje owiększenie całkowitej ojemności kondensatora. * Uwaga: zgodnie z decyzjami ISO (International Organisation for Standarization) oraz IEC (International Electrotechnical Commission) z roku 199 dla symbol ε oraz µ wrowadzono nazwy stała elektryczna i stała magnetyczna (ang. electric constant, magnetic constant). Tradycyjne terminy rzenikalność elektryczna różni i rzenikalność magnetyczna różni sotkać można w starszych odręcznikach, n. w orzednich wydaniach odręcznika Hallidaya i Resnicka.. 1
Rys. 1. Powietrzny kondensator łaski z trzema słukami z dielektryka. Kondensator nasz otraktować można jako równoległe ołączenie kondensatora z dielektrykiem o rzenikalności względnej ε r i łącznej owierzchni okładek równej 3 S (gdzie S jest owierzchnią jednego krążka) oraz kondensatora różniowego, o owierzchni okładek równej S 3 S. Pojemność całkowita wynosi Z wzoru (3) wartość ε obliczamy jako ε ( S 3S ) ε ε r 3S C = +. (3) d d Cd ε =. () S+ 3( ε 1) r S Druga istotna orawka wynika z istnienia tzw. ola rozroszonego. Wzór () jest w istocie wzorem rzybliżonym. Jego wyrowadzenie rzy użyciu rawa Gaussa [1] oiera się na uraszczającym założeniu, że ole E ma wartość stałą we wnętrzu kondensatora i ratownie znika oza jego krawędzią. Z raw elektrostatyki wynika, że oza brzegami kondensatora istnieje niejednorodne (o zakrzywionych liniach sił) ole elektryczne, nazywane olem rozroszonym (rys. 1). Pole rozroszone owoduje dodatkowy wzrost ojemności kondensatora, w konsekwencji wartość ε wyliczona wrost z wzoru () byłaby zawyżona. Dla danej geometrii łyt odowiednią orawkę można obliczyć teoretycznie rzez numeryczne obliczenie rozkładu ola rzy brzegu kondensatora. W naszym ćwiczeniu zastosujemy doświadczalny sosób eliminacji wływu ola rozroszonego. Efektywna objętość ola rozroszonego jest rzędu πrd, gdyż ole to zajmuje z grubsza as o wysokości i szerokości rzędu d wokół obwodu kołowych łyt kondensatora. Natomiast objętość ola jednorodnego wewnątrz kondensatora wynosi πr d. Względny udział ola rozroszonego, będący stosunkiem tych objętości, wynosi d/r, czyli że maleje do zera w granicy d. Wykonamy zatem serię omiarów ojemności C dla różnych wartości d, a nastęnie wykres iloczynu Cd. w funkcji odległości okładek d (rys. ).
Rys.. Metoda eliminacji wływu ola rozroszonego (atrz tekst) Przez uzyskane unkty wykresu rzerowadzamy graficznie lub analitycznie gładką krzywą i ekstraolujemy, czyli rzedłużamy do wartości d =. Wsółrzędną unktu rzecięcia krzywej Cd = f(d) z osią ionową nazywamy ekstraolowaną wartością iloczynu (Cd ) extr. Wartość (Cd ) extr odstawiamy do licznika wzoru () by uzyskać orawną wartość ε. Ponadto owierzchnię okładki kondensatora S i rzekładki S obliczamy na odstawie zmierzonych średnic D i D jako końcowy π D S = i = S ( Cd ) extr 3( ε 1) π D =. W ten sosób otrzymujemy wzór ε. π (5) D + r D Trzecim otencjalnym źródłem błędu systematycznego rzy wyznaczaniu stałej elektrycznej jest fakt, że zamiast kondensatora różniowego mamy kondensator wyełniony owietrzem ( ε r = 1,5). Ocenie studenta ozostawiamy, czy odowiednią orawkę warto uwzględniać, biorąc od uwagę wielkość innych nieewności omiaru. Pomiar rzenikalności względnej dielektryków Wartość ε r dielektryków stałych (tab. 1) wyznaczyć można rzez omiar ojemności kondensatora łaskiego z okładkami oddzielonymi cienką łytą z badanego materiału. Korzystamy ze wzoru (), orawki na ole rozroszone nie będziemy uwzględniać. Obok kondensatora łaskiego rzykładem obiektu o określonej ojemności jest kabel koncentryczny (rys. 3). Można go traktować jako kondensator cylindryczny, którego jedną okładką jest środkowy drut, drugą miedziany olot. Pojemność kondensatora cylindrycznego wyraża wzór π ε ε r l C =, R ln r (6) w którym R i r oznaczają romienie okładek kondensatora, l jest jego długością. 3
Rys. 3. Kabel koncentryczny jako kondensator cylindryczny Pojemność kabla koncentrycznego, zwykle wyrażana w F/m, jest arametrem, który może mieć znaczenie dla działania wsółracujących układów elektronicznych. Jej omiar umożliwia wyznaczenie ε r dla stosowanego w nim dielektryka, którym zwykle jest olietylen (tab. 1). Tab. 1. Przenikalność elektryczna dla wybranych dielektryków w warunkach normalnych. Wartości wg. tablic []. MATERIAŁ ε r owietrze 1,59 olietylen,3 olichlorek winylu (PCV),8 leksiglas,6 szkło 6 8 chlorek sodu 11, krzem 11,7 ciekły azot (7 K) 1,5 etanol,6 woda 8, Wyznaczenie ε jako ośredni omiar rędkości światła W równaniach elektrostatyki (rawo Gaussa) ojawia się stała ε natomiast w równaniach magnetostatyki (rawo Amera) stała µ. Można odnieść wrażenie, że scharakteryzowanie własności elektromagnetycznych różni wymaga dwu stałych. Tak jednak nie jest, gdyż wartość jednej z nich, konkretnie µ w układzie SI, jest wynikiem konwencji definiującej jednostkę natężenia rądu elektrycznego. Przyomnijmy sobie, że amer jest zdefiniowany jako wartość rądu, który łynąc rzez dwa nieskończone równoległe rzewody odległe o a = 1 m wytwarza siłę F =. 1 7 N na odcinku l = 1 m długości rzewodu. Siła oddziaływania między rzewodami dana jest wzorem
F µ I l =. (7) π a Podstawiając do tego wzoru wymienione w definicji amera wartości F, l, i a oraz I = 1 A otrzymujemy zarówno wartość liczbową jak i jednostkę stałej magnetycznej, µ 7 7 π af π 1[m] 1 [N] = = = π 1 I l 1 [A ] 1[m] Vs Am Pełny układ równań elektromagnetyzmu (równania Maxwella) umożliwia obliczenie rędkości fali elektromagnetycznej w różni jako 1 c =. (8) ε µ Pomiar stałej elektrycznej ε stanowi więc ośrednią metodę wyznaczenia rędkości światła. Literatura 1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy Fizyki cz. 3, PWN 5.. W. Mizerski, W. Nowaczek, Tablice fizyczno-astronomiczne, Wydawnictwo Adamantan 1995. 5