Ogólna Teoria Względności

Klub Dyskusyjny Fizyków 23 maja 2013 Ogólna Teoria Względności Marek Biesiada Zakład Astrofizyki i Kosmologii Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego Katowice

Ogólna Teoria Względności Relatywistyczna teoria grawitacji tłumaczy grawitację jako efekt zakrzywienia czasoprzestrzeni przez masywne ciała. Zacznijmy więc od przypomnienia

Czasoprzestrzeń arena zdarzeń wszystko dzieje się w czasie i przestrzeni fakt znany od starożytności

Czasoprzestrzeń arena zdarzeń wszystko dzieje się w czasie i przestrzeni fakt znany od starożytności Obecnie: czas i przestrzeń rozumiane jako czasoprzestrzeń i jej struktura odpowiada za prawa zachowania czy strukturę cząstek elementarnych i dlatego sporo o tym mówimy

Czasoprzestrzeń arena zdarzeń wszystko dzieje się w czasie i przestrzeni fakt znany od starożytności W jaki sposób ciała fizyczne czują czas i przestrzeń?

Czasoprzestrzeń arena zdarzeń wszystko dzieje się w czasie i przestrzeni fakt znany od starożytności W jaki sposób ciała fizyczne czują czas i przestrzeń? Ruch! zmiana położeń ciał w czasie dlatego rozważania na temat czasu i przestrzeni toczą się najczęściej na przykładach ruchu ciał!

Ruch --- Starożytność: -Przedmioty w naszym otoczeniu znajdują się w spoczynku, aby je wprawić w ruch, należy zadziałać siłą Arystoteles

Ruch --- Starożytność: -Przedmioty w naszym otoczeniu znajdują się w spoczynku, aby je wprawić w ruch, należy zadziałać siłą Arystoteles -Sfera niebieska obraca się jednostajnie, nie potrzebuje napędu, obraca się bez tarcia

Ruch --- Starożytność: -Przedmioty w naszym otoczeniu znajdują się w spoczynku, aby je wprawić w ruch, należy zadziałać siłą Arystoteles -Sfera niebieska obraca się jednostajnie, nie potrzebuje napędu, obraca się bez tarcia -Stąd rozróżnienie : świat ziemski (4 żywioły) i świat niebiański (kwintesencja)

Geometria! Jedno z najważniejszych osiągnięć starożytności (Euklides ) Tales z Miletu: tw. Talesa prawo zachowania proporcji a b A/B=a/b A Budzi się intuicja znaczenia praw zachowania B Pitagoras: c a a2 + b2 = c2 b Zarodek pojęcia metryki obecnie ważnego w fizyce

Koncepcja geometrii przestrzennej (3-wymiarowej) znana już w starożytności

Starożytność : Idee wypowiedziane, ale nie zaakceptowane powszechnie (wówczas) Heraklit i Arystarch Ziemia obraca się wokół własnej osi Ziemia krąży wokół Słońca Fizyka Arystotelesa: istnieje absolutny spoczynek, tzn. wszyscy obserwatorzy są zgodni co do tego że dane ciało spoczywa

Najprostsze zdroworozsądkowe argumenty biorą górę: Dlatego do dziś często wpadamy w pułapkę myślenia jak Arystoteles

Najprostsze zdroworozsądkowe argumenty biorą górę: Np. Arystoteles argumentuje: 1. Ziemia nie może się obracać bo taki fakt byłby odczuwalny dla wszystkich Dlatego do dziś często wpadamy w pułapkę myślenia jak Arystoteles

Najprostsze zdroworozsądkowe argumenty biorą górę: Np. Arystoteles argumentuje: 1. Ziemia nie może się obracać bo taki fakt byłby odczuwalny dla wszystkich Dlatego do dziś często wpadamy w pułapkę myślenia jak Arystoteles 2. Ziemia nie może krążyć wokół Słońca, bo wówczas widzielibyśmy zjawisko paralaksy gwiazd

Najprostsze zdroworozsądkowe argumenty biorą górę: Np. Arystoteles argumentuje: 1. Ziemia nie może się obracać bo taki fakt byłby odczuwalny dla wszystkich jest odczuwalny! *wahadło Foucaulta, *podmywanie prawych brzegów rzek na półkuli Pn. *odchylanie się spadających przedmiotów na wschód 2. Ziemia nie może krążyć wokół Słońca, bo wówczas widzielibyśmy zjawisko paralaksy gwiazd Faktycznie występuje, ale potrzeba było XVII wieków, aby móc go zaobserwować - Friedrich Bessel 1838 (J.Bradley 1728 aberracja światła gwiazd)

koncepcja czaso-przestrzeni Arystotelesa: Jak sobie ją wyobrazić? Przestrzeń jak 3-wymiarowy ekran na którym wyświetlany jest film (różne zdarzenia) Bez względu na to jak wartka jest akcja filmu, punkty ekranu mają swoją tożsamość Mówimy, że przestrzeń jest absolutna

Rewolucja Kopernikańska: Galileusza-Newtona Galileo Galilei urodzony: 15 II 1564 w Pizie zmarl: 8 I 1642 w Arcetri, k. Florencji

Rewolucja Kopernikańska: Galileusza-Newtona wnikliwe spojrzenie w istotę zjawisk (względność ruchu) wbrew oczywistej empirii (Arystotelesa) Odkrycia Galileusza * plamy na Słońcu, * kratery na Księżycu, * fazy Wenus, * księżyce Jowisza ( zegar na niebie praktyczne zastosowanie w nawigacji morskiej do wynalezienia zegarów mechanicznych) --- pierwszy pomiar prędkości światła (O.Roemer) : od tej chwili wiemy że gwiazdy widzimy młodsze niż faktycznie są obecnie, odległości do gwiazd liczone w latach świetlnych

Heliocentryczny model Układu Słonecznego daje do myślenia względność ruchu potrzeba doprecyzowania układu odniesienia

Układ odniesienia

Genialna idea Kartezjusza: z zp Wprowadzić PROSTOKĄTNY układ współrzędnych P r2 = xp2 + yp2 + zp2 r xp x ρ yp y ρ2 = xp2 + yp2 Geometria sprowadza się teraz do arytmetyki liczb (liczymy na współrzędnych) Pitagoras! W fizyce: układ odniesienia = kartezjański układ współrzędnych + zegar

Zasady zachowania w fizyce klasycznej są przejawem własności czasu i przestrzeni Energii E Jednorodność czasu (tzn. żadna chwila czasu nie jest wyróżniona) Pędu p = m v Jednorodność przestrzeni (tzn. żaden punkt przestrzeni nie jest wyróżniony) Momentu pędu J = r x p Izotropowość przestrzeni (tzn. żaden kierunek w przestrzeni nie jest wyróżniony) To oznacza, że związek fizyki ze strukturą czasu i przestrzeni jest bardzo ścisły!

Podsumujmy: *Geometria opisuje relacje przestrzenne między obiektami *Ciała rzeczywiste różnią się od obiektów geometrycznych tym, że mają swoją historię! Historia danego obiektu (obserwatora) tzw. linia świata Pytanie: Co jest linią świata inercjalnego układu odniesienia?

Podsumujmy: *Geometria opisuje relacje przestrzenne między obiektami *Ciała rzeczywiste różnią się od obiektów geometrycznych tym, że mają swoją historię! Historia danego obiektu (obserwatora) tzw. linia świata Pytanie: Co jest linią świata inercjalnego układu odniesienia? Odpowiedź: Linia prosta!

Przykład linii świata samochodu

Koncepcja czasoprzestrzeni Galileusza - Newtona Linie świata układów inercjalnych Absolutny czas

transformacja Galileusza B A Pomiędzy 2 inercjalnymi układami odniesienia Odległość AB - jest niezmiennikiem tj. ma tą samą wartość w każdym inercjalnym układzie odniesienia

Albert Abraham Michelson ur. Strzelno 1852 A.A.Michelson, E.W.Morley, Am. J. Sci., 34, 333 (1887) 1907 - nagroda Nobla (pierwsza nagroda dla Amerykanina) Prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich układach odniesienia.

y ct x z x2+y2+z2 = (ct)2

y' ct' x' z' x 2+y 2+z 2 = (ct )2

Pytanie: Czy jest możliwe, aby te dwa równania, były spełnione jednocześnie: Tak, ale za cenę wprowadzenia 2 2 2 2 x +y +z = (ct) dziwacznej zależności x 2+y 2+z 2 = (ct )2 Hendrik Lorentz (1853-1928) Leiden, Holandia x' = x vt v2 1 2 c y' = y Tzw. transformacja Lorentza z' = z v t 2 x c t' = v2 1 2 c

Genialny pomysł Einsteina (1905) B A K K W układzie K : x2 + y 2 + z 2 = c2 t 2 W układzie K : Einstein: x '2 + y ' 2 + z ' 2 = c 2 t ' 2 Zmierzmy długość odcinka AB mierząc czas przelotu sygnału świetlnego Δt c2 t 2 x2 y 2 z 2 = 0 c 2 t '2 x '2 y ' 2 z ' 2 = 0 to jest przejaw geometrii!

transformacja Galileusza B A Pomiędzy 2 inercjalnymi układami odniesienia Odległość AB - jest niezmiennikiem tj. ma tą samą wartość w każdym inercjalnym układzie odniesienia

Genialny pomysł Einsteina (1905) B K A W układzie K : W układzie K : K x2 + y 2 + z 2 = c2 t 2 x '2 + y ' 2 + z ' 2 = c 2 t ' 2 Einstein: to jest przejaw geometrii! Czas i przestrzeń tworzą wspólnie 4-wymiarową czasoprzestrzeń Zmierzmy długość odcinka AB mierząc czas przelotu sygnału świetlnego Δt c2 t 2 x2 y 2 z 2 = 0 c 2 t '2 x '2 y ' 2 z ' 2 = 0 s 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2

Czas i przestrzeń tworzą wspólnie 4-wymiarową czasoprzestrzeń : *Punkty czasoprzestrzeni to zdarzenia *Historia obserwatora = tzw. linia świata *Wyrażenie s 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 zastępuje w czasoprzestrzeni tw. Pitagorasa i pozwala liczyć odległość czasoprzestrzenną między zdarzeniami tzw. geometria Minkowskiego *Światło dociera do obserwatora wzdłuż stożka światła s2 = 0 *Transformacje Lorentza to rodzaj obrotu w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni *Energia i pęd tworzą wspólnie 4-wymiarowy wektor tzw. czteropęd {E, p } pμ = (p0, p1, p2, p3 ) = (E, px, py, pz ) {t, x } E2 p 2 = m 2 c4

czas ct Linia świata cząstki masywnej Stożek światła przyszłości Linie świata fotonów Tu i teraz przestrzeń (x,y,z) Stożek światła przeszłości

Transformacje Lorentza Jako specyficzny obrót osi układu współrzędnych Stożek światła

Zdarzenia A, B, C, D w pewnym układzie odniesienia Te same zdarzenia A, B, C, D w innym układzie odniesienia

Linia świata cząstki mała prędkość linia świata cząstki c t x

Linia świata cząstki duża prędkość linia świata cząstki c t x

czas ct Linia świata cząstki masywnej Stożek światła przyszłości Linie świata fotonów Tu i teraz przestrzeń (x,y,z) Nie można przekroczyć STOŻKA ŚWIATŁA c jest największą prędkością z jaką można się poruszać Stożek światła przeszłości

Szczególna Teoria Względności Wszystkie inercjalne układy odniesienia są równoważne Prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich układach inercjalnych Równania fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Otwarte pytania Mm F= G 2 r Co z grawitacją? Newtonowska grawitacja działa natychmiastowo na odległość sprzeczność ze Szczególną Teorią Względności! Odległość jest pojęciem względnym, jaką odległość pomiędzy ciałami wstawić do wzoru na siłę przyciągania?

Dwa oblicza masy Zródło grawitacji Miara bezwładności

Czy ciężar i bezwładność są tym samym? Nie! Są to kompletnie różne fizycznie pojęcia. Nie ma żadnego powodu aby były one równoważne. Dla siły elektrostatycznej (Coulomba), źródło siły (ładunek Q) oraz bezwładność (m) są istotnie różne. Lecz dla grawitacji wydają się być tym samym. Zasada równoważności

Zasada równoważności =1

Konsekwencje Lokalnie grawitacja jest równoważna ruchowi jednostajnie przyspieszonemu

astronauta w polu grawitacyjnym astronauta w układzie poruszającym się z przyspieszeniem Lokalnie grawitacja jest równoważna ruchowi jednostajnie przyspieszonemu (grawitacja podobna do siły kinematycznej takiej jak siła odśrodkowa czy siła Coriolisa)

astronauta w układzie inercjalnym swobodnie spadający astronauta Układ swobodnie spadający w polu grawitacyjnym jest identyczny z inercjalnym

Co wynika z zasady równoważności? Układ źródło światła + odbiornik porusza się z jednostajnym przyspieszeniem a z W czasie przelotu t= światła c Układ zwiększył swą prędkość o z υ = a t = a c Foton odebrany przez detektor będzie miał długość fali λ = λ0+ λ gdzie (na mocy efektu Dopplera) λ υ a z = = 2 λ0 c c Źródło wysyła w chwili t0 falę świetlną o długości λ 0

Na mocy zasady równoważności to samo musi zachodzić w jednorodnym polu grawitacyjnym g λ g z = 2 λ0 c Ogólnie: Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni na powierzchni gwiazdy Słońce 0.001 Białe karły 0.01 Gwiazdy neutronowe 0.1 Zaobserwowano Pound i Rebka 1960r Obecnie system GPS musi brać pod uwagę OTW

Eksperyment Pounda Rebki oznacza, że czasoprzestrzeń w pobliżu Ziemi nie ma struktury przestrzeni Minkowskiego (czasoprzestrzeni Szczególnej Teorii Względności)!!! Okres oscylacji fali świetlnej w źródle w detektorze W czasoprzestrzeni Minkowskiego t0 = t1 z uwagi na redshift grawitacyjny wiemy że są różne! Linia świata podstawy wieży Linia świata wierzchołka wieży

Jeżeli czasoprzestrzeń nie jest płaska, to jaka? Odpowiedź: zakrzywiona!

Powierzchnia Ziemi jest zakrzywiona odpowiednikami linii prostych są koła wielkie

sfera niebieska pierwszy kontakt z geometrią nieeuklidesową ( Łobaczewski, Bolayi 1920) geometria różniczkowa powstaje w XIX w, rozwijana w XX w. (Gauss, Bianchi, Christoffel, Riemann, Chern)

Eratostenes pomiar promienia Ziemi α = 70 L / 2π R = 70 / 3600 R = 40 000 stadionów 1 stadion = 157,7 m α = 70 R = 6300 km L = 5 000 stadionów L=Rα Obecnie: promień równikowy Ziemi R = 6 378 140 m Fundamentalna Zależność! od Eratostenesa do satelity WMAP

Dygresja Eratostenes pomiar promienia Ziemi === we współczesnym języku geometrii różniczkowej: transport równoległy (holonomia)

OTW - masa zakrzywia czasoprzestrzeń arena zdarzeń przestaje być SZTYWNA 1. równania pola Einsteina jak materia zakrzywia czasoprzestrzeń 2. Geometria czasoprzestrzeni wyznacza trajektorie ciał w zakrzywionej czasoprzestrzeni ruch swobodny ciał odbywa się po geodetykach (tj. najkrótszych drogach) cały Wszechświat w jednym wzorze

Orbity planet linie swobodnego ruchu, ale w zakrzywionej czasoprzestrzeni! Orbita kołowa Orbita eliptyczna Orbita hiperboliczna

Zakrzywienie czasoprzestrzeni czują nie tylko ciała masywne, ale także światło! Obliczenia w ramach OTW Ugięcie światła w pobliżu tarczy Słońca 1919 Eddington α = 4GM = 1' '.75 c2r

Sir Arthur Eddington Organizuje w 1919 ekspedycje do Ameryki Pd. (Sobral) i Afryki (Principe Island) 29.V.1919 całkowite zaćmienie Słońca na tle Hiad

Pierwszy test OTW, 29 maja 1919 Sir Arthur Eddington sfotografował gwiazdy w pobliżu Słońca podczas całkowitego zaćmienia Słońca zdjęcia historyczne photos from National Maritime Museum, Greenwich Einstein staje się celebrytą w ciągu następnego roku powstaje ponad 100 książek nt. Teorii Względności

Soczewki grawitacyjne

Einstein pierścień Einsteina θe= 4GM DLS c 2 DL DS Eddington 1920 idea wielokrotnych obrazów

Soczewkowanie grawitacyjne Einstein sceptyczny co do obserwowalności efektu soczewki o masach rzędu masy Słońca 1 M przy odległościach wzajemnych typowych dla Galaktyki 5 10 kpc mają promienie Einsteina rzędu 0.001 nieobserwowalne! Zwicky 1937 (!) galaktyki w roli soczewek Galaktyki mają masy rzędu 1011 1012 M ich wzajemne odległości to 10 Mpc 1 Gpc daje to promień Einsteina rzędu 1. To już można zobaczyć!

Soczewkowanie grawitacyjne nowa historia - Refsdal 1964 pomiary H0 z soczewkowania Walsh, Carswell & Weynmann 1979 QSO-0957+561A,B Soucail, Fort, Mellier 1987 - olbrzymie łuki w gromadach galaktyk w okresie 1978 1992 odkryto 11 soczewek w 2006 znano ich ok. 70 obecnie ponad 200 soczewek

Tajemnicze gigantyczne łuki' w gromadach A370,Cl2244 Paczyński sugeruje soczewkowanie 1987 Fort i wsp. potwierdzają spektroskopowo Gromady są bardziej masywne niż się spodziewano!!!

Gromada galaktyk w roli soczewki grawitacyjnej Soczewkowana galaktyka soczewka grawitacyjna

Soczewki grawitacyjne z pierścieniami Einsteina

Czarne dziury

Czarne dziury Jaka prędkość jest potrzebna aby pokonać siłę przyciągania planety lub gwiazdy? Przykład: Ziemia Promień: R = 6470 km = 6.47 106 m Masa: M = 5.97 1024 kg prędkość ucieczki: vesc = 11.1 km/s

Czarne dziury Jaka prędkość jest potrzebna aby pokonać siłę przyciągania planety lub gwiazdy? Przykład: Słońce Promień: R = 700 000 km = 7 108 m Masa: M = 2 1030 kg prędkość ucieczki: vesc = 617 km/s

Czarne dziury Jaka prędkość jest potrzebna aby pokonać siłę przyciągania planety lub gwiazdy? Przykład: biały karzeł o masie Słońca Promień: R = 5000 km = 5 106 m Masa: M = 2 1030 kg prędkość ucieczki: vesc = 7300 km/s

Czarne dziury Jaka prędkość jest potrzebna aby pokonać siłę przyciągania planety lub gwiazdy? Przykład: gwiazda neutronowa (pulsar) o masie Słońca Promień: R = 10 km = 104 m Masa: M = 2 1030 kg prędkość ucieczki: vesc = 163 000 km/s ½ c

Czarne dziury Czy może obiekt być tak mały i masywny, że nawet światło nie może uciec z jego powierzchni? Tak, jeżeli całą masę upakujemy wewnątrz Promienia Schwarzschilda Przykład : Dla masy Słońca: M = 2 1030 kg Promień Schwarzschilda : RS = 3 km

Definicje... Promień Schwarzschilda RS obiektu o masie M to taki promień, że gdyby cała masa M znalazła się wewnątrz, prędkość ucieczki byłaby równa prędkości światła Horyzont zdarzeń to sfera o promieniu RS. Nic, nawet światło, nie może uciec spoza horyzontu zdarzeń na zewnątrz Czarna dziura to obiekt, którego rozmiary są mniejsze niż rozmiary horyzontu zdarzeń.

Czasoprzestrzeń W płaskiej czasoprzestrzeni (Minkowskiego) odległość między zdarzeniami s = c t R 2 2 czas 2 2 przestrzeń Czwarta współrzędna: x0 =ct Współrzędna czasowa ma inny znak w metryce niż współrzędne przestrzenne

Czasoprzestrzeń wokół masywnego ciała odległość czasoprzestrzenna (czasoprzestrzeń zakrzywiona przez ciało sferycznie symetryczne np. gwiazdę): RS 2 2 1 2 s = 1 R c t R 1 RS / R 2 czas tzw. metryka Schwarzschilda przestrzeń

Co się dzieje gdy, R RS? RS 2 2 1 2 s = 1 R c t R 1 RS / R 2 czas R > RS wszystko jest O.K.: czas + przestrzeń grawitacyjna dylatacja czasu i skrócenie odległości R RS czas 0 przestrzeń R < RS zmiana znaku!! czas: przestrzeń: + przestrzeń przestrzeń się wywija, wszystko spada na centrum nieskończona gęstość w centrum, osobliwość

Struktura czarnej dziury Horyzont zdarzeń Promień Schwarzschilda Osobliowść

Wizja artystyczna czarnej dziury

Przestrzeń w pobliżu czarnej dziury

Gwiezdne czarne dziury

Układy rentgenowskie Akrecja materii z towarzysza na czarną dziurę.

Układy rentgenowskie

Supermasywne czarne dziury w centrach galaktyk

NGC 1300

M83 Sc SAB(s)c arm class 9

NGC 2997 Sc SA(s)c arm class 9

Centrum Drogi Mlecznej

Centrum Drogi Mlecznej w świetle widzialnym przesłonięte przez pył, lecz w podczerwieni

Podczerwień: Gwiazdy w okolicy centrum Galaktyki

Te gwiazdy krążą wokół czegoś czego nie widać, a co ma masę 3-4 milionów mas Słońca!!!

Fale grawitacyjne

Równania Einsteina Tensor Einsteina Tensor energii-pędu Zapisane w postaci Tensor naprężeń Formalna analogia z prawem Hooke a dla ośrodków sprężystych Moduł sprężystości Tensor odkształceń Wnioski: Czasoprzestrzeń jest ośrodkiem sprężystym fale grawitacyjne Jest ośrodkiem o bardzo dużej sprężystości Fale o małej amplitudzie mają dużą gęstość energii

Czasoprzestrzeń jako ośrodek sprężysty

Fale grawitacyjne Oddziałują na układ ciał masywnych poprzez siły pływowe Rozchodzą się z prędkością światła Fale poprzeczne, 2 stany polaryzacji x i + Generowane przez przyspieszenie (2-gą pochodną) momentu kwadrupolowego rozkładu masy

Fizyczny efekt fali grawitacyjnej L Polaryzacja + h(t) Polaryzacja x h = L/L

Jak powstają fale grawitacyjne? Zwarte układy podwójne G 2 h ~ 4 Mv rc M R M r G/c4=8.2 x 10-50 s2/g cm Układ podwójny 2 czarnych dziur: M=10 M* R=100 km r=100 Mpc f=100 Hz h~10-21

Pośredni dowód istnienia fal grawitacyjnych Układ podwójny gwiazd neutronowych Hulse & Taylor - nagroda Nobla 1993 Zmiana okresu: 30 sekund przez 25 lat 17 / sec ~ 8 hr Teoria: układ podwójny traci energię przez wypromieniowanie fal grawitacyjnych, w wyniku czego promień orbity maleje o 3mm w czasie jednego obrotu Przewidywanie OTW

Ostatnie fazy ewolucji układu podwójnego - trzy fazy koalescencji orbita spiralna koalescencja relaksacja

Interferometryczny detektor fal grawitacyjnych L laser L rozdzielacz fotodetektor L ~ 10 16 lustra h L 21 cm 10 km (promień protonu ~ 10-13 cm)

Globalna sieć detektorów

Porównanie fal elektromagnetycznych i grawitacyjnych FALE ELMGN. Propagują się w czasoprzestrzeni Wynik niekoherentnej superpozycji emisji z indywidualnych atomów λ <<rozmiar źródła można tworzyć obrazy Łatwo pochłaniane lub rozpraszane f ~ 107 Hz i 20 rzędów wielkości w górę FALE GRAWITACYJNE Są oscylacjami samej czasoprzestrzeni Wynik koherentnych, wielkoskalowych ruchów dużych mas λ > rozmiaru źródła Praktycznie niezaburzone f ~ 104 Hz i 20 rzędów wielkości w dół Detekcja fal grawitacyjnych otworzy nowe okno na Wszechświat!