Logarytmy Historia Logarytmy po raz pierwszy pojawiły się w książce szkockiego matematyka - Johna Nepera "Opis zadziwiających tablic logarytmów" z 1614 roku. Szwajcarski astronom i matematyk Jost Burgi (1552-1632) odkrył logarytmy wcześniej niż Neper, ale swoje tablice opublikował dopiero w 1620 roku pod tytułem "Arytmetyczne i geometryczne tablice postępów". Odkrycie logarytmów stało się wielkim dobrodziejstwem dla siedemnastowiecznych nawigatorów i astronomów. Przywitali oni z radością nowe tablice logarytmów, które w cudowny sposób przemieniły mnożenie w dodawanie. Cudowna własność logarytmów, dzięki której z pomocą tablic lub dwóch linijek z logarytmiczną skalą można było dodawać zamiast mnożyć przez setki lat ułatwiała ludziom życie. Dziś, w epoce komputerów, to zastosowanie logarytmów ma znikome znaczenie praktyczne. Definicja Logarytm jest to wykładnik potęgi, do której należy podnieść stałą wartość podstawową (podstawę logarytmu), aby otrzymać daną liczbę. Inaczej logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę b. log a b = c to a c = b
a - podstawa logarytmu, b - liczba logarytmowana, c - logarytm z liczby b przy podstawie a. Matematycznie zapiszemy tą definicję tak: przy czym podstawa a jest liczbą dodatnią różną od jedności, zaś b>0. Piszemy: log a b = c, przy a > 0, a 1 i b > 0. Logarytmowanie jest operacją odwrotną do potęgowania (podobnie jak pierwiastkowanie). Formalnie logarytm jest funkcją odwrotną funkcji wykładniczej. Logarytm wygląda następująco: Powyżej zapisany logarytm przeczytamy: "logarytm liczby b przy podstawie a" lub "logarytm przy podstawie a z liczby b". Podstawowe własności logarytmów log a 1 = 0 log a a = 1 log a a b = b a log a b = b Logarytmy dziesiętne
Zwykle logarytmy, które można znaleźć w tablicach lub wyświetlić na kalkulatorze, są potęgami, do których trzeba podnieść 10, aby otrzymać żądaną liczbę. Logarytmy o podstawie 10 nazywamy logarytmami dziesiętnymi lub briggsowskimi - od nazwiska angielskiego matematyka Henry ego Briggsa, który w 1614 roku wprowadził je po raz pierwszy. Zamiast log 10 a piszemy krótko loga. log 10 b = c 10 c = b Logarytm log 10 b zapisujemy krótko logb. Logarytm naturalny Logarytm naturalny to logarytm o podstawie e = 2,71828182845904523... Liczba e zwana jest liczbą Nepera i jest to przybliżona wartość wyrażenia (1+1n)n, dla bardzo dużych n. Logarytm naturalny oznaczany symbolem ln, a nazwa naturalny odzwierciedla naturalne występowanie liczby e w otaczającym nas świecie. Logarytm naturalny jest bardziej użyteczny w rzeczywistości niż inne logarytmy. Logarytm o tej podstawie ma cechę wyróżniającą go spośród wszystkich innych logarytmów. Jego pochodna wyrażona jest wzorem 1x, można więc zdefiniować logarytm naturalny jako pole zawarte pod wykresem funkcji y=1x.
Zaznaczony obszar pod wykresem funkcji to lnc. Prawa działań na logarytmach Założenia: a > 0, a 1, b > 0, b 1, x > 0, y > 0, log a (x y) = log a x + log a y (logarytm iloczynu) log a (x / y) = log a x log a y (logarytm ilorazu) log a xy = ylog a x (logarytm potęgi) loga x n = 1nlog a x (logarytm pierwiastka) log b x = log a x log a b (zmiana podstawy logarytmu) log a b = 1log b a (zmiana podstawy logarytmu) a log a b = b Równania logarytmiczne Równaniem logarytmicznym nazywamy takie równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytm. Dziedzina równania Wyrażenia logarytmowane i podstawa logarytmów muszą być dodatnie, oraz podstawa logarytmu dodatkowo nie może być równa 1. Ograniczenia te wyznaczają dziedzinę równania logarytmicznego.
Rozwiązywanie równań logarytmicznych Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych często korzysta się z własności logarytmów. Jedną z metod rozwiązywania równań logarytmicznych jest doprowadzenie obu stron równania do logarytmu wyrażenia przy tej samej podstawie. Następnie korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej można, przy odpowiednich założeniach, równość logarytmów zastąpić równością liczb logarytmowanych zgodnie z zasadą: log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x) Rozwiązanie równania logarytmicznego postaci f(log a x) = 0 polega na zastosowaniu podstawienia log a x = t i rozwiązaniu równania f(t) = 0. Zmienna pomocnicza t może przyjmować wszystkie wartości rzeczywiste, ponieważ zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych. Po rozwiązaniu tego równania wracamy do zmiennej x. Aby rozwiązać równanie logarytmiczne w przypadku, gdy logarytm nie występuje w potędze ani w wyrażeniu wymiernym należy: 1. Ustalić odpowiednie założenia, rozwiązać je i poszukać dziedzinę równania. 2. Każdą liczbę wolno stojącą zamienić na logarytm wykorzystując wzór a = log c c a. 3. Każdą liczbę stojąca przed logarytmem włączyć jako wykładnik liczby logarytmowanej korzystając ze wzoru m log a x = log a x m. 4. Wykorzystując prawa działań na logarytmach, lewą i
prawą stronę równania doprowadzić do takiej postaci, aby po obu stronach wystąpił tylko jeden logarytm. 5. Porównać liczby logarytmowane. 6. Sprawdzić czy rozwiązanie należy do dziedziny.