Matematyka dla biologów wykład 4.

Matematyka dla biologów wykład 4. Dariusz Wrzosek 25 października 2016 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 1 / 50

Logarytmy i ich zastosowania Co to jest logarytm Funkcję logarytmiczna jest funkcja odwrotna do wykładniczej, czyli Logarytm liczba y jest logarytmem z x > 0 przy podstawie a (a > 0, a 1), co oznaczamy y = log a x w.t.w. gdy x = a y. Inaczej: logarytm o podstawie a z x to potęga, do której trzeba podnieść a aby otrzymać x. y = log a x a y = x. Przykłady 2 3 = 8 log 2 8 = 3 10 4 = 10000 log 10 10000 = 4 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 2 / 50

Logarytmy i ich zastosowania Co to jest logarytm Dla danej funkcji wykładniczej y x = f(y) = a y logarytm jest funkcja do niej odwrotna: x y = f 1 (x) := log a x. Czyli f(f 1 (x)) = a log a x = x. Ponieważ funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej, to wykres funkcji y = f(x) = log a x jest symetryczny do wykresu funkcji y = a x względem prostej o równaniu y = x. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 3 / 50

Logarytmy i ich zastosowania W przypadku a > 1 funkcja y = f(x) = log a x jest funkcja rosnac a do + wraz ze wzrostem argumentu x oraz do przy x daż acym do 0. Jeśli a (0, 1), to funkcja y = f(x) = log a x jest funkcja malejac a do przy x + oraz daży do + gdy x zbiega do 0. Wykres funkcji log a x dla a > 1 i log 1 x. a Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 4 / 50

Logarytmy i ich zastosowania Własności logarytmu Własności funkcji logarytm wynikaja wprost z własności funkcji wykładniczej: log a 1 = 0 oraz log a a = 1, log a (xy) = log a x + log a y log a (x y ) =y log a x log a x y = log a x log a y log b x = (log b a) (log a x) log 1 x = log a x a Przedostatnia równość nazywa się wzorem na zamianę podstaw logarytmów, z którego wynika ostanie równanie. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 5 / 50

Logarytmy i ich zastosowania Dla przykładu wykażemy pierwsza równość: log a (xy) = log a x + log a y. Podziałajmy na obie strony równości funkcja wykładnicza o podstawie a. Dostajemy wtedy korzystajac z własności potęgowania: a z+w = a z a w a log a (x y) = a (log a x+log a y) =a log a x a log a y, Z definicji logarytmu powyższe równanie jest równoważne x y = a log a (x y) = a log a x a log a y = x y. Podobnie można wykazać pozostałe własności. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 6 / 50

Logarytmy i ich zastosowania Dla przykładu wykażemy pierwsza równość: log a (xy) = log a x + log a y. Podziałajmy na obie strony równości funkcja wykładnicza o podstawie a. Dostajemy wtedy korzystajac z własności potęgowania: a z+w = a z a w a log a (x y) = a (log a x+log a y) =a log a x a log a y, Z definicji logarytmu powyższe równanie jest równoważne x y = a log a (x y) = a log a x a log a y = x y. Podobnie można wykazać pozostałe własności. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 6 / 50

Logarytmy i ich zastosowania Własności logarytmów miały kluczowy wpływ na rozwój nauk ścisłych i postęp techniczny do czasu skonstruowania układów scalonych i kalkulatorów. Jednym z podstawowych problemów obliczeniowych było sprawne obliczanie iloczynów kilku liczb oraz obliczanie potęg różnych liczb. Algorytm dodawania pod kreska umożliwia dodawanie na raz wielu liczb poprzez podpisanie ich kolejno jedna pod druga. Nie ma jednak równie prostego algorytmu mnożenia wielu liczb. Trzeba wymnożyć najpierw dwie, a potem trzecia przez wynik tego mnożenia i.t.d. Przy wykorzystaniu logarytmów sprawa się upraszcza. Mianowicie chcac np. wymnożyć trzy liczby x, y, z mamy log a (xyz) = log a x + log a y + log a z. Wystarczy zatem znać logarytmy tych liczb i obliczyć ich sumę, a następnie obliczyć liczbę, której logarytm jest równy tej właśnie sumie. Jest ona wynikiem mnożenia! Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 7 / 50

Logarytmy i ich zastosowania Ale: skad wziać logarytmy tych liczb? Służyły do tego tablice logarytmów, które umożliwiały znalezienie wartości logarytmów dowolnych liczb z pewna dokładnościa. Gdy już się miało tablice, można było wykonywać różne operacje. Dalej: potęgowanie x y sprowadza się do mnożenia, które z kolei sprowadza się w wyżej opisany sposób do dodawania: log a x y = y log a x. Wystarczy zatem wykonać mnożenie (czyli dodawanie na poziomie logarytmów) po prawej stronie i znaleźć w tablicy logarytmów odpowiednia liczbę. Aby przyspieszyć i usprawnić obliczenia skonstruowano suwak logarytmiczny. Wprawna osoba mogła na nim dokonywać rachunków dużo szybciej niż na zwykłym kalkulatorze! Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 8 / 50

Logarytmy i ich zastosowania Logarytm dziesiętny Ze względu na to, że liczby zapisuje się przede wszystkim w systemie dziesiętnym, logarytmy przy podstawie dziesiętnej maja szczególne znaczenie. Oznaczajac logarytm przy podstawie dziesiętnej pisze się tylko log x, a nie log 10 x. Przyjrzyjmy się własnościom logarytmu dziesiętnego log 1 = 0, log 10 = 1, log 100 = log 10 2 = 2, log 1000 = log 10 3 = 3 Logarytm dziesiętny danej liczby określa jej rzad wielkości, np. liczba 520 = 5, 2 10 2 jest liczba rzędu setek i jej logarytm jest liczba z przedziału (2, 3), gdyż 10 2 < 520 < 10 3 i log x jest funkcja rosnac a. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 9 / 50

Logarytmy i ich zastosowania Logarytm naturalny Używa się także logarytmów przy podstawie naturalnej, tzn. podstawa jest wtedy pewna liczba zwana stała Eulera (na cześć jednego z najwybitniejszych matematyków, Leonarda Eulera, 1707-1783). Liczbę tę oznacza się zawsze przez e. Jest to liczba niewymierna, w przybliżeniu e = 2, 718.... Liczba ta ma szereg ciekawych własności i tak jak liczby 1, 0, i π pojawia się w różnych działach matematyki. Logarytm naturalny oznaczamy log e x := ln x. Ze wzoru na zamianę podstaw logarytmów dostajemy Najsłynniejszy wzór matematyki ln x = ln 10 log x 2, 303 log x. e iπ 1 = 0. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 10 / 50

Skale logarytmiczne Skala kwasowości ph Logarytm dziesiętny danej liczby określa jej rzad wielkości w systemie dziesiętnym logarytmy służa do skalowania różnych wielkości fizycznych mogacych przyjmować bardzo duże i bardzo małe wartości. Przykładem jest skala kwasowości ph, która określa stopień kwasowości lub zasadowości roztworu na podstawie stężenia jonów hydroniowych H 3 O + ph = log[h 3 O + ], [H 3 O + ] stężenie jonów hydroniowych wyrażonych w molach na decymetr sześcienny. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 11 / 50

Skale logarytmiczne Skala kwasowości ph Stężenie jonów H 3 O + w wodzie destylowanej w temperaturze 20 C wynosi dokładnie 10 7 mol/l. Zatem ph wody destylowanej wynosi 7 i zarazem ph = 7 stanowi dokładnie środek skali ph odpowiadajacy roztworowi neutralnemu. Poniżej ph = 7 mamy roztwory kwasowe, a powyżej zasadowe. Jednomolowy roztwór kwasu solnego ma ph równe 0. Jednomolowy roztwór wodorotlenku sodu ma ph równe 14. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 12 / 50

Skale logarytmiczne Skala Richtera Skala Richtera określa siłę trzęsienia ziemi na podstawie logarytmu amplitudy drgań wstrzasów sejsmicznych. Skala logarytmiczna jest skala nieliniowa: trzęsienie Ziemi o sile w skali Richtera 5 oznacza skutki w postaci powszechnie odczuwalnych drgań Ziemi bez uszkodzeń budynków takich trzęsień Ziemi zdarza się ponad 1000 rocznie. Trzęsienie o sile 10 w skali Richtera, czyli dwukrotnie większej, oznacza kataklizm. Takie trzęsienia Ziemi zdarzaja się raz na 5 10 lat. W tym przypadku amplituda drgań sejsmicznych jest 10 5 = 100 000 razy większa! Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 13 / 50

Współrzędne log log Skale logarytmiczne Logarytmy w biologii sa stosowane bardzo często do graficznego przedstawienia wyników eksperymentów, jeśli spodziewamy się, że zależność między cechami jest funkcja potęgowa lub wykładnicza. Załóżmy, że wartości cechy C 1 oznaczane przez x sa zwiazane za pomoca funkcji potęgowej z wartościami y cechy C 2. Zależność potęgowa pomiędzy różnymi wartościami cech spotykamy najczęściej w fizjologii. Mamy y = bx a, a liczby b, a, a > 0 to pewne współczynniki. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 14 / 50

Współrzędne log log Skale logarytmiczne Mamy y = bx a, Po zlogarytmowaniu obu stron równania dostajemy log y = log (bx a ) = a log x + log b. Oznaczajac Y = log y, X = log x oraz B = log b otrzymujemy zależność Y = ax + B, czyli zależność liniowa w nowych współrzędnych, tzw. współrzędnych podwójnie logarytmicznych (w skrócie log log). Nazwa bierze się stad, że zarówno na osi pionowej jak i na poziomej odznacza się wartości logarytmów odpowiednio y i x. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 15 / 50

Skale logarytmiczne C 1 x 1 2 4 8 16 C 2 y 2 4 20 60 250 250 60 20 4 8 wykres w skali liniowej 16 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 16 / 50

Skale logarytmiczne C 1 x 1 2 4 8 16 X = log x 0 0,6931 1,3863 2,0794 2,7726 C 2 y 2 4 20 60 250 Y = log y 0,6931 1,3863 2,9957 4,0943 5.5215 250 250 60 20 60 20 4 2 4 8 wykres w skali liniowej 16 2 4 8 wykres w skali log-log 16 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 16 / 50

Skale logarytmiczne Skala półlogarytmiczna Współrzędne półlogarytmiczne Przyjmijmy, że wartości cechy C 1 oznaczane przez x sa zwiazane z wartościami y cechy C 2 zależnościa wykładnicza. Tego typu zależności występuja w biologii populacyjnej. Po zlogarytmowaniu dostajemy y = ba x. log y = x log a + log b Oznaczajac A = log a (oraz jak poprzednio Y = log y) mamy Y = Ax + B i znów jest to zależność liniowa we współrzędnych półlogarytmicznych. Nazwa bierze się stad, że jedynie na osi pionowej odznacza się wartości logarytmów y nie zmieniajac wartości x na osi poziomej. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 17 / 50

Skale logarytmiczne Skala półlogarytmiczna C 1 x 1 2 3 4 5 C 2 y 0,02 0,1 2 12 90 90 12 1 2 3 4 wykres w skali liniowej 5 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 18 / 50

Skale logarytmiczne Skala półlogarytmiczna C 1 x 1 2 3 4 5 X = log x 1 2 3 4 5 C 2 y 0,02 0,1 2 12 90 Y = log y 3,9120 2,3026 0,6931 2,4849 4,4998 90 90 12 2 1 2 3 4 5 12 0,1 1 2 3 4 wykres w skali liniowej 5 0,02 wykres w skali semi-log Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 18 / 50

Skale logarytmiczne Skala półlogarytmiczna W ekologii znana jest zależność pomiędzy powierzchnia obszaru i liczba gatunków zamieszkujacych go (ang. species-area relationship). Na osi poziomej odznaczamy kolejne wielkości powierzchni obszaru, a na osi pionowej liczby gatunków występujacych na danym obszarze. Czy jest jakaś zależność między nimi? Jeśli przedstawimy dane we współrzędnych podwójnie logarytmicznych, zależność jest w przybliżeniu liniowa. Czyli liczba gatunków występujacych na danym obszarze zależy w przybliżeniu potęgowo od wielkości jego powierzchni. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 19 / 50

Skale logarytmiczne Skala półlogarytmiczna Po naniesieniu na wykres odpowiadajacych sobie wartości cech dostajemy chmurę punktów. Wiadomo, że na rozrzut tych punktów maja wpływ nieznane czynniki losowe oraz błędy pomiarowe. Powstaje jednak naturalne pytanie: czy zależność między tymi cechami można z pewnym przybliżeniem przedstawić za pomoca którejś ze znanych funkcji? Można spytać się w tym miejscu a po co? Cecha C 1 może być stosunkowo łatwa do zmierzenia, a cecha C 2 trudna. Znajac zależność funkcyjna pomiędzy nimi możemy łatwo odczytać wartości cechy C 2 z wykresu bez konieczności wykonywania dodatkowych pomiarów. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 20 / 50

Skale logarytmiczne Skala półlogarytmiczna Wyobraźmy sobie, że chcemy wstępnie oszacować liczbę gatunków zwierzat występujacych na jakimś mało znanym terenie. Majac wcześniej ustalona zależność pomiędzy polem powierzchni i liczba gatunków występujacych w danego typu siedlisku, zamiast przeprowadzać kosztowne badanie terenowe, po prostu szacujemy liczbę gatunków posługujac się wcześniej ustalonym wykresem zależności. Wiemy już, że poprzez wprowadzenie odpowiedniego układu współrzędnych zależności wykładnicze lub potęgowe możemy zobrazować za pomoca linii prostych. Metoda służac a do dopasowania linii prostej do danych eksperymentalnych jest regresja liniowa lub inaczej metoda najmniejszych kwadratów. Skad się biora wzory i jak ja stosować opowiem dokładniej za około 2 miesiace. Metoda zwykle wymaga tak dużo rachunków, że rozwiazywanie zadania bez pomocy komputera lub kalkulatora sprowadza się do długiego ćwiczenia na dodawanie, mnożenie i dzielenie liczb na kartce. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 21 / 50

Skale logarytmiczne Skala półlogarytmiczna Uwaga Zależności pomiędzy wielkościami charakteryzujacymi części ciała lub tempa procesów fizjologicznych zwierzat najczęściej maja postać funkcji potęgowych typu y = ax b, gdzie a, b to pewne parametry charakterystyczne dla danej grupy zwierzat. Zależność tego typu nazywa się zależnościa allometryczna lub prawem allometrycznym. Z zależnościa allometryczna spotkaliśmy się już wcześniej gdy wyznaczaliśmy zależność między masa a powierzchnia zwierzęcia. Dla zwierzat wodnych tempo respiracji R wyraża się z dobra dokładnościa jako funkcja allometryczna masy (suchej) ciała M w zakresie od 0 do 0, 8mg R = 3,04M 0,794. We współrzędnych log-log wykres funkcji allometrycznej jest linia prosta. Wartości a i b wyznacza się w praktyce za pomoca regresji liniowej. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 22 / 50

Przestrzeń kartezjańska Przestrzeń i odległość Nie chodzi tu tylko o przestrzeń fizyczna i odległość mierzona w metrach. Czy można np. w sensowny sposób mówić o odległości pomiędzy dwoma gatunkami pierwotniaków? Przestrzeń kartezjańska n Produkt złożony z n kopii zbioru liczb rzeczywistych, czyli n { }} {... nazywa się przestrzenia kartezjańska i oznacza n. Elementami tej przestrzeni sa uporzadkowane ciagi n liczb (x 1, x 2,..., x n ), które nazywamy punktami o n współrzędnych. Na kolejnych współrzędnych moga stać dowolne liczby rzeczywiste. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 23 / 50

Przestrzeń kartezjańska Geometrycznie: 1 n = 1 zbiór liczb rzeczywistych utożsamiamy z linia prosta; 2 n = 2 zbiór 2 utożsamiamy z płaszczyzna, 3 n = 3 zbiór 3 utożsamiamy z przestrzenia trójwymiarowa. Liczbę n nazywamy wymiarem przestrzeni. Geometrycznie: jeśli na płaszczyźnie wybierzemy pewien punkt odniesienia środek układu współrzędnych o współrzędnych (0, 0), to aby określić położenie dowolnego innego punktu płaszczyzny potrzeba i wystarcza podać dwie współrzędne. Podobnie w przypadku punktu na mapie jakiegoś fragmentu Ziemi współrzędne określa się względem punktu przecięcia równika z południkiem zerowym. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 24 / 50

Przestrzeń kartezjańska Zgodnie z obowiazuj acym modelem przestrzeni fizycznej, w której jesteśmy zanurzeni, aby określić współrzędna punktu potrzeba oczywiście trzech współrzędnych, a nawet czterech, jeśli jedna współrzędna identyfikujemy jako czas mierzony od pewnej ustalonej chwili. Taka czterowymiarowa przestrzeń fizycy nazywaja czasoprzestrzenia. Idea wprowadzenia układu współrzędnych dla reprezentowania punktów przestrzeni i rozwiazywania zagadnień geometrycznych pochodzi od Kartezjusza (Rene Descartesa (1596-1650)) i należy do kluczowych osiagnięć majacych wpływ na rozwój matematyki i nauk przyrodniczych. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 25 / 50

Przestrzeń kartezjańska Wektory Każda uporzadkowana para punktów z n, (P, Q), określa wektor P,Q o poczatku w punkcie P (zaczepiony w P) i końcu w punkcie Q. Z drugiej strony każdy punkt P można identyfikować z wektorem 0,P, gdzie 0 oznacza punkt (0, 0,..., 0) zwany także środkiem układu współrzędnych. Jeśli P = (p 1,... p n ) i Q = (q 1,..., q n ), to wektor P, Q ma współrzędne P,Q = [q 1 p 1,..., q n p n ] T = q 1 p 1. q n p n q 2. p 2 P P,Q Q p 1 q 1 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 26 / 50

Przestrzeń kartezjańska Przyjmujemy konwencję, że wektor w układzie współrzędnych przedstawiany jest w postaci kolumny, w której kolejne współrzędne zapisane sa jedna pod druga. Litera T u góry oznacza transpozycję wektora, czyli zamianę wektora o współrzędnych zapisanych w wierszu na wektor kolumnowy i odwrotnie. Szczególnie ważny jest zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w 0, który oznaczymy przez V. W zbiorze tym można określić działania dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby, wykonujac wszystkie operacje oddzielnie na współrzędnych. Dla a i v = [v 1,..., v n ] T V oraz z = [z 1,..., z n ] T V definiujemy 1 a v = [av 1,..., av n ] T 2 v + z = w = [v 1 + z 1,..., v n + z n ] T Jeśli te operacje sa określone, to taka przestrzeń wektorów V nazywamy przestrzenia liniowa (lub wektorowa). Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 27 / 50

Przestrzeń kartezjańska Geometryczna interpretacja dodania i mnożenia wektorów v 2 2 3 v 2 2 3 v v v 2 + z 2 z 2 v 2 z w = v + z v z 1 v 1 v 1 + z 1 2 3 v 1 v 1 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 28 / 50

Przestrzeń kartezjańska Mówiac o przestrzeni liniowej V = n mamy na myśli zbiór wektorów zaczepionych w 0 o n współrzędnych wraz z wyżej określonymi działaniami. Wyobraźmy sobie przestrzeń 3 i w niej dwa wektory v i w zaczepione w punkcie (0, 0, 0). Jeżeli nie leża one na jednej prostej to wyznaczaja one płaszczyznę, która otrzymuje się tworzac wszystkie kombinacje liniowe, czyli sumy postaci α v + β w, gdzie α oraz β przyjmuja dowolne wartości rzeczywiste. Mówimy, że dwa wektory, które nie leża w jednej prostej rozpinaja płaszczyznę. Podobnie trzy wektory, które nie leża w jednej płaszczyźnie rozpinaja przestrzeń trójwymiarowa. Minimalna liczba wektorów potrzebna do rozpięcia danej przestrzeni liniowej określa jej wymiar. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 29 / 50

Przestrzeń kartezjańska Przykład Wyobraźmy sobie cztery populacje, które opisujemy poprzez podanie ich zagęszczeń. W danej chwili zagęszczenia tych populacji możemy przedstawić jako kolejne współrzędne punktu z przestrzeni 4. Na każda populację przypada jedna współrzędna wektora. Nie potrzebujemy tu wyobrażać sobie przestrzeni kartezjańskiej o wymiarze 4 wystarczy, że podamy 4 współrzędne! Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 30 / 50

Macierze Weźmy prostokatn a tablicę o dwóch wierszach i czterech kolumnach wypełniona liczbami: [ ] 1 2 14 8. 2 7 25 0 Aby określić położenie liczby 25 na tej tablicy wystarczy podać numer wiersza i numer kolumny, na przecięciu których się znajduje. W tym przypadku sa to 2. wiersz i 3. kolumna. Miejsce, w którym znajduje się ta liczba wyznaczone jest przez parę liczb (2, 3). Podobnie położenie liczby 8 wyznaczone jest przez parę (1, 4). W matematyce tego typu tablice, których elementy pochodza z jakiegoś ustalonego zbioru, najczęściej zbioru liczb, nazywa się macierzami. Kolejne pola tablicy nazywa się współrzędnymi macierzy. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 31 / 50

Macierze Piszac a i,j oznaczamy element macierzy w i. wierszu i j. kolumnie. Dla przykładu: w macierzy z poprzedniego slajdu mamy a 2,3 = 25 i a 1,4 = 8. Liczby i, j określajace kolejno numer wiersza i numer kolumny nazywa się indeksami. Definicja Macierza o n wierszach i m kolumnach o elementach ze zbioru X oznaczana [a ij ] j=1...m nazywamy funkcję określona na produkcie zbiorów i=1...n o wartościach ze zbioru X. {1, 2,..., i,..., n} {1, 2,..., j,..., m} Parze punktów (i, j) przyporzadkowany jest element a ij ze zbioru X. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 32 / 50

Macierze Wygodnie jest przedstawić wartości tej funkcji w postaci tablicy o n wierszach i m kolumnach. W i. wierszu występuje zatem wektor czyli mamy [a i1, a i2,..., a ij... a im ], a 11 a 12 a 13 a 1m a 21 a 22 a 23 a 2m a 31 a 32 a 33 a 3m........ a n1 a n2 a n3 a nm Jeśli elementy macierzy pochodza ze zbioru X =, to taka macierz nazywa się macierza rzeczywista. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 33 / 50

Macierze Funkcje, które przekształcaja wektory na wektory i zachowuja strukturę przestrzeni wektorowej n zadaje się za pomoca macierzy. Jeżeli jakaś macierz M ma n wierszy i m kolumn oraz jej współczynniki sa liczbami, to można zdefiniować mnożenie macierzy przez wektor v = [v 1, v 2,..., v m ] T o m współrzędnych. W wyniku otrzymuje się wektor w = M v o n współrzędnych, taki, że i. współrzędna wektora w określona jest następujaco m w i = a ij v j i = 1,..., n. j=1 Jest to przekształcenie liniowe gdyż, kombinacje liniowe wektorów przekształca na liniowe kombinacje: M(α v 1 + β v 2 ) = αm v 1 + βm v 2. Tego typu przekształcenia należa (w pewnym sensie) do najprostszych funkcji, które można określić w przestrzeniach kartezjańskich. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 34 / 50

Macierze Za pomoca macierzy zadaliśmy przekształcenie (funkcję), która wektory z m przekształca na wektory z n. Przykład Wektor [0, 1, 2] T 3 wymnażamy przez macierz o trzech kolumnach i czterech wierszach. 1 2 3 2 1 0 0 1 = 0 3 1 2 5 5 2 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 35 / 50

Macierze Za pomoca macierzy zadaliśmy przekształcenie (funkcję), która wektory z m przekształca na wektory z n. Przykład Wektor [0, 1, 2] T 3 wymnażamy przez macierz o trzech kolumnach i czterech wierszach. 1 2 3 2 1 0 0 1 = 0 3 1 2 5 5 2 1 0 + ( 2) ( 1) + 3 2 = 8. 0 1 2 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 35 / 50

Macierze Za pomoca macierzy zadaliśmy przekształcenie (funkcję), która wektory z m przekształca na wektory z n. Przykład Wektor [0, 1, 2] T 3 wymnażamy przez macierz o trzech kolumnach i czterech wierszach. 1 2 3 2 1 0 0 1 = 0 3 1 2 5 5 2 1 0 + ( 2) ( 1) + 3 2 8 2 0 + 1 ( 1) + 0 2 = 1. 0 1 2 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 35 / 50

Macierze Za pomoca macierzy zadaliśmy przekształcenie (funkcję), która wektory z m przekształca na wektory z n. Przykład Wektor [0, 1, 2] T 3 wymnażamy przez macierz o trzech kolumnach i czterech wierszach. 1 2 3 2 1 0 0 1 = 0 3 1 2 5 5 2 1 0 + ( 2) ( 1) + 3 2 8 2 0 + 1 ( 1) + 0 2 0 0 + 3 ( 1) + ( 1) 2 = 1 5. 0 1 2 0 1 2 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 35 / 50

Macierze Za pomoca macierzy zadaliśmy przekształcenie (funkcję), która wektory z m przekształca na wektory z n. Przykład Wektor [0, 1, 2] T 3 wymnażamy przez macierz o trzech kolumnach i czterech wierszach. 1 2 3 2 1 0 0 1 = 0 3 1 2 5 5 2 1 0 + ( 2) ( 1) + 3 2 8 2 0 + 1 ( 1) + 0 2 0 0 + 3 ( 1) + ( 1) 2 = 1 5. ( 5) 0 + 5 ( 1) + 2 2 1 0 1 2 0 1 2 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 35 / 50

Macierze Za pomoca macierzy zadaliśmy przekształcenie (funkcję), która wektory z m przekształca na wektory z n. Przykład Wektor [0, 1, 2] T 3 wymnażamy przez macierz o trzech kolumnach i czterech wierszach. W wyniku otrzymujemy wektor [8, 1, 5, 1] T 4 : 1 2 3 1 0 + ( 2) ( 1) + 3 2 8 2 1 0 0 2 0 + 1 ( 1) + 0 2 1 = 0 3 1 0 0 + 3 ( 1) + ( 1) 2 = 1 5. 2 5 5 2 ( 5) 0 + 5 ( 1) + 2 2 1 W ten sposób określiliśmy pewna funkcję, która wektory z przestrzeni 3 przekształca na wektory z przestrzeni 4. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 35 / 50

Macierze Dziedzina matematyki, która zajmuje się badaniem własności takich przekształceń liniowych jest algebra liniowa. Majac definicję mnożenia macierzy przez wektor w naturalny sposób można zdefiniować mnożenie dwóch macierzy, o ile ich liczby kolumn i wierszy sa odpowiednio uzgodnione. Definicja (Mnożenie macierzy przez macierz) Iloczynem macierzy A o n wierszach i m kolumnach i macierzy B o m wierszach i p kolumnach jest macierz o n wierszach i p kolumnach, która otrzymuje się wymnażajac macierz A przez kolejne kolumny (czyli wektory) macierzy B. m p p n A m B = n C Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 36 / 50

Macierze Macierz kwadratowa Macierza kwadratowa nazywamy każda macierz, której liczba kolumn jest taka sama jak liczba wierszy. Liczbę kolumn (wierszy) takiej macierzy nazywamy jej wymiarem. Każde dwie macierze kwadratowe tego samego wymiaru można przez siebie mnożyć. W odróżnieniu od mnożenia liczb rzeczywistych lub zespolonych mnożenie macierzy w ogólności zależy od kolejności, czyli nie jest przemienne np. [ 1 0 2 5 ] [ 4 3 6 2 ale [ ] [ ] 4 3 1 0 6 2 2 5 ] = [ 1 4 + 0 6 1 3 + 0 ( 2) 2 4 + 5 6 2 3 + 5 ( 2) [ ] 4 1 + 3 2 4 0 + 3 5 = = 6 1 + ( 2) 2 6 0 + ( 2) 5 ] = [ 4 3 38 4 ], [ ] 10 15. 2 10 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 37 / 50

Metryka Odległość między punktami danego zbioru można mierzyć na bardzo wiele sposobów, tzn. odległość między dwoma punktami może być różna w zależności od tego jak ja mierzymy. Funkcję, która określa tak czy inaczej rozumiana odległość między punktami nazywa się metryka. Jakie własności winien mieć pomiar odległości? 1 Odległość punktu od siebie samego powinna być równa zero i jest to jedyny przypadek, gdy odległość zeruje się. 2 Odległość dwóch punktów jest symetryczna, nie zależy zatem od tego czy mierzymy ja poczynajac od jednego czy od drugiego punktu. 3 Chcemy aby dla dowolnych dwóch punktów x i y odległość między x i y nie była zbyt duża, jeśli istnieje jakiś punkt niezbyt odległy zarówno od x jaki od y. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 38 / 50

Metryka Definicja (Metryka) Metryka w zbiorze X nazywamy funkcję dwóch zmiennych ϱ: X X o wartościach nieujemnych spełniajac a następujace własności. Dla dowolnych x, y, z X 1 ϱ(x, y) = 0 w.t.w. gdy x = y ; 2 ϱ(x, y) = ϱ(y, x) (symetria) ; 3 ϱ(x, y) ϱ(x, z) + ϱ(y, z) (nierówność trójkata) Definicja (Przestrzeń metryczna) Przestrzenia metryczna nazywamy zbiór X wraz z metryka ϱ. Metryk jest bardzo wiele, gdyż dana metryka ϱ(x, y) wymnożona przez liczbę dodatnia a jest wciaż metryka: ϱ 2 = aϱ(x, y) jest metryka Nie jest to sprzeczne z intuicja. Mnożenie metryki przez liczbę można porównać do określania odległości w różnych systemach miar. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 39 / 50

Metryka Dla Polaka odległość między Warszawa a Krakowem wynosi 294 km, ale dla Anglika to będzie 182,6 mili, marynarz powie, że odległość wynosi 158,8 mili morskiej. Tę odległość możemy wyrazić także w centymetrach, calach, stopach czy łokciach za każdym razem mnożac oryginalna metrykę przez jakaś liczbę. Z drugiej strony metryk nie musi różnić tylko pomnożenie przez liczbę. Jadac z Krakowa do Zakopanego samochodem przebywa się 104 km, zaś jadac koleja pokonujemy 147 km. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 40 / 50

Metryka Suma dwóch metryk określonych w danym zbiorze jest również metryka. Jeżeli zmierzymy odległość dwóch punktów w jednej metryce ϱ 1, a potem w drugiej ϱ 2 i weźmiemy większa z tych liczb, to określimy nowa metrykę ϱ(x, y) = max(ϱ 1 (x, y), ϱ 2 (x, y)). Jeżeli w przestrzeni n wprowadzi się pojęcie odległości punktów (czyli metrykę), to można dalej opisywać analitycznie (tzn. za pomoca wzorów) różne figury geometryczne: proste, trójkaty, okręgi (sfery), elipsy i.t.d. Dyscyplina matematyki, która zajmuje się badaniem własności metrycznych różnych zbiorów jest geometria. Definicja Okręgiem (lub inaczej sfera) w przestrzeni metrycznej (X, ϱ) o środku w punkcie x 0 X i promieniu r > 0 nazywamy zbiór punktów odległych o r od punktu x 0 i oznaczamy Oϱ(x r 0 ). O r ϱ(x 0 ) := {x X : ϱ(x 0, x) = r}. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 41 / 50

Metryka Przykłady metryk 1 X = i dla dowolnych x, y rozpatrzmy liczbę ϱ 1 (x, y) = x y równa długości odcinka [x, y]. 2 Metryka euklidesowa. Nazwę nadano na cześć Euklidesa, wybitnego matematyka greckiego z IV w. p.n.e. X = n i dla dowolnych x, y n, x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) ϱ 2 (x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 +... + (x n y n ) 2. Jest to uogólnienie na przestrzeń n, n > 1 sposobu obliczania odległości określonego w punkcie 1. i jest zgodna z tw. Pitagorasa. y 2 x 2 (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 x 1 y 2 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 42 / 50

Metryka Ocena odległości, której dokonujemy w życiu codziennym, pomiary odległości w geodezji i kartografii oparte sa na tej właśnie metryce, o ile można zaniedbać fakt, że Ziemia nie jest płaska. Okrag o promieniu r i środku w punkcie p = (p 1, p 2 ) zawarty w 2 przedstawia się następujaco O r (P) = {(x 1, x 2 ) : (x 1 p 1 ) 2 + (x 1 p 2 ) 2 = r 2 }. x 2 r p 2 P p 1 x 1 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 43 / 50

Metryka 3 Metryka centrum (węzła kolejowego). W X = 2 wyróżniamy jeden punkt np. (0, 0) (odpowiadajacy stacji węzłowej, przez która musi przejechać pociag). Odległość dwóch punktów A oraz B, jeżeli nie leża na jednej prostej przechodzacej przez punkt 0, określamy jako sumę odległości euklidesowej od A do 0 i odległości od 0 od B. Jeśli oba punkty leża na prostej przechodzacej przez 0 to ich odległość kolejowa równa jest odległości euklidesowej między nimi. D C B A Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 44 / 50

Metryka 4 Metryka miejska, zwana także metryka Manhattan. Nazwa pochodzi od specyficznego prostokatnego układu ulic w dzielnicy Manhattan w Nowym Yorku. Odległość dwóch punktów płaszczyzny x = (x 1, x 2 ) i y = (y 1, y 2 ) w tej metryce to suma wartości bezwzględnych różnic współrzędnych tych punktów ϱ 4 (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2. A 1 B 1 Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 45 / 50

Metryka 5 Chcemy określić podobieństwo między obiektami z jakiejś dziedziny (np. osobnikami jakiejś populacji), przy czym wyróżniamy tylko dwie różne cechy tych obiektów. Załóżmy, że wartości obu tych cech sa liczbami rzeczywistymi (np. wysokość, i masa) Każdemu osobnikowi przyporzadkowany jest punkt płaszczyzny 2. Pierwszy warunek w definicji metryki mówi wtedy, że obiekty identyczne pod względem rozpatrywanych cech sa nierozróżnialne (sa w zerowej odległości) oraz że obiekty różniace się wartościami cech sa zawsze rozróżnialne (odległość dodatnia). Powstaje pytanie, które obiekty sa bliskie sobie pod względem tych dwóch cech i w jakim sensie. Takie zagadnienia rozważa się w systematyce w celu zobiektywizowanego określenia przynależności danych osobników do gatunków na podstawie ustalonych cech morfologicznych lub genetycznych. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 46 / 50

Metryka Załóżmy, że te dwie cechy nie sa tak samo ważne dla klasyfikacji lub też zakres zmienności jednej cechy jest zupełnie różny od drugiej, np. jedna cecha może być odporność organizmu człowieka na wzrost stężenia tlenu, a druga liczba włosów na cm 2 skóry głowy. Można sobie bez trudu wyobrazić dwóch ludzi różniacych się trzykrotnie pod względem cechy drugiej, ale nie ma ludzi różniacych się w tym stopniu pod względem cechy pierwszej. Jest tu duża arbitralność w wyborze metryki. Jedna cecha może zmieniać się w zakresie 0,5 0,8 i być bardzo istotna, a druga w zakresie 100 500 i być mniej istotna przy klasyfikacji. Aby uwzględnić nierównoważność cech trzeba je przy mierzeniu odległości znormalizować. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 47 / 50

Metryka Do mierzenia możemy użyć metryki miejskiej z wagami ϱ (a1,a 2 )(x, y) = a 1 x 1 y 1 + a 2 x 2 y 2 gdzie a 1, a 2 > 0. Liczby a 1 i a 2 nazywamy wagami i określaja jak bardzo jedna cecha jest istotna w stosunku do innych lub jak bardzo wartości jednej cechy sa niewspółmierne z wartościami innych. Okrag o środku (0, 0) i promieniu 1 w metryce ϱ (1,2) (x, y) = x 1 y 1 + 2 x 2 y 2, 1 2 czyli zbiór {x 2 : x 1 0 + 2 x 2 0 = 1}, 1 jest równoległobokiem Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 48 / 50

Metryka Punkty bliskie (w odległości równej 1) w sensie metryki miejskiej moga być jednocześnie dalekie, (czyli w odległości większej niż 1), w sensie metryki ważonej. Na przykład punkt (0, 1) jest 2 razy bardziej odległy od (0, 0) w sensie metryki ϱ (1,2) niż w sensie metryki miejskiej, bo punkt (0, 1 2 ) jest w odległości 1 od punktu (0, 0) w sensie metryki ϱ (1,2). Wykorzystaniem i konstruowaniem różnych metryk przydatnych przy klasyfikacji zajmuje się taksonomia numeryczna. Rozważa się tam także pseudometryki, w których dopuszcza się zerowa odległość pomiędzy różnymi punktami. Rozróżnia się zarówno cechy ilościowe wyrażane przez liczby rzeczywiste (np. obwód, wysokość) jak i cechy jakościowe (np. barwa lub kształt), które można z kolei arbitralnie ponumerować liczbami naturalnymi. Jeśli w klasie rozpatrywanych obiektów wyróżnimy 10 cech ilościowych i 3 jakościowe, możemy te obiekty reprezentować jako punkty w przestrzeni 10 3. Matematyka dla biologów Wykład 4. 25 października 2016 49 / 50