ZADANIA MATURALNE - STEREOMETRIA PP poziom podstawowy PR poziom rozszerzony Zad.1. ( PP 5 pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o długości krawędzi podstawy 6 cm, jest równa 9 cm. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim szukany kąt. Zapisz obliczenia. graniastosłup czworokątny Zad.. ( PP 4 pkt) Podstawą prostopadłościanu ABCDA 1B1C1 D1 jest prostokąt o bokach długości: AD = i AB = 6. Wysokość prostopadłościanu ma długość równą 6. Uzasadnij, za pomocą rachunków, że trójkąt BAD1 jest prostokątny. D1 C1 A1 B1 D C A B Zad.. ( PP - 5 pkt) Czy,8 m papieru samoprzylepnego wystarczy na oklejenie pudełka bez przykrywki w kształcie prostopadłościanu o wymiarach dm, 4 dm, 5 dm? Zad.4. ( PP 5 pkt) Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 18. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość wysokości tego z danych graniastosłupów, który ma największe pole powierzchni bocznej. Zad. 5. ( PP 6 pkt ) Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 6. a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości. b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia 1 m potrzebne są 4 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas. 1
Zad.6. ( PP 7 pkt ) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworzą kąt o mierze a. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zad.7. ( PP 6 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędzie mają długość a. a) Sporządź rysunek tego ostrosłupa i zaznacz na nim kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Oznacz ten kąt jako α.oblicz kosinus kąta α, a następnie, korzystając z odpowiednich własności funkcji kosinus, uzasadnij, że α 6. b) Wyznacz długość wysokości tego ostrosłupa oraz jego objętość. Zad. 8. ( PP 7 pkt ) Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkątnego równa się 144, a pole powierzchni bocznej 96. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zad.9. ( PP 5 pkt) Grupa sześciu przyjaciół kupiła tort w kształcie graniastosłupa prostego, którego jedną z podstaw jest trójkąt równoramienny ABC ( patrz rysunek ). W trakcie dyskusji jak podzielić tort na 6 równych części, Krysia przypomniała sobie własności środkowych dowolnego trójkąta i przecięła tort prostopadle do podstawy wzdłuż linii AK, BM i NC, gdzie punkty K, M, N są środkami odpowiednich boków trójkąta ABC. Czy Krysia miała rację? Odpowiedź uzasadnij. A N M O B K C Zad.1. ( PP -5 pkt) Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować,5 litra płynu. Mamy do wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewnętrznych wymiarach: pierwsza o średnicy 6 cm i wysokości 1 cm, druga o średnicy 5,8 cm i wysokości 9,5 oraz trzecia o średnicy 6cm i wysokości 9 cm. Której szklanki objętość jest najbliższa,5 litra? Odpowiedź uzasadnij. Zad.11. ( PP pkt) Poniższy rysunek przedstawia stożek ścięty. Objętość takiej bryły obliczamy wg wzoru: 1 V = π h ( R + R r + r ), gdzie R - długość promienia podstawy dolnej, r - długość promienia podstawy górnej, h - długość wysokości stożka ściętego.
r R Rada miasta postanowiła postawić w parku popiersie osoby zasłużonej. Popiersie ma stanąć na betonowym postumencie w kształcie stożka ściętego. Promienie podstaw tego postumentu są odpowiednio równe cm i 5 cm, a jego wysokość jest równa 1,5 m. Jaki będzie koszt materiału zużytego na budowę postumentu, jeżeli wiadomo, że cena 1 m betonu wynosi zł? ( nie uwzględniamy zbrojenia ). Wynik podaj z dokładnością do 1 zł. Zad.1. ( PP- 7 pkt) Piętrowy tort przygotowany na bal maturalny składał się z pięciu warstw, z których każda miała kształt walca. Długości promieni walców, wyrażone w cm były kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy a = -5. Długość promienia podstawy środkowej warstwy tego tortu była równa cm, a jej objętość π cm. Wszystkie warstwy wykonane były z tego samego rodzaju ciasta i miały jednakową wysokość. Oblicz, ile mąki należało przygotować do wypieku całego tortu, jeżeli receptura przewiduje wykorzystanie,4 kg mąki do wypieku warstwy środkowej. Zad.1. ( PP 5 pkt) Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa 4 dm i wysokość ma długość π 18 dm oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 4 dm. Wiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy. Zad.14. ( PP 4 pkt) Metalową kulę o promieniu 1 cm oraz stożek, w którym średnica i wysokość mają długości odpowiednio 16 cm i 1 cm, przetopiono. Następnie z otrzymanego metalu wykonano walec o 8 średnicy cm. Oblicz długość wysokości tego walca. Zad. 15. ( PP 6 pkt ) Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowitej jest równe 78 π. Oblicz objętość walca. Zad.16. ( PP 5 pkt) Sześcienny blok ołowiany ma wewnątrz pustą przestrzeń też w kształcie sześcianu położoną centralnie, służącą do przechowywania ciała promieniotwórczego. Krawędź sześcianu
wewnętrznego jest równa 7 cm. Pole powierzchni sześcianu wewnętrznego jest 49 razy mniejsze od pola powierzchni sześcianu zewnętrznego. a) Oblicz grubość ścianek tego bloku. b) Oblicz ciężar bloku, jeżeli ciężar właściwy ołowiu jest równy 1,14 g / cm. Wynik podaj z dokładnością do,1 kg. Zad. 17. ( PP 5 pkt ) Waflowy rożek ma kształt stożka, w którym kąt rozwarcia jest równy, a tworząca ma długość 15 cm. Oblicz, ile cm lodów można włożyć do rożka, przyjmując, że zostanie napełniony w 95%. Zad.18.( PP 5 pkt) Stożek i walec mają równe długości tworzących, równe pola powierzchni bocznych i równe objętości. Oblicz kosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy. Zad.19. ( PR 4 pkt) Wybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządź odpowiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz. Zad.. ( PR pkt) Pole powierzchni całkowitej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zad.1. ( PR pkt) Graniastosłup prawidłowy trójkątny jest opisany na kuli o promieniu. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zad.. ( PR 5 pkt ) Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną π podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem. Sporządź odpowiedni rysunek. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Zad.. ( PR 6 pkt ) Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym α = 6. Krawędź boczna graniastosłupa ma długość 8. Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt β = 6. Przez krótszą przekątną graniastosłupa poprowadzono płaszczyznę sieczną, która jest równoległa do dłuższej przekątnej podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Sporządź rysunek graniastosłupa i zaznacz na nim ten przekrój. Zad. 4. ( PR 6 pkt ) Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a. Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 45. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju. 4
Zad. 5.( PR 7 pkt ) Punkt S jest wierzchołkiem ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 8, a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 6. Przez wierzchołek A podstawy, równolegle do przekątnej BD, poprowadzono płaszczyznę sieczną tworzącą z płaszczyzną podstawy ostrosłupa kąt 45. Sporządź rysunek ostrosłupa, zaznacz otrzymany przekrój i oblicz pole tego przekroju. Zad.6. ( PR 7 pkt) Producent zamierza rozlewać sok do pudełek, w kształcie prostopadłościanu, o pojemności 1,8 litra. Dobierz wymiary pudełka, tak aby na jego wyprodukowanie zużyć jak najmniej materiału przyjmując, że stosunek długości sąsiednich krawędzi podstawy pudełka jest równy : ( wykonując obliczenia zaniedbaj ilość materiału potrzebnego na sklejenia, złożenia itp. ). Zad.7. ( PR 6 pkt) Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 9 dm. Dwie ściany boczne ostrosłupa są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe ściany boczne są nachylone do π π płaszczyzny podstawy pod kątami i. 6 a) Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim dane kąty. b) Oblicz objętość ostrosłupa..8. ( PR- 5 pkt) Prosta p jest nachylona do płaszczyzny π pod kątem o mierze 45 i przecina tę płaszczyznę w punkcie A. Prosta q jest zawarta w płaszczyźnie π. Punkt A należy do prostej q. Kąt między prostą q i rzutem prostokątnym prostej p na płaszczyznę π ma miarę 45. Wykaż, że kąt ostry między prostymi p i q ma miarę 6. Zad.9. ( PR 7 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy, a długość 4. Ściany boczne tego ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 6. Oblicz długość promienia kuli opisanej na tym ostrosłupie. Zad.. ( PR 8 pkt) W trójkącie ABC dane są: AC = 8, BC =, ACB = 6. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta ABC dookoła boku BC. Zad.1. ( PR 9 pkt) Pole powierzchni całkowitej stożka jest dwa razy większe od pola powierzchni kuli wpisanej w ten stożek. Wyznacz cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy. Zad.. ( PR- 4 pkt) W stożku tworząca o długości 5 cm jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem o mierze 4. Oblicz objętość kuli opisanej na tym stożku. Wynik podaj z dokładnością do,1 cm. 5
Zad.. ( PR 9 pkt) W stożek, w którym kąt między tworzącą a podstawą ma miarę α wpisano kulę. a) Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli. b) Wyznacz cos α, jeżeli stosunek objętości stożka do objętości kuli jest równy 9:4. Zad.4. ( PR 6 pkt) Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 6. Oblicz wymiary graniastosłupa o największej objętości. Zad.5. ( PR 7 pkt ) Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej m Istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa. Zad.6. ( PR 6 pkt) Objętość walca jest równa 5 π cm. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Zad.7. ( PR 1 pkt) Na kuli o promieniu długości R = 4 cm opisujemy stożki o promieniu długości r i wysokości długości H. Spośród wszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą objętość. Oblicz tę objętość. Oblicz długość promienia i wysokości znalezionego stożka. Zad.8. ( PR 1 pkt) Przekątna przekroju osiowego walca ma długość równą mieć ten walec? Odpowiedź odpowiednio uzasadnij.. Jaką największą objętość może Zad. 9. ( PR -5 pkt ) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H długość wysokości ostrosłupa oraz α 45 < α < 9. miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy ( ) 4 H a) Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa tg α. 1 b) Oblicz miarę kąta α, dla której objętość V danego ostrosłupa jest równa podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni. H. Wynik 9 Zad. 4. ( PR -5 pkt ) W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna ABC zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem α = 6. Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną równa się 8. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zad. 41. ( PR -5 pkt ) Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości. Wszystkie ściany boczne są równoramiennymi trójkątami prostokątnymi. Punkt P został wybrany wewnątrz ostrosłupa w ten sposób, że wysokości ostrosłupów ABDP, BCDP, ACDP, ABCP opuszczone z wierzchołka P mają tę samą długość H. Sporządź rysunek ostrosłupa i oblicz H. 6
Zad. 4. ( PR -5 pkt ) Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika. Zad. 4. ( PR -6 pkt ) Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem miary α. a) Oblicz tangens największego z kątów α, dla którego przekrój jest trójkątem. Zaznacz ten kąt wraz z odpowiednim przekrojem na rysunku. b) Otrzymany przekrój sześcianu jest trójkątem. Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że płaszczyzna, w której jest on zawarty podzieliła sześcian na dwie bryły, których stosunek objętości wynosi 1:11. Zad. 44. ( PR -6 pkt ) Krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długości a. Oblicz cosinus kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami bocznymi. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymieniony kąt dwuścienny. Zad. 45. ( PP -5 pkt ) a 15 Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się, gdzie a 4 oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz symbolem β. Oblicz cos β i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj przybliżoną wartość β z dokładnością do 1. Zad. 46. ( PP -4 pkt ) 7
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu i kącie środkowym miary 1 ( zobacz rysunek ). Oblicz objętość tego stożka. 1. Zad. 47. ( PP - 5 pkt ) ' ' ' Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o podstawach ABC i A B C oraz krawędziach ' ' ' ' bocznych AA, BB, CC. Kąt między przekątną ściany bocznej AC a krawędzią podstawy AC ma miarę α. Promień okręgu wpisanego w podstawę graniastosłupa ma długość r. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zad. 48. ( PP - 5 pkt ) Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 6. Przekątna graniastosłupa CE jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 6. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zad. 49. ( PP - 6 pkt ) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 8 cm i tworzy z przekątną ściany bocznej, z którą ma wspólny wierzchołek kąt, którego cosinus jest równy. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zad. 5. ( PR- 6 pkt ) Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość a i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju. 8
Zad. 51. ( PR- 4 pkt ) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie mają równą długość. Narysuj rysunek tego ostrosłupa. Zaznacz na tym rysunku kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne tego ostrosłupa i oblicz kosinus tego kąta. Zad. 5. ( PR- 7 pkt ) Podstawa ostrosłupa jest kwadratem. Jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do podstawy ostrosłupa. Najdłuższa krawędź boczna ma długość i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego sinus jest równy oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.. Narysuj rysunek pomocniczy i 9