Problemy optymalizacji układów napędowych w automatyce i robotyce

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Katedra Automatyki Problemy optymalizacji układów napędowych w automatyce i robotyce Autor: Marek Długosz Promotor: prof. dr hab. inż. Wojciech Mitkowski Kraków 29

Dziękuję Panu Prof. Wojciechowi Mitkowskiemu za współpracę, liczne spotkania, uwagi, wskazówki i pomoc bez której powstanie tej pracy byłoby niemożliwe. Dziękuję Dr inż. Andrzejowi Matrasowi za pomoc przy realizacji pracy. Dziękuję Panu Prof. Jerzemu Skwarczyńskiemu i Mgr. inż. Tomaszowi Lerchowi za pomoc w laboratorium dzięki której mogłem bezpiecznie wykonywać zaplanowane eksperymenty. Dziękuję wszystkim Kolegom z Katedry Automatyki za okazaną mi pomoc i dobrą radę w trakcie pisania pracy. Szczególnie dziękuję mojej Żonie za cierpliwość i ciągłe wspieranie mnie w trakcie pisania pracy.

Spis treści 1 Wstęp 4 1.1 Tezypracy... 5 1.2 Strukturapracy... 6 1.3 Charakterystykastosowanychmetodoptymalizacji... 7 2 Modele silników prądu stałego 8 2.1 Matematycznyopisukładu... 8 2.2 Modelenieliniowe... 1 2.2.1 Obcowzbudnysilnikprądustałego... 11 2.2.2 Szeregowysilnikprądustałego... 12 2.2.3 Bocznikowysilnikprądustałego... 15 2.3 Źródłanieliniowości... 16 2.4 Modeleliniowe... 17 2.4.1 Opisstanowisklaboratoryjnych... 22 2.4.1.1 Silnikobcowzbudnyprądustałego... 23 2.4.1.2 Serwomechanizmprądustalego... 24 2.5 Modeledyskretne... 27 2.5.1 Modeldyskretnylaboratoryjnegosilnikaprądustałego... 29 2.6 Nietypowenapędy... 29 2.6.1 Silnikiliniowe... 29 2.6.2 Silnikikuliste... 32 2.7 Uwagi... 36 3 Metody projektowania układów regulacji 4 3.1 RegulatorPID... 42 3.2 RegulatorLQR... 45 3.3 Sterowanieczaso-optymalne... 49 4 Obserwatory, odtwarzanie wielkości niemierzalnych 52 4.1 Obserwatorpełnegorzędu... 52 4.2 Obserwatoryzredukowane... 55 4.3 Metodaodtwarzaniaprędkościobrotowejimomentuobciążenia... 62 4.4 Obserwatorynieliniowe... 67 4.5 Uwagi... 71 5 Pomiary dyskretne i sterowanie komputerowe 72 5.1 Regulatordead-beat... 74 5.2 Sterowanieczasooptymalneistabilizacjawpunkciepracy... 77 5.3 Złożonestrukturysterowania... 79 5.4 Uwagi... 83 6 Sterowanie dużymi silnikami 85 6.1 Charakterystykasterowaniawzbudnikowego... 85 6.2 CharakterystykasterowaniaPWM... 86 6.3 Uwagi... 89 7 Zakończenie 91 1

8 Dodatek A- parametry fizyczne rozważanych silników 94 8.1 SilnikobcowzbudnyI... 94 8.2 SilnikobcowzbudnyII... 94 8.3 SilnikobcowzbudnyIII... 95 8.4 SilnikobcowzbudnyIV-zmagnesamitrwałymi... 95 8.5 SilnikszeregowyI... 95 8.6 SilnikszeregowyII... 96 8.7 SilnikbocznikowyI... 96

Spis oznaczeń: M n M Z, M wt ω(t) θ(t) J u t i t R t L t u w i w R w L w φ w A,B,C I B v x(t) u(t) z(t) y(t) K λ L(f(t)) λ(p) Re(z) Im(z) c E c M Tr(A) A momentnapędowywałusilnika momentobrotowyzewnętrznydziałającynawałsilnika,znakminusoznaczaże momenttenprzeciwstawiasięruchowiwkierunkuwktórymdziałamoment M n indukcjawzajemnatwornik-wzbudzenie prędkość chwilowa kątowa wału silnika położenie chwilowe kątowe wału silnika wypadkowy, sprowadzony do wału silnika moment bezwładności wirnika silinka i części ruchomych urządzenia napędzanego napięcieobwodutwornika prądobwodutwornika rezystancjaobwodutwornika indukcyjnośćobwodutwornika napięcieobwoduwzbudzenia prądobwoduwzbudzenia rezystancjaobwoduwzbudzenia indukcyjnośćobwoduwzbudzenia strumieńwzbudzenia macierze układu macierz jednostkowa współczynniktarcia chwilowy wektor stanu chwilowy wektor sterowania chwilowy wektor zakłóceń chwilowy wektor wyjściowy macierz wzmocnienia wartość własna macierzy transformata Laplace a funkcji f(t) zbiór wartości własnych macierzy P część rzeczywista liczby zespolonej z część urojona liczby zespolonej z współczynnikproporcjonalnościmiędzynapięciemindukowanymsilnikaprądustałego a iloczynem strumienia magnetycznego i prędkości współczynnikproporcjonalnościmiędzymomentemobrotowymsilnikaprądustałego a iloczynem strumienia magnetycznego i prądu twornika ślad macierzy A wyznacznik macierzy A W pracy stosuje się także następujące schematy oznaczeń: macierze lub wektory są pisane czcionką prostą(antykwa) i pogrubioną, np. A, x macierze są oznaczane literami dużymi, wektory są oznaczane literami małymi, np. A macierz, x wektor indeksdolny... N pisanyczcionkąprostąoznaczawartośćznamionowądanejwielkości,np. ω N obrotowaprędkośćznamionowa, u tn znamionowenapięcietwornikaitd.

Rozdział 1 Wstęp Od zarania czasów człowiek starał się uprościć wykonywanie pewnych czynności. Konstruowane były różnego rodzaju maszyny które miały wyręczyć i pomóc człowiekowi w wykonywaniu różnych czynności. Wiek XIX i XX wraz z rewolucją przemysłową zoowocował skonstruowaniem maszyn o nazwie robot lub roboty.słowotozostałozaczęrpniętezjęzykaczeskiego(zdramatukarelačapka,ang.tytuł R.U.R- Rossum s Universal Robots ) i w wolnym tłumaczeniu oznacza sztucznego robotnika(jezierski, 26, s. 11). W zależności od przeznaczenia i konstrukcji rozróżnia się kilka rodzajów konstrukcji robotów. Każdy z tych robotów żeby móc spełniać swoją funkcje musi posiadać możliwość ruchu, zmienianę położenia swoich elementów. Ruch ten jest realizowany w przy użyciu dwóch głównych elementów wykonawczych: silników elektrycznych lub siłowników hydraulicznych(lub pneumatycznych). Jednym z najpopularniejszych elementwów wykonawczych w automatyce i robotyce są silniki elektryczne. Do zalet napędów silnikowych należy łatwość sterowania takimi napędami, sprawność, duża dokładność i powtarzalność ruchów. Moce uzyskiwane z silników elektrycznych wykorzystywanych jako napędywrobotycezawierająsięwprzedzialieod.1kwdo1kw.momentyjakieosiągajątakiesilniki wahająsęod.1nmdo1nm(jezierski,26,s.134). Silniki elektryczne wykorzystywane jako napędy w automatyce i robotyce powinny charakteryzować się następującymi cechami: małą bezwładnością wirnika, dużą wartością momentu generowanego w stosunku do masy silnika, dużą wartością momentu szczytowego do nominalnego, dużym zakresem regulacji prędkości obrotowej, dużą precyzją pozycjonowania. Wymagania stawiane silnikom elektrycznym pracującym jako układu napędowe w automatyce i robotyce są podobne, dlatego układy regulacji silników będą działać prawidłowo w obydwu obszarach zastosowania. Silnik elektryczny jest przetwornikiem elektromechanicznym który przekształca energię elektryczną w energię mechaniczną, zwykle jest to ruch obrotowy. Ze względu na swoją stosunkowo prostą budowę, parametry techniczne i łatwość sterowania był i jest jednym z najpopularniejszym elementów wykonawczych w układach automatyki i robotyki. Pierwszy silnik elektryczny mający praktyczne zastosowanie zbudowałw1834rokum.h.jacobiibyłtosilnikprądustałegozkomutatoremktórysłużyłdonapędzania małego statku rzecznego(michalik i Kisilowski, 1992, s. 21),(Jungowska i Mazurkiewicz, 1996, s. 845). Silnik elektryczny prądu stałego zbudowany jest ze stojana którego zadanie polega na wytworzeniu pola magnetycznego przez magnesy trwałe albo elektromagnesy, oraz wirnika z uzwojeniem. Moment obrotowy powstaje w silniku elektrycznym w wyniku oddziaływania pola magnetycznego stojana oraz prądu twornika(siła elektrodynamiczna). Silniki prądu stałego na osi wirnika posiadają komutator(pierścień z odizolowanych od siebie działek do których są podłączone w odpowiedni sposób uzwojenia twornika). Po powierzchni komutatora ślizgają się zamocowane nieruchomo tzw. szczotki które są podłączone do źródła zasilania. Zadanie komutatora polega na włączaniu w odpowiednim momencie odpowiednich uzwojeń wirnika tak aby wykonywał on ciągły ruch obrotowy(plamitzer, 197, s. 53-56),(Dudek et al., 1985, s. 24-27),(Bisztyga, 1989, s. 66-68),(Leonhard, 21, s. 51-54),. Silniki elektryczne można klasyfikować według różnych kryteriów. I tak, zależnie od prądu zasilającego silniki dzieli się na silniki prądu stałego i przemiennego. Silniki prądu stałego w zależności od sposobu połączenia uzwojeń stojana i twornika dzieli się na: szeregowe, równoległe(bocznikowe), szeregoworównoległe. Każdy z tych silników charakteryzuje się innymi właściwościami mechaniczno-elektrycznymi. W silnikach elektrycznych szeregowych prędkość obrotowa maleje wraz ze wzrostem momentu obciążenia. Prędkość obrotowa w nieobciążonego silnika szeregowego może osiągnąć teoretycznie nieskończoną wartość, praktycznie po przekroczeniu pewnej wartości silnik ulega zniszczeniu. Silniki szeregowe znajdują 4

ROZDZIAŁ 1. WSTĘP zastosowanie w trakcjach elektrycznych i dźwignicach. W silnikach elektrycznych równoległych(bocznikowych) prędkość obrotowa silnika nie zależy od momentu obciążenia. Stosowane są one jako napędy obrabiarek. Silniki szeregowo-równoległe są stosowane do napędzania maszyn o stałych prędkościach obrotowych i dużych momentach. Osobną grupę silników stanowią silniki prądu przemiennego. Silnki takie nie posiadają komutatora. Pierwszy silniki prądu przemiennego zbudował J.N. Tesla w 1887 roku i był to 2-fazowy silnik indukcyjny. Dwa lata później w 1889 roku rosyjski elektrotechnik, pochodzenia polskiego Michał Doliwo-Dobrowolski skonstruował 3-fazowy silnik z wirnikiem klatkowym(michalik i Kisilowski, 1992, s. 324,325),(Jungowska i Mazurkiewicz, 1996, s. 845). Odmianą silnika prądu stałego są silniki o ruchu złożonym(np. silnik o ruchu liniowym, silniki sferyczne). Silnik o ruchu liniowym przekształca energie elektryczną w ruch postępowy(a nie obrotowy). Silnik taki zbudowany jest z tak zwanego bieżnika którym jest rozwinięte uzwojenie stojana oraz induktora(kamiński, 1994, s. 1-11). W silniku takim ruch mogą wykonywać obydwa elementy. Zaletą tegotypusilnikówjesttożeniepotrzebująonedodatkowegoosprzętutakjaktomamiejsceprzywykorzystaniu siłowników hydraulicznych(lub pneumatycznych). Siły produkowane przez tego typu silniki zawierająsięwprzedziale33-58n,prędkościrzędu4m/siprzyśpieszenierzędu2 m/s 2.Wsilnikach sferycznych(kulistych) wirnik ma kształt sfery(kuli) i teoretycznie silnik taki jest w stanie wykonywać ruch obrotowy względem dowolnej osi układu XYZ. Praktycznie ruch taki jest ograniczony do pewnych obszarów albo osi układu odniesienia. Silniki tego typu zostaną szerzej opisane w rozdziale 2.6. Podstawowymi wielkościami regulacyjnymi w silnikach prądu stałego są prędkość obrotowa ω(t) lub położenie kątowe wirnika α(t). Silniki, czy też układy napędowe, w których wielkością regulowaną jest położenie kątowe α(t) wirnika nazywane są serwomechanizmami. Wielkością zakłócającą pracę silnika jest przedewszystkimzmiennymomentobciążenia(momentzewnętrzny) M Z.Podstawowezadanieregulacji polega więc na stabilizacji prędkości obrotowej ω(t) lub położenia kątowego wału α(t) przy zmiennym, nieznanymmomencieobciążenia M Z.Różnekonstrukcjesilnikówprądustałegoróżniereagująnazmianę zewnętrznegomomentuobciążenia M Z.Wsilnikuszeregowymwrazzewzrostemmomentuobciążenia M Z prędkośćobrotowa ω(t)malejenieliniowo.wsilnikachobcowzbudnychzmianymomentuobciążenia M Z niepowodujątakdużychzmianprędkościobrotowej ω(t).wdużychsilnikachnaskuteknagrzewania zmieniają się parametry fizyczne tych silników(np. rośnie rezystancja uzwojeń). Odpowiednio dobrany regulator powinien więc zapewnić stabilizację prędkości obrotowej ω(t)(lub położenia wału α(t)) bez względunazmianęmomentuobciążenia M Z czyteżparametrówsilnika.wieletypówregulatorów(np. regulator LQR, dead-beat, regulator czasooptymalny) do poprawnej pracy wymagają znajomości wszystkich składowych wektora stanu x(t). Nie zawsze jest możliwy bezpośredni pomiar wszystkich składowych wektora stanu x(t). W takich sytuacjach do układów regulacji dodaje się obserwatory, których zadaniem jest odtworzenie składowych wektora stanu x(t) które nie są mierzone bezpośrednio. Zmienność momentuobciążenia M Z powodujezmiennośćprądu i(t),acozatymidziezmieniasiępunktpracysilnika. Naogółniewiemywjakisposóbzmieniasięmomentobciążenia M Z,powstajewięcproblemestymowania wartości tegoż momentu, celem wyznaczenie poprawnego punktu pracy, który jest wymagany przez regulatory takie jak LQR lub dead-beat. 1.1 Tezypracy Tematyka niniejszej pracy skupia się na silnikach prądu stałego. Tego typu silniki są powszechnie stosowane w napędach różnego rodzaju robotów czy linii przemysłowych(jezierski, 26, s. 132). Układy regulacji silników wykorzystywanych do takich celów powinny zapewnić szybkość działania, dokładność i powtarzalność, ograniczenie albo całkowitą eliminację różnego rodzaju pulsacji(np. prędkości obrotowej lub momentu). Dodatkowo tego typu układy regulacji powinny poprawnie działać w obecności zakłóceń zewnętrznych, powinny kompensować(przynajmniej w pewnym zakresie) zmiany parametrów fizycznych silników(np. wzrost rezystancji wraz ze wzrostem temperatury). Układy regulacji powinny także w taki sposób generować sterowanie aby nie zniszczyć samego silnika, np. zjawisko rozbiegania się silnika szeregowego, rozruch dużego silnika obcowzbudnego. Rozwój techniki, informatyki oraz zastosowanie komputerów w układach regulacji zmieniło podejście do projektowania nowoczesnych układów regulacji oraz możliwości jakie można osiągnąć. Sam regulator (np. LQR, dead-beat) nie może spełniać wszystkich wymagań wymienionym wyżej. Oprócz nowych możliwości jakie daje zastosowanie komputerów w układach sterowania powstały także nowe problemy np. problem dyskretyzacji poziomów sygnałów lub czasu, wymiana danych pomiędzy różnymi komputerami, bezpieczeństwo. Użycie komputerów do sterowania dało także nowe możliwości konstrukcji i fizycznej realizacji różnorodnych typów regulatorów, np. regulatory neuronowe, rozmyte, adaptacyjne, regułowe itd.. 5

ROZDZIAŁ 1. WSTĘP Realizacja fizyczna i zastosowanie takich regulatorów bez użycia komputerów sterujących jest praktycznie niemożliwa. Użycie komputerów do sterowania nie rozwiązuje automatycznie wszystkich problemów związanych z sterowaniem. Potrzebne jest także odpowiednie podejście do metody projektowania takiego komputerowego systemu sterowania. Główne tezy jakie postawiono w pracy to: Teza 1. Użycie komputerów do implementacji różnych, nietypowych algorytmów sterowania nietypowymi napędami znacznie poprawia jakość działania układów regulacji. Wymagania stawiane układom sterowania silników prądu stałego, które pracują w układach napędowych automatyki i robotyki nie mogą być spełnione przez jeden wybrany regulator. Każdy z regulatorów posiada swoje wady i zalety. Dążymy więc do tego aby wykorzystać tylko najlepsze cechy danego regulatora(np. szybkość działania regulatora czasooptymalnego, stabilizacja w punkcie pracy przy pomocy regulatora LQR). Jeśli dodatkowo układ sterowania ma sterować rzeczywistym silnikiem dochodzą dodatkowe ograniczenia(np. ograniczenie prądu twornika podczas rozruchu). Tego typu złożone struktury sterowania wraz z regulatorami i prawami ich wzajemnego oddziaływania najłatwiej realizować przy pomocy komputera w pętli sprzężenia zwrotnego. Dzięki temu utrzymujemy kompleksowy system sterowania który jest bezpieczny oraz o bardzo dobrej jakości regulacji. Użycie komputerów do sterowania jest rozwiązaniem ekonomicznym i elastycznym(w każdej chwili można przeprogramować komputer) co jest bardzo istotne w praktycznych zastosowaniach. W komputerach używanych do sterowania oprócz regulatorów można zaimplementować także inne urządzenia takie jak obserwatory czy systemy diagnostyczne. Teza 2. Klasyczne algorytmy sterowania optymalnego można skutecznie stosować do sterowania nietypowymi układami wykonawczymi automatyki. Układy wykonawcze automatyki często są obiektami nieliniowymi(np. silnik o ruchu liniowym, silnik szeregowy). Dla tego typu układów nieliniowych teoria sterowania podpowiada wykorzystanie nieliniowych regulatorów. W praktycznych zastosowaniach dąży się do wykorzystania dobrze poznanych klasycznych regulatorów(np. regulator PID, PD). Regulatory takie są uniwersalne, można je stosować do silników o różnych parametrach fizycznych. Znane są efektywne metody doboru parametrów takich regulatorów. Przy doborze parametrów lub projektowaniu regulatora nieliniowego dla obiektu nieliniowego do każdego przypadku należy w zasadzie podchodzić indywidualnie. W produkcji przemysłowej dąży się do korzystania z rozwiązań standardowych, dlatego podejmowane są kroki mające na celu sterowanie obiektami nieliniowymi klasycznymi regulatorami. Okazuje się że, w wielu przypadkach jest to możliwe do wykonania. Nieliniowy obiekt sterowany klasycznym regulatorem zachowuje się poprawnie i zgodnie z przyjętymi założeniami(np. stabilizacja prędkości obrotowej szeregowego silnika prądu stałego). 1.2 Strukturapracy Materiał zebrany w pracy jest podzielony na dwie zasadnicze części. Pierwsza z nich obejmuje opis i analizę modelów matematycznych różnych silników prądu stałego. W drugiej części zawarto opis metod projektowania regulatorów, odtwarzania wielkości niemierzalnych, a także zastosowanie komputerów do optymalizacji sterowania silnikami prądu stałego. Pierwszy rozdział ma charakter wprowadzenia w problematykę optymalizacji układów napędowych. Zdefiniowano tezy pracy, a także dokonano przeglądu wykorzystywanych metod optymalizacji. Drugi rozdział zawiera opis modeli nieliniowych i liniowych silników prądu stałego. Przedstawiono różne rodzaje modeli matematycznych wykorzystywanych do opisywania silników prądu stałego. Opisano uproszczenia jakie można stosować przy modelowanie silników prądu stałego. W rozdziale tym przedstawiono także opis nietypowych napędów elektrycznych takich jak silniki o ruchu liniowym i silniki z wirnikiem kulistym. W rozdziale trzecim przedstawiono trzy typy regulatorów wraz z opisem doboru ich parametrów. Zaprezentowano przykład wykorzystania komputerów do poszukiwania optymalnych nastaw tych regulatorów. Przedstawiono sposób doboru parametrów regulatora PID poprzez rozwiązanie problemu LQR. Rozdział czwarty zawiera opis obserwatorów wykorzystywanych do odtwarzania wielkości niemierzalnych. Przedstawiono trzy typy obserwatorów, opisano sposoby optymalnego doboru parametrów obserwatora. Zaproponowano jedną z metod odtwarzania prędkości obrotowej i momentu obciążenia przy pomocy dwóch obserwatorów zredukowanych. 6

ROZDZIAŁ 1. WSTĘP W rozdziale piątym opisano wykorzystanie komputerów do sterowania silnikami prądu stałego. Teoretyczne wyniki z poprzednich rozdziałów zostały sprawdzone na stanowisku laboratoryjnym serwomechanizmu. Opisano również regulator dead-beat który stosuje się w dyskretnych układach sterowania. Rozdział szósty zawiera opis sposobów sterowania wielkimi silnikami. Przedstawiono dwa takie sposoby: poprzez zmniejszanie strumienia wzbudzenia oraz sterowanie PWM. Teoretyczne wyniki zostały zweryfikowane na stanowisku laboratoryjnym sterowania PWM silnikiem prądu stałego. 1.3 Charakterystyka stosowanych metod optymalizacji Przy syntezie układów regulacji układów napędowych stosowane metody optymalizacji pojawiają się w różnych obszarach rozważań: optymalny dobór nastaw regulatorów typu PI, PID, LQR, również regulator czasooptymalny, optymalizacja wielokryterialna, najczęściej rozwiązywane metodą współczynników kary wprowadzenie odpowiednich zadań optymalizacji posiadających dokładnie jedno rozwiązanie co prowadzi do jednoznacznych algorytmów sterowania(ważne dla użytkownika) inne problemy optymalizacji przybliża się przez aproksymację(upraszczanie) modeli matematycznych np. obiektów dużych przestrzennie(ob. o parametrach rozłożonych) oraz identyfikacji parametrów modeli. Również przy optymalnym generowani siatek przestrzennych w metodzie elementu skończonego. przy budowie modeli matematycznych układów elektro-mechanicznych korzysta się z metod wariacyjnych(równania Eulera) W tej pracy skoncentrowano się głównie na numerycznym rozwiązywaniu problemów optymalizacyjnych lub na odpowiednim przeformułowania orginalnego zadania optymalizacyjnego do równoważnego zadania LQR. Rozwiązywanie problemów LQR jest bardzo dobrze oprogramowane w licznych programach numerycznych. Rozwiązania otrzymane są rozwiązaniami jednoznacznymi, które można stosować w praktyce co sprawdzano na stanowiskach laboratoryjnych. Osobnego podejścia wymagają problemy czasooptymalne. W przypadku tego typu zadań ciągle ważne jest indywidualne podejście do postawionego zadania. Podczas projektowania większości układów regulacji konieczna jest znajomość modelu obiektu którym chcemy sterować. Model taki powinien najdokładniej opisywać obiekt którym chcemy sterować. W oparciu o parametry i strukturę modelu możemy efektywnie wyznaczyć parametry i strukturę regulatora. W przypadku klasycznych konstrukcji silników w zadowalającym stopniu można korzystać z modeli nieliniowych lub liniowych. W przypadku nietypowych silników(np. silnik o ruchu liniowym, silnik o ruchu kulistym) modele są bardzo skomplikowane przez co ich użyteczność jest ograniczona. Metoda elementów skończonych dostarcza aparatu przy pomocy którego możemy względnie prosto modelować bardzo skomplikowane obiekty. Modele uzyskane w oparciu o metodę elementów skończonych mogą posłużyć do konstruowania i weryfikacji układów regulacji dla takich obiektów. Dobrze opracowany model w oparciu o metodę elementów skończonych charakteryzuje się bardzo dużą zgodnością modelu z obiektem rzeczywistym. Ze względu na obszerność materiału w pracy nie zaprezentowano wykorzystania metody elementu skończonego do poszukiwania optymalnych rozwiązań. Zauważalne jest że, metoda elementu skończonego w ostatnich latach stała się bardzo popularna. Przede wszystkim podczas projektowania nowych konstrukcji silników, kiedy to prototyp silnika można przetestować przy użyciu komputera. Dzięki temu ogranicza się koszty procesu projektowania, nie trzeba budować kosztownych prototypów. Fizyczniebudujesięjużgotowysilnikktóryjestprzetestowanyijestpewnośćżejegoparametrysązgodnez oczekiwanymi parametrami. 7

Rozdział 2 Modele silników prądu stałego W rozdziale tym przedstawiono najczęściej stosowane modele matematyczne silników prądu stałego oraz innych nietypowych napędów(np. silnik z wirnikiem kulistym). Przedstawiono modele liniowe, nieliniowe, wskazano także źródła nieliniowości. Do opisu dynamiki silników użyto równań różniczkowych zwyczajnych w postaci tak zwanych równań stanu n-tego rzędu, które następnie są transformowane do n-równań różniczkowych stopnia pierwszego. 2.1 Matematyczny opis układu Jeżeli chcemy sterować(ograniczając kosztowne eksperymenty na rzeczywistym obiekcie) w optymalny sposób jakimkolwiek obiektem to należy poznać w jaki sposób dany obiekt zachowuje się pod wpływem różnych wymuszeń lub warunków początkowych. Opis zachowania się obiektu ujęty w ramy matematycznych formuł nazywamy modelem matematycznym obiektu. Ideałem jest opracowanie takiego modelu matematycznego obiektu który jest zgodny z obiektem rzeczywistym. Niestety jest to często niemożliwe z następujących przyczyn: uwzględnienie wszystkich zachodzących zjawisk fizycznych powoduje wzrost skomplikowania i złożoności modelu przez co analiza jego zachowania staje się trudna większość zjawisk fizycznych jest z natury rzeczy zjawiskami nieliniowymi(z parametrami rozłożonymi przestrzennie) Podczas konstrukcji modeli matematycznych można stosować różne podejścia i metody. Najbardziej ogólną metodą jest wariacyjna zasada Hamiltona(zasada najmniejszego działania) zob. np.(jezierski, 26, s. 77-88),(Szklarski et al., 1996, s. 12-36),(Puchała, 1977, s. 11-57). Metoda ta korzysta z rachunku wariacyjnego i bazuje na zależnościach energetycznych elementów wchodzących w skład całego modelu. Innym podejściem stosowanym podczas tworzenia modeli jest znajomość praw i zasad fizyki zachodzących w układzie, zob. np.(bisztyga, 1989, s. 66-77),(Szklarski et al., 1996, s. 9-12). Metoda wariacyjna jest metodą bardziej skomplikowaną obliczeniową, ale można ją stosować do wyznaczania modeli matematycznych dowolnych układów. Metodę korzystającą z znajomości zależności fizycznych łatwiej stosować do konstrukcji modeli matematycznych nieskomplikowanych układów. Metoda ta opisuje zjawiska fizyczne zachodzące w danym układzie. Bardzo często posługujemy się modelami uproszczonymi, które w bardzo dobry sposób przybliżają i opisują działanie systemu. Upraszczając model możemy: pominąć te części modelu które mają mały wpływ na interesujące nas wyjście w pewnym określonym i dopuszczalnym obszarze zjawiska nieliniowe są modelowane przy pomocy równań liniowych(linearyzacja, np. przybliżenie krzywej magnesowania linią prostą) jeśli jest to dopuszczalne nie uwzględnia się przestrzennych zmian parametrów(np. przyjmujemy że indukcja w szczelinie powietrznej ma wartość stałą) dla pewnych wielkości można przyjąć, że zmiany ich wartości następują natychmiast przez co można je opisać zwykłym równaniem algebraicznym(np. zmiany prądu twornika) 8

ROZDZIAŁ 2. MODELE SILNIKÓW PRĄDU STAŁEGO Dynamika systemu może być opisana przy pomocy następujących równań wektorowych(tak zwanych równaństanu): { ẋ(t) = f(x(t),u(t), t) (2.1) y(t) = g(x(t), u(t), t) t, x() = x X, x(t) X = R n, u(t) U R r, Ujestzbioremzwartym,wypukłymizawiera, y(t) Y = R m, f : X U T T Xi g : X U T Y(Mitkowski,1996,s.8),(Kaczorek,1977, s. 14). Pierwsze równanie(2.1) opisuje stan systemu, drugie równanie opisuje wyjście systemu. W pracy będą rozważane systemy w których czas nie występuje jawnie po prawej stronie równań (2.1), dlatego stosowany będzie skrócony zapis: ẋ = y = f(x,u) g(x) lub jeśli w rozważanym modelu nie występuje sterowanie u: ẋ = f(x) y = g(x) Często zdarza się że mając opracowany dokładny model matematyczny obiektu nie możemy go zastosować w praktyce gdyż jest on bardzo skomplikowany. W sytuacjach kiedy albo nie możemy opracować modelu matematycznego obiektu albo opracowany model jest zbyt skomplikowany posługujemy się modelami uproszczonymi. Modele takie przybliżają nam zachowanie modelu rzeczywistego w stopniu na tyle dobrym, że można na ich podstawie generować sterowanie dla obiektu rzeczywistego np. w pewnym otoczeniu punktów pracy. Niech będą dane następujące równania: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (2.2) y(t) = Cx(t) (2.3) oraz t, x() = x X = R n, x(t) X = R n, u(t) U = R r, y(t) Y = R m, A n n, B n r, C m n gdzie: A-macierzstanu x(t)- chwilowy wektor stanu B-macierzsterowania u(t)- wartości sterowania(wartości w chwili czasu t) y(t)-wyjścieukładu(wchwiliczasu t) C-macierzwyjścia Równania(2.2) nazywane są równaniami stanu, natomiast równania(2.3) równaniami wyjścia. Jeśli macierze A, B i C są macierzami o stałych współczynnikach rzeczywistych to równania(2.2) i(2.3) opisują układ liniowy stacjonarny. Jeśli dostępny jest pomiarowo cały wektor stanu x(t), to rządc = n, (np. C = I). Za pomocą tego typu równań można opisać dynamikę wielu obiektów rzeczywistych. Dla obiektów opisanych równaniami(2.2) i(2.3) istnieją twierdzenia dotyczące sterowalności, stabilizowalności, obserwowalności, wykrywalności, a także znane są sposoby efektywnego wyznaczania różnego rodzaju regulatorów. Model matematyczny obiektu dany równaniami(2.2) i(2.3) jest tak zwanym modelem ciągłym w czasie. Rozwój techniki komputerowej sprawił, że obecnie do sterowania wykorzystuje się przede wszystkim komputery(sterowniki PLC, mikrokomputery, komputery przemysłowe). Cechą wspólną wszystkich sterowań cyfrowych jest kwantyzacja czasu i wartości sygnałów wejściowych i wyjściowych. Wymaga to opracowania specjalnych wersji modeli obiektów zwanych dalej modelami dyskretnymi. Tego typu modele, sposób ich wyznaczania zostanie opisany dokładniej w rozdziale(2.5). 9

ROZDZIAŁ 2. MODELE SILNIKÓW PRĄDU STAŁEGO Rysunek 2.1: Schemat ideowy obcowzbudnego silnika prądu stałego. 2.2 Modelenieliniowe Silnik prądu stałego można przedstawić za pomocą schematu pokazanego na rys. 2.1: Obwód wzbudzenia zasilanynapięciem u w wytwarzastrumieńmagnetyczny φ w któryoddziaływujączobwodemtwornika zasilanymnapięciem u t powodujepowstanieruchuobrotowegowirnika. Obcowzbudny silnik prądu stałego można opisać następującymi nieliniowymi równaniami różniczkowymi(bisztyga, 1989, s. 7),(Leonhard, 21, s. 54): di t (t) L t dt dφ w (t) dt J dω(t) dt = u t (t) R t i t (t) c E φ w (t)ω(t) = R w f 1 (φ w ) + u w (t) (2.4) = c M φ w (t)i t (t) B v ω(t) M Z gdzie c E, c M stałe, φ w (t)strumieńmagnetycznyobwoduwzbudzenia(zakładamyżewszczeliniepowietrznejniemastrat).strumieńtenjestzależnyodprąduwzbudzeniawnastępującysposób φ w (i w ) = f(i w ) gdzie f( ) jest równaniem krzywej magnesowania obwodu wzbudzenia. Jeśliwielkościwystępującew(2.4),sąpodawanewjednostkachSItostałe c E i c M sąrówne, (PełczewskiiKrynke,1984,s.7),(Szklarskietal.,1996,s.78).Wobecrównościstałych c E i c M w dalszej części pracy przyjmuje się że: c E = c M = K m (2.5) Rysunek 2.2: Zależność strumienia magnetycznego φ od prądu i. 1

ROZDZIAŁ 2. MODELE SILNIKÓW PRĄDU STAŁEGO Krzywa magnesowania jest rosnąca i symetryczna względem początku układu współrzędnych. Przykładową krzywą magnesowania pokazano na wykresie 2.2. Dla niewielkich wartości prądu wzbudzenia krzywa magnesowania może być modelowana przy pomocy liniowej funkcji(bodson i Chiasson, 1998, s. 939): φ w (t) = L w i w (t) (2.6) Podstawiając(2.6) do drugiego równania układu(2.4) otrzymujemy: L t di t dt di w L w dt J dω dt = u t (t) R t i t (t) K m L w i w (t)ω(t) = R w i w (t) + u w (t) (2.7) = K m L w i w (t)i t (t) B v ω(t) M Z Równania(2.7) opisują w sposób najogólniejszy silnik prądu stałego. Przy pomocy tych równań można wyprowadzić modele dla poszczególnych typów silników prądu stałego takich jak:bocznikowy, szeregowy, bocznikowo-szeregowy. Do równań(2.4) lub(2.7) można dodać jeszcze jedno równanie: które opisuje położenie kątowe wału silnika. dθ(t) dt = ω(t) (2.8) 2.2.1 Obcowzbudny silnik prądu stałego W silniku tego typu uzwojenie wzbudzenia i twornika są zasilane z dwóch niezależnych źródeł. Model obcowzbudnego silnika prądu stałego jest dany dokładnie takim samym układem równań różniczkowych jak(2.7). Rysunek 2.3: Obcowzbudny silnik prądu stałego Teoretycznie silnikiem takim można sterować przy użyciu dwuwymiarowego wektora sterowania zawierającego napięcie twornika i wzbudzenia. Praktycznie sterowanie odbywa się przy pomocy jednego z napięć.dlamniejszychsilnikówsterujemynapięciemtwornika u t (t)natomiastdladużychmaszynstosujesięsterowanienapięciemwzbudzenia u w (t).sterowanienapięciemtwornika u t (t)jestwygodniejsze zewzględunalepszącharakterystykęstatyczną.ponieważnapięcietwornika u t (t)możebyćkilkakrotnie większeodnapięciawzbudzenia u w (t)todużymisilnikamilepiejsterowaćnapięciemwzbudzenia u w (t). Zwiększenienapięciatwornika u t (t)powodujezwiększenieprędkościobrotowej ω(t)imomentunapędowego M n (t).zmniejszenienapięcia u w (t)powodujezwiększenieprędkościobrotowej ω(t)izmniejszenie momentunapędowego M n (t).ztegowzględusterowanienapięciemtwornika u t (t)jestwykorzystywane częściejniżsterowanienapięciemwzbudzenia u w (t)(bajorek,1969,s.22-28),(bodsonichiasson,1998, s. 941),(Plamitzer, 197, s. 568),(Leonhard, 21, s. 59). Przykład 2.1. Dany jest silnik obcowzbudny opisany równaniami(2.7). Parametry silnika podane są w punkcie 8.1dodatekA,s.94.Silnikpracujewstanieustalonymijestobciążonystałymmomentemobciążenia M Z. Na wykresach 2.4 i 2.5 przedstawiono komputerową symulacje zachowania się takiego silnika przy zmianach napięciatwornika u t(t)lubnapięciawzbudzenia u w(t).napięciatwornika u tiwzbudzenia u wzmieniałyswoje wartości w chwili czasu 1 s w następujący sposób: 11

ROZDZIAŁ 2. MODELE SILNIKÓW PRĄDU STAŁEGO 4 2 i t [A] 2 4.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 11 1.5 i w [A] 1 99.5 99.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 8 ω [rad/s] 6 4 2.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Rysunek2.4:Przykład2.1:Sterowanienapięciemtwornika u t (t). napięcietwornika u t(1):75v 5V,napięciewzbudzenia u w(t)=2v napięciewzbudzenia u w(1):2v 15V,napięcietwornika u t(t)=75v Jakmożnazauważyćzmiananapięciatwornika u t(t)niepowodujezmianyprąduwzbudzenia i w(t).zmiana napięciawzbudzenia u w(t)powodujetakżezmianęprądutwornika i t(t).zmniejszenienapięciatwornika u t(t) powoduje zmniejszenie prędkości obrotowej silnika ω. Zmniejszenie napięcia wzbudzenia powoduje zwiększenie prędkości obrotowej ω. Wtypowychsilnikachprądustałegoprawdziwajestzależnośćmiędzyparametrami L w L t cooznaczażezmianyprądutwornika i t (t)zachodząznacznieszybciejniżzmianyprąduwzbudzenie i w (t)czy prędkościobrotowej ω(t),czylimożemyprzyjąćże L t = (BodsoniChiasson,1998,s.947)iuwzględniając to spostrzeżenie możemy założyć: di t dt = (2.9) Przyjmując to założenie, po prostych przekształceniach uzyskujemy następujące równania opisujące obcowzbudny silnik elektryczny prądu stałego: di w L w dt J dω dt = R w i w (t) + u w (t) (2.1) = K2 ml 2 w i 2 R w(t)ω(t) + K ml w i w (t)u t (t) B v ω(t) M Z (2.11) t R t Równania te są w dalszym ciągu równaniami nieliniowymi, lecz wymiar modelu zmniejszył się do n = 2. Prądtwornika i t (t)możnanatomiastwyznaczyćznastępującegorównania: i t (t) = u t(t) K m L w i w (t)ω(t) R t (2.12) Zastosowanie tego typu uproszczenia jest uzasadnione również tym, że zadanie sterowania silnika polega najczęściej na stabilizacji jego prędkości obrotowej lub położenia kątowego. 2.2.2 Szeregowy silnik prądu stałego Silnik szeregowy powstaje przez szeregowe połączenie obwodów wzbudzenia i twornika. Schemat połączeń dla szeregowego silnika prądu stałego przedstawiono na rysunku 2.7. Wynika z niego że dla silnika szeregowego zachodzi: i t (t) = i w (t) = i(t) (2.13) 12

ROZDZIAŁ 2. MODELE SILNIKÓW PRĄDU STAŁEGO 22 i t [A] 2 18 16.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1 i w [A] 9 8 7.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1 ω [rad/s] 9 8 7.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Rysunek2.5:Przykład2.1:Sterowanienapięciemwzbudzenia u w (t). 1 9 8 predkosc obrotowa ω(t) 7 6 5 4 3 2 1.5 1 1.5 prad i(t) Rysunek 2.6: Charakterystyka mechaniczna szeregowego silnika prądu stałego Jeśli pominiemy zjawisko nasycenia obwodu magnetycznego oraz oddziaływanie twornika to strumień efektywny φ w (i(t))jestproporcjonalnydoprąduzasilania i(t).wtedytomomentgenerowanyprzez taki silnik jest proporcjonalny do kwadratu wartości prądu zasilania i(t). Charakterystyka mechaniczna szeregowego silnika prądu stałego pokazana jest na wykresie 2.6. Wynika z niej że dla niewielkiego obciążenia prędkość obrotowa ω(t) jest bardzo duża i wraz ze wzrostem momentu obciążenia ulega ona zmniejszeniu, ale teoretycznie nigdy nie będzie równa. Ta właściwość szeregowych silników elektrycznych jest wykorzystywana w różnego rodzaju napędach trakcyjnych,(leonhard, 21, s. 69). Trzeba jednak pamiętać, że szeregowy silnik prądu stałego musi zawsze pracować pod obciążeniem inaczej może ulec zniszczeniu( rozbieganie silnika)(szklarski et al., 1996, s. 144),(Leonhard, 21, s. 74). Silnik taki może być opisany następującymi równościami(szklarski et al., 1996, s. 141),(Bisztyga, 1989, s. 111): d(l t i(t) + φ w (i(t))) dt dω dt Uwzględniając(2.13) oraz przyjmując: = (R t + R w )i(t) K m φ w (i)ω(t) + u(t) = K m J φ w(i)i(t) M Z J (2.14) L R φ w (i(t)) = L t + L w = R t + R w = L w i(t) (2.15) 13

ROZDZIAŁ 2. MODELE SILNIKÓW PRĄDU STAŁEGO Rysunek 2.7: Szeregowy silnik prądu stałego. otrzymujemy ostatecznie układ dwóch równań różniczkowych opisujących szeregowy silnik prądu stałego: di dt dω dt = R L i(t) K ml w L i(t)ω(t) + 1 L u(t) = K ml w i 2 (t) B v J J ω(t) M Z J (2.16) Przykład 2.2. Dany jest silnik szeregowy opisany równaniami(2.16). Parametry silnika podane są w punkcie 8.5 dodatku A, s. 95. Porównajmy działanie modelu(2.16) szeregowego silnika prądu stałego w którym przyjęto założenie2.15zmodelemwktórym φ w(t) = f(i(t)).wartościfunkcji f(i(t))opisującejzmianystrumienia magnetycznego φ(i(t)) dane są w tabeli 8.5(dodatek A, s. 95). Na rysunku 8.1(dodatek A, s. 95) przedstawiono zmiany strumienia magnetycznego φ w funkcji prądu i(t). Równania takiego modelu mają postać: di(t) dt dω(t) dt = R Km i(t) L L φ(i(t))ω(t) + 1 L u(t) = Km J Bv MZ φw(i(t))i(t) ω(t) J J (2.17) Na wykresach przedstawiono komputerową symulacje różnic pomiędzy modelem danym równaniami(2.16) linia ciągła i(2.17) linia przerywana. 12 1 8 i(t) [A] 6 4 2.1.2.3.4.5.6.7.8 t [s] Rysunek 2.8: Przykład 2.2: Przebiegi prądu i(t) szeregowego silnika prądu stałego dla dwóch modeli: (2.16) linia ciągła i(2.17) linia przerywana. Jak można zauważyć na wykresach pokazanych na rys. 2.8 i rys. 2.9 zasadnicze różnice pomiędzy modelem(2.16) i modelem(2.17) występują jedynie w stanach nieustalonych. Obydwa modele po pewnym 14

ROZDZIAŁ 2. MODELE SILNIKÓW PRĄDU STAŁEGO 8 7 6 5 ω [rad s 1 ] 4 3 2 1.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 czas [s] Rysunek 2.9: Przykład 2.2: Przebiegi prędkości obrotowej ω(t) szeregowego silnika prądu stałego dla dwóch modeli:(2.16) linia ciągła i(2.17) linia przerywana. czasie osiągają te same wartości prądu i(t) i prędkości obrotowej ω(t). Fakt ten uzasadnia celowość i poprawność wprowadzanych uproszczeń(2.15). 2.2.3 Bocznikowy silnik prądu stałego Silnik bocznikowy prądu stałego powstaje poprzez równoległe połączenie obwodów wzbudzenia i twornika. W związku z tym każdy z tych obwodów jest zasilany tym samym napięciem. Model bocznikowego Rysunek 2.1: Bocznikowy silnik prądu stałego silnika prądu stałego można otrzymać z równań(2.4) uwzględniając(2.6) i podstawiając: u t (t) = u w (t) = u(t) (2.18) Model silnika bocznikowego można uprościć podobnie jak model silnika obcowzbudnego korzystając z podstawienia(2.9),(bodson i Chiasson, 1998, s. 947). Otrzymujemy wtedy równania modelu silnika 15

ROZDZIAŁ 2. MODELE SILNIKÓW PRĄDU STAŁEGO bocznikowego który jest dany równaniami(2.1),(2.11), w których za napięcia podstawiamy(2.18). Ostatecznie uwzględniając(2.9) i(2.18) silnik bocznikowy prądu stałego możemy opisać równaniami: di w (t) dt dω(t) dt = R w L w i w (t) + 1 L w u(t) (2.19) = K2 ml 2 w i 2 w JR (t)ω(t) + K ml w i w (t)u(t) B v t JR t J ω(t) M Z J Prądtwornika i t (t)możnawyznaczyćzzależności(2.12). Przykład 2.3. Dany jest silnik obcowzbudny opisany równaniami(2.19). Parametry silnika podane są w punkcie(8.7) dodatku A, s. 95. Podczas symulacji komputerowej silnik na początku rozpędza się do wartości znamionowejprędkościobrotowej ω N.Następnienastępujeskokowezwiększeniezewnętrznegomomentuobciążenia. Jak można zauważyć na wykresie 2.11 ma to niewielki wpływ na prędkość obrotową ω(t) silnika. Niewielkie zmiany prędkości obrotowej przy różnych momentach obciążenia jest jedną z cech charakterystycznych tego typu silników(dudek et al., 1985, s. 3),(Plamitzer, 197, s. 556). 14 12 1 8 ω(t) [rad/s] 6 4 2 2.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Rysunek 2.11: Przykład 2.3: Symulacja komputerowa zmian prędkość obrotowa silnika bocznikowego przyzmiennymmomencieobciążenia M Z 2.3 Źródłanieliniowości Jako główne źródła nieliniowości w modelach silników prądu stałego można wymienić: zależność między strumieniem magnetycznym a prądem, której przykładową charakterystykę przedstawiono na rys. 2.2. Zależność ta tylko w początkowym przedziale zmian prądu można aproksymować linią prostą. Po przekroczeniu pewnej wartości prądu charakterystyka staje się nieliniowa i aproksymacja prostą nie jest już dokładna. Dodatkowo należy pamiętać o zjawisku histerezy magnetycznej czyli droga magnesowania jest inna od drogi rozmagnesowania. Innymi słowy charakterystyka taka nie jest jednoznaczna; siły tarcia statycznego i dynamicznego siły te powodują powstanie dodatkowego momentu obciążenia(moment oporowy), które silnik musi przezwyciężyć aby wykonywać ruch obrotowy. Dla silników o dużych mocach możne zaniedbać opory ruchu(udział momentu wywołanego siłami tarcia w całkowitym momencie rozwijanym przez silnik jest niewielki). W mniejszych silnikach, czy też mikrosilnikach należy już uwzględniać występowanie momentu oporowego. Modelowania sił tarcia jest bardzo trudne dlatego do opisu sił tarcia korzysta się z pewnych przybliżonych modeli. Jednym z takich modeli często stosowanym jest model Tustina(Tan et al., 25, s. 279); 16

ROZDZIAŁ 2. MODELE SILNIKÓW PRĄDU STAŁEGO zmiana parametrów fizycznych silników pod wpływem temperatury podczas pracy silnika jego elementy nagrzewają się co powoduje zmianę ich właściwości fizycznych(np. zmiana rezystancji, zmiana oporu magnetycznego). Zmiany tych parametrów powodują że obiekt przestaje być obiektem stacjonarnym(parametry stałe w czasie) i staje się obiektem niestacjonarnym(parametry zmieniają się w czasie); nieliniowości wynikające z charakteru konstrukcji i praw fizyki tego typu nieliniowości wynikają z konstrukcji i zasady działania samego silnika. Na przykład dla silników szeregowych i bocznikowych opisywanychrównaniami(2.16)i(2.19)występujekwadratprądu(i 2 (t)). Pomimo tylu źródeł nieliniowości modeli matematycznych silników prądu stałego z powodzeniem można przybliżyć modele nieliniowe modelami liniowymi. Potwierdzają to także rozwiązania praktyczne - np. regulator wyznaczony na podstawie modelu liniowego silnika prądu stałego(oczywiście z odpowiednio dobranymi parametrami) zupełnie dobrze steruje rzeczywistym silnikiem. W następnym rozdziale zaprezentowano właśnie modele liniowe wykorzystywane najczęściej do modelowania silników prądu stałego. Model liniowy nad nielinowym ma także tę przewagę, że dla modeli liniowych istnieje bardzo dobrze rozwinięta teoria pozwalająca efektywnie wyznaczać np. rozwiązanie modelu i parametry odpowiednich regulatorów. 2.4 Modeleliniowe Modele liniowe silników prądu stałego np.(2.2),(2.3) są pewną aproksymacją modeli nieliniowych. Odpowiednio wyznaczone wraz z odpowiednimi parametrami w sposób wystarczająco dokładny modelują rzeczywiste silniki prądu stałego. Przy konstrukcji modeli nieliniowych przyjmuje się następujące uproszczenia(w zależności od typu rozważanego napędu): zakładamyżestrumieńmagnetycznystojana(obwoduwzbudzenia)jeststaływczasie φ w = const. Zakładasiężestrumieńmagnetycznytwornika φ t (t)nieoddziaływujenastrumieńmagnetyczny wzbudzenia φ w (t).zakładasię,punktpracysilnikajesttakdobrany,żeznajdujemysięnaliniowej częścicharakterystykistrumieniawzbudzenia φ w odprąduwzbudzenia i w (t)rys.2.2(innymisłowy obwód magnetyczny wzbudzenia nie jest nasycony). pomija się całkowicie opory tarcia albo zakłada się, że opory tarcia zależą liniowo od prędkości obrotowej ω(t); zakłada się stałość parametrów fizycznych w czasie i przestrzeni innymi słowy stałe charakteryzujące model(np. rezystancje, induktancje) nie zmieniają się w czasie, nie zależą od temperatury i położenia. Nie wszystkie wyżej wymienione uproszczenia można zastoso wać do każdego typu silnika prądu stałego. Np.wsilnikuszeregowymniemożnazałożyćstałościstrumieniawzbudzenia φ w (t). Silnik obcowzbudny można opisać liniowym równaniami różniczkowymi zakładając: stałość strumieniawzbudzenia φ w = const,brakoddziaływaniastrumieniamagnetycznegotwornikanapolemagnetyczneobwoduwzbudzenia.konsekwencjązałożeniastałościstrumieniawzbudzenia φ w jestrezygnacja zesterowaniaprzypomocynapięciawzbudzenia u w (t).sterowanieodbywasięjedyniepoprzezzmianę napięcia u t (t).jesttonajpopularniejszysposóbsterowaniasilnikamiobcowzbudnymi(pozapewnymi specjalnymizastosowaniamigdziewielkościąsterującąjestnapięciewzbudzenia u w (t)).dodatkowosilniki o mniejszych mocach są często wykonywane w ten sposób, że nie posiadają one uzwojenia wzbudzenia ale źródłem strumienia wzbudzenia jest magnes trwały. Obecny postęp w technologii materiałowej umożliwia uzyskiwanie magnesów trwałych o znacznym strumieniu magnetycznym i niewielkich rozmiarach (Glinka, 1995, s. 1-15) przez co taki silniki mają niewielkie gabaryty. Przy tak przyjętych założeniach zakładając: dφ w (t) dt = (2.2) z równań(2.4) po prostych przekształceniach otrzymujemy(pełczewski i Krynke, 1984, s.69-7),(szklarski et al., 1996, s. 76): ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + Zz(t) (2.21) 17

ROZDZIAŁ 2. MODELE SILNIKÓW PRĄDU STAŁEGO gdzie odpowiednie macierze i wektory mają postać: [ ] x1 (t) R t x(t) =, A = L t x 2 (t) K m φ w J K mφ w L t B v J 1, B = L t, Z = 1 J (2.22) przyczymwektorstanu x(t)składasięznastępującychwspółrzędnych x 1 (t) = i t (t), x 2 (t) = ω(t), u t (t) = u(t).wmodelutymmomentzewnętrzny M Z jestuwzględnionyjakozakłócenie. Model opisywany równaniami(2.21) i(2.22) jest modelem, w którym pewne nieliniowe zjawiska fizyczne zostały uproszczone i opisane równaniami liniowymi. Modele takie tworzy się znając dokładnie jakiego rodzaju zjawiska fizyczne zachodzą w układzie, znając naturę tych zjawisk i wiedząc, że końcowy efekt będzie taki sam zarówno w modelu liniowym jak i nieliniowym. Model dany równaniami(2.21) i(2.22) często rozszerza się o jeszcze jedną współrzędną stanu wektora x(t), mianowicie o kąt położenia θ(t). Takie rozszerzenia wektora stanu x(t) o położenie kątowe wału x 3 (t) = θ(t)jestniezbędneprzyprojektowaniuukładówdopozycjonowania.odpowiedniemacierze modelu(2.21) z rozszerzonym wektorem stanu mają postać: x(t) = x 1(t) R t K mφ w 1 L t L t x 2 (t), A = K m φ w x 3 (t) B v, B = L t, Z = 1 J (2.23) J J 1 Przykład 2.4. Dany jest silnik obcowzbudny opisany równaniami(2.21) i(2.22). Parametry silnika podane są w punkcie(8.4) dodatku A, s. 95. Wykresy(2.12) i(2.13) przedstawiają symulacje komputerową odpowiedzi tego silnika na zmianę napięcia zasilania od wartości V do 15 V przy dwóch różnych momentach obciążenia. 4 35 3 25 I t [A] 2 15 1 5.5.1.15 czas [s] Rysunek 2.12: Przykład 2.4: Symulacja komputerowa zmian przebiegu prądu silnika dla momentów obciążenierównych: M Z =Nm liniaprzerywanaim Z =.3Nm liniaciągła. Nominalny prąd pracy przy pełnym obciążeniu w stanie ustalonym dla tego typu silnika wynosi i tn = 6.2A.Nawykresie2.12możnazauważyćżeprąd i t napoczątkuosiągawartościkilkarazyprzekraczającewartość i tn.dlaniewielkichsilników,mikrosilnikówpodczasrozruchuniemapotrzebyograniczaniamaksymalnejwartościprądu i t.wprzypadkuwiększychsilnikówpodczasichrozruchunależy kontrolowaćmaksymalnyprądtwornika i t takabynieuszkodzićtakiejmaszynypodczasjejuruchamiania (szczególnie w przypadku kiedy od początku silnik jest obciążony momentem zewnętrznym). Przykład 2.5. W przykładzie porównano działanie modeli nieliniowego i liniowego obcowzbudnego silnika prądu stałego. Parametry silnika są takie same jak w przykładzie 2.1. Dla tego typu silnika i tego zestawu 18

ROZDZIAŁ 2. MODELE SILNIKÓW PRĄDU STAŁEGO 3 25 2 M z [Nm] 15 1 5.5.1.15 czas [s] Rysunek 2.13: Przykład 2.4: Symulacja komputerowa zmian prędkości kątowej ω silnika dla momentów obciążenierównych: M Z =Nm liniaprzerywanaim Z =.3Nm liniaciągła. parametrów zbudowano model nieliniowy i liniowy. Modele te przetestowano(symulacja komputerowa) dla takich samychwielkościwartościwejściowych:napięciatwornika u timomentuobciążenia M Z.Jakmożnazauważyć na wykresach 2.14, model liniowy w sposób bardzo dokładny przybliża model nieliniowy. Największe różnice widocznesąjedyniewstanachprzejściowych(kiedynp.zmieniasięmomentzewnętrzny M Z).Poupływieczasu kiedy stan silnika osiąga punkt równowagi wartości osiągane przez model liniowy są prawie takie same jak modelu nieliniowego. Podobnie jak w przypadku modelu nieliniowego ze względu na dużą różnicę pomiędzy dynamiką obwodu twornika opisywaną przez pierwsze równanie(2.22) a dynamiką części mechanicznej silnika opisywanej przez drugie równanie(2.22) można przyjąć(2.9) czyli: di t dt = dx 1 dt wtedyrównanienaprądtwornika x 1 możnazapisaćwpostacirównaniaalgebraicznego: x 1 (t) = K mφ w L t x 2 (t) + 1 R t u(t) (2.24) Podstawiając(2.24)dopierwszegorównania(2.21),wyznaczajączniego x 1 (t)ipodstawiając x 1 (t)do drugiego równania(2.21) otrzymujemy: ( ) ẋ 2 (t) = K2 m φ2 w B v JR t J x 2 (t) + K mφ w JR t u(t) 1 J M Z(t) (2.25) Równanie(2.25) modeluje zmiany prędkości obrotowej obcowzbudnego silnika prądu stałego w zależności od napięcia sterowania. Często równanie(2.25) jest traktowane jako model matematyczny obcowzbudnegosilnikaprądustałego,przyczymprędkośćkątowa(obrotowa) ω(t) = x 2 (t). Przykład 2.6. Dany jest silnik obcowzbudny opisany równaniami(2.21) i(2.22). Parametry silnika podane są wpunkcie(8.4)dodatkua,s.95.korzystajączuproszczenia(2.9)prędkośćobrotową ω(t) = x 2(t)silnikamożna opisać przy pomocy równania(2.25). Wykresy 2.15 przedstawiają symulacje komputerową działania modelu (2.21),(2.22) i modelu uproszczonego(2.24),(2.25). Jak widać model uproszczony bardzo dokładnie zastępuje pełny model liniowy. Jedynie różnice można zauważyć tylko w stanach przejściowych np. przy zmianie napięcia sterującego u(t)lubmomentuobciążenia M Z. Metodą uzyskiwania liniowych modeli nieliniowych układów jest linearyzacja modeli nieliniowych w punktach równowagi. Modele te opracowuje się znając model nieliniowy jednak należy pamiętać, że 19

ROZDZIAŁ 2. MODELE SILNIKÓW PRĄDU STAŁEGO 8 2 x 14 u t [V] 6 4 2 M Z [Nm] 1.5 1 1 2 3 4 5.5 1 2 3 4 5 i t [A] 2 x 14 1 nieliniowy liniowy ω [rad/s] 2 1 nieliniowy liniowy 1 1 2 3 4 5 4 1 2 4 6 4 i t [A] 2 2 ω [rad/s] 2 4 1 2 3 4 5 2 1 2 3 4 5 Rysunek 2.14: Przykład: 2.5: Porównanie modeli nieliniowego i liniowego obcowzbudnego silnika prądu stałego. modele te można stosować w pewnym ograniczonym otoczeniu punktu równowagi dla którego zostały wyznaczone. Punktami równowagi(mitkowski, 26, s. 122) w przestrzeni X systemu dynamicznego opisanego następującymi równaniami różniczkowymi: f 1 (x 1 (t)), u 1 (t))) f 2 (x 2 (t)), u 2 (t))) ẋ(t) = f(x(t)),u(t))) =. f n (x n (t)), u n (t))) (2.26) x() = x X, x(t) X = R n, u(t) U = R r,nazywamytakiepunkty x r X, x r = const, u r U, u r = constdlaktórychzachodzi: f(x r,u r ) = (2.27) Jeślisystemosiągniepunktrównowagi x r przy u r topozostajewtympunkcietakdługojakniezmieni się np. sterowanie u(t) lub nie pojawią się zakłócenia,(mitkowski, 1991, s. 32),(Kaczorek, 1977, s. 25). System dynamiczny(2.26) może posiadać wiele punktów równowagi. Każdy punkt równowagi różny od zera może zostać poprzez prostą transformacje współrzędnych sprowadzony do zerowego punktu równowagi. Przybliżenie liniowe systemu nieliniowego opisanego układem równań różniczkowych(2.26) dane jest: ẋ(t) = Ã x(t) + B u(t) (2.28) 2

ROZDZIAŁ 2. MODELE SILNIKÓW PRĄDU STAŁEGO 15.5.4 u t [V] 1 M Z [Nm].3.2 5.2.4.6.8 1.1.2.4.6.8 1 i t [A] 5 liniowy uproszczony ω [rad/s] 3 2 1 liniowy uproszczony 5.2.4.6.8 1 5 1.2.4.6.8 1 5 i t ω 5 5.2.4.6.8 1 1.2.4.6.8 1 Rysunek 2.15: Przykład: 2.6: Porównanie modeli liniowego i uproszczonego(pominięto dynamikę obwodu twornika) silnika prądu stałego. gdziemacierze Ãi Bdanesąodpowiednio: f 1 (x, u) f 1 (x, u) f 1 (x, u)... x 1 x 2 x n f 2 (x, u) f 2 (x, u) f 2 (x, u)... Ã = x 1 x 2 x n......... f n (x, u) f n (x, u) f n (x, u)... x 1 x 2 x n f 1 (x, u) f 1 (x, u) f 1 (x, u)... u 1 u 2 u r f 2 (x, u) f 2 (x, u) f 2 (x, u)... B = u 1 u 2 u r...... f n (x, u) f n (x, u) f n (x, u)... u 1 u 2 u r x=x r u=u r [ ] fi (x, u) = (2.29) x j x=x r [ ] fi (x, u) = (2.3) u j u=u r f(x) Symbol dlawektorowejfunkcji fiwektorowegoargumentu xoznaczamacierzjacobiego.model liniowy dany równaniami różniczkowymi(2.28) wraz z macierzami(2.29),(2.3) modeluje odchyłki x systemuodpunkturównowagi x r i u r stądwrównaniach(2.28)symbole x(t)i u(t)danesązależnościami: x(t) = x(t) x r u(t) = u(t) u r 21