MODELOWANIE NIEPEŁNEJ INFORMACJI ZA POMOCĄ TEORII GIER

Anna Blajer-Gołębiewska Katedra Mikroekonomii Uniwersytet Gdański MODELOWANIE NIEPEŁNEJ INFORMACJI ZA POMOCĄ TEORII GIER Niepełna informacja Zjawisko niepełnej (niekompletnej) informacji wraz z jego implikacjami nie zostało odkryte dopiero w XX w. Problem był zauważany wcześniej, ale nie został w pełni zbadany. Przykładem mogą być prace A. Marshalla, który już w XIX w. pisał, że płaca nie zawsze odpowiada rzeczywiście wykonanej przez pracowników pracy, ponieważ utrudnione są nadzór i weryfikacja każdego pracownika. Marshall nie przeprowadził głębszych badań tego zjawiska twierdząc, że uwzględnienie niedoskonałości informacji skomplikowałyby analizę ekonomiczną zagadnień i z tego powodu nie podejmował tematu dostępu do informacji. F. von Hayek badał pojęcie równowagi walrasowskiej podporządkowującej podmioty gospodarcze wyłącznie mechanizmowi rynkowemu przy założeniu, że konsumenci posiadają doskonałą informację na temat cen. Wprowadził do teorii równowagi Walrasa gracza rynkowego - planistę - odpowiednik rządu w socjalizmie, który zbierałby informacje i w scentralizowany sposób ustalał równowagę na rynku. W przeprowadzonych analizach wykazał, że centralny planista nie może być graczem rynkowym w rozumieniu koncepcji walrasowskiej oraz, że ze względu na utrudniony dostęp do informacji niemożliwe jest efektywne centralne planowanie. Jego rozważania, jako leseferysty, miały na celu obalenie koncepcji ekonomii centralnie planowanej, jednakże udowodniły, że niepełna informacja prowadzi do nieefektywności. Z tego powodu Hayek uważany jest za prekursora uwzględniania roli wiedzy, informacji w gospodarce (Rosses J. B. Jr., 003). Teorie uwzględniające wpływ informacji lub jej braku powstawały głównie w latach 60. XX w. Dotyczyły one często zagadnienia konfliktu, jak np. badania T. C. Schellinga, które zaowocowały w 1960 r. pozycją Strategia konfliktu. Zjawisko niepełnego dostępu do informacji zyskiwało na znaczeniu wraz z rozwojem teorii podejmowania decyzji, upowszechnieniem się badań dotyczących rozwiązywania konfliktów. Niepełna informacja jest podstawą wielu teorii np. teorii agencji, czy też zjawiska tzw. pokusy nadużycia (moral hazard). W latach 60. i 70. XX w. ukształtowała się teoria asymetrii informacji. Dotyczy ona zjawiska nierównego dostępu do informacji graczy rynkowych oraz możliwości podejmowania decyzji w takich sytuacjach. Pojęcie asymetrii informacyjnej wprowadził do ekonomii J. A. Mirrlees, który za badania relacji pomiędzy przedsiębiorstwami prywatnymi a rządem w kontekście asymetrii informacyjnej otrzymał w 1996 r. nagrodę im. A. Nobla. W tym samym roku nagrodę im. A. Nobla przypadła również w udziale W. Vickrey owi za wkład w rozwój teorii działania w warunkach, gdy zdobycie pełnej informacji o rynku nie jest możliwe. W. Vickrey analizował aukcje oraz procesy przekazywania uprawnień do prowadzenia działalności. Były to więc zjawiska, na które wcześniej zwrócił uwagę Marshall, sytuacje, gdzie z całą pewnością istotną rolę odgrywa niepełna informacji. Elementy teorii niepełnej informacji można było znaleźć również w pracach ekonomisty, który otrzymał nagrodę im. A. Nobla o rok wcześniej niż Mirrlees i Vickrey. W 1995 r. nagrodą im. A. Nobla został uhonorowany R. Lucas - twórca teorii racjonalnych oczekiwań, który rozwinął znane teorie rozszerzając ich zastosowanie do równowagi ogólnej oraz makroekonomicznej analizy dynamicznej. Lucas podkreślał, że podmioty gospodarcze działają w

Modelowanie niepełnej informacji za pomocą teorii gier 59 warunkach niepewności, niedoskonałej informacji, przy wysokich kosztach dostępu do informacji. Jednakże, podejmując powtarzalne decyzje, próbują przewidzieć kształtowanie się przyszłych wielkości ekonomicznych, opierając się na zdobytych informacjach. W ten sposób wyciągają wnioski na podstawie analizy puli informacji, która podlega ciągłej ewolucji. Każdy z graczy rynkowych, posiadający dostępne informacje, stara się wykorzystać je w sposób optymalny zbierając przy tym nowe doświadczenia, informacje (pod warunkiem, że oczekiwany przychód z tych informacji przewyższa koszt ich uzyskania). Stwierdzenie to prowadzi wprost do reguł bayesowskich stosowanych w analizach niepełnej informacji. Jednakże najsłynniejsi badacze problemu asymetrii informacji otrzymali nagrodę im. A. Nobla dopiero 001 r., choć ich prace znajdowały uznanie już w latach 60. i 70. XX w. G. A. Akerlof, J. E. Stiglitz i M. Spence przedstawili i rozwinęli narzędzia służące badaniu asymetrii informacji. Nobliści stwierdzili, że rynki, na których brak jest dostatecznej informacji, zachowują się inaczej niż te, na których jest dostęp do pełnej informacji. Stworzyli fundamenty ogólnej teorii rynków cechujących się asymetrią informacji. J. E. Stiglitz analizował procesy self-screening na rynku ubezpieczeń. Mają one na celu złagodzenie asymetrii informacji pomiędzy ubezpieczającym się a ubezpieczycielem. Umożliwiają ubezpieczycielowi określenie typu klienta na podstawie dokonywanych przez niego wyborów. Natomiast znany artykuł G. A. Akerlofa The Market for Lemons : Quality Uncertainty and The Market Mechanism (1970r.) jest najpopularniejszym przykładem ilustrującym asymetrię informacji. Na prostym przykładzie sprawnych i wadliwych samochodów autor przedstawia problem dostępu do informacji oraz jego implikacje dla rynku. Punktem wyjścia są, podkreślone w tytule artykułu, jakość i niepewność. Nabywca nieposiadający dostępu do pełnej informacji o kupowanym samochodzie obawia się, że zakupiony towar okaże się bublem. Niepewność, co do jakości towaru spowoduje, że nie zapłaci za niego ceny wyższej od średnie ceny rynkowej samochodu. Po tej cenie żadna osoba sprzedająca sprawny samochód nie będzie skłonna go sprzedać. W rezultacie samochody sprzedadzą tylko właściciele gratów (lemons). Zjawisko powyższe, czyli wyparcie dobrych pod względem jakości towarów poprzez towary niższej jakości, Akerlof określił mianem selekcji negatywnej. Jest to proces podobny do opisanego przez prawo Kopernika-Greshama tzw. psucia pieniądza. Opisany w artykule przypadek nie jest jedynym przykładem selekcji negatywnej w ekonomii. Selekcja negatywna obejmuje szerszy zakres analizy i głównie odnosi się do działalności przedsiębiorstw (Hirshleifer J., Glazer A. Hirshleifer D., 005). Pojawia się ona na skutek świadomego zatajania informacji przez uczestników gry rynkowej, przy występowaniu negatywnych efektów zewnętrznych. Akerlof zauważył, że istnieją sposoby na ominięcie zjawiska selekcji negatywnej na rynku. Podkreślał, że występują rynki, na których powtarzany proces kupna-sprzedaży lub też odpowiednia reputacja producenta stanowią rozwiązanie problemu selekcji negatywnej M. Spence rozwinął tę teorię (Spence, 1973). Jego poprzednie prace dotyczyły pokonywania barier konkurencji tym razem była to bariera informacyjna. Opisał zachowanie mające na celu uniknięcie problemu selekcji negatywnej na rynku pracy tzw. sygnalizowanie (signaling). Kompetentny agent, któremu zaoferowano uśrednioną stawkę wynagrodzenia, zbyt niską w porównaniu z jego kompetencjami, nie musiałby już rezygnować z pracy, a przedsiębiorstwo produkujące dobra wysokiej jakości mogłoby żądać za nie wyższej ceny. Wyjściem z problemu byłoby sygnalizowanie jakości. W problematyce przedsiębiorstwa przejawiłoby się to wystawianiem gwarancji na produkty, co miałoby świadczyć o ich wysokiej jakości. W teorii agencji agent przedstawiałby referencje, dyplomy itp. udowadniając tym samym swe wysokie kompetencje. Często jednak koszty zdobycia sygnału mogą być zbyt wysokie ze względu na występujące koszty alternatywne, np. utracone zarobki w czasie studiowania. Wówczas, osłabione zostaną motywacje kompetentnych agentów do zdobywania sygnałów. Brak zjawiska dawania sygnałów oznaczał będzie, że wszyscy agenci będą wyna-

60 Anna Blajer-Gołębiewska gradzani według średniej stawki, ustalonej dla przeciętnych zdolności agenta. Analiza zjawisk cechujących się niedoskonałą informacją, czy też asymetrią informacji wymagała użycia odpowiedniego narzędzia badawczego. Rozwijająca się w tym samym okresie teoria gier nadawała się do tego doskonale. Przedstawienie problemu jako gry pozwala zaleźć nowe rozwiązania, nie jest to już tylko zwykły problem decyzyjny. Teoria gier wypracowała metody badawcze, które precyzyjniej niż inne znane działy matematyki ujmowały złożone zagadnienia pod względem ilościowym, a także do pewnego stopnia jakościowym. W rezultacie jej rozwój wspomagał i przyspieszał rozwój badań nad rolą informacji w procesach podejmowania decyzji. Teoria gier zyskała popularność zwłaszcza po 1994 r., kiedy to J. Nash, R. Selten i J. Harsányi otrzymali nagrodę im. A. Nobla za rozwinięcie gier niekooperacyjnych. Jednakże teoria gier przeżywała swój rozkwit już od lat 60. i 70. XX w. W tych latach T. Schelling przeprowadzał wspomniane powyżej badania w zakresie konfliktu i współpracy wykorzystując narzędzia teorii gier. W tym samym czasie J. Aumann analizował gry powtarzalne przy uwzględnieniu asymetrii informacji. T. Schelling i J. Aumann otrzymali wspólnie nagrodę im. A. Nobla dopiero w 005 r. Obecnie teoria gier jest istotnym narzędziem służącym analizie niedoinformowania, czy też niedoskonałej informacji, a gry z niepełną informacją stanowią najpopularniejszy kierunek w teorii gier. Informacja w modelach teorii gier W teorii gier analizuje się sytuacje różniące się między sobą pod względem dostępu do informacji. Informacje będące w posiadaniu wszystkich graczy nazywa się wspólną wiedzą. Założeniem ułatwiającym modelowanie za pomocą teorii gier jest założenie wspólnej wiedzy o racjonalności graczy. Jest ono odpowiednikiem założenia o racjonalności w modelach ekonomicznych. W teorii gier, gdzie model jest dynamiczny, oznacza ono, że każdy z graczy przyjmuje za pewne racjonalne zachowania przeciwników na każdym etapie gry i wie, że oni również zakładają, że jego zachowanie jest racjonalnie. Przy takim założeniu wszystkim uczestnikom łatwiej jest przewidzieć rozwój gry. Jednak czasami zdarza się tak, że gracze nie posiadają wiedzy, a jedynie mogą mieć pewne oczekiwania np. odnośnie do ich położenia w grze. Jeżeli ich oczekiwania są identyczne (gracze niekoniecznie muszą być tego świadomi), to nazywa się je oczekiwaniami zgodnymi (Hirshleifer, Riley, 199). Doskonała informacja w modelu oznacza, że każdy z graczy wie dokładnie, w którym miejscu gry (w którym wierzchołku drzewa decyzyjnego) się znajduje. Ponadto w grze nie mogą występować ruchy symultaniczne (jednoczesne), ani ruchy natury, chyba, że będą w pełni obserwowane przez wszystkich graczy. Gry z doskonałą informacją objęte są najbardziej restrykcyjnymi założeniami. Jeżeli więc w danej grze występuje asymetria informacji lub informacja jest niekompletna, wówczas taka gra na pewno będzie grą z niedoskonałą informacją (Rasmusen, 006). Grą o doskonałej informacji może być niesymultaniczna gra z pewną informacją. Pewna informacja w grze oznacza, że po żadnym z ruchów graczy nie nastąpi posunięcie natury. Jeżeli jednak w grze bierze udział gracz natura (zwana czasem losem ), to nie można określić prawdopodobieństwa wykonania przez tego gracza danego ruchu. W sytuacji niepewnej informacji, kiedy nieznane są nawet prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych posunięć gracza natury, można zastosować metody optymalizacji wyborów w warunkach niepewności (Blajer-Gołębiewska, Czerwonka, Zielenkiewicz, Pankau, 006), np.: metodę Savage a (minimaks); metodę Walda (maksimin); metodę Hurwicza (wskaźnika pesymizmu-optymizmu); metodę Laplace a-bayesa (równych prawdopodobieństw);

Modelowanie niepełnej informacji za pomocą teorii gier 61 metodę obserwacji i eksperymentów szczególnie popieraną przez R. Seltena itp. Informacja symetryczna występuje, kiedy żaden z graczy wykonując ruch nie będzie w posiadaniu innej, dodatkowej informacji ponad te informacje, które posiadają przeciwnicy. Według E. Rasmusena, w grze z symetryczną informacją zbiór informacyjny gracza w jakimkolwiek wierzchołku, w którym gracz podejmuje decyzję lub też w końcowym wierzchołku, zawiera co najmniej takie same elementy jak zbiory informacyjne innych graczy (Rasmusen, 006). Gry z udziałem natury również mogą zapewniać symetryczny dostęp graczy do informacji. Jeżeli jednak jeden z graczy posiada dodatkową, tylko jemu dostępną informację, to może wykorzystać tę asymetrię informacji w celu osiągnięcia przewagi. Ponadto każdy z graczy może dawać sygnały innym graczom, aby przekazać informację. Taki komunikat niekoniecznie musi zawierać informacje prawdziwe. Gracze mogą celowo wprowadzać się nawzajem w błąd. Asymetria informacji jest rodzajem niepełnej informacji, aczkolwiek w szczególnych wypadkach mogą występować gry z pełną, ale niesymetryczną informacją. Znaczenie asymetrii informacji w grze może zostać w pewnym stopniu zmniejszone, jeżeli będzie to gra powtarzalna. Jeżeli będzie to gra o nieskończonej (lub trudnej do określenia) liczbie posunięć, wówczas graczom opłaca się kooperacja. Stosowana niegdyś definicja gier z kompletną (pełną) informacją wskazywała że są to gry, w których wszyscy gracze znają ich zasady, a więc każdy z graczy zna dostępne zbiory strategii i funkcje wypłat przeciwników. W odwrotnym przypadku mówi się o informacji niekompletnej (niepełnej). Jeżeli w grze z niepełną informacją gracze nie posiadają informacji o posunięciach przeciwników, to już zwykłą grę symultaniczną można zaliczyć do kategorii gier z niepełną informacją. Gry z niekompletną informacją, tzw. I-games, były obiektem badań J. Harsányi ego. Należący do kanonu opracowań z zakresu teorii gier artykuł J. Harsányi ego Games with incomplete information played by Bayesian players (Harsányi,1967-8) wskazywał, że tak zdefiniowane gry z niepełną informacją np. gry symultaniczne można łatwo zamienić na gry z informacją pełną, aczkolwiek niedoskonałą. Nowsza definicja gier z niepełną informacją stanowi, że natura, jako gracz wykonujący posunięcia losowe nie może wykonywać ruchu jako pierwsza, chyba, że jej ruch jest w pełni obserwowany przez pozostałych graczy 1. O niepełnej informacji można mówić, gdy natura wykonuje ruch jako pierwsza i nie jest obserwowalna dla chociaż jednego z graczy (Rasmusen, 006). Niepełna informacja może odnosić się do (Blajer-Gołębiewska, Zielenkiewicz, 005): zbiorów możliwych strategii; funkcji wypłat pozostałych graczy lub nawet swojej własnej; dostępnych zasobów; informacji w posiadaniu rywali ; położenia gracza w zborze informacyjnym itp. Zbiór informacyjny gracza to zbiór wierzchołków drzewa decyzyjnego dostępnych dla tego gracza, w danym momencie gry, ale leżących na różnych gałęziach drzewa. W grach z pełną informacją każdy wierzchołek jest sam w sobie zbiorem informacyjnym (Malawski, Wieczorek, Sosnowska, 004). W grach z niepełną informacją, gdzie zbiór informacyjny może składać się z kilku wierzchołków, gracz nie potrafi bezpośrednio określić swojego położenia w zbiorze informacyjnym. Właśnie takie gry z niepełną informacją często rozpoczyna gracz natura. Daną grę z niepełną informacją np. grę symultaniczną można również łatwo zamienić w grę z niepewną informacją, wprowadzając założenie, że gracze podejmują decyzje w kolejności ustalonej przez naturę (Rasmusen, 006). Można też grę z niepewną informacją poddać randomizacji na podstawie przewidywanych prawdopodobieństw. Gracz określa prawdopo- 1 Gry symultaniczne oraz takie, gdzie natura decyduje na pewnym etapie, a jej ruch nie jest od razu obserwowalny są grami z kompletną, ale niedoskonałą informacją (Rasmusen, 006).

6 Anna Blajer-Gołębiewska dobieństwa na podstawie posiadanych informacji oraz innych czynników, które są różnie definiowane (Carmichael, 005). Może to być doświadczenie, przypuszczenia, intuicja. W ten sposób, eliminując z gry naturę, otrzymuje się grę z pewną informacją. Wyznaczanie równowagi w modelach z niepełną informacją W teorii gier często analizuje się sytuacje, kiedy gracze, lub jeden z nich, posiadają niepełną informację, niepewną informację lub też, kiedy występuje asymetria informacji pomiędzy graczami. W powyższych grach pojęcie równowagi Nasha musiało zostać odpowiednio zmodyfikowane ze względu na oczekiwania graczy. W grach z doskonałą informacją równowaga Nasha zachodzi wtedy, gdy żadnemu z graczy nie opłaca się zmienić strategii przy danych strategiach innych graczy. Innymi słowy, każdy z graczy wybrał najlepszą odpowiedź (strategię) na strategie pozostałych graczy. W sytuacji niepełnej informacji w grze zostanie osiągnięta równowaga Nasha, jeżeli każdy z graczy wybierze optymalną odpowiedź na przewidywane (z pewnym prawdopodobieństwem) strategie swoich rywali. Znajdowanie równowagi w takich grach polega na zaproponowaniu kombinacji strategii wynikających z powyższych czynników, a powstałych poprzez przyporządkowanie odpowiednich prawdopodobieństw. Randomizacja jest przydatną metodą poszukiwania strategii wyznaczających równowagi w grach z niepełną informacją. Tam, gdzie występują strategie czyste, w grach z pełną informacją równowagi można często szukać metodą indukcji wstecznej. Jednakże, nie można zastosować tej metody, kiedy pojawia się niepełna informacja. W grach z niepełną informacją równowagi, a właściwie punktów równowagi, trzeba często szukać w układach strategii mieszanych, czyli strategii losowych (otrzymywanych po randomizacji). W grach mieszanych strategia gracza składa się więc z kilku możliwych wyborów, gdzie każdy wybór gracza jest losowy i posiada określone prawdopodobieństwo p, a suma prawdopodobieństw wyborów wynosi 1 (Malawski, Wieczorek, Sosnowska, 004). Strategie mieszane, w odróżnieniu od strategii czystych, umożliwiają często graczowi, który je stosuje uzyskanie przewagi wynikającej z asymetrii informacji. Przeciwnik nie zna dokładnej funkcji (wynikającej z przyporządkowania prawdopodobieństw do poszczególnych wyborów) wskazującej na dobór strategii gracza w danej sytuacji. Gracz, którego przeciwnik stosuje strategie mieszane nie jest w stanie przewidzieć wyniku gry. Po określeniu prawdopodobieństw można w odpowiedni sposób określić przewidywane wypłaty oraz preferencje. Model von Neumanna Morgensterna pozwala wyznaczyć funkcję użyteczności oczekiwanej (EU). Jest ona sumą iloczynów użyteczności oczekiwanych z poszczególnych k wyborów u ( wi ) oraz prawdopodobieństw przyporządkowanych do tych wyborów p i. k EU = p u( w ) W teorii gier wypłatą nazywa się użyteczność, którą gracz uzyskuje, kiedy wszyscy gracze wybrali swoje strategie i gra została rozegrana lub też użyteczność oczekiwaną, którą gracz otrzymuje jako funkcję strategii wybranych przez niego samego i przez jego rywali (Rasmusen, 006). Jednakże, wypłatę często podaje się w liczbach oznaczających np. możliwy do zrealizowania zysk. Zakłada się więc, że wartość funkcji użyteczności można utożsamiać z pewną wypłatą pieniężną. Przewidywania, czy też oczekiwania graczy mogą się zmieniać. To oznacza, ze gracze uzyskują dostęp do nowych informacji i na ich podstawie modyfikuję swoje oczekiwania wyrażające się przyporządkowaniem danych prawdopodobieństw. W ten sposób nadają oni nowe wartości prawdopodobieństwom wystąpienia danej sytuacji. Aktualizacja oczekiwań jest i= 1 i i

Modelowanie niepełnej informacji za pomocą teorii gier 63 więc niczym innym jak zastosowaniem prawdopodobieństw warunkowych. Do obliczania prawdopodobieństw warunkowych zajścia zdarzeń stosuje się twierdzenie Bayesa: A B) B A B ) = = B) B) Z tego powodu gry z niepełną informacją, których rozwiązanie można znaleźć wprowadzając prawdopodobieństwa warunkowe zajścia zdarzeń, nazywa się Bayesian games, a graczy Bayesian players. Przykład: samoograniczenie cenowe, sygnalizowanie Przykładem podejmowania decyzji na podstawie prawdopodobieństwa przewidywań jest odstraszanie od wejścia. Przedsiębiorstwo wchodzące na rynek, który dotychczas był rynkiem monopolistycznym, musi być przygotowane na walkę konkurencyjną z dotychczasowym monopolistą, pod warunkiem, że monopolista ten jest na tyle silny, by taką walkę podjąć. Jeżeli powyższy warunek zostanie spełniony, wówczas monopolista może zastosować np. samoograniczenie cenowe (limit pricing). Zjawisko to, dobrze znane w teorii mikroekonomii, było pierwotnie rozpatrywane bez zastosowania teorii gier (Klimczak, 006). Występuje tu asymetria informacji, ponieważ konkurent, nieznający struktury kosztów monopolisty, nie wie, jaka jest siła tego monopolu. Może tylko przewidywać, że jest to słabe przedsiębiorstwo z pewnym prawdopodobieństwem p. Obniżenie ceny przez monopol to sygnał dla potencjalnej konkurencji, że koszty monopolu są niskie, że jest to silne przedsiębiorstwo, które z łatwością wyprze konkurentów z rynku. Potencjalny konkurent, chcąc sprzedawać swoje wyroby na tym rynku, powinien ustalić cenę na poziomie nie wyższym niż wynosi cena dotychczasowego monopolisty. Biorąc pod uwagę wysokie koszty początkowe w takich strukturach rynkowych nowe przedsiębiorstwo prawdopodobnie poniosłoby straty. Powyższą sytuację można przedstawić w postaci gry ekstensywnej z wypłatami oznaczającymi zyski (górne wypłaty to zyski konkurenta, dolne wypłaty to zyski monopolisty) (Rys.1). Silny monopolista inwestuje, by poprawić swą sytuację na rynku (w tym przykładzie zainwestował 10 jp.), a więc możliwe do uzyskania wyniki będzie miał mniejsze od monopolisty słabego. Jednakże silny monopol występuje przy niższej elastyczności cenowej popytu, co oznacza, że klienci są mniej skłonni do rezygnacji z jego towarów. Strategią dominującą silnego monopolisty w obliczu konkurencji jest więc walka konkurencyjna (WK), strategią (słabo) dominującą słabego monopolisty natomiast nie podejmowanie działań (NP).

64 Anna Blajer-Gołębiewska Rysunek 1. Samoograniczenie cenowe jako gra z niepełną informacją MONOPOLISTA SILNY (p) SŁABY (1-p) KONKURENT WCHODZI NIE WCHODZI WCHODZI NIE WCHODZI MONOPOLISTA WK NP NP WK NP NP 0 40 50 40 0 90 0 0 50 50 0 100 Źródło: opracowanie własne. Gdyby powyższa gra sekwencyjna była grą z pełną informacją, wówczas rozwiązania należałoby szukać metodą indukcji wstecznej. Jeżeli potencjalny konkurent zaledwie przewiduje, jakim typem jest monopolista, to równowagi należy szukać w strategiach mieszanych wyznaczając progowe prawdopodobieństwa wyboru danych strategii. Warto tu zauważyć, że grę można przedstawić jako grę z niepewną informacją zakładając, że na początku decyduje natura (np. czynniki ekonomiczne wpływające na siłę przedsiębiorstwa). Przyporządkowując pewne prawdopodobieństwo, z jakim monopolista może być silnym, otrzymuje się grę z pewną, aczkolwiek niepełną informacją. Konkurent wchodząc na rynek wie, że jeżeli monopolista jest słaby, to nie podejmie żadnych działań (NP) i wówczas wypłata konkurenta wynosi 50, a jeśli monopolista jest silny, to dojdzie do walki konkurencyjnej (WK) i wypłata konkurenta wynosić będzie -0. W rezultacie wypłata oczekiwana konkurenta przy podjęciu decyzji o wejściu na rynek wynosi EV W = p( 0) + (1 p)50 = 50 70 p. Wypłata oczekiwana, gdy konkurent postanowi nie wchodzić na rynek, wynosi EV NW = 0. Porównując powyższe wypłaty widać, że wejście na 5 5 rynek jest opłacalne tylko, jeżeli p <. Dla p > nie opłaca się konkurentowi wchodzić na 7 7 5 rynek, p = jest wartością progową dla podjęcia decyzji. 7 Równowaga w tej grze to doskonała równowaga bayesowska. Jej charakterystyczne cechy to: Strategie tworzące równowagę są najlepszymi odpowiedziami na strategie przeciwników, a więc zachodzi równowaga Nasha i stąd inna anglojęzyczna nazwa doskonałej równowa-

Modelowanie niepełnej informacji za pomocą teorii gier 65 gi bayesowskiej: Perfect Bayesian Nash equilibrium; Strategie tworzące równowagę prowadzą do równowag również we wszystkich podgrach tej gry; Typ gracza określa decyzje podejmowane przez niego; Strategie będące odpowiedziami na strategie przeciwników są wyznaczane na podstawie przewidywań, ze względu na niepełną informację; Przewidywania są aktualizowane zgodnie z regułami bayesowskimi. Silny monopolista, chcąc poprawić swoją pozycję w grze, powinien pokazywać swoją siłę. Słabemu monopoliście pozostaje jedynie przekazywanie fałszywych informacji o swojej sile i sprawianie wrażenia silniejszego niż jest. Występujące tu zjawisko sygnalizowania będzie bardziej kosztowne dla słabego monopolisty. Na przykład w przypadku wydania gwarancji, jako sygnału jakości towarów, słabsze przedsiębiorstwo wytwarzające produkty gorszej jakości będzie musiało ponosić wyższe koszty napraw. Odebranie sygnału przez konkurenta sprawia, że będzie on z większym prawdopodobieństwem postrzegał monopolistę jako silnego. Dla monopolisty opłacalne jest, by to zaktualizowane prawdopodobieństwo skłoniło konkurenta do zaniechania wejścia na rynek, czyli wynosiło więcej niż 7 5. Gdy w powyższym przykładzie został wysłany sygnał, to można zdefiniować dwa znaczące zdarzenia: A monopolista jest silny; B sygnał został wysłany. Konkurenta interesuje szczególnie wartość prawdopodobieństwa warunkowego A B). Jest to zaktualizowane prawdopodobieństwo graniczne, na podstawie którego konkurent podejmuje decyzję. Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo warunkowe i regułą Bayesa wynosi ono: A B) B A B) = =. B) B) Oznaczając zdarzenie C monopolista jest słaby, otrzymuje się: B A B) =. B + B C) (1 ) Jeżeli przyjmie się, że silnemu monopoliście zawsze opłaca się wysyłać sygnały ( P ( B = 1, to zaktualizowane prawdopodobieństwo graniczne, na podstawie którego konkurent podejmuje decyzje będzie zależało od ustalonego wcześniej P ( oraz od prawdopodobieństwa wysyłania sygnału przez słabego monopolistę B C). A B ) = + B C) (1 ) Analizując powyższy wzór można stwierdzić, że: jeżeli konkurent wie, że monopolista jest silny P ( = 1, to sygnał nie ma wpływu na zmianę decyzji P ( A B ) = 1; jeżeli sygnał został wysłany i wiadomo, że na danym rynku słabemu monopoliście nie opłaca się nigdy wysyłanie sygnałów, to monopolista jest silny P ( = 1; jeżeli sygnał został wysłany i wiadomo, że słaby monopolista na danym rynku ma możliwość wysyłania sygnałów (z założenia wiadomo, że silny również), to P ( A B) =.

66 Anna Blajer-Gołębiewska Innymi słowy, sygnał nie spełnia swojej roli i graniczna wartość prawdopodobieństwa nie uległa zmianie; im wyższe prawdopodobieństwo, że słaby monopolista wysyła sygnały, tym niższe prawdopodobieństwo, że wysłany sygnał oznacza silnego monopolistę. 1 Podstawiając za P ( daną wartość na rynku np. P ( = (choć wiadomo, że graniczne prawdopodobieństwo, ze monopol jest silny to p = ) można wyznaczyć graniczne 5 7 prawdopodobieństwo sytuacji, w której słaby monopolista wysyła sygnał. Zakłada się, że 5 zaktualizowane prawdopodobieństwo A B) równe jest p = i wtedy: 7 1 5 P ( A B ) = =, czyli graniczne P ( B C) =. 1 1 7 5 + B C) (1 ) Jeżeli prawdopodobieństwo, że zostanie dany sygnał pod warunkiem, że monopolista 5 jest słaby będzie większe od, to zaktualizowana wartość P ( A B ) < p = i konkurent wejdzie na rynek. 5 7 Zgodnie z przyjętym wcześniej założeniem silnemu monopoliście opłaca się dawanie sygnałów, natomiast nie wiadomo, kiedy opłaca się to słabemu monopoliście. Można to wyznaczyć porównując wartości oczekiwane zaniechania sygnału oraz dawania sygnału. W pierwszym przypadku konkurent wchodzi na rynek i wypłata monopolisty wynosi 50. Wartość oczekiwana po zastosowaniu sygnału zależy od prawdopodobieństwa, z jakim konkurent wejdzie na rynek W ), a można ją opisać wzorem: EV s = W ) (100 KS) + [1 W )] (50 KS) = 50 W ) + 50 KS, gdzie KS to koszt sygnału. Jeżeli koszt ten wynosiłby np. 0, to wartość oczekiwana dla słabego monopolisty po zastosowaniu sygnału wynosiłaby EV s = 50 W ) + 30. Porównując tą wartość z wartością oczekiwaną zaniechania sygnału otrzymuje się wartość graniczną prawdopodobieństwa, z jakim konkurent wejdzie na rynek 5. W ) = W teorii przedstawionej przez Harsányi ego podkreśla się subiektywność prawdopodobieństw, które stanowią podstawę wyborów graczy. Nawet jeżeli takie subiektywne prawdopodobieństwo różni się od rzeczywistego, to po pewnej liczbie rozgrywek gracz jest w stanie skorzystać z efektu uczenia się i zaktualizować przewidywane prawdopodobieństwo (w modelu aktualizacja nastąpi zgodnie z regułami bayesowskimi). Podsumowanie Problem dostępu do informacji jest problemem szerokim i dotyczy wielu aspektów rzeczywistości. Gdy utrudnione są charakterystyka i analiza badanego problemu, przede wszystkim ze względu na występującą niepewność, rozwiązania można szukać jedynie teorii gier. Pozwala ona, przy pomocy randomizacji, przekształcić problem stwarzając warunki ryzyka, co sprawia, że staje się on rozwiązywalny. Ponadto każdy dynamiczny problem może uzyskiwać coraz to bardziej efektywne rozwiązania w kolejnych rozgrywkach korzystając z efektu uczenia się ukrytego w regule Bayesa. Przedstawiony w tym artykule przykład obrazuje, jak można tworzyć przystępne modele rozwiązywania problemów informacyjnych wy-

Modelowanie niepełnej informacji za pomocą teorii gier 67 stępujących w rzeczywistości. W ten sposób teoria gier umożliwia uzyskanie najwyższej użyteczności w modelowaniu problemów związanych z informacją, pozwalając na przedstawienie ich w prostszej postaci, ułatwiając ich analizę i prowadząc do uzyskania najefektywniejszych rozwiązań. BIBLIOGRAFIA: 1. Akerlof G. A., (1970), The Market for Lemons : Quality Uncertainty and The Market Mechanism, The Quartely Journal of Economics, Vol. 84, No. 3.. Binmore K., (199), Fun and games, Heath & Co, Lexington. 3. Blajer-Gołębiewska A., Czerwonka L., Zielenkiewicz M., Pankau E., (006), Ekonomia matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk. 4. Blajer-Gołębiewska A., Zielenkiewicz M., (005), Teoria gier jako narzędzie ekonomii XX I XXI wieku [w]: Teoretyczne aspekty gospodarowania, red. D. Kopycińskiej, Wydawnictwo Katedry Mikroekonomii Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin. 5. Carmichael F., (005), A Guide to game theory, Financial Times Prentice Hall, Harlow. 6. Cho, I.-K., Kreps D., (1987), Signaling Games and Stable Equilibria, Quarterly Journal of Economics, 10(). 7. Harsányi J., (1967-8), Games with incomplete information played by Bayesian players, I-III, Management Science, Vol. 14, No. 3, Theory Series. 8. Hirshleifer J., Glazer A. Hirshleifer D., (005), Price Theory and Applications, Cambridge University Press, Cambridge. 9. Hirshleifer, Riley, (199), The Analytics of Uncertainty and Information, Cambridge University Press, Cambridge. 10. Klimczak B.,(006) Mikroekonomia, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław. 11. Kreps D., (1990), Game theory and economic modeling, Oxford University Press, Oxford. 1. Malawski M., Wieczorek A., Sosnowska H., (004), Konkurencja i kooperacja. Teoria gier w ekonomii i naukach społecznych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. 13. Rasmusen E., (006), Games and Information: An Introduction to Game Theory, Blackwell Publishers. 14. Rosses J. B. Jr., (003), A Nobel Price for Asymmetric Information: the economic contributions of George Akerlof, Michael Spence and Joseph Stiglitz, Review of Political Economy, vol. 15 nr 1, Wydawnictwo Routledge. 15. Schelling T., (1960), The Strategy of Conflict, Oxford University Press, New York. 16. Spence A.M., (1973), Job Market Signaling, Quarterly Journal of Economics, T. 87, nr 3.