Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia)
1. Ile układów kart w pokerze to Dwie pary? Dwie pary to układ 5 kart wylosowanych z talii 52 kart, w którym występują dwie karty tej samej wysokości (np. dwa walety), dwie karty innej, lecz między sobą znów tej samej wysokości (np. dwie ósemki), oraz karta piąta, jeszcze innej wysokości niż tamte (np. król). A zatem nie może to być układ zwany Fulem (3+2) ani układ zwany Czwórką (4+1).
2. Oszacuj od góry liczbę 19! (użyj oszacowania Gaussa).
3. Jaki jest najkrótszy cykl w klice K 10?
4. Ile rozwiązań w dziedzinie liczb naturalnych ma równanie s 1 + s 2 + s 3 = 10. Zaproponuj rozwiązanie, w którym modelem są drogi w mieście, gdzie ulice przecinają się pod kątem prostym.
5. Osiemnaście osób uczestniczy w grze polegającej na wylosowaniu 2 kart z talii 52 kart. Każda osoba losuje karty z całej talii. Wynik losowania to suma uzyskanych punktów (za dwójkę mamy 2 punkty, za trójkę 3 punkty, itd., aż do dziesiątki za 10 punktów; za figury otrzymujemy także po 10 punktów). Wygrywają te osoby, które mają taki sam wynik. Czy zdarzy się gra w której nikt nie wygra (odpowiedź uzasadnij)? Jakie jest prawdopodobieństwo wyniku 20 punktów?
6. Ile wynosi B 4 (liczba Bella)?
7. Mamy 7 klocków z napisami 1,2,2,4,4,4,7. Ile 7-cyfrowych liczb możemy ułożyć z tych klocków?
8. Policz sumę Σ k=0..n (5 2 k) stosując prawa sumowania.
9. Oszacuj sumę Σ k=0..20 k ( 2) k ze wzoru na sumowanie przez części.
10. Policz Δ(2 x x 3 ) na dwa sposoby: z definicji i ze wzoru na różnicowanie przez części.
11. Rozłóż liczby 4899 i 6396 na czynniki pierwsze i wyznacz NWP.
12. Sprawdź, czy to prawda, że log 223344 < lg 234
13. Znajdź funkcję odwrotną do h(x)=(x-2) 3
14. Ile cyfr ma liczba dziesiętna k?
15. Ile jest różnych podziałów zbioru 11 elementowego na 10 bloków?
16. Udowodnij, że 2 n jest O(n!).
17. Policz (jako funkcję liniową złotej liczby ).
18. Policz Δ(3 x x 2 ) ze wzoru na różnicowanie iloczynu funkcji, a następnie oblicz wartość tej różnicy dla x=6.
19. Przeczytaj litery greckie
20. Znajdź x, y takie, że ax+by=nwd(a,b), gdzie a=54, b=99.
21. Udowodnij, że 6 8 n 2 n dla wszystkich liczb naturalnych.
22. Ile układów kart w pokerze to Trójka? Trójka to układ 5 kart wylosowanych z talii 52 kart, w którym występują trzy karty tej samej wysokości (np. trzy walety) i dwie karty różnej wysokości między sobą i różnej od tamtych trzech.
23. Na ile sposobów można wybrać 7 cukierków o trzech smakach?
24. Policz Δ(3x 3 2x + 1) (najpierw przedstaw wielomian jako kombinację dolnych silni a następnie wykorzystaj wzór na różnicę dolnej silni).
25. Rozłóż permutację na cykle: n 0 1 2 3 4 5 6 α(n) 0 2 3 6 5 4 1
26. Znajdź postać zwartą wzoru: s 0 = 0 s 1 = 10 s n+2 = 3 s n+1 +4 s n
27. Policz sumę Σ k=0..100 (2 k +1) ( 1) k ze wzoru na sumowanie przez części.
28. Mamy funkcję N N N o postaci f(n,k) = min(n,k). Znajdź f (4).
29. Ile wynosi suma wyrazów ciągu Fibonacciego od 5 do 15-tego, czyli 5+8+13+21+34+55+89+144+233+377+610 (proszę tego nie dodawać, tylko użyć wzoru)?
30. Pokaż, że 2 12-1 nie jest liczbą pierwszą i rozłóż na czynniki (wykorzystaj małe twierdzenie Fermata).
31. Oszacuj wartość s 20 mając dany wzór rekurencyjny: s 0 = 7 s 1 = 2 s n+2 = s n+1 +2 s n
32. Rozwiąż równanie: (3x 4)/5 = (x 2)/3.
33. Pokaż, że wszystkie funkcje logarytmiczne są asymptotycznie podobne.
34. Co oznacza współczynnik 6 0,3,0,0, 4? Ile wynosi?
35. Ile jest liczb naturalnych nie większych od 300, podzielnych przez 2 lub przez 3, lub przez 5 (wykorzystaj zasadę włączania i wyłączania)?
36. Ile transpozycji ma dowolna permutacja typu [1 3 2 2 3 4 4 1 ]?
37. Na ile sposobów możemy skomponować deser złożony z 7 gałek lodów, gdy do wyboru są 3 smaki (kolejność nie ma znaczenia)?
38. Niech x, y dowolne liczby rzeczywiste i x<y. Ile liczb całkowitych zawiera przedział [x, y)?
a +1 39. Udowodnij, że g (x)δx=g (a). a
40. Zgodnie z przepisami ordynacji podatkowej podstawy opodatkowania, kwoty podatków, odsetki za zwłokę i pewne inne opłaty oraz wynagrodzenia zaokrągla się do pełnych złotych w ten sposób, że końcówki kwot wynoszące mniej niż 50 groszy pomija się, a końcówki kwot wynoszące 50 i więcej groszy podwyższa się do pełnych złotych. Jeżeli wyliczona kwota podlegająca takiemu zaokrągleniu podana jest w formacie dodatniej dziesiętnej liczby rzeczywistej x, to jaki jest wzór na liczbę zaokrągloną z(x)? Użyj funkcji podłogi lub sufitu.