KRYTERIA ZMĘCZENIA WYSOKOCYKLOWEGO W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIEŃ KONTAKTU TOCZNEGO

PAWEŁ ROMANOWIC KRYTERIA MĘCENIA WYKOCYKLOWEGO W ASTOWANIU DO AGADNIEŃ KONTAKTU TOCNEGO APLICATION OF MULTIAXIAL HIGH-CYCLE FATIGUE CRITERIA TO ROLLING CONTACT PROBLEMS Streszczenie Abstract W artykule przedstawiono porównanie i aplikację hipotez wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego Dang Vana i Crosslanda do zjawiska tocznego. Przedstawiono również modyfikację hipotezy Dang Vana w zastosowaniu do zmęczenia tocznego. jawisko to charakteryzuje się nieproporcjonalnym obciążeniem strefy kontaktu, polegającym na przesunięciu w fazie efektów normalnych i stycznych. Kolejną charakterystyczną cechą kontaktu tocznego jest fakt, że w strefie styku występują znaczne naprężenia ściskające. Wymaga to stosowania odpowiednio dobranych hipotez uwzględniających powyższy charakter obciążenia. W artykule przedstawiono tok postępowania mający na celu wyznaczenie miary wytężenia zmęczeniowego dla hipotez Dang Vana i Crosslanda na przykładzie dwuwymiarowego zagadnienia tarcia tocznego. Do obliczeń wykorzystano metodę elementów skończonych (ANSYS ), co umożliwiło wyznaczenie zmian wartości naprężeń oraz kierunków głównych w czasie. Słowa kluczowe: zmęczenie toczne, kryteria wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego In this paper, comparison and application of Dang Van s and Crossland s multiaxial high-cycle fatigue criteria to rolling contact phenomena are presented. A modification of Dang Van s criterion proposed by the author is presented in application to rolling contact fatigue. This phenomenon is characterized by a non-proportional loading of contact area, in which the normal and tangential effects are shifted in phase. Another characteristic feature of rolling contact is a fact that in the contact area large compressive stresses appear. It requires a fatigue analysis with carefully selected hypotheses, which take into account the character of this loading. Also the methods of calculation of fatigue effort measure for Dang Van s and Crossland s criteria are presented in the 2D example of rolling contact with friction. The finite element method (ANSYS ) was used for the calculations. It allows to determine changes of stresses and principal directions in time. Keywords: rolling contact fatigue, multiaxial high-cycle fatigue criteria Dr inż. Paweł Romanowicz, Instytut Konstrukcji Maszyn, Wydział Mechaniczny, Politechnika Krakowska.

76 1. Wstęp Urządzenia i elementy maszyn często pracują w warunkach obciążeń zmiennych w czasie (cyklicznych, okresowo zmiennych, losowych). Po przekroczeniu pewnego stopnia wytężenia i pewnej granicznej liczby cykli (odpowiadającej progowi naprężenia zmęczeniowego), prowadzi to do wystąpienia złożonego splotu zjawisk i zmian nazywanych zmęczeniem materiału. W przypadku prostych, harmonicznych obciążeń, naprężenia graniczne mogą zostać wyznaczone na podstawie odpowiednich wykresów (np. Smitha, Haigha, Sorensena, Goodmana, Soderberga [1] uwzględniających wpływ naprężeń średnich na dopuszczalną amplitudę naprężeń. Sytuacja komplikuje się w złożonym, wieloosiowym stanie zmiennego naprężenia, szczególnie z nieproporcjonalnymi obciążeniami. Istnieją wprawdzie teorie umożliwiające sumowanie naprężeń na podstawie określonej hipotezy [1, 2, 3], jednakże dotyczą one głównie jednoczesnego zginania i skręcania czy też rozciągania, skręcania i wewnętrznego ciśnienia. W przypadku bardziej złożonych stanów naprężeń należy korzystać z hipotez wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego. Bazują one na różnych teoriach: płaszczyzny krytycznej, niezmienników stanu naprężenia lub odkształcenia, wartości średnich stanu naprężenia, energetycznych i empirycznych. W odróżnieniu od hipotez wytężenia doraźnego kryteria zmęczeniowe są mniej uniwersalne. Niektóre sprawdzają się lepiej nie tylko dla określonych materiałów, lecz również dla określonych przypadków obciążenia. Dlatego też, jeżeli nie mamy wyraźnych sugestii, korzystnie jest stosować kilka popularnych hipotez zmęczeniowych (np. Crosslanda, Dang Vana, Papadopoulosa, Łagody [4, 5, 6, 7], porównując ich rezultaty. Przykładem zjawiska, w którym występuje złożony stan obciążenia z nieproporcjonalnie zmiennymi względem siebie naprężeniami, jest zmęczenie toczne. Szczególnie istotne jest tutaj przesunięcie w fazie między naprężeniami normalnymi i stycznymi. Sytuację dodatkowo komplikują duże efekty ściskające w potencjalnych miejscach inicjacji pęknięć zmęczeniowych. Do elementów maszyn i urządzeń narażonych na zmęczenie toczne można zaliczyć np.: koła kolejowe i suwnicowe, szyny, elementy toczne w łożyskach, koła zębate oraz różnego rodzaju rolki nośne. Analiza zmęczeniowa wyżej wymienionych elementów jest obecnie możliwa przy użyciu wspomnianych hipotez wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego. Wymagane w tych kryteriach przebiegi naprężeń w czasie można wyznaczyć w niebezpiecznych przekrojach przy pomocy programów komputerowych opartych na metodzie elementów skończonych. Istotnym problemem merytorycznym okazuje się być jednak dobór odpowiedniej hipotezy wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego. Szczegółowy podział wraz z opisami hipotez wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego można znaleźć na przykład w pracy Webera [8]. W niniejszej pracy przedstawiono aplikację hipotezy Dang Vana i Crosslanda do zjawiska zmęczenia tocznego. 2. Kryteria wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego 2.1. Kryterium Crosslanda (C) Kryterium Crosslanda [9] zakłada liniową zależność pomiędzy amplitudą naprężeń a maksymalną wartością naprężenia hydrostatycznego. Dla liniowej zależności między obciążeniami a naprężeniami równanie Crosslanda jest następujące [10]

gdzie: 77 1 τ C = σ HMH, a + ac σh, MAX (1) 3 a C 3 0 dla 3 GW = 3 3 3 dla > 3 GW GW GW, trwała wytrzymałość zmęczeniowa na zginanie wahadłowe i skręcanie obustronne. Kryterium to dobrze nadaje się do określania wytrzymałości zmęczeniowej w strukturach o przewadze ścinania. Jego mankamentem jest znikomy wpływ naprężeń hydrostatycznych dla materiałów charakteryzujących się własnością 0,6 GW (wskutek małej wartości współczynnika a C występującego przy naprężeniach hydrostatycznych). Oczywiście wartość a C nie może być ujemna, ponieważ oznaczałoby to, że rozciąganie wpływa korzystnie na proces zamykania mikroszczelin. W przypadku, gdy 3 < przyj- GW 3 muje się wartość a C = 0 (2). O zniszczeniu obiektu decyduje maksymalne naprężenie zastępcze (2) MAX τ = max{ τ } (3) C C V gdzie: V przestrzeń badanego obiektu. Należy zwrócić uwagę, że kryterium Crosslanda jest modyfikacją kryterium Sinesa [10]. W tym pierwotnym kryterium wieloosiowego zmęczenia we wzorze (1) w miejscu σ H, MAX występowało naprężenie średnie σ H, m. Hipoteza Sinesa była jednak słabiej zgodna z badaniami eksperymentalnymi i została wyparta przez hipotezę Crosslanda. Dla proporcjonalnych obciążeń, gdy kierunki główne nie ulegają zmianie (naprężenia są zgodne w fazie), drugi niezmiennik (σ HMH, a ) można obliczyć z naprężeń głównych, tak jak to przedstawiono w pracy [10]. Natomiast dla obciążeń niebędących w fazie, amplituda poszczególnych naprężeń głównych nie ma sensu fizycznego. Jest to spowodowane zmiennością kątów orientacji kierunków głównych dla różnych chwil czasu t. W takiej sytuacji autor niniejszego artykułu proponuje w przypadku kryterium Crosslanda postępować następująco: 1. Określenie zmiany składowych stanu naprężenia tzn. tensor σ () t w badanych punktach obiektu w czasie t. 2. Obliczenie wartości wytężenia zmęczeniowego τ C w pewnym punkcie P i badanego obiektu: a) obliczamy tensor wartości średnich naprężeń σ na podstawie całych przebiegów m naprężeń w czasie t, osobno dla każdej składowej, b) dla każdej chwili czasu t wyznaczamy zmienny w czasie tensor naprężeń wyrażony w amplitudach

78 ( t) σ σ () t = σ σ (4) at at m c) następnie obliczana jest wartość amplitudy σ HMH, a wg formuły σ = max HMH, a t 2 2 2 2 2 2 ( σ σ ) + ( σ σ,,,, ) + ( σ σ,, ) + 6 x at y at y at z at z at x at ( τ +τ +τ xy, at yz, at zx, at ) Niezależnie od σ HMH, a szukamy maksymalnej wartości σ H, MAX wg formuły 1 σ = max σ +σ +σ 3 2 ( () t () t () t ) HMAX, x y z t (5) d) wstawiamy maksymalne wartości σ HMH, a i σ H, MAX do wzoru (1), otrzymując τ C w punkcie P i, UWAGA: Wartości σ HMH, a i σ H, MAX mogą wystąpić w różnych chwilach czasowych. 3. Poszukujemy maksimum τ MAX (3) w przestrzeni badanego obiektu, powtarzając powyższe obliczenia dla innych jego C punktów. 4. Porównujemy wartość τ z granicą zmęczenia. MAX C 2.2. Kryterium Dang Vana 2.2.1. Oryginalna wersja hipotezy Dang Vana (DV) Do obliczeń zmęczeniowych zastosowano popularne kryterium DV [11, 12]. Należy ono do grupy hipotez bazujących na mezoskopowym podejściu płaszczyzny krytycznej. Przyjmuje się, że uszkodzenie zmęczeniowe wystąpi wówczas, gdy krzywa obciążenia (będąca funkcją makroskopowego naprężenia stycznego τ(t) i naprężenia hydrostatycznego σ H (t)) wykracza poza obszar dopuszczalny określony nierównością ( ) ( ) τ = τ t + a σ t (7) DV DV H gdzie współczynnik występujący przy naprężeniu hydrostatycznym: a DV 3 0 dla 1,5 GW = 3 3 1, 5 dla > 1, 5 GW GW τ(t) skalarne naprężenia styczne liczone wg odpowiedniej formuły (11) lub (13), 1 σ = ( σ 1() t +σ H 2() t +σ 3() t ) naprężenie hydrostatyczne (9) 3 σ 1, σ 2, σ 3 naprężenia główne. (6) (8)

79 Rys. 1. Orientacja płaszczyzny materiałowej Δ (CDF) przechodzącej przez punkt O (punkt P zmierza do punktu O); orientację Δ definiują dwa kąty: Δ(ϕ, θ) a kąt χ definiuje kierunek wersora s na płaszczyźnie Δ; wektor n jest prostopadły do płaszczyzny Δ Fig.1. Orientation of material plane Δ (CDF) crossing through the point O (point P tends to the point O); orientation of Δ is defined by angles: Δ(ϕ, θ), the angle χ defines the direction s of vector on plane Δ; vector n is perpendicular to plane Δ Kryterium DV wymaga zazwyczaj określenia płaszczyzny krytycznej, w której zastępcze naprężenia styczne osiągają maksimum. Ponieważ σ H jest niezmiennikiem, o położeniu płaszczyzny krytycznej Δ KR decyduje skalarna wartość określająca długość wektora τ ns na przeszukiwanych płaszczyznach (patrz rys. 1). Dla tej płaszczyzny kryterium przybiera postać [10, 13] MAX DV Vt, { } τ = max τ (10) gdzie: V badany obszar. Graficzna interpretacja hipotezy DV (7) została przedstawiona na rys. 2 w układzie τ σ H, na przykładzie stali 30CrNiMo8 ( = 370 MPa, GW = 549 MPa, współczynnik występujący przy naprężeniach hydrostatycznych ma wartość a DV = 0,522). Czerwona linia Dang Vana opisana jest równaniem (7), a jej nachylenie zależy od współczynnika a DV. W sensie hipotezy DV obszar pod tą linią jest uznawany jako bezpieczny. Jeżeli jakikolwiek punkt historii obciążenia wyjdzie ponad linię DV, przyjmuje się, że w materiale dojdzie do inicjacji i rozwoju pęknięcia zmęczeniowego. W trakcie obliczeń zastosowano dwie interpretacje kryterium DV. W pierwszej (DV 1 ) do wzoru (7) w miejsce naprężeń tnących τ(t) wstawiano funkcję wartości naprężeń amplitudalnych τ a, T (indeks T oznacza zależność od czasu) wyznaczanych w odpowiednich płaszczyznach materiałowych Δ (rys. 1) DV τ τ () t = τ () t τ (11) at, at, ns nsm,

80 gdzie: Δ = Δ(ϕ, θ) płaszczyzna materiałowa, τ ns (t) = τ(ϕ, θ, χ, t) Δ, χ = const naprężenie styczne w płaszczyźnie Δ, w kierunku zdefiniowanym kątem χ, τ ns, m wartość średnia naprężenia stycznego τ ns (t) w płaszczyźnie Δ. W pracy wartość średnią naprężenia stycznego w płaszczyźnie Δ liczono wg { τ t } + { τ t } max ( ) min ( ) ns ns t t τ = (12) ns, m 2 W przypadku bardziej złożonych przebiegów naprężeń (np. zagadnienia 3D) można zastosować do określenia wartości średniej i amplitudy naprężeń jedną z trzech metod: najdłuższej cięciwy (średnicy), najdłuższej projekcji, okręgu ograniczającego. Ich opis można znaleźć np. w pracy [14]. Nie należy mylić funkcji τ a, T z amplitudą τ a = max τ a, T. Funkcja τ a, T określa przebiegi w czasie naprężeń stycznych τ ns (t) po odjęciu wartości średnich (patrz wzór (11)) wyznaczonych w konkretnych płaszczyznach krytycznych. Orientacja płaszczyzny krytycznej w tej interpretacji jest tak dobrana, aby suma naprężeń amplitudalnych i hydrostatycznych τ a, T + a DV σ H (t) była maksymalna. W przypadku przestrzennego stanu naprężenia można użyć 9-parametrowej transformacji trójwymiarowej (trzy kąty względem każdej z osi). Przy stosowaniu hipotezy DV autor pracy proponuje następujący tok postępowania: 1. Określenie zmian składowych stanu naprężenia w badanych punktach w czasie. MAX ( P ) 2. Wyznaczenie τ i jako maksymalnej wartości τ DV DV (t) w badanym punkcie P i i określenie, w jakiej płaszczyźnie materiałowej Δ = Δ(ϕ, θ) tego punktu oraz w jakim MAX ( P ) kierunku τ i wystąpi (płaszczyzna Δ DV KR jest nazywana płaszczyzną krytyczną punktu P i, a kierunek τ ns (t) na tej płaszczyźnie określa kąt χ): a) obliczenie naprężenia stycznego τ ns (t) w punkcie P i, w kierunku s określonego kątem χ na rozpatrywanej płaszczyźnie materiałowej Δ określonej przez kąty transformacji ϕ, θ, b) obliczenie w punkcie P i wartości średniej τ ns, m naprężenia tnącego (12) w płaszczyźnie Δ, w kierunku s określonego kątem χ, c) obliczenie w płaszczyźnie Δ i w kierunku s określonego kątem χ, punktu P i, naprężenia stycznego amplitudalnego τ a, T w funkcji czasu t według formuły (11), d) obliczenie w punkcie P i naprężenia hydrostatycznego σ H (9) w funkcji czasu t, e) obliczenie w płaszczyźnie Δ i w kierunku s określonego kątem χ, punktu P i, zastępczego naprężenia zmęczeniowego τ DV (t) (7) i porównanie z wartościami uzyskanymi dla innych orientacji płaszczyzny materiałowej Δ oraz innych wartości kąta χ (kąt ten określa kierunek naprężenia τ Δ (t)) punktu P i ; obliczenie maksimum tego naprężenia. MAX ( P ) 3. Obliczenie i porównanie maksymalnych wartości τ i uzyskanych w różnych DV punktach badanego obszaru. Określenie miejsca w którym wystąpiło maksymalne

MAX MAX ( Pi ) zastępcze naprężenie zmęczeniowe = max DV { DV } V 81 τ τ, jako punktu inicjacji pęknięcia zmęczeniowego. W ten sposób określona będzie również płaszczyzna materiałowa (krytyczna), w której to pęknięcie nastąpi. Powyższy tok działania określany będzie dalej jako DV 1. W literaturze można znaleźć również drugą interpretację hipotezy DV w formie DV 2. W tym przypadku odchodzi się od pojęcia płaszczyzny krytycznej i do wzoru (7) w miejsce τ(t) wstawia się maksymalne, zawsze dodatnie, naprężenia tnące τ TG w sensie hipotezy Tresci Guesta [15] (estymacja na korzyść pewności) () t () t σ ( t) σ ( t) I III τ = τ = (13) TG gdzie: σ I, σ II, σ III naprężenia główne uporządkowane. Podstawowa forma hipotezy DV, odnosi się do amplitudy naprężeń tnących, w związku z czym poprawniejsze jest zastosowanie pierwszego sposobu. Czasami jednak zdarza się sytuacja, w której trudno jednoznacznie określić, co jest wartością średnią naprężeń tnących, a co jest amplitudą. Wtedy bezpieczniejsze wydaje się być podejście DV 2, które oszacowuje wartość naprężeń zmęczeniowych τ DV2 od góry. Wersja ta może okazać się również przydatna w przypadku analizy zmęczeniowej skomplikowanych elementów. Można wtedy przy pomocy DV 2 wstępnie określić potencjalne miejsca inicjacji pęknięć. aletą tej wersji metody DV jest łatwa możliwość zaimplementowania jej do programu ANSYS. 2.2.2. modyfikowane kryterium Dang Vana (DV m ) Dang Van w swojej hipotezie założył, że ściskanie, zamykając mikroszczeliny, korzystnie wpływa na zjawisko zmęczenia materiału. W zależności od twardości materiału prowadzi to do odpowiedniego zmniejszenia zastępczego wytężenia zmęczeniowego obiektów pracujących przy dużych wartościach naprężeń ściskających. Dotyczy to między innymi elementów maszyn i urządzeń wykonanych z twardych materiałów i pracujących w warunkach wzajemnego kontaktu tocznego. To założenie jest obecnie krytykowane w kilku pracach z ostatnich lat, głównie związanych z analizą współpracy kół i szyn kolejowych. Uważa się, że wpływ ściskania został w przypadku kontaktu tocznego przeszacowany [16, 17]. Jedną z propozycji modyfikacji hipotezy DV jest pominięcie wpływu efektów ściskających poprzez przyjęcie współczynnika a DV = 0 dla ujemnych wartości naprężeń hydrostatycznych (rys. 2) [6] 2 ( ) τ t + a σ () t dla σ 0 MAX DV H H τ = max DV mod Vt, τ() t dla σ < 0 H (14) W przypadku elementów obciążonych w taki sposób, że σ H, MAX = 0 (np.: toczenie bez tarcia), kryterium DV mod, podobnie jak hipoteza Crosslanda, nie uwzględnia naprężeń hydrostatycznych. W tej sytuacji porównywana jest wartość zastępczego naprężenia stycznego z trwałą wytrzymałością zmęczeniową na skręcanie obustronne ( ).

82 a DV,1 = 0 500 τ (t) [MPa] 400 300 oryg. Dang Van zmod. Dang Van obszar niebezpieczny inicjacja pęknięć zmęczeniowych adv,2 = (3 / GW ) - 1,5 200 100 obszar bezpieczny σ H (t) [MPa] -400-200 0 200 400 600 800 Rys. 2. Modyfikacja hipotezy Dang Vana (DV mod ) polegająca na pominięciu ściskających efektów hydrostatycznych w formule DV (7), na przykładzie stali 30CrNiMo8 Fig. 2. Modification of Dang Van hypothesis (DV mod ), which consists of neglecting the compressive hydrostatic effects in the DV formula (7), example for steel 30CrNiMo8 Dalsze ograniczenia proponują autorzy w pracy [17]. Na podstawie badań eksperymentalnych dla gładkich próbek ze stali w stanie ulepszonym cieplnie zalecają oni nie tylko pominięcie wpływu ściskających naprężeń hydrostatycznych (a DV = 0 dla σ H < 0), lecz także ograniczenie obszaru bezpiecznego do wartości związanej z trwałą wytrzymałością τ () t max na wahadłowe zginanie = 0,5. Należy jednak zauważyć, że dla takich stali proponowana przez Desimone [17] wersja hipotezy DV zakłada niższą wytrzymałość zmęcze- GW niową dla obciążeń z σ H 0, niż wynika to z badań (dla stali stosunek / GW zwykle jest większy od 0,5). Wersja ta może być ewentualnie stosowana jako hipoteza z większym zapasem bezpieczeństwa niż oryginalna formuła DV. 3. Porównanie wybranych kryteriów w prostych przypadkach obciążenia na przykładzie stali C60E (T) i C60E (N) W celu porównania przedstawionych kryteriów (Crosslanda, Dang Vana, zmodyfikowany Dang Van) wykonano obliczenia zmęczeniowe dla prostych przypadków obciążenia (t P okres drgań): próba obustronnego skręcania, próba wahadłowego zginania, próba zginania ze skręcaniem w fazie, π próba zginania ze skręcaniem z przesunięciem w fazie o kąt δ = (rys. 3), 2

100 83 σ z τ xy 50 σz, τxy [MPa] 0-50 -100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t/t P Rys. 3. Przebiegi naprężeń w czasie dla próby zginania ze skręcaniem z przesunięciem π w fazie o kąt δ = 2 π Fig. 3. Distribution of stresses for out-of-phase bending plus torsion; δ = 2 dla stali C60E w dwóch wariantach: po ulepszaniu cieplnym (hartowaniu i wysokim odpuszczaniu) (C60E (T)) i w stanie normalizowanym (C60E (N)). Własności wytrzymałościowe obu materiałów potrzebne do określenia współczynników w równaniach hipotez przyjęto na podstawie tablic wytrzymałościowych [18] i przedstawiono w tabeli 1. Tabela 1 Własności materiałowe dla stali C60E w stanie normalizowanym C60E(N) i ulepszanym cieplnie C60E(T) Materiał [MPa] GW [MPa] C60E (T) 360 560 C60E (N) 240 460 R e [MPa] R m [MPa] 900 1100 Po podstawieniu danych materiałowych ( i GW ) do wzorów poszczególnych hipotez otrzymano następujące zależności dla stali C60E (T) ( = 0,64 > 0,6 materiał twardy) GW ulepszanej cieplnie: Kryterium Crosslanda (1) τ = 0,577σ + 0,197σ 360 MPa (15) C60E T C( ( )) HMHa, HMAX,

84 Kryterium Dang Vana (7) τ =τ () t + 0, 429σ ( t) 360MPa (15) DV C60E T H ( ( )) Dla stali C60E w stanie normalizowanym ( = 0,52 < 0,6 materiał miękki) GW w kryterium Crosslanda współczynnik a C przy naprężeniu hydrostatycznym σ H, MAX miał wartość ujemną. Sugerowałoby to, że rozciąganie powoduje domykanie szczelin, a ściskanie ich otwieranie, co jest sprzeczne z doświadczeniami. Dlatego przyjmuje się w takim przypadku brak wpływu naprężeń hydrostatycznych i pomija ten człon (a C = 0). Ostatecznie dla stali C60E w stanie normalizowanym otrzymujemy: Kryterium Crosslanda (1) Kryterium Dang Vana (7) τ = 0,577σ 240 MPa (17) C60E T C( ( )) HMH, a τ =τ () t + 0, 065σ ( t) 240 MPa (18) DV C60E T H ( ( )) Wyniki obliczeń zastępczych naprężeń zmęczeniowych wykonanych dla przedstawionych prostych przypadków obciążenia dla stali ulepszanej cieplnie C60E (T) i dla stali w stanie normalizowanym C60E (N) zestawiono w tab. 2. Tabela 2 astępcze naprężenia zmęczeniowe dla prostych przypadków obciążenia (materiał twardy stal C60E (T); materiał miękki stal C60E(N)) Skręcanie stal C60E (T) stal C60E (N) τ a σ a DV 1 DV 1m DV 2 C /τ a DV 1 DV 1m DV 2 C /τ a 100,0 0,0 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 2,4 2,4 2,4 2,4 2,4 ginanie stal C60E (T) stal C60E (N) τ a σ a DV 1 DV 1m DV 2 C GW /σ a DV 1 DV 1m DV 2 C GW /σ a 0,0 100,0 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 4,6 4,6 4,6 4,1 4,6 ginanie ze skręcaniem w fazie stal C60E (T) stal C60E (N) τ a σ a DV 1 DV 1m DV 2 C teoria [2] DV 1 DV 1m DV 2 C teoria [2] 100,0 100,0 2,9 2,9 2,9 3,0 3,1 2,1 2,1 2,1 2,1 2,1 ginanie ze skręcaniem z przesunięciem w fazie o kąt δ = 90 stal C60E (T) stal C60E (N) τ a σ a DV 1 DV 1m DV 2 C teoria DV 1 DV 1m DV 2 C teoria 100,0 100,0 3,5 3,5 3,5 3,4 2,4 2,4 2,4 2,4 Powyższe obliczenia wykonane dla stali C60E (T) wykazały zbieżność badanych hipotez wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego dla rozpatrywanych prostych przypadków obciążenia. Ponadto uzyskane wyniki dla prób cyklicznego zginania i skręcania są zgodne

z wartościami wyznaczonymi w odniesieniu do prób wahadłowych ( /τ a ; GW /σ a ). W przypadku złożonego stanu naprężenia, składającego się z naprężeń normalnych pochodzących od zginania i stycznych od skręcania, wartość teoretyczną wytężenia zmęczeniowego oszacowano na podstawie zależności [2] 85 2 2 σ τ a a + 1 GW (19) W przypadku normalizowanej stali C60E(N) różnice w wytężeniu zmęczeniowym liczonym z hipotezy Crosslanda dla zginania ze stałą amplitudą σ a związane są z pominięciem w formule tej hipotezy wpływu efektów hydrostatycznych. Naprężenia te pominięto ze względu na fakt, że współczynnik a C (2) występujący przy nich miał wartość ujemną, co jest niefizyczne (ściskanie sugerowałoby otwieranie szczelin, a rozciąganie ich domykanie). W takiej sytuacji przyjmuje się współczynnik a = 0. Spowodowało to zwiększenie wartości zastępczych naprężeń zmęczeniowych zarówno w odniesieniu do rozwiązania analitycznego, jak również do pozostałych hipotez wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego. tego powodu nie zaleca się stosowania hipotez Crosslanda do materiałów miękkich (tzn. dla takich, dla których: < 0,6). GW 4. Model numeryczny kontaktu walca z podłożem z uwzględnieniem sił trakcyjnych W przypadku kół napędzanych (takich jak koła lokomotywy czy napędowe koła suwnicy) istotne jest rozważanie modelu uwzględniającego efekty cierne (tarcie toczne trakcyjne). Moment napędzający koło powoduje wystąpienie naprężeń ciernych w obszarze styku. Do obliczeń przyjęto współczynnik tarcia między kołem a szyną μ = 0,2. Dwuwymiarowe zagadnienie kontaktu tocznego z tarciem również rozwiązano przy użyciu elementów 8-węzłowych PLANE82 oraz kontaktowych CONTA172 i TARGE169. astosowano nieregularną siatkę z zagęszczeniem elementów w obszarze kontaktu. Koło nie miało wspólnych punktów z płaszczyzną i miało odebrany tylko przesuw poziomy w środku. Moment został zadany w postaci pary sił F, a obciążenie w postaci pionowej siły Q. Podłoże podzielono na dwa sklejone ze sobą obszary o różnych modułach sprężystości Younga (rys. 4). Część sztywniejsza miała unieruchomiony ruch pionowy, natomiast podatniejsza, dolna część o module Younga E 2 = 500 MPa miała zablokowane przemieszczenia w kierunku poziomym w dolnych narożach. Celem tego zabiegu było umożliwienie ruchu poziomego podłoża wskutek działania momentu skręcającego (sił trakcyjnych) oraz uzyskanie poprawnej formy macierzy sztywności MES. Można zauważyć, że dolna podatna część podłoża miała na celu utrzymanie modelu w przestrzeni, co pozwoliło na efektywne obliczenia metodą elementów skończonych. Obliczenia zastępczych naprężeń zmęczeniowych dla zagadnienia tarcia tocznego koła suwnicy o promieniu R = 200 mm wykonanego z dwóch rodzajów stali: ulepszanej cieplnie C60E (T) i normalizowanej C60E (N) przeprowadzono dla dwóch przypadków płaskiego stanu odkształcenia:

86 dla ruchu ustalonego: M s = 10,8 N m/mm, dla rozruchu z przeciążeniem k = 3, M s = 32,4 N m/mm. Obciążenie koła przyjęto Q = 840 N/mm. Siły i momenty odniesione są do jednostki szerokości koła (1 mm). Pojawienie się naprężeń stycznych w kontakcie powoduje zmiany rozkładu naprężeń oraz położenia charakterystycznych jego punktów. anika również zjawisko antysymetrycznego rozkładu naprężeń tnących. Wraz ze wzrostem momentu M s, następuje zwiększanie się strefy poślizgu oraz zmęczeniowych naprężeń DV 2.W przypadku przeciążenia (moment trzykrotnie większy do nominalnego), poślizg występuje na około 67% obszaru kontaktu. Pełny poślizg wystąpi dla M s 35 N m/mm. Rys. 4. Model numeryczny warunki brzegowe oraz siatka elementów skończonych Fig. 4. Numerical model boundary conditions and finite element mesh 5. Aplikacja hipotez wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego do zjawiska tarcia trakcyjnego astępcze naprężenia DV 2 dla ruchu ustalonego i rozruchu z przeciążeniem dla stali C60E (T) przedstawiono odpowiednio na rys. 5a i rys.5b. W przypadku hipotezy DV 2 położenie najbardziej wytężonego punktu zależy od wartości momentu i jest w pobliżu miejsca maksymalnego naprężenia tnącego τ TG. Należy jednak zauważyć, że również w przypadku drugiej interpretacji hipotezy DV 2 istotną rolę odgrywają naprężenia hydrostatyczne. Przykładowo dla rozruchu z przeciążeniem maksymalne naprężenie zastępcze τ DV2 dla stali C60E (N) (rys. 6a) miało wartość prawie dwukrotnie większą niż dla stali C60E (T) (rys. 5b). Uzasadnia to pominięcie wpływu ściskających naprężeń hydrostatycznych na zmęczenie toczne dla materiałów twardych również w tej wersji hipotezy. Przedstawione na rys. 5 i rys. 6 obliczenia zostały wykonane poprzez wstawienie do równania (7) naprężeń stycznych τ TG liczonych z formuły T G (metoda DV 2 wzór (13)). Pominięte w tym przypadku było podejście związane z płaszczyzną krytyczną, co może prowadzić do niedokładnego określenia wartości naprężeń zmęczeniowych. Dlatego w celu dokładnego określenia maksymalnych zastępczych naprężeń DV należy wyznaczyć płaszczyznę krytyczną, w której wystąpi najbardziej niekorzystna kombinacja naprężeń stycznych oraz hydrostatycznych. Dokładna analiza przeprowadzona przy użyciu

pozostałych hipotez wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego wskazała, że do inicjacji pęknięcia może dojść na [6]: promieniu odpowiadającym położeniu punktów P L dla czystego toczenia, promieniu zewnętrznej powierzchni walca. a) b) 87 Rys. 5. Naprężenia zastępcze τ DV2 dla: a) M s = 10,8 N m/mm, materiał C60E (T), b) M s = 32,4 N m/mm, materiał C60E (T) Fig. 5. Equivalent stress τ DV2 for: a) M s = 10,8 N m/mm, steel C60E (T), b) M s = 32,4 N m/mm, steel C60E (T) a) b) Rys. 6. Wyniki obliczeń dla rozruchu z przeciążeniem M s = 32,4 N m/mm, C60E (N): a) warstwice zastępczego wytężenia zmęczeniowego τ DV2, b) warstwice naprężeń hydrostatycznych Fig. 6. The results of calculations for start with overload M s = 32,4 N m/mm, C60E (N): a) contours of equivalent fatigue stress τ DV2, b) contours of hydrostatic stress W pierwszym przypadku wytężenie zmęczeniowe pod powierzchnią uzasadnione jest znaczną amplitudą naprężeń stycznych na głębokości odpowiadającej położeniu punktów P L dla czystego toczenia. Wyjątek stanowi tutaj oryginalna hipoteza DV, która zaniża

88 wartość zastępczych naprężeń zmęczeniowych przez przeszacowanie wpływu efektów ściskających (tab. 3) [6]. Naprężenia te osiągają znaczne wartości pod powierzchnią kontaktu, a ich rozkład dla rozruchu z przeciążeniem można zaobserwować na rys. 6b. Metoda estawienie ekstremalnych wartości zastępczych naprężeń zmęczeniowych, ruch ustalony M s = 10,8 N m/mm MAX τ eqv [MPa] C60E (T) promień maks. wytężenia [mm] MAX τ eqv [MPa] C60E (N) Tabela 3 promień maks. wytężenia [mm] DV 1 60,4 R DV1 = 199,1 92,0 R DV1 = 199,3 DV 2 58,7 R DV2 = 198,2 109,8 R DV2 = 198,9 DV mod 99,7 R DVmod = 199,3 99,7 R DVmod = 199,3 DV 2mod 120,4 R DV2mod = 199,0 120,4 R DV2mod = 199,0 C 111,7 R C 199,4 111,6 R C 199,4 Metoda estawienie ekstremalnych wartości zastępczych naprężeń zmęczeniowych, rozruch z przeciążeniem M s = 32,4 N m/mm MAX τ eqv [MPa] C60E (T) promień maks. wytężenia [mm] MAX τ eqv [MPa] C60E (N) Tabela 4 promień maks. wytężenia [mm] DV 1 103,3 R DV1 = 200 92,5 R DV1 = 199,3 DV 2 62,1 R DV2 = 198,8 114,9 R DV2 = 199,0 DV mod 103,3 R DVmod = 200 99,7 R DVmod = 199,3 DV 2mod 125,9 R DV2mod = 199,1 125,9 R DV2mod = 199,1 C 117,5 R C 199,4 116,7 R C 199,4 Uwaga: Kolorami zaznaczono maksymalne wartości zastępczych naprężeń zmęczeniowych (objaśnienia w tekście): wartości zaniżone (przeszacowanie efektów ściskających) wartości zawyżone wyniki poprawne Wzrost naprężeń zmęczeniowych na powierzchni walca (tab. 4) jest spowodowany przez rozciągające (!) naprężenia obwodowe, powstałe wskutek działania momentu napędzającego. Powoduje to, że drugi człon uwzględniający naprężenia hydrostatyczne we wzorach hipotez dodaje się do zastępczych naprężeń tnących, powodując ich zwiększanie.

Porównując maksymalne wartości zastępczych naprężeń zmęczeniowych (tab. 3 i tab. 4), można zauważyć, że najbardziej niekorzystnym etapem pracy koła jezdnego jest rozruch (hamowanie) z dużym przeciążeniem. Należy tutaj zauważyć fakt, że również na powierzchni koła występują znaczne wartości naprężeń zmęczeniowych. W analizowanych modelach numerycznych pominięto efekty związane z chropowatością powierzchni. W celu dokładnego określenia poziomu wytężenia na powierzchni koła należy dla przypadku rozruchu z przeciążeniem uwzględnić wpływ tej chropowatości. 89 6. Wnioski W hipotezach wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego występują różnorodne podejścia obliczeniowe. azwyczaj wymagają jednak dwóch klasycznych prób zmęczeniowych wahadłowego zginania oraz obustronnego skręcania. Kryteria te pozwalają sprowadzić złożony stan naprężenia do zastępczego stanu odnoszonego zazwyczaj do próby obustronnego skręcania ( ). aprezentowany w pracy szczegółowy tok postępowania przy obliczeniach zastępczego wytężenia zmęczeniowego przy zastosowaniu kryteriów Crosslanda (C), Dang Vana (DV) może zostać użyty dla dowolnego stanu obciążenia. Powyższe hipotezy zostały porównane dla różnych, prostych stanów naprężenia. Uzyskane wyniki dla testów wahadłowego zginania, obustronnego skręcania, a także zginania ze skręcaniem w fazie, były zbieżne do wyników doświadczalnych. W przypadku tarcia tocznego (potoczystego) efekty cierne występujące w obszarze styku są pomijalnie małe (nieporównywalnie mniejsze niż opory tarcia przy tarciu ślizgowym), a element toczny przemieszcza się w wyniku wykonywanego ruchu obrotowego. Kontakt tego typu występuje w następujących skojarzeniach: koło wagonu kolejowego szyna, element toczny łożyska bieżnia czy też krzywka popychacz z rolką. Jak zostało to wykazane w pracach [4, 6, 19], w przypadku obciążeń cyklicznych punkty Palmgrena-Lundberga (P L) i Bielajewa dla toczenia bez tarcia mogą być miejscami potencjalnych inicjacji pęknięć zmęczeniowych. W przypadku kontaktu statycznego (bez obrotu) dwóch ciał obciążonych zmienną tętniącą siłą, najbardziej niebezpieczny jest punkt Bielajewa, w którym zarówno naprężenie tnące, jak również jego amplituda osiągają wartości ekstremalne. Natomiast w przypadku kontaktu tocznego punkty te zataczają okręgi o odpowiednich promieniach: r B promień punktu Bielajewa; r PL promień punktów Palmgrena-Lundberga. W takiej sytuacji maksymalna amplituda naprężenia stycznego występuje na promieniu r PL, a wartość maksymalna tego naprężenia na r B (szczegóły w pracy [19]). W procesie zmęczenia istotną rolę pełni amplituda naprężenia, dlatego też inicjacja pęknięcia wystąpi w okolicach promienia r PL. Przyjęcie funkcji czasu jako parametru zgodnego z kątem obrotu koła umożliwiło znaczne skrócenie komputerowych obliczeń. aproponowano specyficzny model z dzielonym podłożem do analizy zjawiska tarcia trakcyjnego. Uzyskane testowe wyniki 2D były zbieżne do analitycznego rozwiązania obliczonego ma podstawie wzorów Hertza. Podsumowując wykonane badania dla tarcia trakcyjnego i tarcia potoczystego [6, 19] można stwierdzić, że oryginalna hipoteza Dang Vana nie powinna być stosowana do zjawisk tocznych, w szczególności dla materiałów twardych, w których współczynnik występujący przy tych naprężeniach jest znaczny. Kryterium to przeszacowywuje wpływ ściskających naprężeń hydrostatycznych na zastępczą miarę wytężenia zmęczeniowego.

90 auważono również, że zastępcze naprężenia DV mogą się istotnie zmienić wraz ze zmianą materiału. W celu aplikacji do zmęczenia tocznego, na podstawie sugestii znalezionych w literaturze zaproponowano i zbadano zmodyfikowaną wersję hipotezy DV. Otrzymane wyniki zmodyfikowaną wersją DV mod były zbieżne do wyników pozostałych hipotez [6], dlatego zaleca się stosowanie tej wersji hipotezy DV do zjawisk, w których występują znaczne efekty ściskające. Aplikację i badania dotyczące innych popularnych hipotez wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego (oryginalnej i zmodyfikowanej Dang Vana, Crosslanda, energetycznej Łagody, Papadopoulosa I i II) do zjawiska zmęczenia tocznego przedstawiono szczegółowo w pracy [6]. Przedstawione w tej pracy procedury oszacowywania wytężenia zmęczeniowego wymienionymi hipotezami porównano z wynikami badań doświadczalnych oraz zastosowano do analizy zmęczeniowej koła jezdnego suwnicy i łożyska baryłkowego. Autor dziękuje prof. A.P. ielińskiemu za uwagi, które przyczyniły się do napisania tej publikacji. Literatura [1] S k o ć A., S p a ł e k J., Podstawy konstrukcji maszyn, t. 1, WNT, Warszawa 2006. [2] K o c a ń d a S., S z a l a J., Podstawy obliczeń zmęczeniowych, PWN, Warszawa 1997. [3] D i e t r i c h M., ed., Podstawy konstrukcji maszyn, t. 1, WNT, Warszawa 2008. [4] Romanowicz P., ieliń s k i A.P., Wieloosiowe zmęczenie elementów pracujących w warunkach kontaktu tocznego, Acta Mechanica et Automatica, vol. 3, No. 2, 2009, 86-89. [5] K l u g e r K., Ł agoda T., Wpływ wartości średniej obciążenia na trwałość zmęczeniową w opisie energetycznym. Wieloosiowe zmęczenie losowe elementów maszyn i konstrukcji część XI, Politechnika Opolska, Opole 2007. [6] Romanowicz P., Analiza zmęczeniowa wybranych elementów maszyn pracujących w warunkach kontaktu tocznego, rozprawa doktorska (promotor A.P. ieliński), Politechnika Krakowska, Kraków 2010. [7] Ł agoda T., Lifetime estimation of welded joints, Springer, 2008. [8] W e b e r B., Fatigue multiaxiale des structures industrielles sous chargement quelconque [En ligne] Thèse: Institut National des Sciences Appliquées de Lyon, 1999. [9] Crossland B., Effect of large hydrostatic pressures on the torsional fatigue strength of an alloy steel, London 1956, 138-49. [10] M r z y g ł ód M., Parametryczna optymalizacja konstrukcji pracujących przy obciążeniach wysoko-cyklowych, rozprawa doktorska (promotor A.P. ieliński), Politechnika Krakowska, Kraków 2005. [11] Dang Van K., Maitournam M.H., On some recent trends in modelling of contact fatigue and wear in rail, Wear, vol. 253, 2002, 219-227. [12] Cailletaud G., Flavenot J.F., Lieurade H.P., Dang Van K., Criterion for high cycle fatigue failure under multiaxial loading, Biaxial and Multiaxial Fatigue EGF 3, Mechanical Engineering Publications, London 1989, 459-478.

[13] M r z y g ł ód M., ieliń s k i A.P., Parametric structural optimization with respect to the multiaxial high-cycle fatigue criterion, Structural and Multidisciplinary Optimization, No. 33, 2007, 161-171. [14] Bernasconi A., Papadopoulos I.V., Efficiency of algorithms for shear stress amplitude calculation in critical plane class fatigue criteria, Computational Materials Science, vol. 34, 2005, 355-368. [15] Ekberg A., Rolling contact fatigue of railway wheels a parametric study, Wear, No. 211, 1997, 280-288. [16] B e r n a s c o n i A., F i l i p p i n i M., F o l e t t i S., V a u d o D., Multiaxial fatigue of a railway steel under non-proportional loading, International Journal of Fatigue, No. 28, 2006, 663-672. [17] B e r n a s c o n i A., B e r e t t a S., D e s i m o n e H., On the application of Dang Van criterion to rolling contact fatigue, Wear, No. 260, 2006, 567-572. [18] Niezgodziń ski M.E., Niezgodziń s k i T., Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe, WNT, Warszawa 2004. [19] Romanowicz P., ieliń s k i A.P., Analiza elementów maszyn poddanych obciążeniom cyklicznym w warunkach kontaktu, Czasopismo Techniczne, z. 1-M/2007, Wyd. Politechniki Krakowskiej, 65-77. 91