Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1
Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje obliczenia i ma postać publikacji; składa się z regionów: (1) tekstów, (2) wzorów, (3) wykresów; Ważniejsze klawisze: ["] - rozpoczyna region tekstowy [:] - przypisuje zmiennej wartość np.: bok:5*cm [.] - poprzedza cz. ułamkową liczby np.: 12.863 [=] - oznacza wyświetl wartość np.: bok^2= [ ] - spacja - zwiększa zaznaczenie np.: [;] - symbol zakresu np.: i:1;5 oznacza: i ma być ciągiem arytmetycznym od 1 do 5 (co 1) [^] - wstawia wykładnik potęgi [[] - wstawia indeks (numer elementu wektora lub macierzy) 3 Autor Zalecana postać dokumentu Nagłówek (czego dotyczą obliczenia) Dane: Objasnienia danych......... Obliczenia Wyniki pośrednie Wyniki końcowe Wykres 4 2
Podstawowe typy regionów matematycznych Polecenie Składnia: 1) Wyświetlanie wartości wyrażenia 2) Definicja zmiennej lokalnej (nadaje wartość zmiennej) 3) Definicja zmiennej globalnej (nadaje wartość zmiennej) wyrażenie = a więc także: zmienna = zmienna := wyrażenie zmienna wyrażenie 4) Definicja funkcji użytkownika naz_fun(parametry) := wyrażenie 5) Def. zmiennej zakresowej (ciągu arytmetycznego) zmienna := a1, a2; an 6) Def. zm. indeksowanej (elem. wektora lub macierzy) zmienna indeks := wyrażenie 7) Definicja całej macierzy jako zmiennej złożonej zmienna := [ macierz ] 8) Równania i nierówności solve block 5 TYPY i przykłady regionów matematycznych Aby Mathcad mógł realizować obliczenia musi rozpoznawać polecenia jakie mu wydajemy. Dlatego musimy wpisywać tylko dopuszczalne typy regionów matematycznych przedstawione poniżej, a ich budowa mysi być zgodna z regułami Mathcad a 6 3
Kolejność regionów: Zmienne w wyrażeniach muszą mieć wartości wyznaczone wcześniej czyli na lewo lub powyżej od bieżącego regionu. wyjątkiem są dane globalne wstawiane symbolem [ ] Jednostki miar: Wartości danych można mnożyć przez symbole jednostek miar Wyniki: Po podwójnym kliknięciu można zmienić precyzję wyniku. Wpisanie innej jednostki miary przy wyniku spowoduje przeliczenie (konwersję) na takie jednostki Zmienne zakresowe (ciągi arytmetyczne) - mogą być używane tylko jako: (1) indeksy elem. macierzy, (2) argumenty funkcji 7 Tworzenie wykresu X-Y: 1) Zdefiniuj funkcję: Y(x):= wyrażenie 2) Określ początek i koniec przedziału: Xp, Xk 3) Wyznacz przyrost Dx tak aby otrzymać np. 50 lub 100 punktów wykresu 4) Wygeneruj ciąg wartości zmiennej niezależnej (x) jako zmienną zakresową 5) Wstaw wykres X-Y z palety symboli i wpisz przy osiach (w środkowych znacznikach) nazwę zmiennej oraz funkcji. 6) Powiększ wykres (ciągnąc za uchwyt) i sformatuj (po podwójnym kliknięciu) 8 4
Mathcad - wykład 2 Funkcje standardowe i funkcje użytkownika Indeksy, wektory, macierze, operacje macierzowe Wykresy funkcji dwu zmiennych: z(x,y) Numeryczne rozwiązywanie równań: a) wielomianowych (pierwiastki wielomianu) b) układów równań liniowych (macierzowo) c) układów równań nieliniowych (graficznie i Given... Find) Pochodne i całki Animacje Symboliczne rozwiązywanie równań 9 FUNKCJE 1) Wywoływanie funkcji standardowych. 2) Definiowanie i wywoływanie funkcji użytkownika 10 5
Pamiętaj, że: Funkcje funkcja zawsze po nazwie ma nawias a w nim argumenty - po tym Mathcad odróżnia funkcje od zmiennych Mathcad daje do dyspozycji bardzo wiele gotowych funkcji wbudowanych (build in function). Oprócz tego użytkownik może definiować dowolne funkcje własne przy pomocy definicji funkcji 11 Wstawianie funkcji z wykazu: Opis funkcji 12 6
Definiowanie nowych funkcji: Użytkownik może więc definiować nowe funkcje według schematu: nazwa_funkcji(parametry) := wyrażenie_z_parametrami Przykład: 13 Wektory, macierze i zmienna ORIGIN Zmienna systemowa ORIGIN decyduje o tym czy numerowanie elementów tablic ma rozpoczynać się od ZERA czy od JEDEN Aby uniknąć problemów - zawsze zaczynaj zadania z wektorami czy macierzami od zdefiniowania wartości zmiennej ORIGIN np.: ORIGIN 1 14 7
Paleta operacji macierzowych 15 Sposoby definiowania wektora a) jako zm. indeksowana zadana wzorem b) jako zm. indeksowana o wpisanym ciągu dowolnych wartości c) jako macierz kolumnowa d) jako wybrana kolumna macierzy e) przez wczytanie danych z pliku 16 8
Definiowanie elementów macierzy w zależności od indeksów. Funkcje macierzowe 17 Wykres 3D - powierzchniowy 18 9
Rozwiązywanie równania wielomianowego (znajdowanie miejsc zerowych wielomianu) Dla znalezienia rozwiązań równania W(x)=0 (gdzie W(x) jest wielomianem N-tego stopnia) wystarczy wykonać w Mathcadzie 2 kroki 1) zdefiniować wektor zawierający N+1 współczynników wielomianu - w kolejności od wyrazu wolnego aż do współczynnika przy najwyższej potędze x. 2) użyć funkcji polyroots wstawiając powyższy wektor jako jej argument Wynikiem (wartością) funkcji polyroots będzie wektor szukanych pierwiastków, w tym także zespolonych. 19 Przykład 20 10
Macierzowe rozwiązywanie układu równań liniowych (4 kroki): 1) Uporządkuj równania 2) Zdefiniuj macierz współczynników przy niewiadomych 3) Zdefiniuj wektor wyrazów wolnych 4) Wyznacz i wyświetl rozwiązanie jako: 21 Rozwiązywanie układu równań metodą GIVEN... FIND Aby w Mathcadzie rozwiązać dowolny układ równań i nierówności (także nieliniowych) wystarczy wykonać 4 kroki: 1. Nadać wartości startowe wszystkim niewiadomym. 2. Wpisać słowo kluczowe: given 3. Wpisać układ równań i nierówności stosując specjalny "wytłuszczony" znak = 4. Zastosować funcję FIND do znalezienia rozwiązań 22 11
Przykład metody GIVEN... FIND - znaleźć analitycznie współrzędne punktu P1 23 Jedno z wielu rozwiązań Metoda Given... Find znajduje tylko jedno z wielu rozwiązań (jeśli jest ich wiele). Aby decydować - które chcemy rozwiązanie należy przede wszystkim odpowiednio ustalać wartości startowe niewiadomych a znacznie mniejszy wpływ mają nierówności 24 12
Pochodne i całki Dla wyznaczania wartości pochodnych i całek, mamy operatory na palecie Calculus: Można też otrzymać wzory pochodnych i całek ze wzorów funkcji przy pomocy Przekształceń Symbolicznych: Differentiate oraz Integrate 25 Tworzenie animacji Zmiany parametrów funkcji można przedstawiać w postaci animacji czyli ruchomych wykresów. Animacja to film złożony z poszczególnych ramek - ang.: FRAMES W celu utworzenia animacji trzeba uzależnić jeden z argumentów funkcji od zmiennej FRAME czyli numeru ramki. 26 13
Przykłady ANIMACJI za strony: http://www.kkiem.agh.edu.pl/dydakt/mcad/anim.htm 27 Symboliczne rozwiązywanie równań - czyli rozwiązania w postaci wzorów 28 14
Użycie menu Symbolics kursor ustawić przy zmiennej: 29 Symboliczne rozwiązywanie równań - sposób drugi Aby rozwiązać pojedyncze równanie np. x 2-4=21 można: 1) zapisać równanie z użyciem logicznego = lub [Ctrl] [=] 2) ustawić kursor w równaniu i z paska Symbolic kliknąć solve i nacisnąć ENTER x 2 4 21 solve Gdy jest więcej zmiennych to trzeba po solve dać przecinek i wpisać nazwę zmiennej: b b 2 4 a c 2 2 a z 2 a + b z + c solve, z b b 2 4 a c + 2 2 a 5 30 5 15
Symboliczne rozwiązanie układu równań Aby otrzymać nie wyniki liczbowe ale rozwiązanie układu w postaci wzorów trzeba w nowym dokumencie nie wpisywać danych tylko: 1) zacząć od razu od słowa Given, 2) wpisać układ równań (i ewentualnie nierówności) 3) wpisać funkcję Find z niewiadomymi jako argumentami a zamiast = wstawić symbol 31 Przykład Początkowe wartości x, y można pominąć 32 16