Wpływ regularności linii Spee na ukształtowanie sferycznej powierzchni zwarcia naturalnego*

PROTET. STOMATOL., 2007, LVII, 5, 331-338 Wpływ regularności linii Spee na ukształtowanie sferycznej powierzchni zwarcia naturalnego* The influence of Spee curve regularity on the formation of spherical surface of a natural occlusion Przemysław Kurpiel 1, Kamila Wróbel 1, Paweł Kurpiel 1, Wojciech Michalski 2 1 Ze Studenckiego Koła Naukowego przy Zakładzie Propedeutyki i Profilaktyki Stomatologicznej IS AM 2 Z Zakładu Propedeutyki i Profilaktyki Stomatologicznej Instytytu Stomatologii AM w Warszawie Kierownik: dr hab. n. med. L. Wagner HASŁA INDEKSOWE: Krzywa Spee, sfera Jonsona, powierzchnia zwarcia, morfometria KEY WORDS: Spee curie, Monson s sphere, occlusal surfach, morphometry Streszczenie Cel pracy. Zbadanie czy obustronna regularność strzałkowej linii Spee ma wpływ na 4-calowy wzorzec hipotetycznej sfery Monsona w zwarciu naturalnym. Materiał i metody. Badaniu poddano geometrię powierzchni zwarcia pełnych łuków zębowych 52 studentów w wieku 20-22 lat. Podstawą kwalifikacji było czynnościowe ukształtowanie zwarcia optymalnego z nieregulowanymi ortodontycznie warunkami zgryzu, bez wypełnień oraz uszkodzeń mechanicznych na powierzchniach zwarciowych zębów bocznych i brzegach siecznych zębów przednich. Modele diagnostyczne z gipsu twardego przygotowano z wycisków alginatowych. W celu aksonometrycznego wyznaczenia linii Spee w relacji strzałkowej zastosowano metodę bliskozakresowej fotogrametrii cyfrowej i program komputerowy SpeeCur 2.0. Z kolei metodą skanowania w Systemie Digitalizacji 3D MicroScribe TM G2X (Immersion) i oprogramowania MonsOpt 1.0 wyznaczano sferę Monsona o stałym promieniu 4-cali i sferę optymalną o promieniu zmiennym. Obliczenia promienia krzywej zwarcia Spee wykonywano przy aproksymacji 7 punktów zwarciowych w odcinkach zębów trzonowych, Summary The aim of the study was to check whether the bilateral regularity of sagittal Spee line has an influence on the 4-inch model of hypothetical Monson s sphere in natural occlusion. Material and methods. The geometry of occlusion surface of full dental arches of 52 students aged 20-22 was subjected to the study. The reason for qualification was a functional shape of optimum occlusion with the condition of occlusion not regulated by orthodontics, with no fillings or mechanical damages on the occlusion surfaces of lateral teeth and incisor edges of anterior teeth. Diagnostic models made of hard gypsum were prepared by means of alginates. In order to mark the Spee line in sagittal relation axionometrically the method of close-range digital photogrammetry and computer programme SpeeCur 2.0 was used. To determine the constant 4-inch radius of Monson s spherical surface the MicroScribe 3D (Immersion) digitization system was used, alongside with the computer program MonsOpt 1.0 that cooperates with a spatial scanner. The calculations of Spee curve occlusion radius were made with approximation of 7 occlusion points in the segments of molars, premolars * Praca wygłoszona i wyróżniona I nagrodą w sesji stomatologicznej na 4 Międzynarodowym Kongresie Studentów Medycyny i Młodych Lekarzy, Warszawa 27-29 kwiecień 2007. 331

P. Kurpiel i inni przedtrzonowych i kłów. Natomiast obliczenia stopnia dopasowania sfery Monsona i sfery optymalnej przy aproksymacji tych samych 14 punktów zwarciowych bocznych i 6 punktów w strefie siekaczy wykonywano przy przypisaniu współczynnika wagi =1 lub 1 i 0. Wyniki. Wartości średnie liczono z oszacowaniem całkowitej niepewności standardowej dla współczynnika rozszerzenia k = 2 co odpowiadało poziomowi ufności α = 0,95. Średnia długość promienia krzywej Spee dla strony lewej wynosiła 10,1 ± 1,5 [cm], a dla strony prawej 10,6 ± 1,4 [cm]. Średni wskaźnik dopasowania sfery Monsona do 20 równoważnych punktów referencyjnych wynosił 0,38 ± 0,08, a do 14 preferowanych punktów zwarciowych bocznych 0,26 ± 0,01. Średni promień sfery optymalnej o możliwie najlepszym stopniu dopasowania do wszystkich 20 punktów zwarciowych wynosił 104,9 ± 5,5 [mm], a do 14 punktów bocznych 101,0 ± 1,5 [mm]. Wnioski. Stwierdzono regularność strzałkowej linii Spee przy naturalnej symetrii jej krzywizny. Wskazywał na nią istotnie wyższy stopień dopasowania 4-calowego wzorca Monsona oraz porównywalne wartości promieni sfery optymalnej przy aproksymacji 14 punktów zwarciowych bocznych względem równoważności 6 punktów rozmieszczonych w strefie siekaczy. and canines. The calculations of how Monson s sphere fits the optimum sphere with the approximation of the same 14 lateral occlusion points and 6 points in the incisors zone were made with the use of weight factor = 1 or 1 and 0. Results. The average values were calculated with the estimation of total standard uncertainty for the factor k = 2 what corresponds to the trust level α = 0,95. The average length of the Spee curve radius for the left side was 10,1 ± 1,5 [cm] and for the right side 10,6 ± 1,4 [cm]. The average factor of how Monson s sphere fits 20 equivalent referential points was 0,38 ± 0,08 and where it fits 14 preferred lateral occlusion points 0,26 ± 0,01. The average radius of the optimum sphere of the best possible degree of fitting to all 20 occlusion points was 104,9 ± 5,5 [mm] and to 14 lateral points 101,0 ± 1,5 [mm]. Conclusions. The regularity of the sagittal Spee line in natural symmetry of its curve was found. It was indicated by the really higher degree of fitting of 4-inch Monson s model and comparable values of optimum sphere radius with the approximation of 14 lateral occlusion points in respect of the equivalency of 6 points situated in the incisors zone. Zdefiniowana przez Ferdynanda von Spee (1) w 1889 strzałkowa regularność linii zgryzu identyfikowana jest z rozmieszczeniem guzków policzkowych w żuchwie (czynnościowo aktywnych) lub podniebiennych w szczęce (pasywnych) obejmujących kły, zęby przedtrzonowe i trzonowe oraz kłykcie stawowe. Z kolei w 1919 roku Monson (2) uwzględniając obustronny determinant krzywej Spee oraz położenie brzegów siecznych siekaczy przyśrodkowych względem osi zawiasowej żuchwy opisanych trójkątem Bonwilla (3), sformułował teorię sferycznej rotacji zębów dolnych podczas artykulacji zwarciowej. Na podstawie prowadzonych badań morfometrycznych stwierdził, że system motoryczny ruchów zgryzowych żuchwy przy przeciętnym 30º kącie prowadzenia stawowego wpływa na ukształtowanie powierzchni zwarcia całych łuków zębowych jako sfery o przeciętnej średnicy ośmiu cali (4) (ryc. 1). Ryc. 1. Schemat wyznaczenia środka sferycznej powierzchni zwarcia wg teorii Monsona w układzie współrzędnych X-Y-Z względem płaszczyzny zwarcia. 332 PROTETYKA STOMATOLOGICZNA, 2007, LVII, 5

Powierzchnia zwarcia Cel pracy Celem pracy było zbadanie czy obustronna regularność przebiegu linii Spee ma wpływ na 4-calowy promień hipotetycznej powierzchni sferycznej w zwarciu naturalnym. Materiał i metoda Badaniu poddano geometrię zwarcia łuków zębowych u 52 studentów stomatologii w wieku 20- -22 lat bez wypełnień ubytków próchnicowych oraz uszkodzeń mechanicznych twardych tkanek w obrębie guzków zwarciowych i brzegów siecznych szczególnie w uzębieniu żuchwy. Podstawą przeprowadzonej selekcji z grupy ok. 180 osób (kobiet i mężczyzn) było czynnościowe ukształtowanie zwarcia optymalnego pełnych łuków z nieregulowanymi ortodontycznie warunkami zgryzowymi (5). Modele diagnostyczne przygotowano z gipsu twardego na podstawie wycisków pobieranych masą alginatową. Pomiary i obliczenia dotyczyły morfologicznego rozmieszczenia 7-punktowej sekwencji punktów zwarciowych w obrębie szczytów guzków policzkowych drugich i pierwszych zębów trzonowych, przedtrzonowych oraz kłów (definiujących obustronny przebieg linii Spee), a także 4 punktów w strefie brzegów siecznych siekaczy bocznych i 2 punktów siekaczy przyśrodkowych. Położenie 20 punktów zwarciowo-aktywnych w żuchwie wg schematu morfologii okluzji Slavicka (6) odwzorowano względem płaszczyzny zwarcia w układzie osi X-Y jako wspólnej płaszczyzny odniesienia. W projekcji strzałkowej (Y-Z) dotyczyło to prostoliniowych odcinków jej krawędzi między skrajnymi punktami zwarciowymi tzn. szczytami guzków dystalno-policzkowych drugich zębów trzonowych a szczytami brzegów siecznych kłów (7) (ryc. 2). Pomiary aksonometryczne metodą fotogrametrii bliskozakresowej realizowano na zdjęciach wykonanych aparatem cyfrowym Nikon Digital D70S z obiektywem Nikon DX 18-70 mm 1:3 5-4,5G ED (8, 9). Obustronne wyznaczenie promienia krzywej Spee aproksymującej układ 7 punktów zwarciowych bocznych o wartościach współrzędnych Y-Z realizowano w oprogramowaniu SpeeCur 2.0 (1) dla oceny geometrii powierzchni zwarcia w dwóch projekcjach (10). Rzeczywistą długość promienia strzałkowej krzywej zwarcia obliczano na podstawie bezwymiarowej wartości indeksu I Spee określającego proporcję między wyznaczonym promieniem krzywej kołowej R a odległością skrajnych punktów zwarciowych Lp na fotogramie w odniesieniu do pomia- Ryc. 2. Wyznaczenie krzywej Spee w układzie współrzędnych Y-Z i obliczenia jej parametrów w tym indeksu I Spee w oprogramowaniu SpeeCur 2.0. 1 Fotogrametryczną procedurę pomiarowo-obliczeniową krzywej zwarcia w projekcji strzałkowej i horyzontalnej w oprogramowaniu SpeeCur 2.0 opracowano w ramach realizacji tematu pracy własnej 011S16 / W1. PROTETYKA STOMATOLOGICZNA, 2007, LVII, 5 333

P. Kurpiel i inni ru wykonanego na modelu diagnostycznym łuku zębowego (7). gdzie: R rz promień rzeczywisty krzywej Spee, R promień krzywej Spee na fotogramie, L rz odległość rzeczywista między skrajnymi punktami zwarciowymi, L P odległość między skrajnymi punktami zwarciowymi na fotogramie. Natomiast pomiary przestrzennego rozmieszczenia tych samych 14 punktów zwarciowych w odcinkach zębów bocznych uzupełnionych o 6-punktową sekwencję w strefie brzegów siecznych zębów przednich wykonywano w Systemie Digitalizacji 3D MicroScribe TM G2X (ryc. 3). Współrzędne 20 punktów referencyjnych mierzono z dokładnością 0.23 mm przy kalibracji między punktami pomiarowymi przy maksymalnym wychyleniu ramienia skanera (certyfikat fabryczny nr 43361 Immersion, San Jose CA, U.S.A.). Dla powtarzalności warunków pomiaru poziomowano płaszczyznę zwarcia w układzie osi X-Y-Z urządzenia skanującego. Poziom współrzędnych X-Y wspólnej płaszczyzny odniesienia, kontrolowano obustronnie porównywalnymi wartościami na pionowej osi Z między pierwszym a dziesiątym punktem zwarciowym tzn.: szczytem guzków dystalno-policzkowych zębów 37 i 47 a punktem przyśrodkowym na brzegach siecznych zębów 31 i 41. Środek hipotetycznej sfery wyznaczano w postępowaniu obliczeniowym programu komputerowego MonsOpt 1.0 (2) przy dopasowaniu do klinicznego układu 20 równoważnych oraz 14 preferowanych punktów zwarciowych bocznych (11). Tym samym zgodnie z założonym celem badania powiązano strzałkową metodę pomiaru w programie SpeeCur 2.0 z procedurą przestrzennego odwzorowania rozmieszczenia punktów referencyjnych wyznaczających przebieg krzywej Spee w odniesieniu do wygenerowanej powierzchni sferycznej (7, 10, 12). Opracowany algorytm programu oparto na gradientowej metodzie najszybszego spadku poszukiwanych wartości. Doprowadzał on cyfrowy zapis współrzędnych do postaci obliczeniowo-graficznej modelu matematycznego hipotetycznej sfery przy aproksymacji rzeczywistego układu oznaczonych 20 punktów zwarciowych (ryc. 4). Kryterium stopnia dopasowania określono najmniejszą sumą kwadratów odległości punktów zwarciowych od ich śladów na poszukiwanej sferze wyznaczonych wzdłuż jej promieni. Wobec tego jako funkcja celu 4 zmiennych: X S, Y S, Z S dla współrzędnych środka i R S dla promienia sfery, powinna spełniać warunek: F min (X S, Y S, Z S, R S ) = Σ i 2 W i Ryc. 3. Przestrzenny pomiar rozmieszczenia 20 punktów referencyjnych w mechanicznym Systemie Digitalizacji 3D MicroScribe TM G2X (Immersion). gdzie: i jest odległością punktu zwarciowego od jego śladu na powierzchni sferycznej; W i jest współczynnikiem wagi opisującym zróżnicowanie ważności punktów zwarciowych w zależności od morfologicznego położenia w łuku zębowym. 2 Program obliczeniowo-graficzny MonsOpt 1.0-Sfera współpracujący z Systemem Digitalizacji 3D-MicroScribe TM G2X (Immersion) opracowano w ramach realizacji tematu w AM 011S16 /W1 oraz projektu KBN 3 T10C 033 26. 334 PROTETYKA STOMATOLOGICZNA, 2007, LVII, 5

Powierzchnia zwarcia Wyznaczenie środka i promienia sfery przy jej przybliżeniu do współrzędnych 20 równoważnych lub 14 preferowanych punktów zwarciowych realizowano w dwóch postępowaniach obliczeniowych: 1) przyjmując hipotezę Monsona o stałym promieniu sfery czterech cali 101,6 mm (1cal = 25,4 mm); 2) zakładając zmienną długość promienia sfery o optymalnym stopniu dopasowania do każdego układu odwzorowanych punktów. Ryc. 5. Przestrzenna prezentacja środka i promieni sfery optymalnej w odwzorowanym układzie punktów zwarciowych i ich śladów. Część interaktywna Sfera programu MonsOpt 1.0. od przyjętej do optymalizacji długości promienia i współczynnika wagi = 1 lub 1 i 0 (ryc. 6). Wyniki i ich omówienie Ryc. 4. Zapis cyfrowy współrzędnych 10 punktów zwarciowych po obu stronach łuku zębowego z graficznym podglądem odwzorowania w programie komputerowym MonsOpt 1.0. Wartości promieni rzeczywistych krzywej Spee obliczone po obu stronach łuków zębowych porównano z dopasowaniem 4-calowego wzorca Monsona Szacowanie dopasowania sfery o zadanej długości promienia do rzeczywistego rozmieszczenia punktów zwarciowych polegało na wyznaczeniu ich odległości od wygenerowanej powierzchni (ryc. 5). Obliczeń dokonywano względem śladów pozostawionych na sferze przez promienie poprowadzone z jej środka do kolejnych punktów zwarciowych. Odległości oznaczano znakiem dodatnim gdy punkt znajdował się poza sferą lub znakiem ujemnym w jej wnętrzu. Zero oznaczało położenie punktu zwarciowego dokładnie na wygenerowanej powierzchni. Miarę dopasowania zdefiniowano wskaźnikiem δ jako średnią arytmetyczną z najmniejszej sumy kwadratów odległości 20 punktów zwarciowych od wygenerowanej sfery w zależności Ryc. 6. Obliczenia stopnia dopasowania 4-calowego wzorca Monsona i promienia sfery optymalnej przy preferencji 14 punktów z przypisana wagą = 1 i 6 punktów z wagą = 0. PROTETYKA STOMATOLOGICZNA, 2007, LVII, 5 335

P. Kurpiel i inni Ryc. 8. Zestawienie wskaźników dopasowania sfery Monsona o wartości średniej 0,38 ± 0,08 przy aproksymacji 20 punktów zwarciowych oraz 0,26 ± 0,01 przy aproksymacji 14 punktów preferowanych. Ryc. 7. Zestawienie promieni krzywej zwarcia Spee o średniej długości 10,1 ± 1,5 [cm] dla strony lewej i 10,6 ± 1,4 [cm] dla strony prawej. o wskaźniku δ oraz długością promienia sfery optymalnej przy aproksymacji 20 równoważnych lub 14 preferowanych punktów zwarciowych. Wartości średnie liczono z oszacowaniem całkowitej niepewności standardowej uzyskanych wyników przy współczynniku rozszerzenia k = 2 odczytanego z tabeli dla pomiarów wykonywanych w naukach przyrodniczych (13, 14). Oznaczało to, że prawdopodobieństwo wyniku obliczeń z dowolnego pomiaru mieściło się w przedziale wartości ± 2S x = 0,954 co odpowiadało poziomowi ufności α = 0,95. Na podstawie porównania średnich wartości długości promienia linii Spee po stronie lewej i prawej oceniono naturalną symetrię regularności jej krzywizny występującą w badanych łukach zębowych (ryc. 7). Wskazywał na to zdecydowanie lepszy stopień dopasowania stałego promienia sfery Monsona do 14 punktów zwarciowych bocznych w porównaniu do pozostałych 6 punktów rozmieszczonych w strefie siekaczy (ryc. 8). Również średnia wartość długości promienia zmiennego dla sfery optymalnej przy aproksymacji 14 preferowanych punktów zwarciowych względem równoważności wszystkich 20 punktów referencyjnych, wskazywała na dominację 4-calowego wzorca sfery zgodnie z hipotezą Monsona jako modelowego kształtu powierzchni zwarcia naturalnego (ryc. 9). Natomiast współzależność strzałkowej regularności linii Spee o czynnościowo ukształtowanej symetrii po obu stronach łuku porównano ze stopniem dopasowania powierzchni sferycznej na wykresie zbiorczym (ryc. 10). Zestawiono w nim wskaźni- Ryc. 9. Zestawienie długości promieni sfery optymalnej o wartości średniej 104,9 ± 5,5 [mm] przy równoważności 20 punktów referencyjnych i 101,0 ± 0,1 [mm] przy 14 punktach preferowanych. Ryc. 10. Zestawienie symetrii promieni krzywej zwarcia Spee przy dopasowaniu 4-calowej sfery Monsona z liniową tendencją wzrostu lub spadku porównywanych wartości. 336 PROTETYKA STOMATOLOGICZNA, 2007, LVII, 5

Powierzchnia zwarcia ki dopasowania 4-calowego wzorca do 14 punktów zwarciowych bocznych (kolor czerwony) oraz wszystkich 20 punktów referencyjnych (kolor niebieski) przy obustronnej regularności krzywej Spee (kolor zielony). Odpowiednimi kolorami wyznaczono linie trendu określające wzrost lub spadek wartości porównywanych parametrów przy aproksymacji wyników wielomianem pierwszego rzędu bliskim jedności. Dyskusja Pionowe odchylenie linii zgryzu od poziomej płaszczyzny zwarcia jest potocznie znane jako krzywa zwarcia Spee. Obustronnie ilustruje ją obwód walca o powierzchni stycznej do brzegów siecznych zębów przednich i guzków zwarciowych zębów bocznych oraz przedniej granicy kłykci stawowych żuchwy. Spee wyznaczał oś tego walca centrowaną prostopadle do płaszczyzny środkowo- -strzałkowej wzdłuż linii przecięcia z płaszczyzną podoczodołową w odległości ok. 6,5-7 cm. Natomiast Monson zaproponował przestrzenne odniesienie tej samej krzywej zwarcia do sfery o środku lokalizowanym w miejscu anatomicznej gładzizny oddalonym o przeciętną wartość czterech cali od powierzchni okluzyjnych wszystkich zębów w łuku i wyrostków kłykciowych żuchwy. Oznaczało to, że zakrzywienie linii zwarcia można odwzorować strzałkowo w przybliżeniu do regularnej powierzchni walca i jednocześnie do powierzchni sferycznej w układzie przestrzennym. Z tego względu w prowadzonych badaniach wielu autorów opisuje kształt linii Spee w postaci matematycznego modelu obliczeniowego bazującego na morfometrycznych pomiarach modeli diagnostycznych łuków zębowych żuchwy (15, 16, 17, 18, 19, 20, 21). W postępowaniu klinicznym dotyczy to głębokości krzywej Spee mierzonej względem płaszczyzny zwarcia wzdłuż jej promienia w odniesieniu do długości obwodu łuku zębowego (16). W regulacji warunków zgryzowych wymagających spłycenia linii zwarcia stosuję się zasadę zweryfikowaną na podstawie pomiarów i obliczeń przez Baldridge a (17) a następnie przez Garcia ę (18), że do obustronnego wyrównania każdego milimetra krzywej Spee potrzeba dodatkowo ok. 1 mm obwodu po lewej i prawej stronie łuku. Można to uzasadnić czynnościową współzależnością występującą w geometrii zwarcia naturalnego opisaną na wykresie liniami trendu wyznaczonych parametrów. Każde spłycenie krzywej zwarcia po obu stronach łuku związane z wydłużeniem jej promienia w projekcji strzałkowej, prowadzi do przemieszczenia linii Spee przy możliwie optymalnym dopasowaniu do powierzchni sferycznej o stałym promieniu dla danego przypadku, czego konsekwencją jest odpowiednie zwiększenie obwodu łuku zębowego. Opracowane metody wyznaczania parametrów geometrii powierzchni zwarcia można odnieść w sposób uproszczony do założeń modeli matematycznych dwóch kształtów linii Spee: w formie zwisającego łańcucha i łuku Bonwilla-Hawleya (19). Krzywa łańcuchowa jest gładką krzywą ciągłą zbliżoną do przestrzennego odwzorowania układu 20 punktów zwarciowych w trzech sekwencjach aproksymowanych wygenerowaną sferą w oprogramowaniu MonsOpt 1.0. Natomiast kształt łuku Bonwilla-Hawleya podzielono w obliczeniach na trzy odcinki. Opisują go dwa prostoliniowe odcinki boczne między drugim zębem trzonowym a kłem oraz zakrzywiony odcinek przedni w obrębie siekaczy. Odpowiadają one założeniom aksonometrycznego rozmieszczenia 7 punktów zwarciowych w projekcji strzałkowej prawej i lewej uzupełnionych o 6 punktową sekwencję w strefie siekaczy odwzorowaną w projekcji horyzontalnej programu SpeeCur 2.0. Należy zaznaczyć, że parametry kształtu powierzchni zwarcia wyznaczone metodą fotogrametrii bliskozakresowej w dwóch projekcjach nawiązują do postępowania pomiarowo-obliczeniowego zastosowanego przez Hitchcocka (15) oraz Ferrario i wsp. (20) w matematycznym zdefiniowaniu krzywej Spee. Natomiast procedura przestrzennego odwzorowania rzeczywistego układu punktów zwarciowych w Systemie Digitalizacji 3D MicroScribe TM G2X względem powierzchni sferycznej, odpowiada współrzędnościowej metodzie zastosowanej przez Brauna i wsp. (16) oraz Ito i wsp. {21) w określeniu związku kształtu krzywej Spee i krzywej transwersalnej z zaburzeniami czynnościowymi narządu żucia. Reasumując można stwierdzić, że wykorzysta- PROTETYKA STOMATOLOGICZNA, 2007, LVII, 5 337

P. Kurpiel i inni nie współczesnej technologii w zakresie pomiarów i obliczeń wspomaganych komputerowo daje możliwość dokładnej oceny indywidualnych różnic w geometrii zwarcia oraz prezentacji graficznej wyników opartych na ogólnie przyjętych kryteriach opisowych kształtu charakteryzujących zharmonizowaną czynność układu stomatognatycznego w klinicznym stanie ortofunkcji (22). Wnioski Pomiary i obliczenia morfologicznego rozmieszczenia 20 punktów zwarciowych w 52 zbadanych łukach zębowych wykazały: występowanie naturalnej symetrii krzywej Spee, którą określało regularne rozmieszczenie 7-punktowej sekwencji w obrębie guzków zwarciowych zębów trzonowych, przedtrzonowych i brzegów siecznych kłów, istotnie wyższy stopień dopasowania 4-calowego wzorca Monsona przy porównywalnej długości promienia sfery optymalnej w procedurze aproksymacji 14 punktów referencyjnych bocznych względem równoważności 6 punktów zwarciowych w strefie siekaczy. Piśmiennictwo 1. Spee F. G.: The gliding path of the mandible along the skull. Archiv. of Anat. u Phys. 1890, 16, 285-294. Translated by Biedenbach M. A., Hotz M., Hitchcock H. P., J. Am. Dent. Assoc., 1980, 100, 670-675. 2. Monson G. S.: Occlusion as applied to crown and bridge work. J. Nat. Dent. Assoc., 1920, 7, 5, 399-413. 3. Bonwill W. G. A.: The scientific articulation of the human teeth as founded on geometrical, mathematical and mechanical laws. Dent. Items. Interset., 1899, X, 656-678. 4. Monson G. S.: Applied mechanics in the theory of mandibular movements. Dent. Cosmos, 1932, 74, 1039-1047. 5. Dawson P. E.: Evaluation, diagnosis and treatment of occlusal problems. St. Louis C. V. Mosby Co. 1974, 293-299. 6. Slavicek R., Mack H.: Die funktionelle Morphologie der Okklusion. Dental-Labor, 1980, 28, 1307-1318. 7. Michalski W., Bączkowski B., Sorbian M.: Zastosowanie metody fotogrametrycznej do wykreślania analizy i oceny krzywej Spee. Protet. Stomatol., 2002, LII, 1, 35-40. 8. Winiarska-Majczyno M., Michalski W.: Przydatność metody fotogrametrycznej dla diagnostyki asymetrii twarzy. Czas. Stomatol., 1982, XXXV, 3, 133-139. 9. Kurczyński Z., Preuss R.: Podstawy fotogrametrii. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2000. 10. Michalski W., Bączkowski B., Michniowski Z.: Geometryczny aspekt powierzchni zwarcia w analizie i ocenie porównawczej. Protet. Stomatol., 2002, LII, 5, 264-272. 11. Michalski W., Michniowski Z., Kuchta M., Wasek M.: Kliniczny kształt krzywej zwarcia a wyidealizowana powierzchnia sferyczna. Część I. Badanie stopnia dopasowania na modelu matematycznym układu. Protet. Stomatol., 2004, LIV, 6, 375-383. 12. Hanau R. L.: Articulation defined, analyzed and formulated. J. Am. Dent. Assoc., 1926, 13, XII, 1964-1709. 13. Guide to the expression of uncertainty in measurement ISO-IEC-OIML-BIPM, TAG 4/WG (1995), wyd. pol. Wyrażanie niepewności pomiaru Przewodnik. Główny Urząd Miar, Warszawa 1999. 14. Expression of the uncertainty of measurement in calibration., wyd. pol. Zakładu Metrologii Ogólnej Głównego Urzędu Miar ISBN 83-906546-2-8, Warszawa 2001. 15. Hitchcock H. P.: The curve of Spee in stone age man. Am. J. Orthod. 1983, 84, 248-253. 16. Braun S., Hnat W. P., Johnson B. E.: The curve of Spee revisited. Am. J. Orthod. Dentofac. Orthop., 1996, 110, 2, 206-210. 17. Baldridge D. W.: Leveling the curve of Spee: its effect on mandibular arch length. J. Pract. Orthodont., 1969, 3, 26-41. 18. Garcia R.: Leveling the curve of Spee: a new prediction formula. J. Tweed Found, 1985, 13, 65-72. 19. Germane N., Staggers J. A., Rubinstein L., Revere J. T.: Arch length considerations due to the curve of Spee: A mathematical model. Am. J. Orthod. Dentofac. Orthop., 1992, 102, 3, 251-255. 20. Ferrario V. F., Sforza C., Miami A. Jr., Kolombo A., Tartaglia G.: Mathematical definition of the curve of Spee in permanent healthy dentitions in mann. Archs. Oral Biol., 1992, 37, 691-694. 21. Ito H., Okimoto K., Mizumori T., Terada Y., Mruyama T.: Badanie kliniczne dotyczące związku pomiędzy krzywą zwarciową a zaburzeniami czynnościowymi narządu żucia. Quintess. 1997, V, 4, 249-254. 22. Koeck B. (red.), Troest T.: Zaburzenia czynnościowe narządu żucia. Kształt i czynność układu stomatognatycznego. Urban & Partner, Wrocław 1997. Zaakceptowano do druku 9.VIII.2007 r. Adres autorów: 02 006 Warszawa, ul. Nowogrodzka 59. Zarząd Główny PTS 2007. 338 PROTETYKA STOMATOLOGICZNA, 2007, LVII, 5