1. FILTRY CYFROWE 1.1 DEFIICJA FILTRU W sytuacji, kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie Filtracją nazywamy proces przetwarzania sygnału w dziedzinie czasu. Polegający na redukowaniu i odfiltrowywaniu nie pożądanych składowych zawartych w sygnale wejściowym. Filtrem możemy nazwać każde urządzenie posiadające selektywne charakterystyki częstotliwościowe. atomiast Filtr cyfrowy to algorytm lub proces obliczeniowy w wyniku którego jedna sekwencja liczb (tzn. sygnał wejściowy) zamieniany jest w inną sekwencję (tzn. sygnał wyjściowy). 1.2 SPOSOBY OPISU FILTRÓW Opisując filtry cyfrowe używa się tych samych zależności co do opisu układów dyskretnych. Poszukuje się liniowej zależności pomiędzy dwoma ciągami reprezentującymi sygnały wejściowe i wyjściowe. Zależność taka nosi nazwę równania różnicowego i jest jednym ze sposobów opisu filtrów cyfrowych. Ogólna postać liniowego równania różnicowego przedstawiona jest poniżej: y kt s = m=0 a m u k m T s b n y k n T s (1.1) n=1 Równanie jest stacjonarne, jeśli parametry a m i b n są niezależne od czasu. Liczbę (, ) nazywa się rzędem równania różnicowego oraz rzędem lub stopniem układu dyskretnego opisanego przez równanie różnicowe. Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej: m y ( kt ) h( mt ) u(( k m) T ) s s ożna też opisać filtr za pomoc przekształcenia Z. s (1.2) H z = Y z a m z m U z = m=0 (1.3) b n z n 1 n=1 Funkcja H(z) jest transmitancją liniowego stacjonarnego układu dyskretnego. Transmitancja jest funkcją zmiennej zasolonej z. 1.3 STRUKTURA Do podstawowych elementów opisujących liniowe filtry cyfrowe należą widoczne na rys.1.1, 1.2, 1.3 sumator wykonujący operacje arytmetyczne.
Rys. 1.1 Sumator. Układ mnożący służy do mnożenia próbek sygnałów przez współczynniki, które w klasie stacjonarnych filtrów cyfrowych są stałymi. Rys. 1.2 Element mnożący. Sumatory i elementy mnożące są to tzw. elementy statyczne. w odróżnieniu do widocznego poniżej rejestru pamięci. Jest to element opóźniający sygnał o jedną próbkę należy on do elementów dynamicznych. Rys. 1.3 Rejestr pamięci. Podstawowe połączenia tych elementów to połączenie równoległe widoczne poniżej: Rys. 1.4 Połączenie równoległe układów dyskretnych. Opisuje się je następującą zależnością: h kt s =h 1 kt s h 2 kt s (1.4) H z) H ( z) H ( ) (1.5) ( 1 2 z oraz połączenie kaskadowe Rys. 1.5 Połączenie kaskadowe układów dyskretnych.
Opisane równaniami: h kt s =h 1 kt s h 2 kt s (1.6) H z) H ( z) H ( ) (1.7) ( 1 2 z 1.4 CHARAKTERYSTYKI I KRYTERIA OCEY FILTRÓW Do podstawowych charakterystyk opisujących filtry należą zależności między częstotliwością a amplituda i fazą oraz zależność napięcia od czasu. Analizując te charakterystyki można porównać i ocenić parametry różnych filtrów. Omówiona zostanie najpierw charakterystyka amplitudowa, która przedstawia zależność amplitudy od częstotliwości. ożna z niej odczytać, które częstotliwości zostały wytłumione i w jakim stopniu, oraz czy nie zostały zniekształcone częstotliwości w paśmie przepustowym. Rys.1.6 przedstawia charakterystykę filtru dolnoprzepustowego: Rys. 1.6 Charakterystyka amplitudowa filtru dolnoprzepustowego. Wyróżnia się tu : Pasmo przepustowe to obszar częstotliwości, w którym sygnał przechodzi przez układ praktycznie nie osłabiony. Pasmo to rozciąga się do punktu w którym amplituda spada poniżej 3dB wartości nominalnej. Punkt ten nazywany jest częstotliwością odcięcia f 3dB. Obszar przejściowy nazywany stromością nachylenia charakterystyki określa szybkość zmiany wzmocnienia wraz z częstotliwością, zawiera się między pasmo przepustowym a zaporowym. Pasmo zaporowe to pasmo częstotliwości których amplituda ma zostać zmniejszona poniżej zaprojektowanego poziomu. Parametry oceny filtru to tętnienie pasma przepustowego i zaporowego oraz stromość nachylenia charakterystyki. W zależności od przeznaczenia filtru dopuszcza się pewien poziom tętnienia jak i określoną szerokość obszaru przejścia, możliwe jest zaprojektowanie filtru z bardzo stromą charakterystyką lub taki, który nie wprowadza zakłóceń w paśmie przepustowym. Charakterystyka fazowa to zależność fazy do częstotliwości. Odpowiedź fazowa jest ściśle związana z czasem opóźnienia przechodzącego przez filtr sygnału dla różnych częstotliwości. Filtry o liniowej odpowiedzi fazowej opóźniają wszystkie częstotliwości o taki sam czas. Filtry o nieliniowej odpowiedzi fazowej opóźniają różne częstotliwości o różne okresy, co wprowadza zakłócenia podobne do zjawiska rozproszenia sygnału radiowego wynikające z nieustannie zmieniającą się drogą emitowanych fal. Charakterystyka fazowa widoczna jest na rys.1.7. nie jest to charakterystyka idealnie liniowa ponieważ widoczne są lekkie oscylacje fazy.
Rys. 1.7 Charakterystyka fazowa filtru. Odpowiedź na skok jednostkowy to odpowiedź filtru gdy na jego wejście podamy funkcję skoku jednostkowego. Jest to zależność napięcia od czasu, analiza tej charakterystyki jest ważna ponieważ pozwala ocenić jak szybko układ po załączeniu lub zmianie napięcia osiągnie stan ustalony. Rys. 1.8 Odpowiedź na funkcję skoku jednostkowego. Wyróżnia się tu: Czas narastania odpowiedzi- jest to czas w którym napięcie wyjściowe osiągnie poziom 90% do swojej wartości maksymalnej (t r ). Czas ustalania- czas w jakim napięcie wyjściowe ustala się w obrębie 5% odchylenia od swojej wartości końcowej (t s ). Przerzut-maksymalna wartość napięcia o jakie napięcie wyjściowe przewyższa chwilowo swoją wartość końcową. Tętnienie-oscylacje wokół średniej wartości końcowej.[6] 1.5 TYPY FILTRÓW Wyróżniamy cztery podstawowe typy filtrów, należą do nich filtr Butterwortha, Czebyszewa, Eliptyczny i Bessela. Są to filtry czasu ciągłego majce swoje aproksymacje w układach dyskretnych zazwyczaj jako filtry o strukturze OI. Filtr Butterwortha charakteryzuje się płaskim pasmem przepustowym, nieliniowością charakterystyki fazowej oraz małą stromością charakterystyki, którą można zwiększyć zwiększając rząd filtru co jednak radykalnie zwiększa ilość obliczeń.
Rys. 1.9 Charakterystyka amplitudowa filtru Butterwortha dla różnych rzędów filtru. Filtr opisany jest wzorem: H a jω a 2 1 = 1 ω a ω ap 2 (1.8) - rząd filtru; a -częstotliwość kątowa; ap -częstotliwość graniczna; Filtr Butterwortha wykorzystywany jest rzadko zarówno z powodu nie spełnienia wymagań na ostre nachylenie charakterystyki jak i nieodpowiedniej odpowiedzi fazowej. Filtr Czebyszewa charakteryzuje się tętnieniami pasma przepustowego oraz zaporowego, nieliniowością charakterystyki fazowej i większą w porównaniu z filtrem Butterwortha stromością charakterystyki. Filtr opisany jest wzorem: 2 1 H a ( j ) a 2 2 1 T ( a ) (1.9) -stała określająca ilość tętnień w paśmie przepustowym; 2 T ( a )-wielomian Czebyszewa; Filtr Czebyszewa stanowi ulepszenie filtru Butterwortha w stosunku do nachylenia charakterystyki, tym niemniej obydwa te filtry mają niezadowalającą odpowiedz fazową a filtr Czebyszewa nawet gorszą. Filtr Czebyszewa jest też czasem nazywany filtrem o równomiernym falowaniu, gdyż tętnienia w obrębie całego pasma przepustowego są jednakowe. Ponadto gęstość ich wzrasta wraz ze wzrostem rzędu filtru. Filtr Eliptyczny (Cauera) charakteryzuje się dużą nieliniowością charakterystyki fazowej oraz dużą stromością nachylenia charakterystyki. W paśmie przepustowym jak i zaporowym występują tętnienia. Filtr Eliptyczny można stosować tylko tam, gdzie faza nie stanowi istotnego parametru projektowego. Filtr opisany jest wzorem: H a jω a 2 1 = 1 ε 2 U 2 ω a 2 U ( ) -funkcja Jacobiego; a (1.10)
Filtr Bessela lub Thompsona charakteryzuje się wyjątkowo płaską charakterystyką fazową ale małą stromością charakterystyki amplitudowej. a rys 1.10, 1.11, 1.12 są przedstawione charakterystyki różnych rodzajów filtrów. Rys. 1.10 Charakterystyka fazowa filtrów Bessela, Butterwortha,Eliptycznego, Czebyszewa I i drugiego Czebyszewa II. Rys.1.11.Charakterystyka amplitudowa filtrów Bessela, Butterwortha,Eliptycznego, Czebyszewa I i drugiego Czebyszewa II.
Rys. 1.12 Odpowiedź na funkcję skoku jednostkowego filtrów Bessela, Butterwortha, Eliptycznego, Czebyszewa I i drugiego Czebyszewa II. Podczas projektowania filtrów osiągnięcie właściwej odpowiedzi amplitudowej jest tylko częścią problemu. ieodpowiednia odpowiedź fazowa może nastręczyć wielu kłopotów w różnorodnych zastosowaniach w szczególności w systemach audio. Przychodzą tu z pomocą filtry Bessela, które mają wyjątkowo płaską charakterystykę odpowiedzi fazowej w całym paśmie przepustowym. W celu osiągnięcia dobrej odpowiedzi fazowej trzeba poświęcić stromość nachylenia charakterystyki amplitudowej. 1.6 PODZIAŁ FILTRÓW Filtry dzieli się ze względu na rodzaj przetwarzanych informacji na : Dolnoprzepustowe zmniejszające amplitudę tych częstotliwości zawartych w sygnale, które są większe od częstotliwości granicznej. Taki filtr widoczny jest na rys.1.13. Rys. 1.13 Przedział tolerancji i przebieg charakterystyki amplitudowej filtru dolnoprzepustowego. Górnoprzepustowe zmniejszające amplitudę tych częstotliwości zawartych w sygnale, które są mniejsze od częstotliwości Pasmowozaporowe i pasmowoprzepustowe zmniejszające amplitudą wybranych przedziałów częstotliwości. Rys. 1.14 przedstawia filtr pasmowozaporowy.
Rys. 1.14 Przedział tolerancji i przebieg charakterystyki amplitudowej filtru pasmowozaporowego. Ze względu na sposób przetwarzania informacji filtry dzieli się na: Filtry nierekursywne o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI)( ang. finite impulse response FIR). Są to filtry w strukturze których nie występuje pętla sprzężenia zwrotnego, każda próbka odpowiedzi nie zależy od poprzednich a jedynie od próbek wymuszenia. W rezultacie odpowiedź impulsowa dowolnego filtru nierekursywnego ma zawsze skończoną liczbę próbek. Układy te są zawsze stabilne i charakteryzują się liniowymi charakterystykami fazowymi. Filtry SOI opisuje równanie różniczkowe: y kt s = a m u k m T s (1.11) m=0 Transmitancja: H z = a m z m = h mt s z m =K 1 z m z 1 (1.12) m=0 m=0 m=1 K a 0 h(0); Transmitancja filtru SOI to wielomian zmiennej z -1. Parametry projektowe to zera z m transmitancji, wszystkie bieguny leżą zawsze w początku układu współrzędnych. Przykładową strukturę filtru SOI przedstawia rysunek 1.15. Rys. 1.15 Przykładowa struktura filtru SOI. Filtry rekursywne o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (OI) (ang. infinite impulse response IIR). Są to filtry w strukturze których występuje pętla sprzężenia zwrotnego, każda próbka odpowiedzi zależy od poprzednich.w rezultacie odpowiedź impulsowa dowolnego filtru
rekursywnego może mieć nieskończoną liczbę próbek. Filtry te charakteryzują się lepszymi charakterystykami amplitudowymi przy niższych rzędzie filtru niż filtry SOI. Filtry OI opisuje równanie różniczkowe: y kt s = m=0 a m u k m T s n=1 b n y k n T s (1.13) Transmitancja: m H z = Y z U z = m=0 K =a 0 ; 1 n=1 a m z m b n z n =K i=1 j=1 1 z i z 1 1 p j z 1 (1.14) Parametrami projektowymi filtrów OI są bieguny p j i zera z i transmitancji H(z). Przykładową strukturę filtru OI przedstawia rys. 1.16. Rys. 1.16. Przykładowa struktura filtru OI. Dla porównania rys.1.17. przedstawia charakterystykę amplitudową filtru SOI i OI.
Rys. 1.17 Porównanie charakterystyki amplitudowej filtrów SOI 19 rzędu i OI 4 rzędu. Widać na nim, że filtr OI pomimo niższego rzędu charakteryzuje się mniejszym tętnieniem pasm, zaporowego i przepustowego oraz większą stromością charakterystyki. ależy przy tym nie zapominać, że filtry SOI posiadają się liniowa charakterystyką fazową, co jest trudne do osiągnięcia stosując filtr OI.