Pytania na egzaminie magisterskim dotyczą głównie zagadnień związanych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygotowanym również na pytania sprawdzające podstawową wiedzę ze wszystkich zaliczonych wykładów. Poniżej podane są przykładowe pytania. Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej. 1. - Definicja liczby pierwszej. Dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. 2. - Definicja liczby algebraicznej. Dowód istnienia liczb niealgebraicznych. 3. - Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych. 4. - Definicja zbioru przeliczalnego i nieprzeliczalnego. Przykłady takich zbiorów. 5. - Dowód nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych. 6. - Dowód nieprzeliczalności zbioru liczb niealgebraicznych. 7. - Definicja liczby niewymiernej. Przykłady liczb niewymiernych. 8. - Dowód niewymierności liczby 2. 9. - Zasada indukcji matematycznej. Przykłady dowodów wykorzystujących zasadę indukcji. 10. - Rozwinięcia dziesiętne liczb rzeczywistych. 11. - Podstawowe twierdzenia o ciągach liczbowych (z dowodami). 12. - Dowód zupełności zbioru liczb rzeczywistych. 13. - Udowodnić, że każdy ciąg monotoniczny i ograniczony na prostej rzeczywistej jest zbieżny. 14. - Kryteria zbieżności szeregów. Przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych.
15. - Dowód rozbieżności szeregu harmonicznego. 16. - Wykazać, że funkcja ciągła określona na odcinku domkniętym jest ograniczona. 17. - Własnośc Darboux funkcji określonej na odcinku, definicja i zastosowania. 18. - Przykład funkcji nie mającej własności Darboux. Związek między własnością Darboux i ciągłością funkcji. 19. - Funkcje jednostajnie ciągłe. Przykłady. 20. - Definicja pochodnej w punkcie funkcji rzeczywistej. Interpretacja geometryczna i fizyczna. 21. - Wzór na pochodną funkcji złożonej (z dowodem). 22. - Związek między ciągłością i różniczkowalnością funkcji. 23. - Definicja n tej pochodnej. Przykład funkcji mającej pierwszą i drugą pochodną i niemającej trzeciej pochodnej. 24. - Twierdzenie Rolle a (z dowodem). 25. - Twierdzenie Lagrange a o wartości średniej. Interpretacja geometryczna. 26. - Twierdzenie Taylora i jego zastosowania. 27. - Warunki konieczne i wystarczające na istnienie ekstremum lokalnego funkcji rzeczywistej określonej na prostej rzeczywistej. 28. - Funkcja pierwotna, definicja, podstawowe własności. 29. - Całka Riemanna. Definicja i podstawowe własności. 30. - Przykład funkcji rzeczywistej określonej na odcinku domkniętym niecałkowalnej w sensie Riemanna. 31. - Dowód całkowalności w sensie Riemanna funkcji ciągłych na odcinku domkniętym.
32. - Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego. 33. - Całkowanie przez części. 34. - Całkowanie przez podstawienie. 35. - Zastosowania całek oznaczonych do obliczania objętości brył, pól powierzchni i długości krzywych. Topologia 36. - Przestrzenie metryczne i ich przykłady. Kula, wnętrze zbioru i zbiór otwarty. Domknięcie i zbiór domknięty. 37. - Definicja ciągu zbieżnego w przestrzeni metrycznej. Przykłady ciągów zbieżnych i rozbieżnych. 38. - Podprzestrzeń i iloczyn kartezjański jako przykłady operacji na przestrzeniach metrycznych. 39. - Definicja ciągłości funkcji w sensie Cauchy ego oraz sformułowania równoważne: w języku ciągów (warunek Heinego) i w języku przeciwobrazów. 40. - Spójne przestrzenie metryczne. Opis wszystkich spójnych podzbiorów prostej. 41. - Zwarte przestrzenie metryczne. Twierdzenie Cantora i Twierdzenie Borela-Lebesgue a. 42. - Własności funkcji ciągłych na przestrzeniach zwartych. 43. - Charakteryzacja podzbiorów zwartych w R n. 44. - Charakteryzacja podzbiorów zwartych przestrzeni funkcji ciągłych określonych na odcinku domkniętym. Twierdzenie Arzéli-Ascoliego. 45. - Przestrzenie zupełne, przykłady. Związek między zwartością i zupełnością. 46. - Pojęcie przestrzeni topologicznej. Baza topologii. Przykłady przestrzeni topologicznych i niemetrycznych.
47. - Ciągłe odwzorowania przestrzeni topologicznych. Homeomorfizmy. Funkcje Wielu Zmiennych 48. - Definicja pochodnych cząstkowych. Związek między istnieniem pochodnych cząstkowych i ciągłością funkcji. 49. - Definicja pochodnej funkcji rzeczywistej wielu zmiennych. Związek miedzy istnieniem pochodnej i ciągłością funkcji. 50. - Twierdzenie o funkcji odwrotnej. 51. - Gradient funkcji. Definicja i interpretacja geometryczna. 52. - Twierdzenie o funkcji uwikłanej. Wzór na pochodną funkcji uwikłanej. 53. - Warunki konieczne i wystarczające istnienia ekstremum funkcji rzeczywistej dwóch zmiennych. 54. - Szukanie wartości minimalnej i maksymalnej funkcji rzeczywistej dwóch zmiennych określonej na zbiorze zwartym. 55. - Ekstrema warunkowe. Mnożniki Lagrange a. 56. - Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych. 57. - Całka Riemanna z funkcji ciągłej wielu zmiennych. Definicja i podstawowe własności. 58. - Miara Jordana zbioru, podstawowe jej własności. 59. - Miara Jordana i Lebesgue a zbioru liczb wymiernych na odcinku. 60. - Obliczanie całek n-krotnych. Twierdzenie Fubiniego. 61. - Jakobian funkcji. Definicja i interpretacja geometryczna. 62. - Wzór na zamianę zmiennych w całce n-krotnej i jego zastosowania. 63. - Całka krzywoliniowa zorientowana i niezorientowana. Definicja i interpretacja fizyczna.
64. - Pole potencjalne. Kryteria potencjalności pola. Całka krzywoliniowa z pola potencjalnego. 65. - Wzór Greena i jego zastosowania. 66. - Całki powierzchniowe zorientowane i niezorientowane. Definicje, podstawowe własności, interpretacja fizyczna. 67. - Dywergencja pola wektorowego. Definicja i interpretacja fizyczna. 68. - Całka z dywergencji pola wektorowego. Twierdzenie Gaussa. 69. - Rotacja pola wektorowego. Wzór Stokesa. Funkcje Zespolone 70. - Pochodna funkcji zespolonej. Definicja, interpretacja modułu i argumentu pochodnej. 71. - Wzory Cauchy ego - Riemanna. 72. - Związek między istnieniem pochodnej a rozwijalnościa funkcji w szereg potęgowy. 73. - Całka krzywoliniowa z funkcji zespolonej. Wzór całkowy Cauchy ego. 74. - Szereg Laurenta. Wzór na współczynniki tego szeregu. 75. - Residua funkcji zespolonej. Zastosowanie do obliczania całek z funkcji rzeczywistej. Równania Różniczkowe 76. - Całkowanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych, w różniczce zupełnej, liniowych. 77. - Twierdzenie Peano o istnieniu rozwiązań zagadnienia Cauchy ego. 78. - Twierdzenie Picarda- Lindelofa (z dowodem). 79. - Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu.
80. - Układy równań liniowych. Portrety fazowe układów równań liniowych na płaszczyźnie. Rachunek Prawdopodobieństwa 81. - Klasyczna i aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa. Podstawowe własności prawdopodobieństwa. 82. - Dowód ciągłości prawdopodobieństwa na ciągach zdarzeń wstępujących i zstępujących. 83. -Pojęcie zm. losowej, wektora losowego, rozkładu, rozkładów brzegowych, parametrów rozkładu- wartość oczekiwana i wariancja, podstawowe własności. 84. - Podstawowe rozkłady dyskretne i absolutnie ciągłe. 85. - Nierówność Czebyszewa i jej dowód- przykłady zastosowań. 86. - Niezależność zmiennych losowych, splot rozkładów. Dowód własności: E(XY ) = EXEY, dla niezależnych zm. losowych X, Y. 87. - Rozkłady warunkowe, warunkowa wartość oczekiwana - podstawowe w własności, martyngały - przykłady. 88. -Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych: zbieżność z prawdopodobieństwem jeden, wg prawdopodobieństwa, zb. w L 2, zb.wg rozkładuzwiązki miedzy nimi. 89. - Mocne i Słabe Prawo Wielkich Liczb ( Chinczyna, Kołmogorowa). 90. - Funkcja charakterystyczna rozkładu i jej własności-zwiazek z rozkładem ( tw. Bochnera). 91. - Centralne Tw. Graniczne Lindenberga -Levy ego. Przykłady zastosowańaproksymacja rozkłądem normalnym. Analiza Funkcjonalna 92. - Przestrzenie Banacha i ich przykłady.
93. - Przykłady przestrzeni Hilberta i ich przykłady. 94. - Przykład przestrzeni Banacha, która nie jest przestrzenią Hilberta. 95. - Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha 96. - Postać funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta. 97. - Charakteryzacja przestrzeni Banacha nieskończonego wymiaru. Algebra Liniowa 98. - Układy równań liniowych, postać kanoniczna Gaussa-Jordana, Twierdzenie Kroneckera-Capelliego. 99. - Przestrzenie wektorowe (przykłady). Liniowa niezależność wektorów. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej. 100. - Przekształcenia liniowe i ich macierzowe reprezentacje. Twierdzenie o wymiarze obrazu i jądra przekształcenia liniowego. 101. - Wielomian charakterystyczny i wartości własne macierzy. Diagonalizacja macierzy. 102. - Iloczyn skalarny wektorów, suma prosta podprzestrzeni, dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni. Algebra Abstrakcyjna 103. - Definicja i przykłady grup. Podgrupy, warstwy i Twierdzenie Lagrange a. 104. - Homomorfizm grup, grupy ilorazowe i Twierdzenie o Homomorfizmie. 105. - Pierścienie i ciała (definicje i przykłady). Twierdzenie o klasyfikacji ciał skończonych. 106. - Ideały w pierścieniach, homomorfizm pierścieni i pierścienie ilorazowe. 107. - Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach. Pierścienie Euklidesowe i Dziedziny Ideałów Głównych.
108. - Ciało liczb zespolonych, grupa pierwiastków z jedynki stopnia n i Zasadnicze Twierdzenie Algebry. 109. - Ciało liczb algebraicznych, ciało liczb konstruowalnych i Twierdzenie Gaussa (o konstruowalności wielokątów foremnych). 110. - Algebry ogólne, kongruencje w algebrach ogólnych i Zasadnicze Twierdzenie o Homomorfizmie.