Stanisław KOWALIK Politechnika Śląska, Gliwice APROKSYMACJA DANYCH RÓŻNYMI FUNKCJAMI PRZY OBLICZENIACH DEFORMACJI TERENU Streszczenie. W pracy dokonano aproksymacji danych liczbowych dotyczących przemieszczeń poziomych funkcjami: funkcja Gaussa, arcus tangens, tangens hiperboliczny, funkcja logistyczna i wielomiany 4, 5 i 6 stopnia. Określono też całki z tych funkcji. Wyniki aproksymacji porównano przy pomocy błędu średniokwadratowego. DATA APROXIMATION BY DIFFERENT FUNCTIONS IN CALCULATIONS OF GROUND DEFORMATION Summary. In this paper an approximation of numerical data applied to horizontal relocations has been made using functions: Gauss function, arc tangent, hyperbolic tangent, logistic function and polynomiasls of 4, 5 and 6 grade. Integrals of these functions have been also specified. Results of these approximations have been compared using average square error. 1. Wprowadzenie Eksploatacja górnicza powoduje deformację powierzchni terenu. Zagadnienie to jest ważne, ponieważ eksploatację często prowadzi się pod terenami gęsto zaludnionymi (wysoko zurbanizowanymi). W wyniku deformacji terenu powstają szkody górnicze. Przewidywanie kształtu osiadania terenu pod wpływem przemieszczającego się frontu eksploatacyjnego pozwala na podjęcie decyzji o zmianach w projektach eksploatacji w celu ochrony powierzchni [4]. 15
W celu opisu omawianych zagadnień tworzy się pewne teorie geometryczno-całkowe. Wspólną cechą teorii geometryczno-całkowych jest założenie istnienia funkcji wpływu f(x), gdzie x oznacza poziomą odległość rozpatrywanego punktu na powierzchni lub w górotworze od elementów wybranej powierzchni oraz przyjęcie zasady superpozycji wpływów [4]. Obliczanie osiadania polega na obliczaniu całki z funkcji wpływów po wyeksploatowanym obszarze i wymnożeniu jej przez odpowiednie stałe. W praktyce różni autorzy przyjęli różne wzory na funkcję wpływów stąd mamy różne teorie całkowe. Istnieją też rozwiązania, gdzie autorzy podają wzory na osiadanie bez definiowania funkcji wpływów, które są następnie weryfikowane z wynikami pomiarów [4]. Przy opisie funkcji wpływów najczęściej wykorzystuje się rozkład normalny z pewnymi współczynnikami f ( x ) ( x m ) 1 e (1) Do wyznaczenia osiadania potrzebne jest obliczenie całki z tej funkcji. Wiadomo,że całki z funkcji f(x) nie da się wyrazić w postaci jawnej i należy ją obliczać w sposób numeryczny x f F ( x ) ( t )dt () Kształty podobne do funkcji (1) i () można zauważyć na rysunkach 1,, 3, 4, 5 i 6.. Przykłady kształtu funkcji wykorzystywanych przy obliczeniach deformacji terenu Rysunek 1 przedstawia prognozowany przebieg w czasie osiadania rozpatrywanego punktu dla różnych prędkości postępu frontu. Widać tu wyraźnie przebiegi przypominające swym kształtem funkcję f(x) określoną wzorem (1) i funkcję F(x) określoną wzorem (). Podobnie ma się na następnych rysunkach. Rysunek przedstawia osiadanie otrzymane z pomiarów oraz obliczone teoretycznie przy wyznaczonych parametrach. Rysunek 3 przedstawia przemieszczenia poziome otrzymane z pomiarów oraz obliczone teoretycznie przy parametrze r w obliczonym z osiadań. Na rysunku 4 pokazane są przemieszczenia poziome otrzymane z pomiarów oraz obliczone teoretycznie przy parametrze r u i B obliczonych z przemieszczeń poziomych. Na rysunku 5 przedstawiono hipotetyczne zmiany naprężeń w górotworze, sejsmiczności i zagrożenia tąpaniami przy wzroście rozmiarów 16
wybranego pola, a na rysunku 6 pokazano krytyczną szerokość wybrania ze względu na pierwszą od pokładu zwięzłą warstwę wstrzymującą ruchy górotworu i subiektywną szerokość wybrania ze względu na warstwy nadległe. Na wszystkich tych rysunkach widnieją pewne modyfikacje funkcji (1) i (). Modyfikacje te polegają na przemnożeniu funkcji przez pewną stałą, zmianie znaku na ujemny, przesunięciu funkcji w górę lub w dół lub na przesunięciu w prawo lub w lewo. Rys.1. Prognozowany przebieg w czasie osiadania rozpatrywanego punktu dla różnych prędkości postępu frontu Fig. 1. Prognosis course during settlement of examined point for different speeds of progress of front Źródło: literatura [3] Rys.. Osiadanie otrzymane z pomiarów oraz obliczone teoretycznie przy wyznaczonych parametrach Fig.. Settlement received from measurements and calculated theoretically at appointed parameters Źródło: literatura [4] 17
Rys. 3. Przemieszczenia poziome otrzymane z pomiarów oraz obliczone teoretycznie przy parametrze r w obliczonym z osiadań Fig. 3. Horizontal dislocations received from measurements and calculated theoretically at parameter r w calculated from settlements. Źródło: literatura [4] Rys. 4. Przemieszczenia poziome otrzymane z pomiarów oraz obliczone teoretycznie przy parametrze r u i B obliczonych z przemieszczeń poziomych Fig. 4. Horizontal dislocations received from measurements and calculated theoretically at parameter r u and B calculated from horizontal dislocations. Źródło: literatura [4] Rys. 5. Hipotetyczne zmiany naprężeń w górotworze, sejsmiczności i zagrożenia tąpaniami przy wzroście rozmiarów wybranego pola Fig. 5. Hypothetical changes of tensions in rock mass, seismicity and threats of rock burst at increasing sizes of selected ground. Źródło: literatura [] 18
Rys. 6. Krytyczna szerokość wybrania ze względu na pierwszą od pokładu zwięzłą warstwę wstrzymującą ruchy górotworu i subiektywna szerokość wybrania ze względu na warstwy nadległe Fig. 6. Critical width of extraction depend on first concise layer from seam suspending movements of rock mass and subjective width of extraction depend on overlaying bed Źródło: literatura [4] Rys. 7. Schemat przemieszczania się punktów na powierzchni terenu wywołanych podziemną eksploatacją złóż pokładowych Fig. 7. Schema of points tranlocating themself on surface of ground caused by underground exploitation of layer -supplies Źródło: literatura [1] 19
Rys. 8. Kształt profilu niecki osiadania w czasie postępu frontu eksploatacji i po jego zatrzymaniu Fig. 8. The profile shape of subsident area during progress of exploitation front and after it has stopped Źródło: literatura [1] Rys. 9. Krzywa wpływów dowolnego punktu na powierzchni terenu Fig. 9. Curve of influences of any point on surface of ground Źródło: literatura [1] 3. Aproksymacja danych funkcjami Gaussa, arcuc tangens, tangens hiperboliczny i funkcją logistyczną Do dalszych rozważań wykorzystamy dane pomiarowe zawarte w tablicy 1. Dane do obliczeń Tablca1 x i y i x i y i x i y i x i y i x i y i 75-70 95-190 115-400 135-95 155-110 80-95 100-50 10-415 140-30 160-90 85-10 105-310 15-405 145-175 165-80 90-150 110-380 130-375 150-130 170-70 130
Dane te w przybliżeniu odpowiadają punktom pomiarowym z rysunku 4. Zadaniem moim było aproksymować dane z tabeli 1 funkcjami: rozkładu normalnego (funkcja Gaussa), arcus tangens, tangens hiperboliczny i funkcją logistyczną. Następnie utworzono dystrybuanty tych funkcji. Funkcje rozkładów zapisałem w postaci ogólnej przy pomocy wzorów (3), (7), (9), (11), a dystrybuanty tych funkcji przy pomocy wzorów (4), (8), (10), (1). Funkcje te były wyznaczane z czterema parametrami A, B, C, D. Dystrybuanty, jako całki z rozkładów były liczone od x 0 do x, gdzie x 0 oznacza lewy koniec przedziału zmiennej x (tj. w tym przypadku x 0 =75) Funkcję Gaussa i całkę z tej funkcji przedstawiłem w postaci wzorów (3) i (4). f ( x ) A exp(( B ( x C ) )) D (3) F 0 ( x ) A pi / B erf ( B ( x C )) A pi / B / erfc ( B ( x C )) D x F ( x ) (4) We wzorze (4) występują funkcje erf i erfc. Mają one następującą postać erf ( x ) x 0 e t dt, (5) erfc ( x ) x e t dt. (6) Obydwie te funkcje są dostępne w Matlabie i umożliwiają obliczenie całki (). Po aproksymacji wartości liczbowych z tabeli 1 funkcjami (3) (rozkład normalny) i (4) (całka z tego rozkładu) uzyskałem następujące wartości parametrów: A=353.46, B=0.0018, C=119.3776, D=68.3141. Błąd średniokwadratowy wyniósł 6.4988 (estymator odchylenia standardowego). Porównanie danych z tabeli 1 (gwiazdki) z przebiegiem funkcji (3) (linia ciągła) przedstawia rysunek 10. Rys. 10. Aproksymacja rozkładem normalnym Fig. 10. Approximation of normal distrbution 131
Po aproksymacji wartości liczbowych z tabeli 1 funkcjami (7) (pochodna arcus tangens) i (8) (arcus tangens) uzyskałem następujące wartości parametrów: A=10749.97, B=0.04, C=119.46, D=-5.36 =9.599. Porównanie danych z tabeli 1 (gwiazdki) z przebiegiem funkcji (7) (linia ciągła) przedstawia rysunek 11. f ( x ) A B D (7) 1 ( B ( x C )) F 0 ( x ) A (atan (B ( x C )) pi / ) D x F ( x ) (8) Rys. 11. Aproksymacja pochodną arcusa tangensa Fig. 11. Approximation of arc tangent function Po aproksymacji wartości liczbowych z tabeli 1 funkcjami (9) (pochodna tangens hiperboliczny) i (10) (tangens hiperboliczny) uzyskałem następujące wartości parametrów: A=8795.33, B=0.043, C=119.4, D=45.8678. =7.1786. Porównanie danych z tabeli 1 (gwiazdki) z przebiegiem funkcji (9) (linia ciągła) przedstawia rysunek 1. f ( x ) A B D (9) cosh ( B ( x C )) F 0 ( x ) A (tanh( B ( x C )) 1) D x F ( x ) (10) 13
Rys. 1. Aproksymacja pochodną tangensa hiperbolicznego Fig. 1. Approximation of hyperbolic tangent function Po aproksymacji wartości liczbowych z tabeli 1 funkcjami (11) (pochodna funkcji logistycznej) i (1) (funkcja logistyczna) uzyskałem następujące wartości parametrów: A=17631.8, B=0.0861, C=119.41, D=45.5. =7.1797. Porównanie danych z tabeli 1 (gwiazdki) z przebiegiem funkcji (11) (linia ciągła) przedstawia rysunek 13. A B exp( B ( x C )) f ( x ) D (11) (1 exp( B ( x C ))) A ( x ) D x F ( x ) (1) 1 exp( B ( x C )) F 0 Rys. 13. Aproksymacja pochodną funkcji logistycznej Fig. 13. Approximation of differential logistic function Po aproksymacji okazało się, że funkcje (7) i (9) oraz (8) i (10) są prawie takie same i nie są rozróżnialne na rysunkach 7 i 8. 133
(11). Na rysunku 14 przedstawiono zbiorczo wszystkie funkcje aproksymujące (3), (7), (9), Rys. 14. Wykresy funkcji (3), (7), (9), (11) Fig. 14. Graph of functions (3), (7), (9), (11) Uzyskano funkcje prawie jednakowe. Funkcje (9) i (11) są nie rozróżniane na rysunku 14. Na rysunku 15 przedstawiono zbiorczo wszystkie całki funkcji aproksymujących wyrażone wzorami (4), (8), (10), (1). Rys. 15. Wykresy funkcji (4), (8), (10), (1) Fig. 15. Graph of functions (4), (8), (10), (1) Funkcje na rysunku 13 są prawie jednakowe. Nie są do odróżnienia. 134
4. Aproksymacja wielomianami W rozdziale tym przedstawiono aproksymację danych z tabeli 1. Następnie porównano te aproksymacje z funkcjami uzyskanymi w poprzednim rozdziale. Wzięto pod uwagę wielomiany 4, 5 i 6 stopnia. Funkcję wpływu f(x) przedstawiono w postaci n n n 1 n i f ( x ) a x a x... a 0 1 n a x, (n=4, 5, 6). (13) i Współczynniki wielomianów otrzymano metodą najmniejszych kwadratów przy wykorzystaniu procedury polyfit z Matlaba. Obliczano też błąd średniokwadratowy aproksymacji. Dla wielomianu 4 stopnia otrzymano następujące współczynniki: a 0 =-0.0001007844, a 1 =0.04841, a =-8.354175, a 3 =610.4963, a 4 =-16108.466, =19.9193. Dla wielomianu 5 stopnia otrzymano następujące współczynniki: a 0 =0.0000006758, a 1 =-0.00051469, a =0.147978, a 3 =-0.09877985, a 4 =189.3033, a 5 =-314779.676, =18.438684. Dla wielomianu 6 stopnia otrzymano następujące współczynniki: a 0 =0.000000065, a 1 =-0.0000469, a =0.013847051, a 3 =-.1753653, a 4 =179.4544, a 5 =-7890.337047, a 6 =141516.3448, =6.4389. Wyniki aproksymacji przedstawia rysunek 16. i 0 Rys. 16. Wykresy wielomianu 4, 5 i 6 stopnia Fig. 16. Graph of polynomials 4, 5 and 6 grade 135
Okazało się, że wielomiany są niezbyt dobrymi funkcjami do aproksymowania funkcji o kształcie rozkładu normalnego. Widać to z rysunku 16 oraz z porównania błędu średniokwadratowego. Dopiero wielomian 6 stopnia miał błąd średniokwadratowy porównywalny z funkcjami omawianymi w poprzednim rozdziale, ale kształt jego nie jest odpowiedni. Rozważania powyższe doprowadziły do wniosku, że w rozważaniach dotyczących osiadania gruntu pod wpływem eksploatacji górniczej można funkcje rozkładu normalnego można zastąpić w razie potrzeby funkcjami arcus tangens, tangens hiperboliczny i funkcją logistyczną. LITERATURA 1. Chudek M.: Geomechanika z podstawami ochrony środowiska górniczego i powierzchni terenu. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 00.. Drzęźla B.: Hipotetyczne zmiany sejsmiczności przy wzroście rozmiarów wybranego pola. Konferencja Górnictwo Zrównoważonego Rozwoju, Politechnika Śląska, Gliwice 000. 3. Ścigała R.: Wspomaganie projektowania eksploatacji górniczej z uwzględnieniem ochrony powierzchni terenu poprzez zastosowanie komputerowej symulacji postępu frontu. X Jubileuszowe Międzynarodowe Sympozjum Geotechnika-Geotechnics 00, Gliwicew-Ustroń 00. 4. Zych J., Kruczkowski M., Zych-Hangiel K.: Zastosowanie funkcji hiperbolicznych do opisu deformacji pod wpływem eksploatacji górniczej. X Jubileuszowe Międzynarodowe Sympozjum Geotechnika-Geotechnics 00, Gliwice-Ustroń 00. Abstract In this paper an approximation of numerical data applied to horizontal relocations has been made using functions: Gauss function, arc tangent, hyperbolic tangent, logistic function and polynomiasls of 4, 5 and 6 grade. Integrals of these functions have been also specified. Results of these approximations have been compared using average square error. In this paper presented examples of profile shape of subsident area and schema of points tranlocating themself on surface of ground caused (on the basis literature). Presented also graphs of these approximation functions. 136