Optyka falowa dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Plan wykładu Spis treści 1. Fale elektromagnetyczne 2 1.1. Model falowy światła........................................... 2 2. Zjawisko interferencji 2 2.1. Falowa natura światła.......................................... 2 2.2. Przykłady zastosowań.......................................... 5 3. Ugięcie światła 7 3.1. Podstawowe prawa............................................ 7 3.2. Typy dyfrakcji.............................................. 9 3.3. Dyfrakcja Fraunhofer a.......................................... 10 3.4. Siatka dyfrakcyjna............................................ 15 3.5. Naturalne siatki dyfrakcyjne....................................... 17 4. Zjawisko polaryzacji światła 19 4.1. Istota zjawiska.............................................. 19 4.2. Zastosowanie............................................... 21 5. Barwy 24
1. Fale elektromagnetyczne 1.1. Model falowy światła Światło jako fala Optyka falowa to dział optyki, w którym uwzględniona jest falowa natura światła. W ramach optyki falowej badane są takie zjawiska jak: interferencja, dyfrakcja i polaryzacja. Zasada Huygensa Wszystkie punkty czoła fali zachowują się jak punktowe źródła elementarnych kulistych fal wtórnych. Po czasie t nowe położenie czoła fali jest wyznaczone przez powierzchnię styczną do powierzchni fal wtórnych. Fale wtórne wzajemnie ze sobą interferują. Przy przejściu z jednego ośrodka do drugiego częstotliwość fali nie ulega zmianie λ 1 = v1. λ 2 v 2 Korzystając z zasady Huygensa można wyprowadzić prawo załamania (prawo Snella) Ponieważ sin Θ 1 = λ1 = v1. sin Θ 2 λ 2 v 2 n 1 = c v 1 i n 2 = c v 2 to sin Θ 1 sin Θ 2 = c n 1 n 2 c = n21. 2. Zjawisko interferencji 2.1. Falowa natura światła Interferencja Warunkiem zaistnienia stałego w czasie rozkładu przestrzennego amplitudy interferujących fal jest ich spójność. Dwie fale są spójne jeżeli różnią się tylko przebytą drogą optyczną. Jak zbadać spójność światła? Dla dwu lub większej liczby fal należy zbadać ich zdolność do interferencji: czasowej zdolność do interferencji dwóch promieni światła wychodzących z tego samego punktu źródła światła w różnych momentach. Jest związana z monochromatycznością źródła światła (np. doświadczenie Younga). Czas spójności wynosi ok. 10 8 s, przestrzennej jest wielkością charakteryzującą zgodność między fazami fal emitowanych z różnych punktów rozciągłego źródła światła w danym momencie czasu (np. płytki dzielące światło Interferometr Michelsona). W przypadku większości źródeł światła obszar spójności przestrzennej nie przekracza rozmiarów pojedynczego atomu. c Ireneusz Owczarek, 2013 2
Pierwszym eksperymentem wskazującym na falowy charakter światła było doświadczenie Thomasa Younga (w 1801 r.). Zakłada się, że światło padające jest monochromatyczne. Oba promienie wychodzące ze szczelin S 1 i S 2 są zgodne w fazie, gdyż pochodzą z tego samego czoła fali płaskiej. Doświadczenie Younga Oświetlenie w każdym punkcie ekranu jest określone przez różnicę dróg L, jakie przebywają promienie świetlne docierające do tego punktu L = d sin Θ. c Ireneusz Owczarek, 2013 3
Otrzymuje się maksima jasne prążki i minima ciemne prążki d sin Θ = mλ, m = 0, 1, 2... d sin Θ = (m + 1 )λ, m = 0, 1, 2.. 2 Jeżeli θ jest małe to odległość między prążkami na obrazie interferencyjnym nie zależy od m; prążki są rozmieszczone równomiernie. Dla każdej długości fali λ powstaną oddzielne układy prążków o różnym odstępie między nimi. Przykład: Obliczyć odległość między sąsiednimi prążkami interferencyjnymi obserwowanymi na ekranie umieszczonym w odległości 1m od dwu szczelin odległych od siebie o 1mm oświetlonych żółtym światłem sodowym o długości λ = 589nm. Dla m = 1 otrzymuje się sin θ = λ d = 589 10 9 m 10 3 m = 589 10 6, co daje θ 0, 003. Dla tak małych kątów dobrym przybliżeniem jest sin θ = tg θ = θ tg θ = y D. Dla m-tego prążka y m = m λd d. Dlatego odległość między kolejnymi prążkami y = y m+1 y m = λd d = 589 10 9 m 1m 10 3 m = 589 10 6 m. Jeżeli θ jest małe to odległość między prążkami nie zależy od m, prążki są rozmieszczone na ekranie równomiernie. c Ireneusz Owczarek, 2013 4
Doświadczenie Younga Natężenie światła W punkcie P składowe pola zmieniają się w czasie oraz Pole wypadkowe E = E 1 + E 2 = Natężenie fali wypadkowej E 1 = E 0sinωt E 2 = E 0sin(ωt + φ). ( 2E 0 cos φ ) sin(ωt + φ 2 2 ) = EΘ sin(ωt + φ 2 ). I Θ E 2 Θ. Iloraz natężeń dwu fal: fali wypadkowej i fali padającej ( ) 2 I Θ E Θ = I 0 E 0 Jeżeli φ jest różnicą faz między falami I Θ = 4I 0 cos 2 ( φ 2 ). różnica faz = 2π ϕ 2π = d sin θ λ, ϕ = 2 π λ różnica dróg, λ ( d sin θ Niezależnie, czy do ekranu dociera światło ze źródeł spójnych, czy też nie, średnie natężenie ). musi być zawsze takie samo I sr = 2I 0. 2.2. Przykłady zastosowań Interferencja w cienkich warstwach Warunek na maksimum ( 2t n 2 = m + 1 ) λ m = 0, 1, 2... 2 Warunek na minimum 2t n 2 = mλ m = 0, 1, 2... c Ireneusz Owczarek, 2013 5
Przykład: Bańka mydlana (n = 1, 33) znajdująca się w powietrzu ma grubość 320nm. Jaki kolor ma światło odbite, gdy błonka jest oświetlona światłem białym padającym prostopadle? Z warunku na maksimum λ = 2nd m + 1 2 Wartości długość fali dla kolejnych m: = 850 nm. m + 1 2 m = 0, λ = 1700nm, poza zakresem widzialnym, m = 1, λ = 567nm, w zakresie widzialnym (barwa żółtozielona), m = 2, λ = 340nm, poza zakresem widzialnym, m = 3, 4,..., poza zakresem widzialnym. c Ireneusz Owczarek, 2013 6
Interferometr Michelsona Interferencja pozwala na bardzo precyzyjny pomiar długości drogi od źródła do detektora fali. Metoda ta pozwala wyznaczyć długość przedmiotów w jednostkach długości fali światła. 3. Ugięcie światła 3.1. Podstawowe prawa Istota zjawiska Zjawisko dyfrakcji polega na uginaniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody. Jeżeli rozmiary przeszkody porównywalne są z długością fali (λ) to występuje odstępstwo od prostoliniowego biegu promieni. Przy rozmiarach otworu mniejszych od λ za otworem powstanie fala kulista. c Ireneusz Owczarek, 2013 7
Dyfrakcja Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie. Dla danej długości fali λ dyfrakcja jest tym wyraźniejsza, im mniejsza jest szerokość szczeliny a. c Ireneusz Owczarek, 2013 8
3.2. Typy dyfrakcji Klasyfikacja Dyfrakcja Fresnela w wiązce promieni zbieżnych padająca fala jest kulista lub płaska, obraz dyfrakcyjny obserwowany jest w skończonej odległości od przeszkody (obraz przeszkody). Dyfrakcja Fraunhofer a w wiązce promieni równoległych padająca fala jest płaska, obraz dyfrakcyjny obserwowany jest w płaszczyźnie ogniskowej soczewki skupiającej (obraz oddalonego źródła). Dyfrakcja Fresnela Obraz dyfrakcyjny okrągłego otworu ma postać koncentrycznych, naprzemiennych pierścieni jasnych i ciemnych. W środku obrazu występuje plamka jasna lub ciemna. Można podzielić powierzchnie falową na strefy pierścieniowe, żeby drgania pochodzące od sąsiednich stref były w przeciw-fazie. c Ireneusz Owczarek, 2013 9
Dyfrakcja Fraunhofer a Znacznie prościej jest rozwiązać problem dyfrakcji fal płaskich, dlatego czasem stosuje się przejście od dyfrakcji bliskiego pola (dyfrakcji Fresnela) do dyfrakcji dalekiego pola zwanej też dyfrakcją Fraunhofera. Wtedy, gdy szczelina odsłania mały ułamek środkowej strefy Fresnela. Dyfrakcję Fraunhofer a można zrealizować za pomocą dwu soczewek, między którymi znajduje się otwór. Pierwsza soczewka zmienia falę rozbieżną w równoległą, a druga skupia fale płaskie opuszczające otwór. 3.3. Dyfrakcja Fraunhofer a Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie Szerokość kątowa środkowego maksimum maleje wraz ze zmniejszaniem się ilorazu a λ. Procedura wyznaczania położenia prążków jest podobna do procedury wyznaczania położeń prążków w obrazie interferencyjnym. Warunek na wystąpienie minimów (ciemne prążki) a sin Θ = mλ m = ±1, ±2,... c Ireneusz Owczarek, 2013 10
Rozkład natężenia (światła w obrazie dyfrakcyjnym) gdzie I(Θ) = I m ( sinα α α = φ 2 = πa λ ) 2 sin Θ, c Ireneusz Owczarek, 2013 11
można uzyskać na podstawie konstrukcji obok sin φ 2 = EΘ 2R to φ = Em R a natężeni I(Θ) E 2 Θ. E Θ = Em φ 2 sin φ 2 c Ireneusz Owczarek, 2013 12
Dwie szczeliny Natężenie obrazu interferencyjnego po uwzględnieniu efektów dyfrakcyjnych I(Θ) = I m interferencja {}}{ (cos 2 β) dyfrakcja {}} ) { 2 ( sinα α gdzie α = πa sin Θ, λ β = πd sin Θ, λ a jest szerokością szczelin, a d odległością między szczelinami. Dwie szczeliny złożenie dyfrakcji i interferencji ( I(Θ) = I m cos 2 (π d )( sin(π a λ sin Θ) sin Θ) ) 2. λ π a sin Θ λ d λ = 30 a λ = 5 d λ = 10 a λ = 5 c Ireneusz Owczarek, 2013 13
( I(Θ) = I m cos 2 (π d )( sin(π a λ sin Θ) sin Θ) ) 2. λ π a sin Θ λ d λ = 30 a λ = 10 d λ = 30 a λ = 2 Zdolność rozdzielcza Kryterium Rayleigh a Jeśli położenie centralnego maksimum jednego obrazu dyfrakcyjnego przypada na położenie pierwszego minimum drugiego obrazu, to obrazy te są rozróżnialne. Warunek na powstanie pierwszego minimum dla szczeliny o szerokości a (m = 1) sin Θ = λ a dla małych kątów Θ Θ minimalna odległość kątowa Θ min = λ a. Dla otworu kołowego Θ min = 1, 22 λ D. Kryterium Rayleigh a jest tylko przybliżeniem, gdyż rozdzielczość zależy od: względnej jasności źródeł i ich otoczenia, sprawności wzroku obserwatora. c Ireneusz Owczarek, 2013 14
Przykład: Oceń rozdzielczość oka ludzkiego zakładając, że jest ona ograniczona przez limit dyfrakcyjny. Długość fali światła wynosi 500nm (maksimum czułości oka), a średnica źrenicy D = 2mm. Θ min = 1, 22 λ D = 1, 22 500 10 9 m 2 10 3 m 3 10 4 rad. d LΘ min = 0, 25m 3 10 4 rad = 7, 5 10 5 m. 3.4. Siatka dyfrakcyjna Obraz dyfrakcyjny Warunek na powstanie maksimum głównego d sin Θ = mλ gdzie d = a + b jest stałą siatki, a szerokość szczeliny, b szerokość przysłony (obszaru nieprzezroczystego), m = 0, 1, 2,... rząd widma. Jeżeli N szczelin zajmuje szerokość w to stała siatki d = w N. c Ireneusz Owczarek, 2013 15
Minima występują N razy gęściej niż maksima główne. W miejscach gdzie nie ma maksimów głównych, występują maksima poboczne (o znacznie mniejszej wysokości). Zwiększenie liczby szczelin nie zmienia odległości pomiędzy głównymi maksimami (przy stałych d i λ), prowadzi do zwężenie (wyostrzenie) maksimów głównych, prowadzi do pojawienia się wtórnych maksimów pomiędzy maksimami głównymi. Zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej jest miara zdolności rozdzielenia dwóch blisko leżących maksimów R = λ λ = mn Zdolność rozdzielczą można zwiększyć używając siatki o większej liczbie szczelin, albo też pracując w wyższych rzędach. c Ireneusz Owczarek, 2013 16
Zastosowanie siatek dyfrakcyjnych Linie emisyjne wodoru kadmu żelaza 3.5. Naturalne siatki dyfrakcyjne Dyfrakcja promieniowania X Długości fal promieniowania X zawarte są w zakresie od 1pm do 10nm. Aby uzyskać widmo takiego promieniowania należałoby dysponować siatka dyfrakcyjną o stałej, co najwyżej rzędu 10nm, tzn. zawierającej, co najmniej 100 000 rys na milimetrze. Obiektami, na których można obserwować dyfrakcję promieni rentgenowskich są kryształy. c Ireneusz Owczarek, 2013 17
c Ireneusz Owczarek, 2013 18
Warunek na występowanie maksimum natężenia dla dyfrakcji promieni X Prawo Bragga 2d sin Θ = mλ gdzie m = 1, 2, 3,... Dyfrakcja promieni X i elektronów na folii aluminiowej. 4. Zjawisko polaryzacji s wiatła 4.1. Istota zjawiska Definicja Polaryzacja światła ~ w wiązce (a więc i wektora indukcji porządkowanie wektora natężenia pola elektrycznego E ~ magnetycznej B). Polaryzacja występuje tylko dla fal poprzecznych. Rodzaje polaryzacji Rodzaje polaryzacji: c Ireneusz Owczarek, 2013 19
polaryzacja liniowa, drganie wektora E odbywa się wzdłuż linii prostej. Drgania składowe są w fazie lub w przeciwfazie (180 o ), polaryzacja kołowa drganie to odpowiada ruchowi po okręgu. Dwa drgania o jednakowych amplitudach ale o fazach przesuniętych o 90 o lub 90 o. polaryzacja eliptyczna jest uogólnieniem polaryzacji kołowej. c Ireneusz Owczarek, 2013 20
Sposoby polaryzacji światła Całkowita polaryzacja przez załamanie. Prawo Brewstera tg Θ p = n2 n 1 = n 21 4.2. Zastosowanie Płytki polaryzujace Światło niespolaryzowane pada na płytkę z materiału polaryzującego, zwanego polaroidem. Płytka przepuszcza tylko te fale, dla których kierunki drgań wektora elektrycznego są równoległe do kierunku polaryzacji, a pochłania te fale, w których są one prostopadłe. Kierunek polaryzacji ustala się w procesie produkcji płytki: cząsteczki o strukturze łańcuchowej osadza się na elastycznej warstwie plastycznej, warstwę rozciąga się co powoduje równoległe ułożenie cząsteczek. c Ireneusz Owczarek, 2013 21
Natężenie światła przechodzacego przez polaryzator Jeżeli światło padające na polaryzator jest już światłem spolaryzowanym, to można wykorzystać Prawo Malusa I = I 0 cos 2 Θ. Podwójne załamanie Ciała anizotropowe to ciała, dla których prędkość światła, a więc i współczynnik załamania, zależą od kierunku rozchodzenia się światła w ośrodku. Promień zwyczajny o przechodzi przez kryształ z jednakową prędkością we wszystkich kierunkach tzn. ma jeden współczynnik załamania tak jak izotropowe ciało stałe. Promień nadzwyczajny e ma prędkość w krysztale zależną od kierunku. Podwójne załamanie gdy pojedyncza wiązka rozszczepia się na powierzchni kryształu na dwie. Przykład podwójnego załamania Dichroizm gdy jedna ze składowych polaryzacji jest pochłaniana silniej niż druga. Na tej zasadzie opiera się działanie szeroko stosowanych polaroidów. Zamiast dużej płytki wyciętej z kryształu można zastosować wiele małych kryształów o osiach optycznych ustawionych równolegle do siebie. Przykład Po przyłożeniu napięcia do elektrod, generowane przez nie pole elektryczne wymusza taką zmianę uporządkowania cząsteczek w warstwie ciekłego kryształu, że nie obraca ona polaryzacji światła. Powoduje to, że światło nie przechodzi przez analizator, co daje efekt czerni. c Ireneusz Owczarek, 2013 22
Techniki wyświetlania obrazu c Ireneusz Owczarek, 2013 23
5. Barwy Kolor i barwa Terminy kolor i barwa są w języku polskim synonimami. Widzenie kolorów to wyłącznie subiektywne wrażenie psychiczne powstające w mózgu człowieka. Konkretną barwę można zmierzyć za pomocą odpowiednich urządzeń (np. spektrofotometrem) i przedstawić w postaci liczbowej umieszczając ją w określonej przestrzeni barw. c Ireneusz Owczarek, 2013 24
c Ireneusz Owczarek, 2013 25
Literatura [1] Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, 2005. [2] Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007. [3] Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t. 1-3. PWN, 1984. [4] Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-fizyka. Podstawy fizyki. [5] Kąkol Z. Żukrowski J. http://home.agh.edu.pl/ kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki. c Ireneusz Owczarek, 2013 26