Barbara Batóg * Katarzyna Wawrzyniak ** Wykorzystanie porządkowych modeli logitowych w diagnozie i prognozie sytuacji gospodarczej województw Wstęp Artykuł nawiązuje do wcześniejszych badań Autorek dotyczących możliwości wykorzystania modeli zmiennych jakościowych jako narzędzia diagnostycznego i prognostycznego na rynku kapitałowym w Polsce [Batóg, Wawrzyniak, 2004, 2005, 2007, 2008, 2010]. We wspomnianych badaniach zbiorowość statystyczną stanowiły spółki giełdowe notowane na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie, a oszacowane modele logitowe posłużyły między innymi do: wyznaczenia prawdopodobieństwa pozytywnej łącznej diagnozy dla konkretnej spółki na podstawie wartości wybranych wskaźników finansowoekonomicznych oraz zbudowania prognozy tego prawdopodobieństwa, zdiagnozowania sytuacji finansowo-ekonomicznej spółek w ujęciu sektorowym, dywersyfikacji spółek giełdowych na podstawie prawdopodobieństwa uzyskania określonego wariantu stopy zwrotu. W obecnym artykule podjęto próbę zastosowania porządkowych modeli logitowych w celu zdiagnozowania (klasyfikacji) województw pod względem ich sytuacji gospodarczej w latach 2002-2008 oraz wyznaczenia prognozy tej klasyfikacji w 2009 roku. Podstawą oceny sytuacji gospodarczej województw był poziom regionalnego produktu krajowego brutto na 1 mieszkańca, który został przyjęty jako zmienna objaśniana. Natomiast w zbiorze zmiennych objaśniających znalazły się wybrane zmienne makroekonomiczne. W literaturze można spotkać się z różnymi propozycjami zestawów zmiennych wpływających na wzrost gospodarczy. Wyczerpujący przegląd tych propozycji wraz z klasyfikacjami determinant wzrostu gospodarczego znajduje się w pracy J.Batoga [Batóg, 2010, s. 29-43]. Zastosowane narzędzie badawcze umożliwiło zbadanie siły i kierunku wpływu wybranych zmiennych makroekonomicznych na poziom regionalnego PKB per capita. W artykule dużo miejsca poświęcono badaniu jakości oszacowanych modeli, gdyż dopiero model o dobrej jakości może być wykorzystany jako narzędzie do sformułowania diagnoz i wyznaczenia prognoz. Takie podejście związane jest z funkcjami modeli ekonometrycznych, które szeroko zostały omówione w pracy J.Hozera i J.Zawadzkiego [Hozer, Zawadzki, 1990]. * Dr, Katedra Ekonometrii i Statystyki, Wydział Nauk Ekonomicznych i Zarządzania, Uniwersytet Szczeciński, batog@wneiz.pl ** Dr, Katedra Zastosowań Matematyki w Ekonomii, Wydział Ekonomiczny, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, katarzyna.wawrzyniak@zut.edu.pl
38 Barbara Batóg, Katarzyna Wawrzyniak 1. Istota porządkowych modeli logitowych W modelach wielomianowych zmienna zależna Y jest zmienną jakościową o więcej niż dwóch kategoriach 1. Ze względu na to, że zmienna Y może być mierzona zarówno na skali nominalnej, jak i na skali porządkowej rozróżniamy nominalne i porządkowe modele wielomianowe zmiennych jakościowych. W modelach tych stosuje się różne funkcje wiążące przekształcające dyskretną zmienną zależną na zmienną ciągłą. W artykule zostały wykorzystane porządkowe modele wielomianowe z logistyczną funkcją wiążącą. W porządkowym modelu logitowym [Cramer, 2003; Kleinbaum, Klein, 2002] wyjaśniane są tzw. skumulowane logity, wyrażone wzorem (1): Pik Logit( Pik ) ln (1) 1 Pik gdzie P ik to prawdopodobieństwa przynależności i-tego przypadku do kategorii nie wyższej niż k-ta, czyli prawdopodobieństwa skumulowane. Ponieważ skumulowane prawdopodobieństwo dla najwyższej kategorii jest zawsze równe 1, to liczba równań w modelu jest o 1 mniejsza niż liczba kategorii zmiennej zależnej. Równanie dla kategorii k wyraża się wzorem (2): Logit( P x T ik ) k i β, (2) gdzie: k numer kategorii zmiennej Y (k = 1,, K-1), i numer przypadku (i = 1,..., N), x i wektor wartości zmiennych objaśniających dla przypadku i, β wektor ocen parametrów modelu, k wyraz wolny. W modelu (2) parametry stojące przy zmiennych objaśniających są takie same dla wszystkich kategorii zmiennej zależnej Y, natomiast wyrazy wolne dla poszczególnych kategorii rosną wraz ze wzrostem k. Po oszacowaniu parametrów modelu, skumulowane prawdopodobieństwo P ik można opisać wzorem (3). 1 (3) P ik ( k x T i β) 1 e Na podstawie skumulowanych prawdopodobieństw można wyznaczyć prawdopodobieństwo przynależności i-tego przypadku do k-tej kategorii jako różnicę kolejnych prawdopodobieństw P ik oraz P i,k-1. 2. Wybrane sposoby oceny jakości estymacji porządkowych modeli logitowych Do oceny jakości oszacowanych modeli wykorzystano następujące narzędzia: 1 Wielomianowe modele dla zmiennych jakościowych są rozszerzeniem modeli dwumianowych, czyli takich, w których zmienna zależna Y posiada dwie kategorie. Modele dwumianowe są szeroko opisane w literaturze np.: Wiśniewski (1986), Cieślak (2000), Gruszczyński (2001, 2010), Baltagi (2003), Cameron, Trivedi (2005), Maddala (2006).
Wykorzystanie porządkowych modeli logitowych w diagnozie i 39 1. Test Walda (test łącznych efektów), który umożliwia badanie istotności ocen parametrów modelu hipoteza zerowa zakłada brak istotności każdego z parametrów modelu (1) osobno [Gruszczyński, 2001]. Wykorzystywana w tym teście statystyka Walda ma rozkład χ 2. 2. Odchylenie D [Cramer, 2003; Stanisz, 2007], które służy do porównania analizowanego modelu z modelem pełnym 2 i wyraża się wzorem (4). D 2 ln L ln L, (4) p gdzie: L p maksimum funkcji największej wiarygodności dla pełnego modelu, L maksimum funkcji największej wiarygodności dla analizowanego modelu. Wraz ze wzrostem liczebności próby, odchylenie D ma asymptotyczny rozkład χ 2. Z konstrukcji statystyki D wynika, że dobre dopasowanie analizowanego modelu jest związane z małymi wartościami tej statystyki. Najszybszą oceną analizowanego modelu za pomocą odchylenia D, jest podzielenie jej wartości przez liczbę stopni swobody. Analizowany model charakteryzuje się dobrym dopasowaniem, jeżeli otrzymany iloraz jest bliski 1 [Stanisz, 2007]. 3. Test ilorazu wiarygodności, w którym statystyka testowa wyraża się wzorem: 2 2ln L ln L0, (5) gdzie: L 0 maksimum funkcji największej wiarygodności dla modelu tylko z wyrazem wolnym; L maksimum funkcji największej wiarygodności dla analizowanego modelu. Hipoteza zerowa zakłada, że wszystkie parametry oprócz wyrazów wolnych są równe zero. 4. Test ilorazu wiarygodności typu 3. Statystyka testowa wyraża się podobnym wzorem jak wzór (5), ale porównuje się wartość funkcji wiarygodności przed i po wprowadzeniu do modelu danej zmiennej objaśniającej. 5. R 2 McFaddena 2 ln L R McFaddena 1, (6) ln L0 gdzie: L 0 maksimum funkcji największej wiarygodności dla modelu tylko z wyrazem wolnym; L maksimum funkcji największej wiarygodności dla analizowanego modelu. 2 Im wyższa wartość R McFaddena, tym lepszy model, przy czym miernik ten nigdy nie osiąga wartości równej 1. 6. Zliczeniowy R 2, który jest wyznaczany jako udział trafnie zaklasyfikowanych przypadków w ogólnej liczbie przypadków (wzór 7). 2 Liczba parametrów modelu pełnego jest równa liczbie obserwacji.
40 Barbara Batóg, Katarzyna Wawrzyniak nkk k Zliczeniow y R 1 N, (7) gdzie n kk liczba przypadków z kategorii k trafnie zaklasyfikowanych do tej samej kategorii. 3. Charakterystyka materiału badawczego W artykule wykorzystano dane statystyczne pochodzące z Banku Danych Lokalnych Głównego Urzędu Statystycznego. Zbiorowość statystyczną stanowiło 16 województw w Polsce w latach 2002-2009. Kategorie zmiennej zależnej zostały zdefiniowane na podstawie poziomu produktu krajowego brutto na jednego mieszkańca (PKB1) dla poszczególnych województw w latach 2002-2008. W każdym roku rzeczywistym wartościom (PKB1) przyporządkowano kolejne liczby w następujących sposób: 1 dla PKB1 it Q1 t 2 dla Q1 t PKB1 it Q2t Yit 3 dla Q2t PKB1 it Q3t 4 dla PKB1 it Q3t gdzie: i numer województwa, t numer roku, Q 1t, Q 2t, Q 3t odpowiednio wartości pierwszego, drugiego i trzeciego kwartyla wyznaczone dla zmiennej PKB1 dla roku t. W zbiorze potencjalnych zmiennych objaśniających znalazły się następujące zmienne makroekonomiczne 3 : stopa bezrobocia według BAEL (%) SB, udział pracujących w rolnictwie w pracujących ogółem (%) UPR, udział pracujących w przemyśle w pracujących ogółem (%) UPP, udział pracujących w usługach w pracujących ogółem (%) UPU, średnie wynagrodzenie brutto w sektorze przedsiębiorstw (zł) WB, dochody nominalne na jednego mieszkańca (zł) DB1, sprzedaż detaliczna na jednego mieszkańca (zł) SD1, nakłady inwestycyjne na jednego mieszkańca (zł) NI1, produkcja sprzedana przemysłu na jednego mieszkańca (mln zł) PSP1. Na rysunku 1 przedstawiono kształtowanie się w czasie zmiennej zależnej (PKB1) dla poszczególnych województw w latach 2002-2008. Widać wyraźnie, K 3 Przy pełnej nazwie zmiennej podano skrót literowy, który będzie stosowany przy prezentacji wyników estymacji modeli. Dla wszystkich zmiennych wyrażonych w złotych wykorzystano wartości nominalne.
Wykorzystanie porządkowych modeli logitowych w diagnozie i 41 że przebieg tej zmiennej w czasie jest identyczny we wszystkich województwach, a różnica dotyczy jedynie jej poziomu wyraźnie od pozostałych województw odbiega województwo mazowieckie i dlatego nie zostało ujęte na rysunku 1. W dalszej części artykułu wykazano, że takie same prawidłowości charakteryzują poszczególne województwa w zakresie wpływu określonych zmiennych makroekonomicznych na poziom produktu krajowego brutto na jednego mieszkańca. To z kolei pozwoliło na dokonanie klasyfikacji województw pod względem sytuacji gospodarczej w okresie badanym (diagnoza) i w okresie przyszłym (prognoza). Rysunek 1. Produkt krajowy brutto na jednego mieszkańca (PKB1) w województwach w Polsce w latach 2002-2008 (bez mazowieckiego) 39 000 34 000 29 000 24 000 19 000 14 000 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Podkarpackie Podlaskie Świętokrzyskie Lubuskie Kujawsko-pomorskie Łódzkie Wielkopolskie Śląskie Źródło: Bank Danych Lokalnych GUS. Lubelskie Warmińsko-mazurskie Opolskie Małopolskie Zachodniopomorskie Pomorskie Dolnośląskie 4. Wyniki estymacji i weryfikacji porządkowego modelu logitowego Przed przystąpieniem do estymacji modelu wyznaczono współczynniki korelacji pomiędzy badanymi zmiennymi i na tej podstawie zredukowano zbiór zmiennych objaśniających wykorzystując metodę Hellwiga. Okazało się, że najlepsza była kombinacja zawierająca następujące zmienne objaśniające (H=0,9686): udział pracujących w usługach w pracujących ogółem (%) UPU, średnie wynagrodzenie brutto w sektorze przedsiębiorstw (zł) WB,
42 Barbara Batóg, Katarzyna Wawrzyniak dochody nominalne na jednego mieszkańca (zł) DB1, sprzedaż detaliczna na jednego mieszkańca (zł) SD1, produkcja sprzedana przemysłu na jednego mieszkańca (mln zł) PSP1. Wymienione powyżej zmienne były silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą. Wartości współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi były z przedziału od 0,41 do 0,82, z wyjątkiem wysokich korelacji między zmiennymi WB i DB1 (0,91) oraz między DB1 i PSP1 (0,87). W tablicy 1 zamieszczono wyniki estymacji porządkowego modelu logitowego dla zdefiniowanej w punkcie 3 zmiennej zależnej. Tablica 1. Wyniki estymacji porządkowego modelu logitowego Ocena parametru Średni błąd Statystyka Poziom p szacunku Walda Wyraz wolny 1 9,2684 3,23168 8,225 0,004 Wyraz wolny 2 14,4583 3,67530 15,476 0,000 Wyraz wolny 3 17,9484 3,83469 21,908 0,000 UPU -32,0548 6,47445 24,512 0,000 WB 0,0193 0,00326 35,107 0,000 DB1-0,0016 0,00030 26,871 0,000 SD1-0,0003 0,00012 5,716 0,017 PSP1-0,0009 0,00016 29,854 0,000 Źródło: obliczenia własne z wykorzystaniem pakietu STATISTICA 9.1a. Statystyka Walda wskazuje, że wszystkie oceny parametrów strukturalnych są statystycznie istotne na poziomie 0,05. Potwierdza to zasadność wyboru zmiennych objaśniających. Ujemne (dodatnie) znaki oszacowanych parametrów przy zmiennych objaśniających oznaczają, że wraz ze wzrostem wartości danej zmiennej wzrasta (spada) prawdopodobieństwo zaklasyfikowania obiektu do najwyższej kategorii porządkowej. Należy jednak podkreślić, że jednoznaczny wniosek na podstawie znaków jest możliwy tylko w przypadku ostatniej kategorii porządkowej. Dla kategorii niższych wniosek o wzroście lub spadku zależy od wyjściowych wartości danej zmiennej objaśniającej, gdyż prawdopodobieństwa przynależności do kategorii niższych są obliczane jako różnice prawdopodobieństw przynależności do sąsiednich kategorii porządkowych wyznaczonych na podstawie modelu. Istotność wyrazów wolnych wskazuje na znaczne różnice w poziomie skumulowanych logitów dla poszczególnych grup kwartylowych. Dla oszacowanego modelu przeprowadzono test ilorazu wiarygodności. Wartość statystyki w tym teście wyniosła χ 2 = 196,186 (p = 0,000), co pozwala na odrzucenie hipotezy zerowej mówiącej, że wszystkie parametry oprócz wyrazu wolnego są równe zero. O właściwym wyborze zmiennych objaśniających świadczą również wyniki testu ilorazu wiarygodności typu 3 zamieszczone w tablicy 2. Okazało się, że
Wykorzystanie porządkowych modeli logitowych w diagnozie i 43 wprowadzenie każdej ze zmiennych objaśniających istotnie zwiększało wartość funkcji wiarygodności. Tablica 2. Test ilorazu wiarygodności typu 3 Logarytm ilorazu wiarygodności χ2 Poziom p UPU -74,449 34,5525 0,000 WB -95,111 75,8763 0,000 DB1-77,878 41,4104 0,000 SD1-60,216 6,0875 0,014 PSP1-88,990 63,6343 0,000 Źródło: obliczenia własne z wykorzystaniem pakietu STATISTICA 9.1a. O dobrej jakości modelu świadczą również wartości odchylenia D oraz R 2 McFaddena, które wynoszą odpowiednio: D = 114,345 (Df = 328, D/Df = 0,349), 2 R McFaddena 0, 632. W tablicy 3 zamieszczono wyniki klasyfikacji przypadków (województw w poszczególnych latach) na podstawie, których wyznaczono zliczeniowy R 2 równy 76,79%. Wartość ta świadczy o tym, że model poprawnie klasyfikuje województwa do grup kwartylowych. Tablica 3. Tablica klasyfikacji przypadków Obserwowane Przewidywane Kategoria 1 Kategoria 2 Kategoria 3 Kategoria 4 Kategoria 1 25 3 0 0 Kategoria 2 3 18 6 1 Kategoria 3 0 6 20 2 Kategoria 4 0 0 5 23 Źródło: obliczenia własne z wykorzystaniem pakietu STATISTICA 9.1a. 5. Wyniki diagnozowania (klasyfikacji) na podstawie oszacowanego modelu W tablicy 3 zamieszczono zbiorcze wyniki dotyczące klasyfikacji przypadków. Natomiast przewidywane przez model przynależności poszczególnych województw w poszczególnych latach do grup kwartylowych potraktowano jako diagnozy cząstkowe. Na tej podstawie oceniono które województwo w którym roku charakteryzowało się określoną sytuacją gospodarczą reprezentowaną przez daną grupę kwartylową. Zgodnie z definicją zmiennej zależnej podaną w punkcie 3 przynależność do wyższej grupy kwartylowej oznacza lepszą sytuację gospodarczą. Diagnozy cząstkowe wykorzystano do sformułowania diagnozy łącznej dla każdego województwa w całym badanych okresie (lata 2002-2008). Diagnoza łączna została sformułowana na podstawie mediany dia-
44 Barbara Batóg, Katarzyna Wawrzyniak gnoz cząstkowych dla danego województwa. Otrzymaną w ten sposób diagnozę łączną zamieszczono w tablicy 4. Tablica 4. Diagnoza łączna grup kwartylowych dla województw Mediana diagnoz Diagnoza Województwo cząstkowych łączna bardzo dobra mazowieckie, śląskie, 4 sytuacja gospodarcza wielkopolskie dolnośląskie, kujawskopomorskie, lubuskie dobra 3 sytuacja gospodarcza łódzkie, pomorskie, zachodniopomorskie 2 1 Źródło: obliczenia własne. słaba sytuacja gospodarcza zła sytuacja gospodarcza małopolskie, opolskie, warmińsko-mazurskie lubelskie, świętokrzyskie, podkarpackie, podlaskie 6. Wyniki prognozowania na podstawie oszacowanego modelu Predyktorem służącym do wyznaczania prognoz przynależności województw do poszczególnych grup kwartylowych w 2009 roku był oszacowany porządkowy model logitowy, zaprezentowany w punkcie 4. Wartości zmiennych objaśniających w 2009 roku były znane oprócz zmiennej dochody nominalne na jednego mieszkańca (DB1), dla której prognozy wyznaczono na podstawie trendów liniowych dla każdego województwa osobno. Następnie wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym zostały wykorzystane do wyznaczenia na podstawie wzoru (3) prognoz prawdopodobieństw zaklasyfikowania danego województwa do grupy kwartylowej nie wyższej niż k-ta. Prognozy prawdopodobieństw zaklasyfikowania danego województwa do każdej z grup otrzymujemy poprzez odejmowanie. Ostatecznie, prognozowana grupa kwartylowa jest tą grupą, której odpowiada największa prognoza prawdopodobieństwa spośród prognoz prawdopodobieństw zaliczenia do kolejnych grup kwartylowych. Jakość prognozy klasyfikacji dla 2009 roku oceniono porównując zgodność przynależności województwa do danej grupy kwartylowej na podstawie prognozy oraz rzeczywistej przynależności w 2009 roku. Jednak ze względu na znaczne opóźnienie informacji o regionalnym PKB, do oceny wykorzystano szacunki PKB w regionach bazujące na udziale regionalnych PKB w PKB dla Polski w latach wcześniejszych. W tablicy 5 porównano prognozy przynależności województw do grup kwartylowych uzyskane na podstawie oszacowanego modelu oraz grupy kwartylowe wyznaczone na podstawie udziałów regionalnego PKB w PKB ogółem 4. 4 PKB per capita otrzymano dzieląc PKB przez liczbę ludności.
Wykorzystanie porządkowych modeli logitowych w diagnozie i 45 Tablica 5. Prognozy grup kwartylowych na podstawie modelu oraz grupy kwartylowe wyznaczone na podstawie udziałów Województwo Prognoza grupy kwartylowej na podstawie modelu Grupa kwartylowa wyznaczona na podstawie udziałów Dolnośląskie 4 4 Kujawsko-pomorskie 3 2 Lubelskie 1 1 Lubuskie 4 3 Łódzkie 3 3 Małopolskie 2 2 Mazowieckie 4 4 Opolskie 1 2 Podkarpackie 1 1 Podlaskie 1 1 Pomorskie 3 3 Śląskie 4 4 Świętokrzyskie 1 2 Warmińsko-mazurskie 1 1 Wielkopolskie 4 4 Zachodniopomorskie 2 3 Źródło: obliczenia własne. Prognozy przynależności województw do grup kwartylowych wyznaczone na podstawie modelu nie dały grup równolicznych. Zwiększeniu uległy liczebności grup pierwszej i czwartej. Może to być spowodowane tym, że zmienne objaśniające zmieniały się w różnym tempie w poszczególnych województwach. Województwa z grupy pierwszej i czwartej pozostały w tych samych grupach, natomiast dwa województwa z grupy drugiej spadły do grupy pierwszej dla nich tempo wzrostu zmiennych objaśniających mogło być mniejsze niż dla województw pozostających w tej grupie, a jedno województwo z grupy trzeciej przeszło do grupy czwartej dla niego tempo wzrostu zmiennych objaśniających mogło być większe niż dla województw pozostających w tej grupie, Dla prognoz zbudowano tablicę trafności analogiczną do tablicy klasyfikacji przypadków (tablica 6) oraz wyznaczono zliczeniowy R 2. Tablica 6. Tablica klasyfikacji przypadków dla prognoz Grupa kwartylowa wyznaczona Prognoza grupy kwartylowej na podstawie modelu na podstawie Grupa 1 Grupa 2 Grupa 3 Grupa 4 udziałów Grupa 1 4 0 0 0 Grupa 2 2 1 1 0 Grupa 3 0 1 2 1 Grupa 4 0 0 0 4 Źródło: obliczenia własne
46 Barbara Batóg, Katarzyna Wawrzyniak Zliczeniowy R 2 dla prognoz wyniósł 68,80% i jest niewiele niższy niż zliczeniowy R 2 w okresie próby. Świadczy to o tym, ze oszacowany porządkowy model logitowy jest dobrym narzędziem prognostycznym. Zakończenie Z przeprowadzonych badań wynika, że zaproponowany w artykule porządkowy model logitowy realizuje nie tylko funkcję analityczno-opisową modeli ekonometrycznych, ale również funkcję diagnostyczną i prognostyczną. Funkcja analityczno-opisowa oszacowanego modelu pozwoliła na wykazanie, że poziom porządkowej zmiennej zależnej jest zróżnicowany w zależności od grupy kwartylowej (istotne oceny wyrazów wolnych) oraz że wpływ zmiennych objaśniających jest podobny w każdej grupie. Proces diagnozowania w przypadku stosowanego modelu przeprowadzony został dwukrotnie. Najpierw przy tworzeniu zmiennej zależnej, a następnie przy wyznaczaniu diagnoz cząstkowych i diagnozy łącznej dla poszczególnych województw, przy czym efektem procesu diagnostycznego jest klasyfikacja województw pod względem sytuacji gospodarczej w latach 2002-2008 (bardzo dobra, dobra, słaba, zła). Wykazano również, że oszacowany porządkowy model logitowy daje podstawy do wyznaczenia prognoz prawdopodobieństw przynależności województw do poszczególnych grup kwartylowych, a co za tym idzie prognoz sytuacji gospodarczej każdego z województw w 2009 roku. Literatura 1. Baltagi B.H. (red.) (2003), A Companion to Theoretical Econometrics, Blackwell Publishing, Malden, Oxford. 2. Batóg B., Wawrzyniak K. (2004), Diagnozowanie i prognozowanie kondycji spółek giełdowych za pomocą modeli probitowych i logitowych, Rynek Kapitałowy. Skuteczne inwestowanie, Część I, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin. 3. Batóg B., Wawrzyniak K. (2010), Dywersyfikacja spółek giełdowych z wykorzystaniem modeli wielomianowych, Zeszyty Naukowe nr 612, Finanse, Rynki Finansowe, Ubezpieczenia nr 28, Wydawnictwo Naukowe US, Szczecin. 4. Batóg B., Wawrzyniak K. (2007), Efektywność prognoz pozytywnej diagnozy łącznej sytuacji ekonomiczno-finansowej spółek giełdowych, Rynek Kapitałowy. Skuteczne inwestowanie, Część I. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego nr 462, Finanse-Rynki Finansowe-Ubezpieczenia nr 6, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin. 5. Batóg B., Wawrzyniak K. (2005), Modele probitowe i logitowe jako podstawa systemu diagnoz na przykładzie sektorów Warszawskiej Giełdy Papierów Wartościowych, Metody ilościowe w ekonomii, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego nr 415, Prace Katedry Ekonometrii i Statystyki nr 16, Szczecin.
Wykorzystanie porządkowych modeli logitowych w diagnozie i 47 6. Batóg B., Wawrzyniak K. (2008), Wielomianowe modele zmiennych jakościowych w diagnozie i prognozie sektorowej na giełdzie papierów wartościowych w Warszawie, [w:] Dittmann P., Szanduła J. [red.], Prognozowanie w zarządzaniu firmą, Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Wrocław. 7. Batóg J. (2010), Konwergencja dochodowa w krajach Unii Europejskiej. Analiza ekonometryczna. Rozprawy i Studia T. (DCCCLIV) 780, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin. 8. Cameron A. C., Trivedi P.K. (2005), Microeconometrics. Methods and applications, Cambridge University Press, Cambridge. 9. Cieślak M. (red.) (2000), Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. 10. Cramer J.S. (2003), Logit Models from Economics and Other Fields, Cambridge University Press, Cambridge. 11. Gruszczyński M. (red.) (2010), Mikroekonometria. Modele i metody analizy danych indywidualnych, Wolters Kluwer Polska Sp. z o.o., Warszawa. 12. Gruszczyński M. (2001), Modele i prognozy zmiennych jakościowych w finansach i bankowości, Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Handlowej, Warszawa. 13. Hozer J., Zawadzki J. (1990), Zmienna czasowa i jej rola w badaniach ekonometrycznych, PWN, Warszawa. 14. Kleinbaum D.G., Klein M. (2002), Logistic Regression, Springer, New York. 15. Maddala G.S. (2006), Ekonometria, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. 16. Stanisz A. (2007), Przystępny kurs statystyki z zastosowaniem StatisticaPL na przykładach z medycyny, Tom II, Modele liniowe i nieliniowe, StatSoft Polska, Kraków. 17. Wiśniewski J.W. (1986), Ekonometryczne badanie zjawisk jakościowych, Wydawnictwo UMK, Toruń. Streszczenie W artykule podjęto próbę zastosowania porządkowych modeli logitowych w celu wyznaczenia diagnoz oraz prognoz sytuacji gospodarczej województw w Polsce. W pierwszej kolejności podzielono województwa na grupy według poziomu PKB na jednego mieszkańca. Dla tak utworzonej zmiennej zależnej (prognozowanej) zaproponowano wstępny zbiór makroekonomicznych zmiennych objaśniających, który w toku badań zredukowano wykorzystując metodę Hellwiga oraz test wiarygodności typu 3. Podstawą diagnozy opartej na oszacowanym porządkowym modelu logitowym były dane o województwach w Polsce obejmujące lata 2002-2008, natomiast prognozy wyznaczono na 2009 rok. Jakość prognoz oceniono porównując zgodność przynależności województwa do danej grupy kwartylowej na podstawie prognozy i na podstawie udziałów regionalnego PKB w PKB ogółem.
48 Barbara Batóg, Katarzyna Wawrzyniak Application of ordinal logit models in diagnosing and forecasting of economic situation of voivodships (Summary) In the paper the Authors applied ordinal logit models to formulate the diagnoses and to compute the forecasts of economic situation of Polish voivodships. The endogenous variable was equal to the number of quartile group to which given voivodship belonged in regards to the value of gross domestic product per capita. The exogenous variables were such macroeconomic variables as nominal income, investment or sold production per capita. The model was estimated on the base of period 2002-2008 and forecasts were computed for 2009.