Funkcja liniowa. Funkcję f określoną wzorem ( ) = + dla,, należących do zbioru liczb rzeczywistych, nazywamy funkcją liniową. Liczbę nazywamy współczynnikiem kierunkowym, wyrazem wolnym. Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Nietrudno zauważyć, że funkcja liniowa jest rosnąca gdy prosta będąca jej wykresem patrząc w prawo "wznosi się" a malejąca gdy "opada". W przypadku gdy prosta biegnie poziomo, funkcja jest stała. Pozostaje jeszcze zauważyć, że czym większa wartość bezwzględna współczynnika kierunkowego a tym prosta tworzy większy kąt z osią OX (jest bardziej stroma). Z kolei gdy wartość bezwzględna a zbliża się do zera, prosta będąca wykresem funkcji liniowej staje się coraz bardziej pozioma. Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji liniowej. Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Przeciwdziedziną jest również zbiór liczb rzeczywistych lub zbiór jednoelementowy (zawierający tylko jedną liczbę). Kiedy? Monotoniczność funkcji liniowej. Za monotoniczność funkcji liniowej odpowiada współczynnik kierunkowy prostej. Gdy > 0 wówczas funkcja jest rosnąca, gdy < 0 funkcja jest malejąca. Dla = funkcja oczywiście jest stała. Z wyjątkiem funkcji stałej funkcja liniowa jest różnowartościowa. Miejsce zerowe funkcji liniowej. "Przyzwoita" funkcja liniowa posiada jedno miejsce zerowe. Jest to odcięta punktu, w którym wykres funkcji przecina oś (odciętych) w układzie współrzędnych. Jeśli by posiadała 2 musiałaby posiadać ich nieskończenie wiele (czemu?). Wyjątkiem jest funkcja stała, która nie posiada miejsca zerowego lub też same miejsca zerowe (kiedy?). Kąt pod jakim "biegnie" prosta będąca wykresem funkcji liniowej zależy od współczynnika kierunkowego. Czym większa wartość bezwzględna a, tym prosta wznosi się bardziej pionowo, gdy wartość bezwzględna dąży do zera, prosta coraz bardziej się "kładzie". Dlaczego użyłem tu znanego i lubianego określenia "wartość bezwzględna"?. Każda prosta oprócz prostej prostopadłej do osi jest wykresem pewnej funkcji liniowej. Sposób wyznaczania współczynników i pokazuje poniższy rysunek: Cóż więcej możemy powiedzieć o poczciwej funkcji liniowej? Po pierwsze, że jest ciągła. O ciągłości wspominałem przy omawianiu funkcji jako takich. Ale akurat to jest trywialne, gdyż każdy wie, że prosta jest linią ciągłą. Po drugie do sporządzenia wykresu funkcji liniowej potrzebne są tylko dwa punkty. Jeden z nich mamy podany prawie na tacy, jak wyznaczyć drugi pokazuje rysunek. Możemy zetknąć się z odwrotnym problemem: Znaleźć wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty (, ) i (, ). Wówczas do wzoru ogólnego ( ) = + należy podstawić współrzędne punktu, następnie punktu i rozwiązać układ równań z dwoma niewiadomymi. Oczywiście w przypadku gdy oba punkty leżą na prostej prostopadłej do osi rozwiązania nie znajdziemy. 1
Jakie zjawiska możemy opisać funkcją liniową? Droga przebyta przez samochód jadący ze stałą prędkością jest liniową funkcją czasu. Zależność tę można przedstawić wzorem: ( ) = +, gdzie - prędkość, - początkowy odcinek drogi, - czas Podobnie, objętość wody znajdującej się w zbiorniku w danej chwili jest funkcja liniową czasu, jeśli tylko uznamy, że kran doprowadzający wodę pracuje ze stałą wydajnością. Wówczas: ( ) = +, gdzie - wydajność kranu, - objętość początkowa, - czas Masę, naprawdę masę zjawisk opisuje funkcja liniowa. Funkcja kwadratowa. Funkcję f określoną wzorem ( ) = + + dla,,, należących do zbioru liczb rzeczywistych, i nazywamy funkcją kwadratową. Wykres funkcji kwadratowej. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Gdy współczynnik jest dodatni to ramiona paraboli są skierowane do góry. Gdy współczynnik jest ujemny to ramiona paraboli są skierowane w dół Z rysowaniem wykresu funkcji liniowej nie było zbyt wielkiego kłopotu. Aby naszkicować wykres funkcji kwadratowej musimy obliczyć współrzędne jej wierzchołka i miejsc zerowych. Do ich obliczenia niezbędny będzie następujący wzór: =. Z deltą, bo o niej mowa zetknęliśmy się przy rozwiązywaniu równań kwadratowych. Funkcja kwadratowa ma 2 miejsca zerowe gdy >0, jedno (podwójne) miejsce zerowe gdy =, natomiast gdy <0 miejsc zerowych funkcja kwadratowa nie posiada. Odpowiednie wzory każdy powinien już dawno znać. Funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (w tej ostatniej nie zawsze). Postać ogólna to już wspomniany zapis: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: 2 ( ) = + +, ( )= + ( )= ( )( ), Ładnie pięknie, ktoś powie. Ale po co właściwie jedno i to samo w trzech postaciach? Otóż postać ogólna jako najbardziej tajemnicza zdradza przynależność funkcji kwadratowej do tajnego bractwa wielomianów (o współczynnikach rzeczywistych). Niewiele jednak z niej wynika w sprawie usytuowania wykresu. Otóż znając postać kanoniczną (a raczej umiejąc ją wyprowadzić z postaci ogólnej), umiemy natychmiast narysować wykres funkcji. Ponieważ potrafimy narysować parabolę o danym współczynniku a, której wierzchołek leży w punkcie (, ), to umiemy również narysować taką samą parabolę, której wierzchołek będzie miał współrzędne (, ). Postać iloczynową posiadają oczywiście tylko funkcje kwadratowe, które mają miejsca zerowe. Aby narysować wykres funkcji z postaci iloczynowej wystarczy wyznaczyć współrzędne wierzchołka (2 punkty, przez które przechodzi parabola już mamy). Planimetria. Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie. Płaszczyzna jak wiemy jest powierzchnią nieograniczoną,
zawiera nieskończenie wiele punktów i rozdziela przestrzeń na dwie przystające części. Pojęcie płaszczyzny wpajane jest nam od dziecka poprzez analogię do powierzchni stołu, czy kartki papieru tylko rozciągających się w nieskończoność. Skoro matką wszystkich figur płaskich jest płaszczyzna wypadałoby i o niej parę słów powiedzieć. Każda płaszczyzna ma następującą własność: przez trzy punkty, nie leżące na jednej prostej, zawsze daje się poprowadzić tylko jedną płaszczyznę. Mówiąc inaczej płaszczyznę wyznaczają 3 punkty, podobnie jak prostą 2 punkty. Pojęcia pierwotne planimetrii. Punkt, prosta, płaszczyzna i są to elementarne, czyli podstawowe figury geometryczne, których nie definiuje się. Precyzyjniej mówiąc, nie można zdefiniować np. prostej nie używając w definicji słowa "prosta". Oczywiście w tak zwanym świecie rzeczywistym nie ma idealnego punktu, prostej ani płaszczyzny. Nawet jakby były to nie można by tego stwierdzić. Bez trudu można je sobie za to wyobrazić. Punkt. Opisowo mówiąc punkt to figura, która nie ma wymiaru. Punkty oznaczamy wielkimi literami,,,... Prosta. Choć nie da się zdefiniować to łatwo sobie ją wyobrazić. O prostej możemy powiedzieć, że składa się z nieskończenie wielu punktów. Proste oznaczamy małymi literami,,,... Prosta ma własność, która odróżnia ją od innych linii. Otóż od jednego punktu do jakiegokolwiek drugiego, może prowadzić wiele linii, ale tylko jedna prosta. Wniosek - jeśli dwie proste mają dwa różne punkty wspólne, to proste takie pokrywają się, czyli są jedną prostą. Zatem dwie różne proste mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny. Zauważmy, że rozważania te nie są oparte na intuicji tylko na aksjomatach! Jeśli proste na płaszczyźnie nie mają punktów wspólnych, to nazywamy je równoległymi. Dwie różne proste nazywamy prostopadłymi, jeżeli jedna z nich jest osią symetrii drugiej. Mając dowolny punkt na płaszczyźnie, możemy przez niego poprowadzić dowolną ilość prostych, które tworzą tak zwany pęk prostych. Punkt, przez który przechodzą wszystkie proste, nazywa się wierzchołkiem pęku. Płaszczyzna. Choć i jej nie da się zdefiniować to również łatwo sobie ją wyobrazić. O płaszczyźnie możemy jedynie powiedzieć, że jest to powierzchnia (choć tej jeszcze wcale nie definiowaliśmy), która jest "prostoliniowa" w każdym kierunku. W świetle tej definicji punkt, prosta i płaszczyzna są figurami płaskimi. Jak widać nasze poczciwe trójkąty, kwadraty, trapezy to tylko kropelki w morzu możliwych figur płaskich. Figura płaska może być wypukła i wklęsła. Figurę nazywamy wypukłą, jeśli każdy odcinek, którego końce należą do figury, zawiera się w niej całkowicie. Figurę, która nie jest wypukła, nazywamy wklęsłą. Figurę płaską nazywamy ograniczoną, jeżeli zawiera się w pewnym kole. Figurę płaską, która nie zawiera się w żadnym kole nazywamy nieograniczoną. Punkt nazywamy punktem brzegowym figury, jeżeli w każdym kole o środku w punkcie znajdują się zarówno punkty danej figury, jak i punkty do niej nie należące. Punkt nazywamy punktem wewnętrznym figury, jeżeli istnieje koło o środku w punkcie zawarte całkowicie w tej figurze. Brzegiem figury nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych tej figury. Wnętrzem figury nazywamy zbiór wszystkich jej punktów wewnętrznych. Dwie figury są przystające, jeśli jedną z tych figur można nałożyć na drugą za pomocą obrotu, przesunięcia lub obydwu tych przekształceń. Zdefiniujmy tak dobrze znane obiekty jak: Odcinek. To taki zbiór punktów prostej (znajdujący się w 1 kawałku i różny od punktu), że po wyjęciu go z prostej pozostają dwa zbiory (półproste). Jak widać definicja tego co łatwo nam sobie wyobrazić może być całkiem zakręcona. Ale można prościej. Odcinkiem nazywamy figurę utworzoną z dwóch różnych punktów i (zwanych jego końcami) oraz wszystkich punktów leżących między nimi na prostej wyznaczonej przez te punkty. Łamana. Łamaną nazywamy figurę geometryczną, składającej się ze skończonej liczby odcinków, takich że żadne dwa następujące po sobie odcinki nie leżą na jednej prostej. Koniec pierwszego odcinka jest początkiem drugiego, koniec drugiego - początkiem trzeciego... a koniec przedostatniego początkiem ostatniego. Jeśli początek pierwszego odcinka pokrywa się z końcem ostatniego, to łamaną nazywamy zamkniętą; w przeciwnym razie mówimy, że łamana jest otwarta. Jeżeli odcinki nie przecinają się (nie mają punktów wspólnych poza wierzchołkami), to łamaną nazywamy zwyczajną. W przeciwnym razie mówimy o łamanej wiązanej. Odcinki łamanej nazywamy bokami, a ich końce wierzchołkami. Półprosta. Jeśli na prostej obierzemy dowolny punkt, to punkt ten dzieli tą prostą na dwie części. Każda z tych części zawierać będzie nieskończoną ilość punktów i każda z nich nazywa się półprostą. Punkt nazywamy początkiem półprostej. Z odcinkiem wiąże się pojęcie symetralnej odcinka. Otóż 3
symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego środek. Inaczej - symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny jednakowo oddalonych od końców odcinka. Kąt. Kąt to każda z dwóch części płaszczyzny ograniczonych dwiema półprostymi o wspólnym początku (wierzchołek kąta) wraz z tymi półprostymi (ramiona kąta). Kąt oznaczamy literami alfabetu greckiego:,. Kąt o tej własności, że odcinek łączący dwa dowolne punkty na różnych ramionach kąta zawiera się wewnątrz kąta nazywamy kątem wypukłym. Kąt, który nie ma tej własności nazywamy kątem wklęsłym. Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, która dzieli go na dwa przystające kąty. Dwusieczną jest również osią symetrii kąta, a każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo odległy od obu ramion kąta. Wielokąt. To figura płaska ograniczoną łamaną zwyczajną zamkniętą.wielokąt o n bokach nazywamy również n-kątem. Dobrze znamy trójkąty i czworokąty, ale jak widać to tylko wierzchołek góry lodowej. Łamaną tworzącą wielokąt nazywamy jego brzegiem. Brzeg wielokąta dzieli płaszczyznę na dwa obszary, z których jeden jest ograniczony, nazywamy go wewnętrznym, drugi jest nieograniczony i nazywamy go zewnętrznym. Przekątną wielokąta nazywamy odcinek, który łączy dwa niekolejne wierzchołki wielokąta. Wielokąty wklęsłe i wypukłe. Jeżeli wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta są kątami wypukłymi, to wielokąt ten nazywamy wypukłym. Jeżeli co najmniej jeden kąt wewnętrzny jest wklęsły, to wielokąt nazywamy wklęsłym. Kąty wewnętrzne i zewnętrzne wielokąta. Kąty utworzone przez dowolne dwa kolejne boki nazywamy kątami wewnętrznymi. Kąt zewnętrzny wielokąta to kąt przyległy do kąta wewnetrznego tego wielokąta. Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta wynosi ( ) Suma miar kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego jest równa. Wielokąty przystające. Wielokąty przystające to takie wielokąty, które dadzą się nałożyć na siebie za pomocą obrotu, przesunięcia lub złożenia tych przekształceń. Wszystko to do tej pory było jakieś takie... hm... kanciaste. A przecież figury mogą być całkiem obłe, na przykład: Okrąg i koło. Okręgiem nazywamy linię, której wszystkie punkty leżą w tej samej odległości od danego punktu zwanego środkiem okręgu. Koło to część płaszczyzny ograniczona okręgiem, wraz z nim. Łuk okręgu to jedna z dwóch części okręgu wyznaczona przez dwa punkty tego okręgu. Cięciwa okręgu (koła) to odcinek łączący dwa różne punkty okręgu. Średnica okręgu (koła) - to najdłuższa z jego cięciw, która przechodzi przez środek okręgu (koła). Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne, prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu. Kąt środkowy i kąt wpisany (w okrąg). Kąt wpisany to taki kąt wypukły, którego wierzchołkiem jest dowolny punkt okręgu, a ramiona są półprostymi zawierającymi cięciwy tego koła. Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek koła, a ramiona są półprostymi zawierającymi promienie koła. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Kąt wpisany oparty na półokręgu, jest prosty. Wycinek i odcinek koła. Wycinek koła to jedna z dwóch części, na jakie dzielą koło dwa promienie. Odcinek koła to jedna z dwóch części na jakie koło dzieli cięciwa. Wielokąt wpisany i opisany na okręgu. Wielokąt, którego wszystkie wierzchołki należą do okręgu, nazywamy wielokątem wpisanym w okrąg (okrąg ten nazywamy okręgiem opisanym na tym wielokącie). Na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne wszystkich boków wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na wielokącie. Wielokąt, którego wszystkie boki są styczne do pewnego okręgu, nazywamy wielokątem opisanym na okręgu (okrąg ten nazywamy okręgiem wpisanym w wielokąt). W wielokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich kątów wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w wielokąt. Trójkąty. Trójkąty są tak ważnymi wielokątami, że warto poświęcić im cały dział. Co tam, dział, wszystkie strony na wszystkich serwerach naszej galaktyki powinny być o trójkątach... :-). Ale do rzeczy. Wielokąt o najmniejszej liczbie boków to trójkąt. Inaczej: trójkąt to obszar ograniczony łamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z trzech odcinków. Dla dociekliwych - czy każda łamana o 3 bokach leży na płaszczyźnie? A o 4 i więcej? Wysokością trójkąta nazywamy najkrótszy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem). Jest on zawsze prostopadły do tego boku. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, a 4
ich przecięcie nazywa się ortocentrum. Środkowe to odcinki łączące wierzchołki ze środkami boków. Środkowe przecinają się w punkcie, ktory nazywamy środkiem cieżkości trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, z których jedna jest dwa razy dłuższa niż druga. Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki: dowolny, którego każdy bok ma inną długość, równoramienny, czyli taki który ma dwa boki równe, równoboczny, którego wszystkie boki są równe. Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty: ostrokątny, którego wszystkie kąty są ostre, rozwartokątny, czyli taki którego jeden z kątów jest rozwarty, prostokątny, którego jeden z kątów jest prosty. Podobieństwo trójkątów. Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. To samo można wyrazić językiem kątów: trójkąty są podobne jeśli mają wszystkie kąty równe. W praktyce wystarczy by równe były dwa, jeśli tak jest oczywiście trzeci też będzie równy (dlaczego?). Wreszcie, trójkąty są podobne gdy mają dwa boki proporcjonalne i równy kąt między nimi. Czworokąty. A co tam, czworokąty też nie pies i warto o nich pisać nie tylko na stronach ale i poematy całe. Czworokąt to obszar ograniczony łamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z czterech odcinków. Oczywiście łamana musi leżeć na płaszczyźnie (dlaczego?) Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Ile ma czworokąt przekątnych każdy widzi. Czworokąt może być wypukły (takie lubimy) i wklęsły (też lubimy ale nieco mniej). Prostokąt - czworokąt o wszystkich kątach prostych Kwadrat - taki prostokąt co to jeszcze ma wszystkie boki równe Trapez - taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe w trapezie nazywamy podstawami, pozostałe boki nazywamy ramionami. Równoległobok - to czworokąt, w którym przeciwległe boki są równoległe (i równe, ale to wynika z równoległości). Romb - to równoległobok o wszystkich bokach równych Trapezoid - to czworokąt, którego żadne boki nie są parami równoległe ani nie są parami równe Deltoid - to czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych, w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe. Kto widział latawiec wie o czym mowa. 5
Geometria analityczna. Geometria analityczna to dział geometrii zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych metodami analitycznymi i algebraicznymi. Zamiast rozważać geometryczne aspekty figur rozwiązujemy układów równań, które opisują dane figury. Geometria analityczna bada przestrzeń euklidesową (czyli taką naszą, swojską, ale niekoniecznie trójwymiarową) i własności jej podzbiorów. Geometria analityczna stworzona została w XIX wieku przez matematyka szwajcarskiego René Descartesa i francuskiego Pierre'a de Fermata. A oto podstawowe pojęcia geometrii analitycznej: Prostokątny układ współrzędnych. Przez dowolny punkt (nazwiemy go punkt ) na płaszczyźnie poprowadźmy dwie wzajemnie prostopadłe osie liczbowe. Układ tak zbudowanych osi nazywamy układem współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie. Punkt ich przecięcia nazywamy początkiem układu współrzędnych, a osie nazywamy osiami współrzędnych. Oś poziomą nazywamy osią odciętych, oś pionową nazywamy osią rzędnych. Inną nazwą prostokątnego układ współrzędnych jest układ kartezjański (od Kartezjusza, prekursora geometrii analitycznej. W przestrzeni układ kartezjański tworzą zamiast dwóch, trzy proste prostopadłe, w czterech i więcej wymiarach (nie)można sobie wyobrazić, że jest ich odpowiednio więcej. Osie dzielą płaszczyznę na cztery części zwane ćwiartkami: I, II, III, IV. Współrzędne punktu na płaszczyźnie. Każdemu punktowi na płaszczyźnie możemy przyporządkować jednoznacznie parę liczb (, ), które nazywamy współrzędnymi. Aby określić współrzędne punktu na płaszczyźnie znajdujemy rzuty prostopadłe punktu odpowiednio na osie i i odczytujemy liczby i, które tym rzutom odpowiadają. Para (, ) jest parą uporządkowaną, jako pierwszą wyróżniamy oś, a jako drugą oś. Oczywiście przyporządkowanie między punktami płaszczyzny i parami liczb (, ) jest wzajemnie jednoznaczne. Punkt o współrzędnych i zapisujemy (, ). Odcinek. Długość odcinka o końcach w punktach (, ) i (, ) wynosi: = ( ) +( ) : zaś, jak łatwo obliczyć, współrzędne środka odcinka to:, =( +, + ) Wektor. Wektor to uporządkowana para punktów. Pierwszy z nich nazywamy początkiem drugi końcem wektora. Wektor posiada zwrot, kierunek i wartość. Kierunkiem wektora nazywamy prostą, na której leży wektor. Zwrot wektora określa nam jego początek i koniec. Wektor, którego początkiem i końcem jest ten sam punkt nazywamy wektorem zerowym. Wartość wektora to po prostu jego długość. Wektor wyznaczają jego współrzędne, zapisujemy je = [, ]. Współrzędnymi wektora nazywamy miary rzutów wektora na osie prostokątnego układu współrzędnych, względem tych osi. Ponieważ rachunek wektorowy stanowi pokaźny dział geometrii analitycznej nie będę tu szczegółowo go omawiał. Prosta na płaszczyźnie. Pojęcie linii prostej jest intuicyjnie jasne, w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest pojęciem pierwotnym, czyli takim, którego się nie definiuje. Można ją jednak interpretować za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. W geometri analitycznej prostą określamy jako zbiór punktów spełniających pewne równanie liniowe. Równanie to można zapisać w różnej postaci. 6
Jeśli prosta nie jest równoległa do osi, to równanie prostej można zapisać w tak zwanej postaci kierunkowej = +, gdzie i to liczby rzeczywiste. Parametr m nazywany jest współczynnikiem kierunkowym, ponieważ od niego zależy kąt nachylenia prostej do osi. Parametr, nazywany wyrazem wolnym, jest to rzędna punktu, w którym prosta przecina oś. Równanie ogólne prostej. W prostokątnym układzie współrzędnych weźmy pod uwagę punkt (, ) i wektor niezerowy = [, ]. Ponieważ wektor ten jest niezerowy, więc jego współrzędne i nie mogą jednocześnie być równe zeru. Istnieje jedna i tylko jedna prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do wektora określona równaniem: + + =. Dla,,, przy czym i nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność: + + =. Liczby,, nazywamy współczynnikami liczbowymi równania prostej. Kąt między prostymi. Kątem między prostymi nazywamy mniejszy z wyznaczonych przez nie kątów. Niech będą dane dwie proste : = + i : = +. Z rysunku otrzymujemy + = stad = 7 = ( )= = Dwie proste, o równaniach kierunkowych : = + i : = + są równoległe, gdy = prostopadłe, gdy = Dwie proste, o równaniach ogólnych : + + = i : + + = są równoległe, gdy = prostopadłe, gdy + = Odległość punktu od prostej. Odległość punktu (, ) od prostej o równaniu ogólnym: + + =, dana jest wzorem: + + +
Równanie okręgu. Równanie okręgu o środku w punkcie (, ) i promieniu ma postać: ( ) +( ) = 8