. OBWODY PRĄDU ZMENNEGO - WADOMOŚC PODSAWOWE.. Klasyfikacja prądów ze względu na zmienność w czasie Prąd zmienny jest to taki prąd, którego natężenie zmienia się w czasie. Podstawowymi parametrami służącymi do opisywania podobnych, zależnych od czasu zjawisk fizycznych, są wartości charakteryzujących je wielkości w konkretnej, rozważanej chwili czasowej, zwane wartościami chwilowymi. W technice przyjęto jako normę, że wartości chwilowe oznacza się małymi literami (np.: i, u, v, e, j). stnieją jednak zwyczajowe wyjątki od tej reguły. Na przykład wartości chwilowe wielkości opisujących pole magnetyczne oznacza się dużymi literami H (natężenie), B (indukcja), Φ (strumień magnetyczny). Aby uniknąć ewentualnych nieporozumień (możliwych zwłaszcza wtedy, gdy wartość chwilowa oznaczona jest dużą literą) zastosowany symbol można uzupełnić literą t w nawiasie (np.: i(t), u(t), v(t), e(t), j(t), H(t), B(t), Φ(t)). Otrzymany w ten sposób symbol jest jednocześnie symbolem wartości chwilowej (w chwili czasowej t ) oraz symbolem zależności funkcyjnej danej wielkości od czasu. Klasyfikację prądów elektrycznych ze względu na zmienność w czasie ich wartości chwilowych pokazuje rysunek.. Prąd elektryczny jest prądem stałym wtedy gdy wartości chwilowe jego natężenia (w tym Rys... Klasyfikacja prądów ze względu na zmienność w czasie znak, a więc zwrot prądu) pozostają niezmienne w czasie. Dotyczy to wszystkich innych charakteryzujących go wielkości (napięć, potencjałów, sił elektromotorycznych, sił prądomotorycznych, itp.). Wielkości charakteryzujące prądy stałe oznacza się dużymi literami (np.:, U, V, E, J). Dla natężenia prądu stałego słuszne jest zatem: i = = const. Prąd zmienny to prąd o takim natężeniu, którego wartości chwilowe zmieniają się w funkcji czasu (zmienność może przy tym polegać wyłącznie na zmianie znaku, co odpowiada zmianie zwrotu prądu). Wśród prądów zmiennych wyróżnia się szczególną klasę prądów - prądy okresowe. Prąd jest prądem okresowym jeżeli istnieje dla niego taki przedział czasowy, że słuszna jest zależność: Rys... Prąd okresowy o okresie i ( t + ) = i( t ) (.) to okres przebiegu okresowego. Odwrotność okresu to częstotliwość: f = (.) Jednostką okresu jest sekunda ( [ ] = s ), jednostką częstotliwości jest herc ( [ f ] = Hz ). Okresowymi mogą być także napięcia, a także siły elektro i prądomotoryczne. - -
Prąd przemienny to taki prąd zmienny okresowy, którego natężenie przyjmuje wartości dodatnie i ujemne (płynie raz w jedną raz w drugą stronę) i dla którego słuszna jest zależność: i ( t )dt = (.).. Wartość średnia, wartość skuteczna Dla przebiegów okresowych można zdefiniować wartości opisujące przebieg całościowo, za cały okres. akimi wartościami są wartości średnie i wartości skuteczne danych wielkości (natężeń, napięć, potencjałów, itp). Wartość średnia wielkości okresowej jest to średnia arytmetyczna przebiegu czasowego tej wielkości za okres. Dla prądu, fizycznie jest to natężenie takiego umyślonego prądu stałego, który w czasie jednego okresu przenosi taki sam ładunek jak dany prąd okresowy. Wartość średnią oznacza się dużą literą z indeksem av albo z umieszczoną u góry kreską (np.: av albo ). Wyznacza się ją (tu przykładowo wartość średnią natężenia prądu) z zależności: av = i( t ) dt (.) Dla przebiegu sinusoidalnego, a takie przebiegi okresowe najczęściej występują w praktyce, jest: m m av = m sin( ωt )dωt = ( cos( ωt ) = [ ( ) ] = (.a) Wartość średnia przebiegu sinusoidalnego wynosi zatem zero. Z tego powodu pojęcie wartości średniej niezbyt nadaje się do opisywania prądów sinusoidalnie zmiennych. Wynikła stąd potrzeba znalezienia wielkości bardziej do tego przydatnej. aką bardziej przydatną wielkością jest wartość skuteczna. Historycznie koncepcja wartości skutecznej związana jest z przyrządami pomiarowymi cieplikowymi (cieplnymi), obecnie stosowanymi bardzo rzadko. Są to przyrządy, które do pomiaru wielkości elektrycznych wykorzystują zjawisko nagrzewania się przewodnika na skutek przepływu prądu. Najważniejszą ich częścią jest drucik grzejny, przez który przepływa mierzony prąd. emperatura do jakiej nagrzewa się taki drucik zależy od natężenia prądu. W tradycyjnych rozwiązaniach miernika, do jej pomiaru wykorzystywane jest zjawisko rozszerzalności cieplnej materiału (por. rys...). emperatura ta, a w związku z tym także wskazanie miernika, nie zależy od zwrotu prądu. Stąd przyrząd cieplikowy można wyskalować prądem stałym, a następnie używać do pomiaru prądu zmiennego. o co wskazuje taki przyrząd nazwano wartością skuteczną (bo daje taki sam skutek energetyczny jak prąd stały, którego użyto do skalowania przyrządu). Jeszcze w latach 9-tych wartości skuteczne określane bywały jako wartości wskazywane przez przyrządy cieplikowe. Rys... Budowa miernika cieplikowego. drucik grzejny,. tzw. mostek,. nić jedwabna, 4. rolka ze wskazówką, 5. sprężyna napinająca Zgodnie ze współczesną definicją, wartość skuteczna natężenia prądu okresowego jest to natężenie takiego umyślonego prądu stałego, który, przepływając przez rezystor o nie zmieniającej się rezystancji, wydzieliłby na nim, w czasie jednego okresu, lub jego - 4 -
wielokrotności, taką samą ilość energii cieplnej, jaką, w tym samym czasie, wydziela dany prąd okresowy. Z definicji tej wynika wzór na obliczanie wartości skutecznej natężenia prądu okresowego: Stąd otrzymuje się poszukiwany wzór: energia cieplna pobrana przez rezystor o rezystancji R, w którym płynie umyślony prąd stały : Stąd: W = R = R = R i( t ) dt energia cieplna pobrana przez rezystor o rezystancji R, w którym płynie prąd okresowy i ( t ) o okresie : W = R i( t ) dt = i( t ) dt (.4) Podobnie oblicza się wartości skuteczne innych wielkości charakteryzujących prąd elektryczny. Na przykład wartość skuteczną napięcia wyznacza się z wzoru: U = u( t ) dt (.4a) Matematycznie wartość skuteczna jest więc pierwiastkiem ze średniej z wielkości podnoszonej do kwadratu - po angielsku: root mean square. Pierwsze litery tego anglojęzycznego terminu używane są w tym języku (a więc w międzynarodowym języku nauki i techniki) jako stawiany przy jednostkach indeks oznaczający wartość skuteczną. Przykładowo wartość skuteczną napięcia równą V zapisuje się jako V rms. Wartość skuteczna danej wielkości to wartość tej wielkości dla prądu stałego równoważna jej skutkami energetycznymi, stąd wartości skuteczne oznacza się tak jak wielkości prądu stałego, a więc dużymi literami (np.:, U, V, E, J). Jak to wynika z definicji, wartość skuteczna jest zawsze rzeczywistą liczbą dodatnią. Dzieląc wartość maksymalną (amplitudę) przebiegu przez jego wartość skuteczną otrzymuje się pewien współczynnik, który może być użyty do obliczania tej wartości maksymalnej na podstawie znajomości wartości skutecznej. Jest to współczynnik szczytu: W k maks sz = (.5a) Wsk Definiuje się też współczynnik kształtu: W k = sk (.5b) Wśr Znajduje on zastosowanie przy skalowaniu mierników magnetoelektrycznych wykorzystywanych do pomiarów wielkości sinusoidalnych. Mierzą one wartości średnie przebiegów wyprostowanych, a wyskalowane są w wartościach skutecznych. - 5 -
.. Moc czynna, moc pozorna, współczynnik mocy Wartości chwilowe mocy z jaką energia jest pobierana lub wydawana przez dwójnik, równe są iloczynowi wartości chwilowych natężenia prądu płynącego w dwójniku i napięcia charakteryzującego pole elektryczne wymuszające ten prąd: p = u i (.) Wynika to z definicji napięcia i natężenia (por. pkt..4 rozdz.. pierwszej części niniejszego skryptu: Elektrotechnika eoretyczna. Prąd stały. ). Jeżeli przebiegi prądu i napięcia są zmienne w czasie to zmienny jest także przebieg mocy. Jeżeli przebiegi te są okresowe, to również przebieg mocy jest okresowy (okres tego przebiegu na ogół jest inny niż okresy napięcia i prądu). Można zatem wyznaczyć jego matematyczną wartość średnią. Wartość tę nazwano mocą czynną. Oznacza się ją dużą literą P i wylicza z takiego samego wzoru jak inne wartości średnie przebiegów okresowych: P = p( t )dt = u( t ) i( t )dt (.7) Moc czynną można także definiować fizycznie jako taką nie zmieniającą się w czasie moc, która w ciągu jednego okresu spowoduje przepływ energii równy przepływowi energii rozważanego przebiegu okresowego. Jednostką mocy czynnej jest wat ( [ P] = W ). Status mocy czynnej w elektrotechnice trafnie określa jej anglojęzyczna nazwa true power - moc prawdziwa. loczyn wartości skutecznych napięcia i prądu danego dwójnika elektrycznego nosi nazwę mocy pozornej tego dwójnika. Oznacza się ją symbolem S : S = U (.8) Pojęcia moc pozorna i moc czynna nie są stosowane w teorii obwodów prądu stałego. Dla tych prądów moc pozorna jest równa mocy czynnej (i jest nazywana mocą, bez dodatkowych dookreśleń). naczej jest w niektórych obwodach prądu zmiennego. Przesył energii z daną mocą czynną (tj. daną mocą średnią) i przy danej wartości skutecznej napięcia, wymaga w tych obwodach zastosowania natężenia prądu o większej wartości skutecznej niżby to było konieczne gdyby moc czynna była równa mocy pozornej (i jak byłoby w obwodach prądu stałego). Zazwyczaj dzieje się tak dlatego, że część energii dopływającej do odbiornika nie zamienia się w nim na energię użyteczną, lecz jest tam magazynowana (w polach magnetycznych cewek i w polach elektrycznych kondensatorów), a następnie zwracana do źródła. Oscyluje w ten sposób bezproduktywnie pomiędzy odbiornikiem a źródłem, powodując zwiększenie wartości skutecznej natężenia prądu. Z tego powodu słuszna jest zależność: S P (.8) Moc pozorna nie jest zatem wielkością opisującą rzeczywistą moc z jaką energia przepływa pomiędzy odbiornikiem a źródłem. Jest ona maksymalną wartością mocy średniej (mocy czynnej), z jaka energia mogłaby przepływać, przy danych wartościach skutecznych napięcia i prądu, gdyby w obwodzie nie zachodziło zjawisko oscylacji energii, lub inne zjawiska pogarszające ten przepływ. Określa więc jedynie optymalne warunki odniesienia dla procesów rzeczywiście zachodzących przy transferze energii. Aby wyraźnie podkreślić, że moc pozorna nie jest rzeczywistą, prawdziwą mocą S = VA). fizyczną, nie mierzy się jej w watach. Jednostką mocy pozornej jest woltamper ( [ ] Stosunek mocy czynnej danego dwójnika do jego mocy pozornej nosi nazwę współczynnika mocy: - -
u( t ) i( t ) dt P P λ = = = (.) S U i ( t ) dt u ( t ) dt Z definicji współczynnika mocy i z zależności (.8.) wynika, że współczynnik ten może przyjmować wartości z przedziału (domkniętego), : λ (.a) Występowanie wartości współczynnika mocy mniejszej od jedności oznacza, że przepływ energii odbywa się przy większych wartościach skutecznych prądu (lub napięcia) niż byłoby to konieczne w warunkach optymalnych. ak, jak gdyby źródło musiało generować jakąś dodatkową energię transferowaną następnie do odbiornika, lecz nie zmieniającą się w energię użyteczną. Moc z jaką przesyłana jest ta hipotetyczna dodatkowa energia nosi nazwę mocy biernej. Będzie ona szczegółowiej omawiana w dalszych rozdziałach niniejszego podręcznika. W obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego tą nieużyteczną energią, występowanie której opisuje moc bierna, jest energia rzeczywiście oscylująca pomiędzy odbiornikiem i źródłem. Jednak występowanie mocy biernej może mieć za przyczynę także inne zjawiska fizyczne. PRZYKŁAD Rozważmy obwód rezystancyjny z wirującym łącznikiem o schemacie zastępczym przedstawiony na rys..4. Łącznik wiruje z prędkością kątową ω = /, gdzie to czas jednego obrotu łącznika. Podczas każdego obrotu obwód jest zamknięty jedynie przez czas τ. W związku z tym, w obwodzie płynie prąd zmienny okresowy, mimo iż zasilany jest on przez źródło prądu stałego. Rys..4. Obwód rezystancyjny z wirującym łącznikiem Należy wyznaczyć moce pozorną i czynną źródła, a także jego współczynnik mocy. Z opisu funkcjonowania łącznika wynika, że przebieg wartości chwilowych prądu płynącego w obwodzie, w tym przez źródło, dla jednego okresu zmienności opisuje zależność: E < t τ i( t ) = R s + R o τ < t Jego wartość skuteczna wynosi: = τ E E τ dt R R = Rs Ro s + o + Napięcie źródła: u źr ( t ) = e( t ) = E Stąd jego wartość skuteczna: U źr = E Moc czynna źródła: τ τ E E τ Pźr = u (t) i(t) dt E dt źr = = R R Rs Ro s + o + Moc pozorna źródła: E τ Sźr = E = Rs + Ro Współczynnik mocy: Pźr τ λ źr = =, ( źr Sźr - 7 -
Współczynnik mocy jest mniejszy od jedności, co wskazuje na fakt nieoptymalnego wykorzystywania źródła. W obwodzie występuje zatem moc bierna. Jednak nie jest tu ona związana z oscylacyjnym przepływem jakiejkolwiek energii. W tym wypadku nieoptymalność polega na przerwach w przesyle energii. Właśnie dlatego natężenie prądu jest większe niż byłoby to potrzebne do przesyłania energii z daną mocą czynną (mocą średnią) gdyby źródło było wykorzystywane bez przerw (a więc optymalnie). Z punktu widzenia źródła odbiornik jest rezystorem o zmiennej rezystancji (równej R o lub ). Jak widzimy obciążenie źródła stałego takim odbiornikiem, a więc odbiornikiem niestacjonarnym, daje efekt występowania mocy biernej. Podobne rozważania przeprowadzone w odniesieniu do odbiornika (rezystora R o ) dają wynik P odb = Sodb, z czego wynika, że współczynnik mocy ma tu wartość λ =. Gdy rozważać zjawiska energetyczne z punktu widzenia odbiornika, liniowy, stacjonarny rezystor zasilany jest zmiennym napięciem o przebiegu prostokątnym. Moc bierna nie występuje. Zatem powodem występowania mocy biernej w rozważanym przykładzie jest niestacjonarność odbiornika..4. Prąd sinusoidalnie zmienny Na zaciskach wykonanej z materiału przewodzącego ramki, umieszczonej w polu magnetycznym i wirującej z prędkością kątową ω (rys..5a), skutkiem zjawiska indukcji elektromagnetycznej, występuje napięcie (ściślej - pole elektryczne o napięciu) o przebiegu czasowym pokazanym na rys..5b. Rys..5. Napięcie sinusoidalnie zmienne a) powstawanie, b) przebieg w funkcji czasu Przebieg ten opisuje wyrażenie matematyczne: u( t ) = Um sin[ ω ( t + τu )] (.) gdzie: U m - to amplituda napięcia; τ u - to czas jaki minął od chwili gdy napięcie miało wartość chwilową równą zero ( przebieg przechodził przez zero ) do chwili kiedy rozpoczęto mierzenie czasu (chwili t = ). Zmienną niezależną jest tu czas (mierzony w jednostkach czasu, tj. w sekundach), zaś do analitycznego zapisu musi zostać użyta funkcja trygonometryczna sinus (lub kosinus). Dziedziną funkcji trygonometrycznych są kąty (mierzone w jednostkach miary kąta płaskiego, tj. w radianach). Stąd zachodzi potrzeba przeliczania czasu na kąty - sekund na radiany. Stosowany tu współczynnik przeliczeniowy nosi nazwę pulsacji (oznacza się go małą grecką literą ω ). Jego wartość wynika z zależności ω = - okres funkcji sinus, równy, musi być równoważny okresowi przebiegu czasowego. Równoważność uzyskuje się za pomocą mnożenia przez współczynnik przeliczeniowy. - 8 -
Stąd wynika wzór na wyznaczanie pulsacji: ω = = f (.) [ < ] rad Jednostką pulsacji jest radian na sekundę ( [ ω ] = = ). [ t ] s Konkretna wartość pulsacji danego przebiegu sinusoidalnego wynika z prędkości kątowej (też oznaczanej symbolem ω - por. rys..5a) z jaką kręci się wirnik prądnicy generującej ten przebieg (Sprawa jest nieco bardziej złożona, tak jest tylko wtedy gdy pole magnetyczne prądnicy ma jedną parę biegunów). W elektrotechnice przyjęło się, że przebiegi sinusoidalne przedstawiane są Rys... Napięcie sinusoidalne w funkcji kąta ωt graficznie nie w funkcji czasu lecz w funkcji iloczynu ω t, czyli odpowiadającego czasowi kąta - argumentu funkcji sinus (por. rys..). Kąt ten nosi nazwę kąta fazowego. Zmienia się on w funkcji czasu - υ ( t ) = ωt + Ψ. Nazwa pochodzi stąd, że od wartości tego kąta zależy w jakiej fazie znajduje się w danej chwili czasowej przebieg (czy jest to faza narastania, czy faza osiągania wartości maksymalnej, czy faza malenia, itd.). Okresem tak przedstawianego przebiegu jest kąt pełny (), a zamiast czasu τ u, jaki minął od chwili gdy przebieg przechodził przez zero do chwili gdy rozpoczęto obserwację przebiegu (tj. do chwili gdy t = ), występuje odpowiadający temu czasowi kąt Ψu = τ ω, nazywany początkowym kątem fazowym. Rys..7. Prąd sinusoidalnie zmienny, wyprostowany a) jednopołówkowo b) dwupołówkowo Przebieg sinusoidalny (przykładowo - natężenia prądu) charakteryzują zatem następujące parametry: - amplituda: max, m ; - pulsacja: ω = f ; - okres: = ; ω - częstotliwość: f ω = = - kąt fazowy w funkcji czasu υ ( t ) = ωt + Ψ ; - początkowy kąt fazowy: υ ( ) = ω + Ψ = Ψ ; - wartość średnia: av = ; - 9 -
Różna od zera jest wartość średnia przebiegu sinusoidalnego wyprostowanego (jednopołówkowo i dwupołówkowo - por. rys..7): m m av( j.p.) = m sin( ωt )dωt ( cos( ωt ) [ ( ) ( ) ] m = = = (.a) m m av( d.p.) = m sin( ωt )dωt ( cos( ωt ) [ ( ) ( ) ] m = = = (.b) - wartość skuteczna: = m m sin ( t )d t m sin ( t )d t m ω ω = = = ω ω (.4) Dla przebiegów sinusoidalnych słuszny jest więc wzór: = m (.4a) (o NE JES definicja wartości skutecznej, a jedynie wzór na jej wyliczanie dla przebiegów sinusoidalnych! - por. pkt.) W Europie napięcie znamionowe instalacji elektroenergetycznych niskiego napięcia ma wartość skuteczną U = V ( U = Vrms ). Wartość maksymalna tego napięcia wynosi więc U m = V 5V. Częstotliwość ma wartość f = 5 Hz. Odpowiada to okresowi rad = =, s = ms. Stąd wartość pulsacji - ω = 5 4. 5 s W Stanach Zjednoczonych i w niektórych innych krajach wartości te są następujące: U = V rms, U m 55, V, f = Hz, =, ( & rad ) s,7 ms, ω 77. s Przebiegi sinusoidalne mające taką samą pulsację (np. przebiegi natężenia prądu i wymuszającego ten prąd napięcia) noszą nazwę przebiegów synchronicznych. Dla przebiegów synchronicznych można wyznaczać przesunięcie fazowe jednego przebiegu względem drugiego. Na ogół oznacza się je małą grecką literą ϕ. W przypadku przebiegów z rys..8 wynosi ono: ϕ = Ψ U Ψ Rys..8. Dwa synchroniczne przebiegi sinusoidalne (.5) Mówimy, że napięcie wyprzedza prąd o kąt ϕ, albo, że prąd opóźnia się o kąt ϕ w stosunku do napięcia. Suma przebiegów sinusoidalnych synchronicznych (o tej samej pulsacji) jest też przebiegiem sinusoidalnym. Jej przebieg można wyznaczyć dodając do siebie wyrażenia opisujące przebiegi składowe. Nie jest to jednak zbyt proste. - -
Niech prądy i i i z rys..9. mają przebiegi: i( t ) = m sin( ωt + Ψ ) i i( t ) = m sin( ωt + Ψ ). Prąd i jest ich sumą: i = i + i. Jego przebieg czasowy można wyznaczyć jako: i( t ) = m sin( ωt + Ψ ) + m sin( ωt + Ψ ) = m sin( ωt + Ψ ) Wartości m i Ψ można wyznaczyć wykorzystując tożsamości trygonometryczne: i( t ) = m sin( ωt + Ψ ) + m sin( ωt + Ψ ) = m [sin( ωt )cosψ + cos( ωt )sinψ ] + + m [sin( ωt )cosψ + cos( ωt )sinψ ] = = sin( ωt )[ m cosψ + m cosψ ] + cos( ωt )[ m sinψ + m sinψ = sin( ωt )[ m cosψ + m cosψ ] + cos( ωt )[ m sinψ + m sinψ o wyrażenie daje się przekształcać dalej, aż do postaci: i(t) = ( cos cos ) ( sin sin ) m Ψ + m Ψ + m Ψ + m Ψ sin sin sin( t ar tg m Ψ + m Ψ ω + ) m cosψ + m cosψ Jak widać, obliczenia takie są pracochłonne nawet dla bardzo prostego przypadku. Właśnie z tego powodu, już w XX w. (pod jego koniec) elektrycy wymyślili metodę skutecznie je upraszczającą. Jest nią metoda wskazów..5. Metoda wskazów Metoda wskazów odwołuje się do koła trygonometrycznego i do pojęcia wskazu wirującego. ] = ] Rys..9. Sumowanie prądów Rys..9. Prąd sinusoidalny i wskaz wirujący wartości maksymalnej Wskaz wirujący wartości maksymalnej jest rodzajem ruchomego (wirującego) wektora, który odwzorowuje przebieg czasowy wielkości sinusoidalnie zmiennej. Na rys..9. pokazano przykładowo wskaz wartości maksymalnej natężenia prądu. Ma on długość równą amplitudzie odwzorowywanego przebiegu, umieszczony jest w początku układu współrzędnych i obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową ω, równą pulsacji przebiegu. Rzutując koniec takiego wektora na oś rzędnych ( oś igreków ), można na niej odczytywać wartości chwilowe natężenia prądu dla chwil t, odpowiadających kątom ω t + Ψ. W chwili t =, a więc w umownej chwili rozpoczęcia pomiaru czasu, wskaz nachylony jest w stosunku do osi odciętych ( osi iksów ) pod kątem Ψ. Na tzw. wykresach - -
wskazowych, wykorzystywanych jako rodzaj graficznego odwzorowania przebiegów sinusoidalnych, rysowany jest on właśnie w tym położeniu. akie odwzorowanie, dzięki swojej prostocie, przydatne jest przy porównywaniu wielu przebiegów, zwłaszcza przy określaniu ich wzajemnych przesunięć fazowych. Jednak największą zaletą tej metody przedstawiania przebiegów sinusoidalnych jest to, że dodane do siebie geometrycznie wskazy dwu synchronicznych przebiegów sinusoidalnych dają wskaz przebiegu sinusoidalnego będącego ich sumą. Pokazano to na rys... Rys... Dodawanie prądów sinusoidalnych jako wskazów wirujących wartości maksymalnej Długość wskazu otrzymanego w wyniku geometrycznego dodawania wskazów składowych jest równa amplitudzie tego sumarycznego przebiegu, kąt jaki ten wskaz tworzy z osią odciętych (osią iksów ) w chwili t = jest jego początkowym kątem fazowym. Gdy wskaz ten obracać ze zwrotem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (jak na rysunku), jego rzuty na oś rzędnych ( oś igreków ), dla kolejnych kątów jaki wskaz tworzy z osią odciętych ( oś iksów ) odpowiadających kolejnym chwilom czasowym, dają wartości chwilowe prądu i ( t ) W praktyce stosowane są nie wskazy wartości maksymalnych, a wskazy wartości skutecznych. Różnią się one od wskazów wartości maksymalnych tym, że mają długość równą wartości skutecznej danej wielkości. Są zatem razy krótsze od wskazów wartości maksymalnej, stąd uzyskane za ich pomocą wartości chwilowe przebiegów czasowych trzeba przemnażać przez. PRZYKŁAD : Dane są dwa synchroniczne prądy sinusoidalne o natężeniach: i ( t ) = sin( 4t ) A i i (t) = 5,57cos(4t) A Należy wyznaczyć przebieg wartości chwilowych prądu będącego ich sumą: i ( t ) = i( t ) + i( t ) Zastosujmy metodę wskazów wartości skutecznej: Jest: max = = = A, rad Ψ = ; i ( t ) = 5,57 cos( 4t ) A = 4 sin( 4t + ) A ; 5,57 max = = = 4 A, Ψ = rad ; Wskazy są nawzajem prostopadłe, do wyznaczania Rys... Dodawanie wskazów prądu długości będącego ich sumą wskazu warto więc zastosować twierdzenie Pitagorasa: - -
= + = + 4 = 5 A Początkowy kąt fazowy Ψ można wyliczać stosując funkcje trygonometryczne: 4 Ψ arc tg arc tg,97 rad ( 5, o = = ) Jest zatem: i (t) sin( t ) 5 sin(4t,97 ) 5 sin(4t 5, o = ω + Ψ + + ) A Kąt jaki się otrzyma mnożąc pulsację przez czas ma wartość wyrażoną w radianach - jednostkach układu S. Stąd kąt początkowego przesunięcia fazowego także powinien być wyrażony w radianach (aby jedne dane wymiarami pasowały do drugich). Jednak podawane w radianach wartości kątów nie są intuicyjne - wiemy mniej więcej jaki to jest kąt 5, o, mało kto ma podobne wyobrażenie o kącie,97 rad. Stąd elektrycy do określania wielkości kątów stosują również stopnie (może nawet częściej od radianów). PRZYKŁAD : Niech prądy i ( t ) i i ( t ) mają przebiegi: i( t ) = sin( 4t + ) A i i( t ) = 5, 57 sin( 4t + ) A Należy wyznaczyć: i ( t ) = i( t ) + i( t ) Jest: = A Ψ = rad i = 4 A Ψ = rad ym razem wskazy reprezentujące prądy i ( t ) i i ( t ) nie są wzajemnie prostopadłe, stąd obliczenia nie będą już tak proste jak w poprzednim przykładzie. Do wyznaczenia wartości i Ψ potrzebna jest znajomość twierdzeń trygonometrycznych i - co ważniejsze - wymaga to sporego nakładu pracy. Najprościej wylicza się te parametry dodając do siebie rzuty wskazów na osie odciętych i rzędnych. akie rzuty nazywane są w elektrotechnice składowymi ortogonalnymi (prostopadłymi). x = cos Ψ = cos( ) =, 5 A, y = sin Ψ = sin( ),598 A x = cos Ψ = 4 cos( ),44 A, y = sin Ψ = 4 sin( ) = A x = x + x,5 +,44 = 4, 94 A, y = y + y, 598 + = 4, 598 A x y 4, 94 4, 598 = + +, 7 A Rys..a. Dodawanie wskazów prądu Rys..b. Dodawanie wskazów prądu metodą dodawania ich składowych - -
4,94 Ψ arc tg x arc tg,747 rad ( 4,8 o = ) y 4,598 Jest zatem: i ( t ), 7 sin( 4t +, 747 ) A.. Metoda symboliczna Metoda wykresów wskazowych ułatwia obliczanie przebiegów sinusoidalnych. Zamiast dodawać funkcje czasu, co jest zajęciem dość skomplikowanym i pracochłonnym, dodaje się do siebie (geometrycznie) reprezentujące je wskazy. Najprościej robi się to dodając do siebie rzuty wskazów na osie układu współrzędnych, zwane ich składowymi ortogonalnymi. Elektrycy znaleźli sposób, by jeszcze uprościć, zautomatyzować te obliczenia. Efekt ten daje zastosowanie liczb zespolonych. Reprezentacją liczby zespolonej Z = Z e jα = a + ib na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor o długości Z i o początku w początku układu współrzędnych, nachylony względem osi liczb rzeczywistych pod kątem równym α. Dodawanie liczb zespolonych polega na dodawaniu (geometrycznym) reprezentujących je wektorów. Wszystko to idealnie pasuje do wskazów odwzorowujących przebiegi sinusoidalne. Można je zatem utożsamiać z wektorami reprezentującymi liczby zespolone i nadawać im wartości zespolone. Metoda, w której wskazy zapisuje się używając liczb zespolonych nosi nazwę metody symbolicznej. Jej autorem był irlandzki uczony Arthur Edwin Kennelly (był synem oficera pokładowego, sam przez krótki czas pracował jako elektryk okrętowy). Stosując metodę symboliczną wskazowi wartości skutecznej odwzorowującemu przebieg w ( t ) (gdzie w ( t ) to przebieg czasowy sinusoidalnego napięcia, natężenia, sem itd.), o długości W W = max i o kącie nachylenia względem osi odciętych (początkowym kącie fazowym j przebiegu) równym Ψ W przyporządkowuje się liczbę zespoloną W e Ψ W o module W i argumencie Ψ W (reprezentuje ona wskaz, symbolizuje go - stąd nazwa metody). Wartość ta nosi nazwę wartości skutecznej zespolonej. W efekcie takiego przyporządkowania, geometryczne dodawanie wskazów wartości skutecznych zostaje zastąpione arytmetycznym dodawaniem wartości skutecznych zespolonych. W elektrotechnice, w odniesieniu do liczb zespolonych, zwyczajowo stosuje się nieco inne oznaczenia niż w matematyce. Przede wszystkim liczba urojona jest tu oznaczana literą j, a nie i - litera i zarezerwowana jest dla oznaczania natężenia prądu. stnieją też trzy różne konwencje oznaczania wartości zespolonych wielkości elektrycznych, przy czym dwie z nich występują równolegle. Rzadziej spotyka się i inne. przestarzała, używana do połowy lat 9-tych, spotykana w starych podręcznikach aktualna, spotykana w niektórych podręcznikach (np. Cholewicki.: Elektrotechnika teoretyczna. WN. 97 i inne wyd..), a także w publikacjach zagranicznych abela. konwencja wartość zespolona moduł wartości zespolonej Î = e jψ symbol z daszkiem bez wyróżniania = e jψ bez wyróżniania symbol wartości bezwzględnej - na ogół niekonsekwentnie aktualna, najpopularniejsza, ta którą będziemy stosować = e jψ symbol podkreślony bez wyróżniania - 4 -
Niektóre kalkulatory wykonują działania na liczbach zespolonych. Pracujący w zawodzie inżynier elektryk powinien mieć taki kalkulator. Powinien jednak także umieć radzić sobie i bez niego. W bardziej zaawansowanych rozważaniach teoretycznych, reprezentację sinusoidalnej funkcji czasu poprzez wartość skuteczną zespoloną wyprowadza się przy pomocy tzw. transformacji Fouriera. Zapoznamy się z nią w dalszym toku studiowania elektrotechniki teoretycznej. PRZYKŁAD : Wyznaczmy raz jeszcze prąd i ( t ) z poprzedniego przykładu. ym razem zastosujmy metodę symboliczną. Jest: i( t ) = sin( 4t + ) A i i( t ) = 5, 57 sin( 4t + ) A Należy wyznaczyć: i ( t ) = i( t ) + i( t ) Przedstawmy przebiegi za pomocą ich wartości skutecznych zespolonych: j = A Ψ = rad stąd: e = A = 4 A Ψ = rad stąd: 4 e j = A e 4 e j j = + = + 4,94 + j4,598 A Aby można było wyznaczyć przebieg wartości chwilowych prądu i ( t ) trzeba przekształcić z postaci algebraicznej do postaci wykładniczej: 4,94 j4,598, e j, 747 + 74 Prąd i ( t ) ma przebieg: i ( t ) =, 74 sin( 4t +, 747 ) A A.7. Odbiornik liniowy, pasywny - impedancja, admitancja, prawo Ohma Odbiornik liniowy, pasywny jest to taki odbiornik, który nie zawiera ani elementów o charakterystykach nieliniowych, ani elementów źródłowych. Jeżeli do zacisków takiego odbiornika przyłożyć napięcie sinusoidalne (ściślej - pole elektryczne o napięciu sinusoidalnie zmiennym): u( t ) = U sin( ωt + ΨU ) to również płynący pod wpływem tego napięcia prąd jest prądem okresowym, sinusoidalnym, o takiej samej pulsacji (a więc synchronicznym z napięciem): i( t ) = sin( ωt + Ψ ) Rys... Odbiornik liniowy, pasywny w obwodzie prądu zmiennego - 5 - Rys..4. Prąd i napięcie odbiornika liniowego, pasywnego w obwodzie prądu zmiennego
Wartość skuteczna prądu jest przy tym wprost proporcjonalna do wartości skutecznej napięcia: U (.a) zaś przesunięcie fazowe miedzy prądem i napięciem jest (dla danego odbiornika) stałe i nie zależy od wartości skutecznej napięcia: Ψ U Ψ = const = ϕ (.b) Dla wielkości nawzajem proporcjonalnych można wyznaczać współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i U napięcia Z = nosi nazwę impedancji. ermin ten pochodzą od łacińskiego impedio - przeszkadzam, tamuję, stoję na zawadzie. Odbiornik pasywny, liniowy w obwodzie prądu zmiennego charakteryzują więc jego impedancja Z i przesunięcie fazowe pomiędzy prądem i napięciem ϕ. Znając te wielkości można na podstawie znajomości przebiegu prądu wyznaczyć wartość skuteczną wymuszającego ten prąd napięcia, a także jego początkowy kąt fazowy: U = Z (.7) Ψ U = Ψ + ϕ Zależności te stanowią prawo Ohma dla obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego. Jeżeli na podstawie znajomości przebiegu napięcia wyznaczony ma być prąd wygodniej jest stosować inną postać prawa Ohma dla przebiegów sinusoidalnych: = Y U (.8) Ψ = ΨU ϕ gdzie: Y = = to współczynnik Z U proporcjonalności, który nazwano admitancją. ta nazwa ma łaciński źródłosłów. Pochodzi od czasownika admitto - dozwalam, przyjmuję. mpedancja i admitancja, definiowane jako współczynniki proporcjonalności pomiędzy napięciem i prądem oraz prądem i napięciem, mają takie same jednostki jak rezystancja i konduktancja, definiowane identycznie, lecz dla obwodów prądu stałego: V A = = Y = = A [ Z ] Ω, [ ] S V Sinusoidalnie zmienne napięcie i sinusoidalnie zmienny prąd mogą być reprezentowane za pomocą wskazów swoich wartości skutecznych. Wskazy te, narysowane w skali i umieszczone na jednym rysunku, tworzą tzw. wykres wskazowy (rys..5). Wskazy można zapisać za pomocą liczb zespolonych, jako wartości skuteczne zespolone: jψ U = U e U jψ i = e Rys..5. Odbiornik liniowy, pasywny - wykres wskazowy napięcia i prądu Jeżeli do wyrażenia na wartość skuteczną zespoloną napięcia podstawić zależności z prawa Ohma (.5) otrzymuje się: jψu j( Ψ +ϕ ) j jψ U = U e = Z e = Z e ϕ e Wprowadzając oznaczenie Z = Z e jϕ i uwzględniając, że jψ = e otrzymuje się wyrażenie na prawo Ohma w zapisie symbolicznym: U = Z (.9) - -
Wielkość Z = Z e jϕ to impedancja zespolona. Jest ona współczynnikiem proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi zespolonymi napięcia i prądu: U j U j( U ) Z Z e ϕ Ψ Ψ = = = e (.) Jej modułem jest impedancja, czyli współczynnik proporcjonalności pomiędzy wartościami U skutecznymi napięcia i prądu danego odbiornika ( Z = ), zaś argumentem - stałe (dla danego odbiornika) przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegami czasowymi napięcia i prądu ( ϕ = Ψ U Ψ ). mpedancja zespolona opisuje właściwości odbiornika liniowego, pasywnego jako elementu obwodu prądu sinusoidalnie zmiennego. Równoważną ( dualną ) postać prawa Ohma w zapisie symbolicznym otrzymuje się wyznaczając napięcie na podstawie znajomości natężenia prądu: jψ j( ΨU ϕ) j jψ = e = Y U e = Ye ϕ Ue U Wprowadzając oznaczenie Y = Y e jϕ jψ i uwzględniając, że U = U e U otrzymuje się wyrażenie: = Y U (.) Wielkość Y = Y e jϕ to admitancja zespolona. Jest ona współczynnikiem proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi zespolonymi prądu i napięcia: j j( U ) Y Y e ϕ Ψ Ψ = = = e (.) U U Jej modułem jest admitancja - współczynnik proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i napięcia występujących w danym odbiorniku - Y =, zaś argumentem stałe U przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegami czasowymi prądu i napięcia - Ψ ΨU. Admitancja zespolona jest odwrotnością impedancji zespolonej. Zatem zawiera te same co tamta informacje o odbiorniku liniowym, pasywnym w obwodzie prądu sinusoidalnie zmiennego, jedynie inaczej zapisane. PRZYKŁAD Rozważmy odbiornik, którego prąd ma przebieg czasowy i( t ) = 5 cos( 4t + ) A przy napięciu o przebiegu u( t ) = sin( 4t ) V. Do odbiornika tego przyłożono napięcie o przebiegu czasowym u' ( t ) = 4 sin( 4t + ) V. Należy wyznaczyć przebieg prądu przy tym nowym napięciu, a także wskazania woltomierza i amperomierza mierzącego napięcie i natężenie prądu. Wartości skuteczne zespolone napięcia i prądu wynoszą: j U = e j = V oraz = 5 e A Admitancja zespolona odbiornika ma więc wartość: j 5 e j Y = =, 74 e S U Nowe napięcie ma wartość skuteczną zespoloną: U' 4 e j = V - 7 -
Wartość skuteczną zespoloną nowego prądu można wyliczyć jako: 5 j j j ' = Y U',74 e 4 e =,5 e A ak więc wartość skuteczna prądu wynosi ', 57 A ; 5 Jego początkowy kąt fazowy ma wartość Ψ' = Stąd nowy prąd ma następujący przebieg wartości chwilowych: 5 5 i' ( t ),5 sin( 4t + ),4 sin( 4t + ) A Woltomierz i amperomierz mierzą wartości skuteczne odpowiednio napięcia i prądu, zatem ich wskazania wynoszą: U V = 4V i A,5 A - 8 -