Zastosowanie Informatyki w Chemii Laboratorium Instrukcje do c wiczen
Plan zajęć 1. Zajęcia organizacyjne. Przypomnienie z Excela. 2. Korelacja, regresja wprowadzenie zadanie część a i b 3. Korelacja, regresja zadanie część c i d 4. Regresja od wielu parametrów. 5. Regresja od wielu parametrów cd. 6. Pochodna, iloraz różnicowy na przykładzie funkcji 3 stopnia 7. Iloraz różnicowy krzywa alkacymetryczna 8. Kolokwium 1 9. Solver wprowadzenie na przykładzie funkcji 3 stopnia 10. Solver c.d. 11. Całkowanie numeryczne - metody 12. Całkowanie numeryczne - c.d. 13. Kolokwium 2 14. Pracownia uzupełniająca 15. Poprawki i wpisy
Plan zajęć
Ćwiczenia 1 Przypomnienie z Excela Polecenia. 1. Dla 16 elementowej próbki oblicz wartości funkcji statystycznych stosując podane wzory matematyczne. Próbka a: 48,4478 69,2368 45,7823 55,4199 87,1514 49,3306 74,2661 51,3336 55,8195 35,9834 61,1744 35,7469 63,7887 39,5142 30,4353 34,3459 Średnia: arytmetyczna: 1 n x x n i 1 i n Wariancja: 2 2 1 s x i x n i1 ; geometryczna: g n x i n i 1 ; Odchylenie standardowe: Odchylenie przeciętne d 1 od wartości średniej: d 1 ; harmoniczna: s 1 n 1 n Odchylenie przeciętne d 2 od mediany: d x i m 2 e n i1 n i1 2 s x i x h 1 n n 1 i 1 x i 1 Kwartyle: 0, 1, 2, 3 i 4. Kwartyl = ( ) [ ( ) ( )] l= 0, 1, 2, 3 lub 4 [( ) ( )] Liczba k l, zwraca wartość o części całkowitej: k, - i ułamkowej: f. k wskazuje element w próbce a ; f jest współczynnikiem interpolacji w przedziale (a(k),a(k+1)).
Ćwiczenia 1 Przypomnienie z Excela 2. Tabela przedstawia zmiany wartości parametru P w czasie t. t(s) P -e P 0 0,9270328 1 1,0722683 2 1,1887576 3 1,2999191 4 1,3716882 5 1,4868182 6 1,5575128 7 1,6205757 8 1,6976319 9 1,7635314 10 1,813684 a) Przedstaw na wykresie zależność -ep(t). b) Korzystając z funkcji linia trendu podaj parametry a i b dla zależności liniowej. c) Jaka będzie wartość -ep po czasie 2,5s? d) Po jakim czasie wartość P osiągnie wartość 1,1? 3. Stosując rachunek macierzowy rozwiąż układy równań. a) b) 5x 6 y 3z 2t 7 2x y z t 4 x 2y 3z 4t 1 4x 5y z t 5 7x 8 y 9z 5 5x 2y 3z 2t 2 2x y z t 14 4x 2y 2z 2t 1
Ćwiczenia 2 Regresja liniowa część a Polecenie Wyznacz równanie regresji liniowej dla standardowej entalpii tworzenia gazowych n-alkanów w funkcji liczby atomów węgla. Ogólny wzór regresji liniowej: y = a 1 x + a 0 Liczba atomów węgla H 0 tw [kj/mol] Wyznacz parametry a 1 i a 0 : a) Korzystając ze wzorów: 1-74,5 2-84,68 3-103,85 4-126,15 5-146,44 6-167,19 7-187,78 8-208,45 9-229,03 10-249,66 11-270,29 12-290,87 13-311,50 14-332,13 15-352,75 16-373,34 17-393,92 18-414,55 19-435,14 20-455,76 ( ) b) Stosując funkcje programu Excel: nachylenie i odcięta. c) Używając kreatora wykresów. Podziel się swoimi obserwacjami.
Ćwiczenia 2 regresja liniowa część b Graficzna ocena liniowości badanej zależności jest wyłącznie jakościowa. Istnieje kilka miar jakości przyjętego modelu. Podstawową miarą jest wariancja resztkowa (synonim wariancja po korelacji). ( ) Gdzie jest wartością teoretyczną obliczaną na podstawie równania: Suma we wzorze na nazywa się resztkową sumą kwadratów. Pierwiastek z wariancji resztkowej nazywa się resztkowym odchyleniem standardowym: Inną miarą jest współczynnik determinacji nazywany potocznie kwadratem współczynnika korelacji. ( ) ( ) ( ) Miarą wiarygodności wyznaczania współczynników regresji są tzw. błędy standardowe. Błąd standardowy współczynnika nachylenia: ( ) ( ) oraz błąd standardowy wyrazu wolnego: ( ) Istotność korelacji liniowej można testować za pomocą rozkładu F-Sendecora. Charakterystykę oblicza się jako iloraz: ( ) Polecenie: Na podstawie podanych wzorów wyznacz następujące parametry: - resztkowe odchylenie standardowe, - kwadrat współczynnika korelacji R 2, - błąd standardowy współczynnika nachylenia, - błąd standardowy wyrazu wolnego, - istotność korelacji liniowej F.
Ćwiczenia 3 regresja liniowa część c, d Polecenie część c. Podobną analizę przeprowadź korzystając z funkcji REGLINP i REGLINW. Wyniki otrzymane na podstawie powyższych funkcji tablicowych przedstaw w czytelny sposób. Powtórz analizę korzystając z dodatku: Analiza Danych Regresja. Porównaj otrzymane wartości. Wymień wady i zalety stosowanych poznanych metod. Polecenie część d. Odchylenia punktów od prostej obliczonej y i=y i- i stanowią w założeniu populację losową o wartości spodziewanej równej zero i wariancji y, której oszacowaniem z próby n-elementowej jest: Charakterystyka próby: s y i s yˆ 1 t ma rozkład t-studenta dla n-2 stopni swobody. 1 n y i s y i n n1 yˆ ( x x) i i ( x i 2 x) 2 Polecenie: Sprawdź, czy usunięcie danej o największej różnicy y jest uzasadnione na poziomie istotności =0,05?
Ćwiczenia 3 regresja liniowa część c, d
Ćwiczenia 4 regresja wieloparametrowa Polecenie część a W tabeli 1 zestawiono dane dotyczące wybranych terpenów: RI exp eksperymentalne współczynniki retencji (chromatografia gazowa); T temperatury wrzenia ( o C); Y ilość pierścieni w molekule związku. Sprawdź korzystając z narzędzi programu Excel, w jakim stopniu współczynniki retencji korelują z pozostałymi dwoma parametrami charakteryzującymi te molekuły. Zbadaj również zależności współczynnika retencji od pozostałych parametrów. Analizę przyprowadź dla następujących regresji: 1. log(ri) = a log (T) + by + c 2. RI = a log (T) + by + c 3. RI = a (T) + by + c 4. RI = a log (T) + c 5. log(ri) = a T + c 6. RI = a T + c Oceń jakość każdego z równań porównując parametry a, b i c oraz parametry statystyczne. Wybierz najlepszą zależność. Tabela 1 NN Terpene T Y RI exp 1. Tricyclene 153 3 926 2. -Pinene 156 2 939 3. Camphene 158.5 2 953 4. -Pinene 165 2 980 5. Myrcene 167 0 991 6. 3-Carene 172 2 1011 7. -Terpinene 174 1 1018 8. (X) Ocimene 178 0 1040 9. -Terpinene 183 1 1062 10. Terpinolene 186 1 1088
Ćwiczenia 5 regresja wieloparametrowa cd. Polecenie część b Wybrany w części a) model matematyczny zastosuj do obliczenia nieznanych wartości współczynników retencji terpenów znajdujących się w tabeli 2. Tabela 2. NN Terpene T Y RI exp RI calc 1. -Thujene 154 2? 2. -Fenchene 158.5 2? 3. Sabinene 164 2? 4. 2-Carene 167 2? 5. - Phellandrene 171.5 1? 6. -Phellandrene 175.5 1? 7. Sylvestrene 176 1? 8. Allo-ocimene 196 0? 9. Allo-ocimene 198 0? 10. -Fenchene 139 2? 11. Cyclofenchene 145 3? 12. Achillene 146 0? 13. -Fenchene 147 2? 14. -Thujene 147 2? 15. -Fenchenen 148 2? 16. Bornylene 149 2? 17. -Fenchene 150 2? 18. -Fenchene 152 2? 19. -Pyronene 157 1? 20. 4-Carene 160.5 1? 21. -Pyronene 169 1? 22. -Terpinene 173.5 1? 23. 1-Methyl-3-iso-propylecyclohexene 177 1? 24. iso-terpinolene 187 1? 25. Sylvoterpinolene 199.5 1?
Ćwiczenia 6 pochodna, a iloraz różnicowy Polecenie. Na wykresie przedstaw funkcję f(x) = (x+3)(x-6)(x+4) w przedziale <-6,7>. Oblicz analitycznie pierwszą i drugą pochodną. Na tej podstawie wyznacz ekstrema oraz punkt przegięcia funkcji określając współrzędne tych punktów. Stosując podane ilorazy różnicowe, wyznacz ekstrema oraz punkty przegięcia. 1. 2. f '( x ) 0 f '( x ) 0 f ( x f ( x 0 0 h) f ( x ) h h) f ( x 2h 0 0 h) Obliczenia przeprowadź w dwóch seriach: a) h=0,5 b) h=0,1 Wyniki porównaj w tabeli. Wybierz iloraz, który wyznacza interesujące wartości najdokładniej. Podaj różnice między wartościami dokładnymi, a tymi otrzymanymi po zastosowaniu ilorazów. Napisz skąd wynikają różnice.
Ćwiczenia 7 pochodna, a iloraz różnicowy Przykład. W pliku o nazwie aklacymetria.xls znajdują się wyniki doświadczenia, w którym miareczkowano kwas tetraborowy (H 2 B 4 O 7 ) zasadą (NaOH). 1. Wykonaj wykres obrazujący to miareczkowanie. 2. Stosując poznane ilorazy f ( x0 h) f ( x0 ) a) f '( x0 ) h f ( x0 h) f ( x0 h) b) f '( x0 ) 2h wykonaj odpowiednie obliczenia i na ich podstawie wyznacz punkty końcowe miareczkowania(v PK1 i V PK2 ), wskazując punkty przegięcia na krzywej alkacymetrycznej. 3. Wyznacz kolejne pka dla tego kwasu wiedząc, że pka=ph(1/2v PK ). Porównaj je z danymi literaturowymi. 4. Określ moc kwasu.
Ćwiczenia 9 solver Przykład a) Dana jest funkcja: y = (0,5x + 3)(x 2 + 3x + 1) Korzystając z narzędzia Solver wskazać - miejsca zerowe, - ekstrema, - miejsca, w których przyjmuje ona wartość 123. Podaj przedziały, w których znajdują się przykładowe wartości startowe umożliwiające znalezienie konkretnego rozwiązania rozwiązania. Przykład b) Dana jest funkcja: ( ) Przeprowadź jej analizę podobnie jak w przykładzie a). Obliczenia przeprowadź w przedziale (-5,5).
Ćwiczenia 10 solver c.d. Zadanie część a Gęstość elektronu atomu wodoru opisuje funkcja, która wyznacza radialną gęstość prawdopodobieństwa P(r). Opisuje ona prawdopodobieństwo lokalizacji elektronu w odległości r od jądra. Dla orbitalu 1s ma ona postać: ( ) ( ) ( ) gdzie a 0 jest tzw. promieniem Bohra i wynosi 5,2917. 10-11 m Wyznacz numerycznie położenie ekstremów funkcji korzystając z różnych wartości startowych. PROPOZYCJE. Wykonać optymalizację dla różnych sensownych fizycznie punktów startowych: 1. r/a 0 = 0,5, 3, 4, 5 2. r/a 0 = 12, 15 3. r/a 0 = 20, 30, 50 Zadanie część b Radialna gęstość elektronowa orbitali 2s i 3s atomu wodoru jest opisana odpowiednio funkcją: orbital 2s: ( ) ( ) ( ) ( ) orbital 3s: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Wyznacz ekstrema.
Ćwiczenia 11 całkowanie numeryczne - metody Zadanie Oblicz, ile wynosi pole powierzchni pod krzywą opisana funkcją: I. y=x 2 II. y=cos(x) w przedziale (0,1). 1. W celu uzyskania dokładnych wyników wykonaj zadanie korzystając z analizy matematycznej. 2. Zastosuj 4 poznane metody całkowania numerycznego. Podziel przedział całkowania na: a. 2 części b. 4 części c. 8 części d. 16 części. Oblicz ile wynosi błąd bezwzględny oraz względny przy zastosowaniu każdej metody w zależności od ilości przedziałów całkowania. Zależności błąd vs. Ilość przedziałów przedstaw na wykresach. Podziel się obserwacjami. 1. Metoda prostokątów ( ) ( ) 2. Metoda prostokątów (punktu środkowego) ( ) ( ) 3. Metoda trapezów ( ) ( ( ) ( )) 4. Metoda Simpsona ( ) [ ( ) ( ) ( )]
Ćwiczenia 12 całkowanie numeryczne c.d. Zadanie W pliku o nazwie chronoamperometria.xls znajdują się wyniki doświadczenia. Na wykresie przedstaw zależność natężenia prądu I(A) od czasu t(s). Oblicz jaki ładunek przepłyną w czasie wykonywania eksperymentu. Zastosuj poznane metody całkowania numerycznego. 1. Metoda prostokątów ( ) ( ) 2. Metoda prostokątów (punktu środkowego) ( ) ( ) 3. Metoda trapezów ( ) ( ( ) ( )) 4. Metoda Simpsona ( ) [ ( ) ( ) ( )]