Regrej low. Złóżm, że mm pęć puktów dośwdczlch dch w tbel: Tbel.,5 4 3 6 3 4 8 4 5 6 Jeśl wkreślm te pukt, otrzmm Ruek.. 7 6 5 4 3 4 6 8 Ruek. Wdć, że chocż pukt ą eco porozrzuce kutek, powedzm, błędów pomrowch, to jedk wrźe ukłdją ę wzdłuż protej. Śwdcz to o tm, że mm tu do cze z zleżoścą lową wzelke prób prokmow tch puktów welomem terpolcjm ( czwrtego top), któr mułb przez e przechodzć, e mją wękzego eu. Rówe protej m potć tępującą: +b, gdze b to wpółczk, którch chwlowo e zm. Pozukwe prmetrów tkej protej, któr b przechodzł możlwe jblżej wztkch puktów dośwdczlch (, ), poleg mmlzcj um: [ ( )] [ ( + S(, b) b)] (.) 93
gdze ( ) to wrtośc wpółrzędej oblczoej z rów protej dl dch. Różce mędz dokłdm wrtoścm orz wrtoścm oblczom z rów protej ą podeoe do kwdrtu, b ukąć możlwośc, że będą ę wzjem zoł kutek różc zków. Z tego też względu przedtwo w tm rozdzle metod potępow o zwę metod jmejzch kwdrtów. Dl dch z Tbel. welkość S będze rów: S(,b) [(,5 (+b)] + [ (4+b)] +[3 (6+b)] +[4 (8+b)] +[6 (+b)] Formle rzecz borąc jet to fukcj dwóch zmech b. Itereują tke wrtośc tch zmech, dl którch S(,b) jet mml. Wdomo, że fukcj welu zmech m mmum w pukce, dl którego pochode czątkowe tej fukcj po wztkch zmech ą rówe zeru, ztem w tm przpdku muzą bć pełoe wruk: czl: S(,b ) S(,b ) b [,5 b)](-)+[ 4 b](-4) +[3 6 b]( 6) + [4 8 b](-8) +[ 6 b)](-) orz [,5 b)](-)+[ 4 b](-) +[3 6 b]( ) + [4 8 b](-) +[ 6 b)](-) Po uprozczeu otrzmujem: 44 + 6b 34 Rozwązem tego ukłdu rówń lowch ą welkośc: (.) 6 + b 89 (.3) 7,5 orz b 4,6 N Ruku. przedtwoo pukt z Tbel. orz lę protą określoą przez rówe : 7,5* 4,6. 94
8 7 6 5 4 3-4 6 8 - Ruek. Aprokmcj dch dośwdczlch krzwm o częto mo zwę regrej. W przpdku, gd do tch dch dopowujem protą, mówm o regrej lowej. Wprowdźm terz wzor dl regrej lowej w poób ogól. Rówe l zpzm terz eco czej ż poprzedo jko: p () + () Fukcj S(, ) dl dch {(, ) [,...]} m potć:, ) ( ) S ( gdze ozcz lczbę puktów. Chcąc zleźć mmum tej fukcj, mum rozwązć ukłd rówń, któr o zwę ukłdu rówń ormlch (rów (.) też ą ormle). S(, ) S(,,) ( ( )( ) )( ) (.4) Po uporządkowu, otrzmm ukłd rówń: + (.5) + z którego tchmt dotje ę ogóle wzor wpółczk defujące lę protą: 95
(.6) Spróbujm określć epewośc pomrowe w probleme regrej lowej. Zkłdm, że epewość w pomrch -ów jet zedbwl. Złożee to jet w peł uzdoe poewż wet jeśl jkś epewość teje, to jet o ewelk w porówu z epewoścm -ów. Dlej zkłdm, że epewośc wztkch wrtośc mją tką mą welkość (jeśl tk e jet możem rtowć ę toowem różch wg tttczch). Oblczjąc odpowede średe odchlee tdrdowe (błąd tdrdow) powśm uwzględć fkt, że jet oo podwżzoe z powodu błędów z jkm wlczlśm tłe. Iczej moż powedzeć, że wzczee prmetrów protej obż lczbę top wobod zego ukłdu. Zjduje to odzwercedlee w fkce, że lcząc średą dzelm przez (-) zmt przez, co powoduje odpowede podwżzee wrtośc błędu. ) ( ε gdze ε (.7) Po podtweu do wzorów (.5) (.7) dch z Tbel. otrzmujem: -4,6 7,5 4.535 Tke me wrtośc wpółczków protej oblczlśm poprzedo, rozwązując w prot poób ukłd rówń (.). Nepewośc prmetrów protej zjdujem metodm przeoze błędów, trktując te prmetr jko fukcje zmerzoch wrtośc (ptrz rozdz. ). Otrzmm w te poób tępujące wzor błęd tdrdowe wzczoch prmetrów orz : (.8) gdze welkość jet średm tdrdowm odchleem od protej zdefowm wzorem (.7). 96
Ztoowe tch wzorów do dch z Tbel. dje: 4,35395;,656379 Po wkreśleu puktów dch w Tbel. (Ruek.) ocelśm oko, że ą oe powąze zleżoścą lową. W prktce tego tpu oce rczej e wtrcz dltego oblcz ę tzw. wpółczk korelcj, którego wrtość jet mrą korelcj mędz zmem. Jeśl wpółczk te jet blk ± ozcz to, że welkośc ą dobrze korelowe (lub cłkowce, gd wpółczk jet rów ±), co ozcz, że mędz tm zmem prwdopodobe teje jkś zleżość fukcją. W przpdku regrej lowej wpółczk te o oczwśce zwę wpółczk korelcj lowej oblcz ę go zgode ze wzorem: r (.9) Wzór te podjem w potc jlepej djącej ę do oblczeń umerczch. Wrto jedk przjrzeć mu ę blżej, b zrozumeć jego e. Pokż, że wrżee: w którm śred wrtość jet: moż przekztłcć do potc: ( ) ( ) 97
Po podtweu do wzoru (.9) dch z Tbel. otrzmujem r,976. Zmee ą ztem dobrze korelowe złożee, że ą powąze zleżoścą lową, jet uzdoe. Omówoe wżej prmetr regrej lowej (oprócz mch wpółczków orz ) zw ę tttkm.. Regrej low w Ecelu Ecel wpożo jet w rzędz fukcje tttcze łużące do oblczeń zwązch z regreją lową wkłdczą. Jede ze poobów zbkego uzk wrtośc wkjącch z regrej lowej lub wkłdczej poleg wbru obzru komórek zwerjącch de ewetule plu dodtkowe komórk polece Edcj / Wpełj / Sere dch..., Tred, Werze lub Kolum, Artmetcz lub Geometrcz. Progrm zme de wrtośc leżące protej pute komórk wpeł tępm wrtoścm leżącm tej protej. Oto tbelk wkre zrobo w oprcu o tę tbelkę (I6:K8) dl regrej lowej: de ą wpe w komórk I6:K7. Obok (M6:Q8) pokzo te me oblcze wkoe prz pomoc fukcj tttczch: 6 7 8 I J K L M N O P Q 3 + b 4 5 b,333333 3,333333 5,333333,333333 3,333333 5,333333 -,666667,333333 3,333333 5,333333 6 7 8 M N O P Q + b b $M$8*I6+$N$8 $M$8*J6+$N$8 $M$8*K6+$N$8 REGLINP(I7:K7;I6:K6) REGLINP(I7:K7;I6:K6) REGLINW(I7:K7;I6:K6)REGLINW(I7:K7;I6:K6) REGLINW(I7:K7;I6:K6) 6 5 4 3 3 4 98
W komórkch M8:N8 ztoowo formułę tblcową REGLINP, w komórkch O8:Q8 formułę tblcową REGLINW. W Ecelu mm do regrej lowej jezcze jedą formułę tblcową REGLINX, orz tępujące formuł dzłjące jedej komórce: REGBŁSTD (lcz ), NACHYLENIE (lcz ), ODCIĘTA (lcz ), WSP.KORELACJI (lcz r), PEARSON (lcz r), R.KWADRAT (lcz r ), orz KOWARIANCJA (lcz ). Ntęp przkłd pokzuje ztoowe ektórch z ch. Fukcj REGLINP może lczć ż prmetrów, w przkłdze wbro tlko 6. 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 A B C D E F G H p ( ) ε ι,5 4 6,5 5 -, 6,76 4 6 4 4,4 9,36 3 6 3 36 4 9 8,9 9,6 4 8 4 64 6 3 43,4,56 5 6 36 6 57,9 4,4 Sum: 3 44,5 633,5 57 5,7-4,6 NACHYLENIE 7,5 7,5 ODCIĘTA -4,6 4,535 REGBŁSTD 4,535 4,35395 PEARSON,98797,656379 r,98797 7,5-4,6,656379 4,35395,976 4,535 Arkuz. W kolumch B C Arkuz. zjdują ę de z Tbel., w kolumch D, E, F oblczoo odpowedo kwdrt locz orz. W kolume G mm wrtośc oblczoe z rów protej dl kolejch, w kolume H kwdrt ε (ptrz wzór (.7)). W kolume B od werz 9 do 4 ą wpółczk protej orz część tttk regrej oblczoe podtwe wzorów (.6.9). W komórkch od 9-ej do -tej kolum E oblczoo poowe część tch welkośc z użcem odpowedch fukcj Ecel. Wróżo w komórkch D4:E6 tbelk jet mcerzą zwerjącą wk dzł fukcj REGLINP. Jk zwze, gd mm do cze z fukcją djąc wk w potc mcerz, jperw leż zzczć komórk, w którch mją ę zleźć wk, wwołć fukcję, zdć jej prmetr, tępe cąć jedocześe klwze Shft, Ctrl orz Eter. Fukcj REGLINP oblcz węcej tttk ż pokzo w Arkuzu., le tm etpe ogrczlśm ę tlko do tch, które omówoo wżej. Nleż róweż dodć, 99
że w wku dzł tej fukcj otrzmujem kwdrt wpółczk korelcj lowej, e m wpółczk (,98797,976). Regreję lową touje ę róweż do zleżośc wrżoch fukcją wkłdczą, poewż logrtmując rówe wkłdcze otrzmujem rówe protej. Jet to wże ztoowe regrej lowej, bowem zleżośc wkłdcze ą powzeche w fzce, chem bolog. Pokżem jk to ę rob przkłdze rozpdu jąder promeotwórczch (Rozdzł 9). Rozwąze rów opującego rozpd moż zpć jko: N t τ ( t) N e gdze τ jet średm czem żc zwązm z okreem połowczego zku relcją: Po zlogrtmowu mm: T /,693 τ l N () t l N t τ gdze zmeą jet oczwśce t, czl cz. Wobec tego prmetrm protej będą ln orz /τ. W tbelce zmezczm odpowede oblcze dl dch umezczoch w dwóch perwzch kolumch. Są to: cz p. w godzch orz zbkość zlcz rozpdów w jedotkch umowch. Wkre zrobo jet w oprcu o zzczoe kolum. W zzczoej zro komórce zjduje ę wlczoe jlepze przblżee średego czu żc wkjące z metod regrej lowej. 6 7 8 9 3 3 3 33 A B C D t N(t) ep.ln(t) teoret.ln(t) 3,8,6,63 7,9,7,4 6,,8,64 3,9,6,5 -,49,63, 3,9 3,,,, 3 4 ep.ln(t) teoret.ln(t) 6 7 8 9 3 3 3 33 A B C D t N(t) ep.ln(t) teoret.ln(t) 3,8 LN(B7) REGLINW(C7:C3;A7:A3;A7:A3) 7,9 LN(B8) REGLINW(C7:C3;A7:A3;A7:A3) 6, LN(B9) REGLINW(C7:C3;A7:A3;A7:A3) 3,9 LN(B3) REGLINW(C7:C3;A7:A3;A7:A3) REGLINP(C7:C3;A7:A3) -/C3 REGLINP(C7:C3;A7:A3) EXP(D3)