Konferencja Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej Nim obliczysz, pomyśl! Dlaczego warto uczyć się języków obcych? Joanna Jaszuńska Instytut Matematyczny PAN oraz Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW Sielpia, 21-23 października 2016 Języki obce 1 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = 2 10 3 + 0 10 2 + 1 10 1 + 6 10 0 Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = 2 10 3 + 0 10 2 + 1 10 1 + 6 10 0 10 cyfr: 0, 1, 2,..., 9 Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = 2 10 3 + 0 10 2 + 1 10 1 + 6 10 0 10 cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = 2 10 3 + 0 10 2 + 1 10 1 + 6 10 0 10 cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr } 999.{{.. 999} = 10 n+1 1 n Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = 2 10 3 + 0 10 2 + 1 10 1 + 6 10 0 10 cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr } 999.{{.. 999} = 10 n+1 1 n System dwójkowy: 10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = 2 10 3 + 0 10 2 + 1 10 1 + 6 10 0 10 cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr } 999.{{.. 999} = 10 n+1 1 n System dwójkowy: 10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 19 10 Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = 2 10 3 + 0 10 2 + 1 10 1 + 6 10 0 10 cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr 999... 999 }{{} n = 10 n+1 1 System dwójkowy: 10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 19 10 2 cyfry: 0, 1 Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = 2 10 3 + 0 10 2 + 1 10 1 + 6 10 0 10 cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr 999... 999 }{{} n = 10 n+1 1 System dwójkowy: 10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 19 10 2 cyfry: 0, 1 wszystkie liczby mniejsze od 2 n można zapisać używając najwyżej n cyfr Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = 2 10 3 + 0 10 2 + 1 10 1 + 6 10 0 10 cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr 999... 999 }{{} n = 10 n+1 1 System dwójkowy: 10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 19 10 2 cyfry: 0, 1 wszystkie liczby mniejsze od 2 n można zapisać używając najwyżej n cyfr 111... 1112 = 2 n+1 1 }{{} n Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym Języki obce 3 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym każdy pije z każdej beczki, której numer ma cyfrę 1 na jego miejscu Języki obce 3 Joanna Jaszuńska
Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym każdy pije z każdej beczki, której numer ma cyfrę 1 na jego miejscu Po jednej dobie odczytujemy numer zaczarowanej beczki z kolorów rycerzy: Języki obce 3 Joanna Jaszuńska
Gra w 20 pytań Języki obce 4 Joanna Jaszuńska
Gra w 20 pytań Odgadnąć jedną z miliona liczb, zadając 20 pytań TAK/NIE. Języki obce 4 Joanna Jaszuńska
Gra w 20 pytań Odgadnąć jedną z miliona liczb, zadając 20 pytań TAK/NIE. Nowa zasada: Trzeba zadać wszystkie pytania jednocześnie, a nie kolejne dopiero po poznaniu odpowiedzi na poprzednie. Języki obce 4 Joanna Jaszuńska
Gra w 20 pytań Odgadnąć jedną z miliona liczb, zadając 20 pytań TAK/NIE. Nowa zasada: Trzeba zadać wszystkie pytania jednocześnie, a nie kolejne dopiero po poznaniu odpowiedzi na poprzednie. Co teraz? Języki obce 4 Joanna Jaszuńska
Gra w 20 pytań Odgadnąć jedną z miliona liczb, zadając 20 pytań TAK/NIE. Nowa zasada: Trzeba zadać wszystkie pytania jednocześnie, a nie kolejne dopiero po poznaniu odpowiedzi na poprzednie. Co teraz? Nic się nie zmieniło! Języki obce 4 Joanna Jaszuńska
Gra w 20 pytań Odgadnąć jedną z miliona liczb, zadając 20 pytań TAK/NIE. Nowa zasada: Trzeba zadać wszystkie pytania jednocześnie, a nie kolejne dopiero po poznaniu odpowiedzi na poprzednie. Co teraz? Nic się nie zmieniło! n-te pytanie: Czy na n-tym miejscu rozwinięcia dwójkowego jest cyfra 0? Języki obce 4 Joanna Jaszuńska
Magiczne karty http://www.cse4k12.org/binary/magic_trick.html Języki obce 5 Joanna Jaszuńska
Magiczne karty http://www.cse4k12.org/binary/magic_trick.html Języki obce 6 Joanna Jaszuńska
Magiczne karty Zapisujemy liczby 0, 1, 2,..., 63 w systemie dwójkowym. http://www.cse4k12.org/binary/magic_trick.html Języki obce 6 Joanna Jaszuńska
Magiczne karty Zapisujemy liczby 0, 1, 2,..., 63 w systemie dwójkowym. Każda ma 6 cyfr i są to wszystkie 6-cyfrowe układy 0 i 1 (być może na początku zera). http://www.cse4k12.org/binary/magic_trick.html Języki obce 6 Joanna Jaszuńska
Magiczne karty Zapisujemy liczby 0, 1, 2,..., 63 w systemie dwójkowym. Każda ma 6 cyfr i są to wszystkie 6-cyfrowe układy 0 i 1 (być może na początku zera). Na pierwszym miejscu połowa liczb ma 0, a połowa 1. http://www.cse4k12.org/binary/magic_trick.html Języki obce 6 Joanna Jaszuńska
Magiczne karty Zapisujemy liczby 0, 1, 2,..., 63 w systemie dwójkowym. Każda ma 6 cyfr i są to wszystkie 6-cyfrowe układy 0 i 1 (być może na początku zera). http://www.cse4k12.org/binary/magic_trick.html Na pierwszym miejscu połowa liczb ma 0, a połowa 1. Na drugim miejscu połowa liczb ma 0, a połowa 1.... trzecim...... czwartym...... piątym... Na szóstym miejscu połowa liczb ma 0, a połowa 1. Języki obce 6 Joanna Jaszuńska
W 10 ponumerowanych kopertach mam w sumie równo 1000 zł. Potrafię zapłacić dowolną całkowitą kwotę od 0 do 1000 zł bez otwierania kopert. Jak? Języki obce 7 Joanna Jaszuńska
W 10 ponumerowanych kopertach mam w sumie równo 1000 zł. Potrafię zapłacić dowolną całkowitą kwotę od 0 do 1000 zł bez otwierania kopert. Jak? Koperty 1-9: 1 zł, 2 zł, 4 zł,..., 256 zł. Języki obce 7 Joanna Jaszuńska
W 10 ponumerowanych kopertach mam w sumie równo 1000 zł. Potrafię zapłacić dowolną całkowitą kwotę od 0 do 1000 zł bez otwierania kopert. Jak? Koperty 1-9: 1 zł, 2 zł, 4 zł,..., 256 zł. W sumie jest w nich 511 zł Języki obce 7 Joanna Jaszuńska
W 10 ponumerowanych kopertach mam w sumie równo 1000 zł. Potrafię zapłacić dowolną całkowitą kwotę od 0 do 1000 zł bez otwierania kopert. Jak? Koperty 1-9: 1 zł, 2 zł, 4 zł,..., 256 zł. W sumie jest w nich 511 zł i każdą kwotę od 0 do 511 zł mogę nimi zapłacić. Języki obce 7 Joanna Jaszuńska
W 10 ponumerowanych kopertach mam w sumie równo 1000 zł. Potrafię zapłacić dowolną całkowitą kwotę od 0 do 1000 zł bez otwierania kopert. Jak? Koperty 1-9: 1 zł, 2 zł, 4 zł,..., 256 zł. W sumie jest w nich 511 zł i każdą kwotę od 0 do 511 zł mogę nimi zapłacić. Koperta 10: pozostałych 489 zł. Języki obce 7 Joanna Jaszuńska
W 10 ponumerowanych kopertach mam w sumie równo 1000 zł. Potrafię zapłacić dowolną całkowitą kwotę od 0 do 1000 zł bez otwierania kopert. Jak? Koperty 1-9: 1 zł, 2 zł, 4 zł,..., 256 zł. W sumie jest w nich 511 zł i każdą kwotę od 0 do 511 zł mogę nimi zapłacić. Koperta 10: pozostałych 489 zł. Kwota powyżej 511 zł: daję kopertę nr 10 oraz dokładam brakującą kwotę, używając kopert 1-9. Języki obce 7 Joanna Jaszuńska
Wyznacz sumy: 2 n + 2 n 1 +... + 2 2 + 2 1 + 2 0 3 n + 3 n 1 +... + 3 2 + 3 1 + 3 0 7 n + 7 n 1 +... + 7 2 + 7 1 + 7 0 Języki obce 8 Joanna Jaszuńska
Wyznacz sumy: 2 n + 2 n 1 +... + 2 2 + 2 1 + 2 0 3 n + 3 n 1 +... + 3 2 + 3 1 + 3 0 7 n + 7 n 1 +... + 7 2 + 7 1 + 7 0 A gdyby było tak? 10 n + 10 n 1 +... + 10 2 + 10 1 + 10 0 Języki obce 8 Joanna Jaszuńska
Wyznacz sumy: 2 n + 2 n 1 +... + 2 2 + 2 1 + 2 0 3 n + 3 n 1 +... + 3 2 + 3 1 + 3 0 7 n + 7 n 1 +... + 7 2 + 7 1 + 7 0 A gdyby było tak? 10 n + 10 n 1 +... + 10 2 + 10 1 + 10 0 100... 000 10... 000. 100 10 + 1 111... 111 Języki obce 8 Joanna Jaszuńska
Wyznacz sumy: 2 n + 2 n 1 +... + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 111... 111 2 3 n + 3 n 1 +... + 3 2 + 3 1 + 3 0 = 111... 111 3 7 n + 7 n 1 +... + 7 2 + 7 1 + 7 0 = 111... 111 7 A gdyby było tak? 10 n + 10 n 1 +... + 10 2 + 10 1 + 10 0 = 111... 111 100... 000 10... 000. 100 10 + 1 111... 111 Języki obce 9 Joanna Jaszuńska
Wyznacz sumy: 2 n + 2 n 1 +... + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 111... 111 2 = 2 n+1 1 3 n + 3 n 1 +... + 3 2 + 3 1 + 3 0 = 111... 111 3 7 n + 7 n 1 +... + 7 2 + 7 1 + 7 0 = 111... 111 7 A gdyby było tak? 10 n + 10 n 1 +... + 10 2 + 10 1 + 10 0 = 111... 111 100... 000 10... 000. 100 10 + 1 111... 111 Języki obce 10 Joanna Jaszuńska
Wyznacz sumy: 2 n + 2 n 1 +... + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 111... 111 2 = 2 n+1 1 3 n + 3 n 1 +... + 3 2 + 3 1 + 3 0 = 111... 111 3 = 1 2 222... 222 3 7 n + 7 n 1 +... + 7 2 + 7 1 + 7 0 = 111... 111 7 A gdyby było tak? 10 n + 10 n 1 +... + 10 2 + 10 1 + 10 0 = 111... 111 100... 000 10... 000. 100 10 + 1 111... 111 Języki obce 11 Joanna Jaszuńska
Wyznacz sumy: 2 n + 2 n 1 +... + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 111... 111 2 = 2 n+1 1 3 n + 3 n 1 +... + 3 2 + 3 1 + 3 0 = 111... 111 3 = 1 2 222... 222 3 = 1 2 (3n+1 1) 7 n + 7 n 1 +... + 7 2 + 7 1 + 7 0 = 111... 111 7 A gdyby było tak? 10 n + 10 n 1 +... + 10 2 + 10 1 + 10 0 = 111... 111 100... 000 10... 000. 100 10 + 1 111... 111 Języki obce 12 Joanna Jaszuńska
Wyznacz sumy: 2 n + 2 n 1 +... + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 111... 111 2 = 2 n+1 1 3 n + 3 n 1 +... + 3 2 + 3 1 + 3 0 = 111... 111 3 = 1 2 222... 222 3 = 1 2 (3n+1 1) 7 n + 7 n 1 +... + 7 2 + 7 1 + 7 0 = 111... 111 7 = 1 6 666... 666 7 = 1 6 (7n+1 1) A gdyby było tak? 10 n +10 n 1 +...+10 2 +10 1 +10 0 = 111... 111 = 1 9 999... 999 = 1 9 (10n+1 1) 100... 000 10... 000. 100 10 + 1 111... 111 Języki obce 13 Joanna Jaszuńska
(1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q 3 +... + q 2n+1 1 Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
(1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q 3 +... + q 2n+1 1 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = = (q 0 + q 20 )(q 0 + q 21 )(q 0 + q 22 )... (q 0 + q 2n ) Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
(1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q 3 +... + q 2n+1 1 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = = (q 0 + q 20 )(q 0 + q 21 )(q 0 + q 22 )... (q 0 + q 2n ) = = suma iloczynów, zawierających po jednym q z każdego z nawiasów Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
(1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q 3 +... + q 2n+1 1 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = = (q 0 + q 20 )(q 0 + q 21 )(q 0 + q 22 )... (q 0 + q 2n ) = = suma iloczynów, zawierających po jednym q z każdego z nawiasów = = suma iloczynów typu q 20 q 0 q 22... q 0 q 2n Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
(1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q 3 +... + q 2n+1 1 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = = (q 0 + q 20 )(q 0 + q 21 )(q 0 + q 22 )... (q 0 + q 2n ) = = suma iloczynów, zawierających po jednym q z każdego z nawiasów = = suma iloczynów typu q 20 q 0 q 22... q 0 q 2n = = suma wyrażeń typu q 20 +0+2 2 +...+0+2 n Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
(1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q 3 +... + q 2n+1 1 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = = (q 0 + q 20 )(q 0 + q 21 )(q 0 + q 22 )... (q 0 + q 2n ) = = suma iloczynów, zawierających po jednym q z każdego z nawiasów = = suma iloczynów typu q 20 q 0 q 22... q 0 q 2n = = suma wyrażeń typu q 20 +0+2 2 +...+0+2 n = = suma wyrażeń typu q k dla k = 0, 1,..., 2 n+1 1 Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
(1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q 3 +... + q 2n+1 1 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = = (q 0 + q 20 )(q 0 + q 21 )(q 0 + q 22 )... (q 0 + q 2n ) = = suma iloczynów, zawierających po jednym q z każdego z nawiasów = = suma iloczynów typu q 20 q 0 q 22... q 0 q 2n = = suma wyrażeń typu q 20 +0+2 2 +...+0+2 n = = suma wyrażeń typu q k dla k = 0, 1,..., 2 n+1 1 = = 1 + q + q 2 + q 3 +... + q 2n+1 1 Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Języki obce 15 Joanna Jaszuńska
27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. Języki obce 15 Joanna Jaszuńska
27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = 021 3. Języki obce 15 Joanna Jaszuńska
27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = 021 3. Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Języki obce 15 Joanna Jaszuńska
27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = 021 3. Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Języki obce 15 Joanna Jaszuńska
27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = 021 3. Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Składamy wskazaną kolumnę kolejno na miejscu 1, Języki obce 16 Joanna Jaszuńska
27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = 021 3. Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Składamy wskazaną kolumnę kolejno na miejscu 1, Języki obce 17 Joanna Jaszuńska
27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = 021 3. Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Składamy wskazaną kolumnę kolejno na miejscu 1, 2, Języki obce 18 Joanna Jaszuńska
27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = 021 3. Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Składamy wskazaną kolumnę kolejno na miejscu 1, 2, 0. Języki obce 19 Joanna Jaszuńska
27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = 021 3. Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Składamy wskazaną kolumnę kolejno na miejscu 1, 2, 0. Ulubiona karta trafia na miejsce nr 1 w trójce nr 2 w dziewiątce nr 0 przed nią jest 0 9 + 2 3 + 1 1 = 7 innych kart. Języki obce 19 Joanna Jaszuńska
Wykaż, że każdą liczbę całkowitą 0 można przedstawić w postaci sumy ± różnych potęg 3: 3 a 1 ± 3 a 2 ± 3 a 3 ±... ± 3 a k, gdzie a 1 > a 2 > a 3 >... > a k 0 oraz a 1, a 2,..., a k N. Języki obce 20 Joanna Jaszuńska
Wykaż, że każdą liczbę całkowitą 0 można przedstawić w postaci sumy ± różnych potęg 3: 3 a 1 ± 3 a 2 ± 3 a 3 ±... ± 3 a k, gdzie a 1 > a 2 > a 3 >... > a k 0 oraz a 1, a 2,..., a k N. System trójkowy zrównoważony: cyfry -1, 0, 1. Języki obce 20 Joanna Jaszuńska
Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. (a 3 = a 112 = 11 3 = 4, a 7 = a 1112 = 111 3 = 13, a 14 = a 11102 = 1110 3 = 39) Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. (a 3 = a 112 = 11 3 = 4, a 7 = a 1112 = 111 3 = 13, a 14 = a 11102 = 1110 3 = 39) Dowód (indukcyjny): a 0 = 0. Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. (a 3 = a 112 = 11 3 = 4, a 7 = a 1112 = 111 3 = 13, a 14 = a 11102 = 1110 3 = 39) Dowód (indukcyjny): a 0 = 0. Załóżmy, że teza zachodzi dla wszystkich indeksów < r. Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. (a 3 = a 112 = 11 3 = 4, a 7 = a 1112 = 111 3 = 13, a 14 = a 11102 = 1110 3 = 39) Dowód (indukcyjny): a 0 = 0. Załóżmy, że teza zachodzi dla wszystkich indeksów < r. r = 2n; wtedy a 2n = 3a n dopisanie 0 na końcu, Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. (a 3 = a 112 = 11 3 = 4, a 7 = a 1112 = 111 3 = 13, a 14 = a 11102 = 1110 3 = 39) Dowód (indukcyjny): a 0 = 0. Załóżmy, że teza zachodzi dla wszystkich indeksów < r. r = 2n; wtedy a 2n = 3a n dopisanie 0 na końcu, r = 2n + 1; wtedy a 2n+1 = 3a n + 1 dopisanie 1 na końcu. Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. (a 3 = a 112 = 11 3 = 4, a 7 = a 1112 = 111 3 = 13, a 14 = a 11102 = 1110 3 = 39) Dowód (indukcyjny): a 0 = 0. Załóżmy, że teza zachodzi dla wszystkich indeksów < r. r = 2n; wtedy a 2n = 3a n dopisanie 0 na końcu, r = 2n + 1; wtedy a 2n+1 = 3a n + 1 dopisanie 1 na końcu. Wniosek: wyrazami ciągu są te i tylko te liczby całkowite, które w zapisie w systemie trójkowym nie mają cyfry 2. Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... Scharakteryzować wszystkie liczby całkowite s 0, dla których istnieje dokładnie jedna para (k, l) spełniająca warunki k > l oraz a k + a l = s. Dla każdego s niech f(s) będzie liczbą par spełniających powyższe warunki. Wyznaczyć maxf(s) dla s < 3 2016. Wskazówki: liczby a k i a l zapisane w systemie trójkowym dodaje się bez przenoszenia; jakie cyfry ma w zapisie trójkowym liczba s? Języki obce 22 Joanna Jaszuńska
Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... Scharakteryzować wszystkie liczby całkowite s 0, dla których istnieje dokładnie jedna para (k, l) spełniająca warunki k > l oraz a k + a l = s. Dla każdego s niech f(s) będzie liczbą par spełniających powyższe warunki. Wyznaczyć maxf(s) dla s < 3 2016. Wskazówki: liczby a k i a l zapisane w systemie trójkowym dodaje się bez przenoszenia; jakie cyfry ma w zapisie trójkowym liczba s? Zbiór Cantora: zapis w systemie trójkowym bez cyfry 1, odczyt w systemie dwójkowym Języki obce 22 Joanna Jaszuńska
Zajęcia dla grup licealnych na Wydziale MIM UW www.mimuw.edu.pl/popularyzacja zapraszam po umówieniu mailowym: J.Jaszunska@mimuw.edu.pl. Kółka olimpijskie w Instytucie Matematycznym PAN www.impan.pl/kolkamatematyczne.html dla gimnazjalistów: w poniedziałki w godzinach 16:30-18:00, sala 403, zajęcia prowadzi Joanna Jaszuńska; dla licealistów: w środy w godzinach 16:30-18:00, sala 106, zajęcia prowadzi Michał Wojciechowski; dla nauczycieli: co drugi poniedziałek w godzinach 18:15-19:30, sala 403, zajęcia prowadzi Joanna Jaszuńska. Zapisy nie są wymagane (wystarczy przyjść), zajęcia są bezpłatne. www.facebook.com/joannajaszunskapopularyzacjamatematyki Języki obce 23 Joanna Jaszuńska