Arytmetyka. Arytmetyka. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Transkrypt

1 Arytmetyka Magdalena Lemańska

2 System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności.

3 System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. Można to zapisać jako 178 = albo 178 =

4 System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. Można to zapisać jako 178 = albo 178 = System dziesiętny W systemie dziesiętnym kolejne cyfry oznaczają współczynniki przy kolejnych potęgach liczby 10, zaczynając od największej, a kończąc na najmniejszej potędze.

5 System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. Można to zapisać jako 178 = albo 178 = System dziesiętny W systemie dziesiętnym kolejne cyfry oznaczają współczynniki przy kolejnych potęgach liczby 10, zaczynając od największej, a kończąc na najmniejszej potędze. Baza systemu dziesiętnego Mówimy, że liczba 10 jest podstawą albo bazą systemu dziesiętnego.

6 System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. Można to zapisać jako 178 = albo 178 = System dziesiętny W systemie dziesiętnym kolejne cyfry oznaczają współczynniki przy kolejnych potęgach liczby 10, zaczynając od największej, a kończąc na najmniejszej potędze. Baza systemu dziesiętnego Mówimy, że liczba 10 jest podstawą albo bazą systemu dziesiętnego. W systemu dziesiętnym uzywa się dziesięciu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a zapis d r d r 1... d 0 oznacza d r 10 r + d r 1 10 r d

7 System dwójkowy System dwójkowy W informatyce bardzo ważnym systemem jest system dwójkowy, gdzie podstawą jest liczba 2 i gdzie mamy tylko dwie cyfry: 0 i 1. Cyfry w systemie dwójkowym nazywa się bitami.

8 System dwójkowy System dwójkowy W informatyce bardzo ważnym systemem jest system dwójkowy, gdzie podstawą jest liczba 2 i gdzie mamy tylko dwie cyfry: 0 i 1. Cyfry w systemie dwójkowym nazywa się bitami. Zapis d r d r 1... d 0 oznacza d r 2 r + d r 1 2 r d

9 System dwójkowy System dwójkowy W informatyce bardzo ważnym systemem jest system dwójkowy, gdzie podstawą jest liczba 2 i gdzie mamy tylko dwie cyfry: 0 i 1. Cyfry w systemie dwójkowym nazywa się bitami. Zapis d r d r 1... d 0 oznacza d r 2 r + d r 1 2 r d Liczby w systemie dziesiętnym i dwójkowym Poniżej przedstawiono kilka liczb w systemie dziesiętnym i dwójkowym: Dziesiętny Dwójkowy

10 Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym:

11 Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit;

12 Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit; powtarzamy, co następuje:

13 Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit; powtarzamy, co następuje: jeśli wskazany bit jest zerem, to zamieniamy go na jedynkę i kończymy algorytm;

14 Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit; powtarzamy, co następuje: jeśli wskazany bit jest zerem, to zamieniamy go na jedynkę i kończymy algorytm; jeśli wskazany bit jest jedynką, to zamieniamy go za zero i wskazujemy następny bit w lewo; jeśli nie ma następnego bitu w lewo, to stawiamy jedynkę na początku liczby i kończymy algorytm.

15 Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit; powtarzamy, co następuje: jeśli wskazany bit jest zerem, to zamieniamy go na jedynkę i kończymy algorytm; jeśli wskazany bit jest jedynką, to zamieniamy go za zero i wskazujemy następny bit w lewo; jeśli nie ma następnego bitu w lewo, to stawiamy jedynkę na początku liczby i kończymy algorytm. Inaczej mówiąc, szukamy pierwszego zera od prawej strony, zamieniamy je na jedynkę, a wszystkie jedynki stojące za nim zamieniamy na zera.

16 Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit; powtarzamy, co następuje: jeśli wskazany bit jest zerem, to zamieniamy go na jedynkę i kończymy algorytm; jeśli wskazany bit jest jedynką, to zamieniamy go za zero i wskazujemy następny bit w lewo; jeśli nie ma następnego bitu w lewo, to stawiamy jedynkę na początku liczby i kończymy algorytm. Inaczej mówiąc, szukamy pierwszego zera od prawej strony, zamieniamy je na jedynkę, a wszystkie jedynki stojące za nim zamieniamy na zera. Zadanie Zwiększ o jeden liczby: a) ( ) 2, b) (111111) 2.

17 Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit; powtarzamy, co następuje: jeśli wskazany bit jest zerem, to zamieniamy go na jedynkę i kończymy algorytm; jeśli wskazany bit jest jedynką, to zamieniamy go za zero i wskazujemy następny bit w lewo; jeśli nie ma następnego bitu w lewo, to stawiamy jedynkę na początku liczby i kończymy algorytm. Inaczej mówiąc, szukamy pierwszego zera od prawej strony, zamieniamy je na jedynkę, a wszystkie jedynki stojące za nim zamieniamy na zera. Zadanie Zwiększ o jeden liczby: a) ( ) 2, b) (111111) 2. Zadanie Dodaj i pomnóż liczby: ( ) 2 oraz (110011) 2.

18 Zamiana systemu Ponieważ będziemy używać różnych systemów zapisu liczb, więc zapis w systemie z bazą b oznaczymy przez (d r d r 1... d 0 ) b.

19 Zamiana systemu Ponieważ będziemy używać różnych systemów zapisu liczb, więc zapis w systemie z bazą b oznaczymy przez (d r d r 1... d 0 ) b. Pierwszy sposób (110101) 2 = = = (53) 10.

20 Zamiana systemu Ponieważ będziemy używać różnych systemów zapisu liczb, więc zapis w systemie z bazą b oznaczymy przez (d r d r 1... d 0 ) b. Pierwszy sposób (110101) 2 = = = (53) 10. I odwrotnie (53) 10 = = (101) 2 (1010) 2 + (11) 2 = (110101) 2.

21 Zamiana systemu Ponieważ będziemy używać różnych systemów zapisu liczb, więc zapis w systemie z bazą b oznaczymy przez (d r d r 1... d 0 ) b. Pierwszy sposób (110101) 2 = = = (53) 10. I odwrotnie (53) 10 = = (101) 2 (1010) 2 + (11) 2 = (110101) 2. Drugi sposób Polega na kolejnym dzieleniu liczby w sposób całkowity przez 2 i zapamiętywaniu reszt z dzielenia. Reszty te, zapisane w odwrotnej kolejności, tworzą zapis binarny liczby.

22 W poniższej tabeli przedstawiono kolejne ilorazy i reszty dla liczby 178. liczba iloraz reszta

23 W poniższej tabeli przedstawiono kolejne ilorazy i reszty dla liczby 178. liczba iloraz reszta Reszty zapisane w odwrotnej kolejności tworzą binarny zapis liczby (178) 10.

24 Uogólnienie Ten ostatni sposób można łatwo uogólnić na algorytm zamiany liczb z systemu dziesiętnego na system z inną bazą b. Należy tylko dzielić przez b. Jeśli chcemy, na przykład, przedstawić liczbę 60 w systemie trójkowym, to dzielimy kolejno przez trzy i spisujemy reszty z dzielenia.

25 Uogólnienie Ten ostatni sposób można łatwo uogólnić na algorytm zamiany liczb z systemu dziesiętnego na system z inną bazą b. Należy tylko dzielić przez b. Jeśli chcemy, na przykład, przedstawić liczbę 60 w systemie trójkowym, to dzielimy kolejno przez trzy i spisujemy reszty z dzielenia. liczba iloraz reszta

26 Uogólnienie Ten ostatni sposób można łatwo uogólnić na algorytm zamiany liczb z systemu dziesiętnego na system z inną bazą b. Należy tylko dzielić przez b. Jeśli chcemy, na przykład, przedstawić liczbę 60 w systemie trójkowym, to dzielimy kolejno przez trzy i spisujemy reszty z dzielenia. liczba iloraz reszta W wyniku otrzymamy = (2020) 3.

27 Uogólnienie Ten ostatni sposób można łatwo uogólnić na algorytm zamiany liczb z systemu dziesiętnego na system z inną bazą b. Należy tylko dzielić przez b. Jeśli chcemy, na przykład, przedstawić liczbę 60 w systemie trójkowym, to dzielimy kolejno przez trzy i spisujemy reszty z dzielenia. liczba iloraz reszta W wyniku otrzymamy = (2020) 3. Zadanie Liczby (81) 10, (257) 10 oraz (1023) 10 zapisz w postaci dwójkowej, trójkowej, czwórkowej i szesnastkowej.

28 System szesnastkowy System szesnastkowy Do systemu szesnastkowego potrzeba szesnastu cyfr. Zwykle używa się cyfr : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

29 System szesnastkowy System szesnastkowy Do systemu szesnastkowego potrzeba szesnastu cyfr. Zwykle używa się cyfr : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Dziesiętny Dwójkowy Szesnastkowy A B C D E F

30 Dzięki temu, że 16 jest potęgą dwójki, prosta jest zamiana postaci liczby z systemu dwójkowego na szesnastkowy i odwrotnie. Przy zamianie z systemu szesnastkowego na dwójkowy wystarczy zamieniać kolejne cyfry przedstawienia na grupy odpowiednich czterech bitów według tabeli.

31 Dzięki temu, że 16 jest potęgą dwójki, prosta jest zamiana postaci liczby z systemu dwójkowego na szesnastkowy i odwrotnie. Przy zamianie z systemu szesnastkowego na dwójkowy wystarczy zamieniać kolejne cyfry przedstawienia na grupy odpowiednich czterech bitów według tabeli. Przy zamianie z systemu dwójkowego na szasnastkowy postępujemy odwrotnie. Zastępujemy grupy po cztery bity pojedynczymi cyframi: ( ) 2 = $E3B0

32 Dzięki temu, że 16 jest potęgą dwójki, prosta jest zamiana postaci liczby z systemu dwójkowego na szesnastkowy i odwrotnie. Przy zamianie z systemu szesnastkowego na dwójkowy wystarczy zamieniać kolejne cyfry przedstawienia na grupy odpowiednich czterech bitów według tabeli. Przy zamianie z systemu dwójkowego na szasnastkowy postępujemy odwrotnie. Zastępujemy grupy po cztery bity pojedynczymi cyframi: ( ) 2 = $E3B0 Jeśli liczba cyfr w postaci dwójkowej nie dzieli się przez cztery, to uzupełniamy ją zerami na początku: ( ) 2 = ( ) 2 = $6F 62.

33 Dzięki temu, że 16 jest potęgą dwójki, prosta jest zamiana postaci liczby z systemu dwójkowego na szesnastkowy i odwrotnie. Przy zamianie z systemu szesnastkowego na dwójkowy wystarczy zamieniać kolejne cyfry przedstawienia na grupy odpowiednich czterech bitów według tabeli. Przy zamianie z systemu dwójkowego na szasnastkowy postępujemy odwrotnie. Zastępujemy grupy po cztery bity pojedynczymi cyframi: ( ) 2 = $E3B0 Jeśli liczba cyfr w postaci dwójkowej nie dzieli się przez cztery, to uzupełniamy ją zerami na początku: ( ) 2 = ( ) 2 = $6F 62. W ten sposób możemy używać zapisu szesnastkowego do zwięzłego przedstawiania długich ciągów bitów.