Z historii matematyki

Podobne dokumenty
Aryabhata urodzony w VI wieku hinduski matematyk i astronom, uznawany za jednego z najwybitniejszych w historii Indii.

Z HISTORII MATEMATYKI

WIELOMIANY. Poziom podstawowy

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

E-learning matematyka poziom rozszerzony

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1

2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

odczytywać własności funkcji y = ax 2 na podstawie funkcji y = ax 2 szkicować wykresy funkcji postaci y = ax,

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

MATeMAtyka zakres podstawowy

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

1. Równania i nierówności liniowe

Uczeń: szkicuje wykres funkcji f(x) = ax 2 podaje własności funkcji f(x) = ax 2 stosuje własności funkcji f(x) = ax 2 do rozwiązywania zadań Uczeń:

ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)

WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

"W każdej wiedzy jest tyle prawdy, ile jest w niej matematyki." Immanuel Kant

Indukcja matematyczna

CIEKAWOSTKI. Terminu funkcja użył po raz pierwszy Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach.

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

K P K P R K P R D K P R D W

Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej

Jednomiany oraz ich sumy nazywamy wielomianami. nazywamy wyrazem

Wrzask Matematyczny. Numer 4: Funkcja liniowa

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

0.1 Pierścienie wielomianów

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 2c (poziom rozszerzony)

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = 111 godz.)

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

83 Przekształcanie wykresów funkcji (cd.) 3

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII

SZKOŁA PODSTAWOWA NR 1 IM. ŚW. JANA KANTEGO W ŻOŁYNI. Wymagania na poszczególne oceny klasa VII Matematyka z kluczem

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Wielomiany podstawowe wiadomości

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

Matematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7

Matematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

Transkrypt:

Z historii matematyki Jednym z najbardziej znanych nazwisk związanych z działem wielomianów jest Étienne Bézout, syn Pierr'a i Hélène. Ojciec chciał by kontynuował rodzinną tradycję i został urzędnikiem. Nasz ulubiony matematyk zafascynowany postacią Leonarda Eulera zdecydował się oddać matematyce. Był autorem wielu podręczników do nauki matematyki. Sześć tomów jednego z nich było przez wiele lat podstawowym podręcznikiem do matematyki na amerykańskim Harvardzie. W Polsce jego nazwisko kojarzy się głównie z wyśmienitym twierdzeniem o podzielności wielomianu przez dwumian, mówiące, że jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a), czyli, inaczej mówiąc, istnieje taki wielomian P(x), że W(x) = (x-a) * P(x). Ciekawostką jest to,że twierdzenie to nie zostało przez niego sformułowane ani udowodnione i było znane już wcześniej( sformułował je Kartezjusz). Étienne Bézout zmarł 27 września 1783 w mieście Avon we Francji.

ogłoszenia 27 listopada (środa) odbędzie się XIX edycja Alfika Matematycznego. Chętni wpłacają 9 zł do pani Wrzeszcz do 5 listopada! Niedługo świętują: - PAŹDZIERNIK: Nicolaus I Bernoulli ur. 21 października 1687 r. (Szwajcaria) problem paradoksu petersburskiego Karl Weierstrass ur. 31 października 1815 r. (Niemcy) precyzyjne pojęcie granicy funkcji, teoria funkcji analitycznych, teoria szeregów oraz rachunek wariacyjny - LISTOPAD: Johann III Bernoulli ur. 4 listopada 1744 r. (Szwajcaria) rachunek różniczkowy, całkowy i wariacyjny, linie geodezyjne oraz brachistochrona (bratanek Nicolausa) William Edge ur. 8 listopada 1904 r. (Anglia) geometria przestrzeni skończonych

krzyżówka 1 2 4 5 6 7 8 9 1.Najsłynniejsze twierdzenie w tym dziale stworzone przez francuskiego matematyka. 2. wartości bezwzględnej: { 3. Podstawowa metoda rozkładu wielomianu na czynniki. 4. Jedna z postaci trójmianu kwadratowego (nawiązuje do wyniku mnożenia). 5. Jaka własność pierwiastka decyduje o odbiciu się wężyka od osi OX. 6. Pierwiastki to inaczej 7.Co służy do oznaczania niewiadomych w wielomianie. 8.Wielomiany to inaczej wyrażenia 9. Nazwisko twórcy schematu dzielenia wielomianu przez dwumian x c. 10. Na co rozkłada się wielomian.

Rebus W + EMIDA + + OUT + ÓRZE + KO A + OPO

CIEKAWOSTKI W bankowości i wszelkich usługach elektronicznych powszechne jest szyfrowanie danych. Pod koniec XX w. Japończycy zaproponowali użycie w tym celu wielomianów. Ich ideę rozwinęli później Francuzi, tworząc na przełomie wieków szyfr, który wydaje się być nie do złamania. Wykorzystuje on wielomiany bardzo dużych stopni i idealnie nadaje się do zastosowania np. na kartach chipowych czy do podpisów cyfrowych. Może zdarzyć się tak, że bezpieczeństwo Twoich oszczędności, które powierzyłeś bankowi, będzie zapewniał szyfr wykorzystujący znane Ci wielomiany. Dla wielomianów trzeciego stopnia w postaci ax 3 + bx 2 + cx + d, a 0 o pierwiastkach x1, x2 i x3 wzory Viete a mają postać: x1 + x2 + x3 = - x1x2 + x1x3 + x2x3 = x1x2x3 = - Niemiecki matematyk - Ferdinand Lindemann udowodnił, że liczba π jest liczbą przestępną, a więc nie istnieje wielomian o współczynnikach wymiernych, którego pierwiastkiem jest liczba π. Cytaty słynnych matematyków: Jeżeli ludzie nie wierzą, że matematyka jest prosta, to dzieje się tak dlatego, że nie wiedzą jakie skomplikowane jest życie. ~ Neumann John Von Tylko dwie rzeczy są nieskończone: wszechświat oraz ludzka głupota, choć nie jestem pewien co do tej pierwszej. ~ Albert Einstein Najkrótsze wyrazy "tak" i "nie" wymagają najdłuższego zastanowienia. ~ Pitagoras

Zastosowanie wielomianów (sum algebraicznych) - Używa się ich do obliczeń na przykład w zadaniach z bryłami: "O jaki x zwiększono krawędzie prostopadłościanu, jeśli jego objętość wzrosła o daną wartość" "Oblicz wymiary akwarium gdy mamy podaną ilość płynu wlanego do niego oraz zależności między bokami" - - W elektronice. Mamy np. filtry Czebyszewa i Bessela gdzie występują odpowiednio wielomiany Czebyszewa i Bessela - Kobieta prosi Cię żebyś pomalował ścianę. Żeby nie było za łatwo w kwiatki o płatkach w kształcie np. owali. Na początek wiadomo.. trzeba kupić farbę. Ile jej kupić żeby nie było za dużo ani za mało? Ano wystarczy oszacować pole tych kwiatków.. Ale jak to zrobić? Ano z wielomianów. - "[...]chyba każdy fizyk musi umieć wielomiany a fizyka jak wiadomo to nauka o wszystkim co nas otacza"

komiks

Zadania maturalne jak to zrobić? 1. Podaj stopień sumy algebraicznej w(x)= 6x 4 2x 2 + 3x+ 2. stopień tego wielomianu: st(w) = 4 jest to najwyższa potęga danej sumy algebraicznej 2. Wyznacz iloczyn wielomianów: k(x) = x 2-2x+2 i u(x) = 2x-3 Odp.: u(x) k(x) = (x 2-2x+2) (2x-3) = 2x(x 2-2x+2)-3(x 2-2x+2) = = 2x 3-4x 2 +4x-3x 2 +6x-6 = 2x 3-7x 2 +10x-6 3. Dodawanie i odejmowanie wielomianów: Dodawanie : w(x)=5x 4 + 8x 3 + 2x 2 + 10x 9 u(x)=6x 3 + 7x 2 13x + 10 w(x) + u(x) = 5x 4 + 8x 3 + 2x 2 + 10x 9 + (6x 3 + 7x 2 13x + 10)= =5x 4 + 14x 3 +9x 2-3x +1 Odejmowanie : w(x)=5x 4 + 8x 4 + 2x 2 + 10x 9 u(x)=6x 3 + 7x 2 13x + 10 w(x) u(x) = 5x 4 + 8x 3 + 2x 2 + 10x 9 - (6x 3 + 7x 2 13x + 10)=5x 4 + 2x 3 5x 2 + 23x - 19 4. Rozwiąż równanie x 3-6x 2 +9x=0 Odp.: x(x 2-6x+9)=0 x(x-3) 2 =0 x=0 lub x=3 5. Rozkład na czynniki u(x)=16x 3 + 4x 2 + 2x Wyciągamy [2x] przed nawias : u(x)=2x(8x 2 + 2x + 1) Rozwiązaniem są liczby 2x=0 oraz delta z trójmianu kwadratowego (8x 2 + 2x + 1) Możemy również rozłożyć sumę algebraiczną na czynniki poprzez GRUPOWANIE wyrazów : u(x)=3x 3 + 6x 2 2x 4 Wyciągamy przed nawias [3x 2 z (3x 3 + 6x 2 )] oraz [ -2 z ( 2x 4)]

W ten sposób otrzymamy : u(x)= 3x 2 (x + 2) 2(x+2) Porządkujemy sumę algebraiczną : U(x)=(3x 2 2)(x + 2)(x + 2) Nawiasy (x + 2) Możemy zwinąć w jeden otrzymując: u(x)= (3x 2 2)(x + 2) Rozwiązaniem są liczby x={-2/3 ; 2/3 ; -2} Kolejną metodą na rozłożenie sumy algebraicznej na czynniki jest zastosowanie WZORU SKRÓCONEGO MNOŻENIA U(x)=9x 2 +6x + 1 U(x)=(3x) 2 + 2 3x 1 + 1 2 A 2 + 2 a b + B 2 U(x)=(3x + 1) 2 Rozwiązaniem tego równania jest x= - 1/3 Ciekawostka! Inaczej sumę algebraiczną możemy nazwać WIELOMIANEM Zadania maturalne zrób to sam! Poziom podstawowy 1. W(x) = x 3-3x + 1 oraz V(x) = 2x 3. Iloczyn sum algebraicznych W(x) V(x) jest równy: A. 2x 5-6x 4 + 2x 3 B. 2x 6-6x 4 + 2x 3 C. 2x 5 + 3x + 1 D. 2x 5 + 6x 4 + 2x 3 2.Iloczyn pierwiastków równania (x-4)(x+2)(x-5)(x 2 + 9 )=0 wynosi : A. -360 B. 40 C.-40 D. 360 3.Znajdź różnicę oraz sumę wielomianów W(x)=9x 3 +3x-4x 2 +5 oraz P(x)=3x 2 +14 a) W(x) + P(x) =... b) W(x) P(x)=... 4. Wykonaj mnożenie wielomianów k(x) i b(x), jeśli: a) k(x)= 5x 2-2x + 4 b(x)= 2x - 2 5. Podaj stopień sumy algebraicznej: a) w(x)= 5x 7 + 4x 5 + 25x 2 + x - 2 6.Rozłóż na czynniki sumy algebraiczne oraz podaj ich miejsca zerowe : a) U(x) = x 3 + x - x 2 1

b) U(x) = 16x 2 +25 40x 7.Rozwiąż równanie: 2x 4 3x 3 + 12x 2 18x = 0 Poziom rozszerzony 1. Wielomian W(x) = x 4 + 2x 3 5x 2 6px + 9 jest podzielny przez dwumian x 1. Oblicz p. Humor -Mijają się dwa wielomiany przy czym jeden salutuje ponieważ ten drugi był wyższy stopniem. -Przychodzi wielomian do lekarza, a lekarz mówi: uwaga, stopień -Co robi matematyk ze wzorem skróconego mnożenia w parku? -wyprowadza go

Autorzy Redaktor Naczelny: Stachu Historia Matematyki: Ola, Kasia, Magda, Kuba Krzyżówka: Tomek, Marcin, Łukasz, Pan Przewodniczący Rebus: Ignacy, Lawa Komiks: JZi, Sneer, Konsti Ciekawostki i Ogłoszenia: Matylda, Karolina, Kasia, Kuba Zastosowania: Mieszko, Paweł, Wyso, Artur Zadania: Kicer. Majkel, Szymon, Krzysiu Humor i Skład: Stachu, Maciek, Simon, Marta Odpowiedzi: Zadania maturalne poziom podstawowy 1. B 2. D 3. a) 9x 3 + 3x x 2 + 19 b) 9x 3 + 3x 7x 2 9 4. a) 10x 3 14x 2 +12x-8 5. a) st. w(x) = 7 6. a) x=1 b)x=5/4 kr.2 7. a)x=0 v x=3/2 Zadania maturalne poziom rozszerzony 1. p = 7/6