OBWODY MAGNETYCZNE SPRZĘśONE

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 1/3 OBWODY MAGNETYCZNE SPRZĘśONE Strumień magnetyczny: Φ = d B S (1) S Strumień skojarzony z cewką: Ψ = w Φ () Indukcyjność własna: L Ψ = (3) i Jeśli w przekroju poprzecznym cewki z rdzeniem pole jest równomierne: Ψ µ whs w S L = = µ, (4) i i l gdzie: S, l pole przekroju rdzenia i średnia długość drogi magnetycznej. Przy wyprowadzeniu uŝyto prawa przepływu: H dl = Θ (przepływ), czyli w przybl.: H l = i w Dla cewki toroidalnej: w r L = µ, (5) Rśr gdzie: r promień przekroju poprzecznego cewki, R śr średni promień cewki. Przenikalność magnetyczna statyczna: B µ st = (6) H Przenikalność magnetyczna dynamiczna: db µ dyn = (7) dh

Obwody magnetyczne sprzęŝone... /3 INDUKCYJNOŚĆ WZAJEMNA Rys. 1. Podział całkowitego strumienia na strumień główny i rozproszenia. Strumień główny i strumień rozproszenia: Φ = Φ + Φ (8) 11 1g 1s Strumienie magnetyczne skojarzone z cewką 1 oraz cewką wynoszą: Ψ = wφ, Ψ = wφ, Ψ = wφ, Ψ 11 1 11 1g 1 1g 1s 1 1s = w Φ 1 1g (9) Indukcyjność własna cewki 1: L Ψ wφ 11 1 11 1 = = (10) i1 i1 Indukcyjność wzajemna cewki 1 z cewką : M Ψ w Φ 1 1g 1 = = (11) i1 i1

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 3/3 Po przełączeniu zasilania do cewki będzie: Φ = Φ + Φ (1) g s Indukcyjność własna cewki : L Ψ i w Φ i = = (13) Indukcyjność wzajemna cewki z cewką 1: M Ψ wφ 1 1 g 1 = = (14) i i Jeśli cewki znajdują się w środowisku o takiej samej przenikalności magnetycznej µ, to indukcyjności wzajemne są takie same: Ψ Ψ M M M i i 1 1 = 1 = = = 1 (15) 1

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 4/3 INDUKCYJNOŚĆ GŁÓWNA I INDUKCYJNOŚĆ ROZPROSZENIA Indukcyjność główna cewki 1 oraz cewki : L 1g Ψ wφ Ψ w Φ = =, L = = (16) i i i i 1g 1 1g g g g 1 1 Indukcyjność rozproszenia cewki 1 oraz cewki : L 1s w w = Ψ = Φ, L = Ψ = Φ (17) i i i i 1s 1 1s s s s 1 1 Ze względu na wzór (8) otrzymuje się: L = L + L, L = L + L (18) 1 1g 1s g s ZaleŜność pomiędzy indukcyjnościami głównymi a indukcyjnością wzajemną: w w L w = = = = (19) w w L w 1 1g 1 L1g M Lg, czyli:, oraz: M L 1gLg 1 g Indukcyjność wzajemna jest średnią geometryczną indukcyjności głównych.

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 5/3 WSPÓŁCZYNNIK SPRZĘśENIA Φ Φ 1g Φ Φ + 1s = 1 (0) 11 11 Współczynniki sprzęŝenia cewek 1 i : k = Φ Φ, k = (1) 1g g 1 Φ11 Φ Współczynniki rozproszenia cewek 1 i : Ich suma: Iloczyn: k Φ Φ σ =, σ = () 1s s 1 Φ11 Φ + σ = 1, k + σ = 1 (3) 1 1 ( ) k k = 1 σ + σ σ σ (4) 1 1 1 Współczynnikiem sprzęŝenia cewek nazywamy średnią geometryczną: k = k k (5) 1 Wypadkowy współczynnik rozproszenia to dopełnienie wzoru (4) do jedynki: σ = σ1 + σ σ1σ (6) Wtedy: k + σ = 1 (7) Współczynniki sprzęŝenia moŝna wyliczyć z proporcji: L L k =, k =, 0 k 1. (8) 1g g 1 L1 L a po uwzględnieniu równania (19) M = k L1 L (9)

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 6/3 ZWROT NAWINIĘCIA CEWEK A ZNAK INDUKCYJNOŚCI WZAJEMNEJ Rys.. Dwie cewki sprzęŝone o zgodnym i przeciwnym kierunku nawinięcia. Gwiazdka oznacza początek uzwojenia. JeŜeli przy połączeniu 1 i strumienie się dodają (prądy w cewkach są wtedy zgodne), znak indukcyjności wzajemnej jest +M.

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 7/3 BILANS NAPIĘĆ PRZY ZGODNYM NAWINIĘCIU CEWEK Rys. 3. Cewki nawinięte zgodnie i ich schemat. Bilans napięć strony pierwotnej przy i = 0: di1 R1i 1 + L1 = u1 (30) dt Po pojawieniu się prądu i zgodnie z prawem Faraday'a strumień z nim związany indukuje po stronie pierwotnej siłę elektromotoryczną e 1, podobnie dla strony wtórnej: Ψ i Ψ i e = = M, e = = M t t t t 1 1 1 1 (31) Bilans napięć dla obydwu stron: i1 i R1i 1 + L1 + M = u1 t t i i R i + L + M = u t t 1 (3)

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 8/3 BILANS NAPIĘĆ PRZY PRZECIWNYM NAWINIĘCIU CEWEK Rys. 4. Cewki nawinięte przeciwnie i ich schemat. Bilans napięć strony pierwotnej przy i = 0: di1 R1i 1 + L1 = u1 (33) dt Po pojawieniu się prądu i zgodnie z prawem Faraday'a strumień z nim związany indukuje po stronie pierwotnej siłę elektromotoryczną e 1, podobnie dla strony wtórnej (indukcyjność wzajemna jest ujemna): Ψ i Ψ i e = = M, e = = M t t t t 1 1 1 1 (34) Bilans napięć dla obydwu stron: i1 i R1i 1 + L1 M = u1 t t i i R i + L M = u t t 1 (35)

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 9/3 POŁĄCZENIE SZEREGOWE CEWEK SPRZĘśONYCH Rys. 5. Połączenie szeregowe cewek nawiniętych zgodnie i przeciwnie. Strumienie skojarzone przy zgodnym kierunku nawinięcia cewek: 1 11 1 1 1 ( L M ) i ( L ) Ψ = Ψ + Ψ = + Ψ = Ψ + Ψ = + M i (36) Indukcyjność całego połączenia: Ψ Ψ + Ψ = = = + + (37) i i 1 L L1 L M Strumienie skojarzone przy przeciwnym nawinięciu cewek: 1 11 1 1 1 ( L M ) i ( L ) Ψ = Ψ Ψ = Ψ = Ψ Ψ = M i (38) Indukcyjność całego połączenia: Ψ Ψ + Ψ = = = + (39) i i 1 L L1 L M

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 10/3 Gdy współczynnik sprzęŝenia między cewkami wynosi k = 1, wtedy: ( ) L = L + L ± M = L + L ± L L = L ± L (40) 1 1 1 1 Inny przypadek szczególny, to cewki jednakowe: L = L, wtedy przy zgodnym nawinięciu L = 4 L, przy przeciwnym L = 0. (41) 1 Gdy współczynnik sprzęŝenia wynosi k = 0, to: L = L1 + L niezaleŝnie od kierunku nawinięcia cewek. (4) Wprowadzając współczynnik sprzęŝenia k moŝna udowodnić, Ŝe wypadkowa indukcyjność jest zawsze dodatnia: ( ) L= L + L M = L + L k L L L + L L L = L L 0 (43) 1 1 1 1 1 1

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 11/3 POŁĄCZENIE RÓWNOLEGŁE CEWEK SPRZĘśONYCH Rys. 6. Połączenie równoległe cewek nawiniętych zgodnie i przeciwnie. Impedancje zespolone cewek, bez sprzęŝenia: Z = R + j ωl, Z = R + jωl (44) 1 1 1 Impedancja związana ze sprzęŝeniem: Z = Z = ωm (45) 1 1 j Bilans napięć przy zgodnym nawinięciu: Z I + Z I = U 1 1 1 Z I + Z I = U 1 1 (46) Stąd prądy w cewkach wynoszą: Z Z1 Z1 Z1 I 1 = U, I = U Z Z Z Z Z Z 1 1 1 1 (47) Impedancja wejściowa układu cewek zgodnie nawiniętych: Z U U Z1Z Z1 = = = I I + I Z + Z Z 1 1 1 (48)

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 1/3 Bilans napięć przy przeciwnym kierunku nawinięcia: Z I Z I = U 1 1 1 Z I + Z I = U 1 1 (49) Impedancja wejściowa wynosi wtedy: Z = Z1Z Z1 Z + Z + Z 1 1 (50) Gdy nie ma sprzęŝeń: M = 0, Z 1 = jωm = 0 Z = Z1Z Z + Z 1 (51) Gdy rezystancje są równe zeru, Z 1 = jωl 1, Z = jωl i dla zgodnego i przeciwnego kierunku nawinięcia cewek otrzymuje się: L L M 1 L = L 1 + L M (5) a) cewki nawinięte zgodnie: b) cewki nawinięte przeciwnie: Rys. 6a. Indukcyjność zastępcza połączenia równoległego dwóch jednakowych cewek o indukcyjności 1mH w funkcji współczynnika sprzęŝenia k.

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 13/3 TRANSFORMATOR POWIETRZNY Rys. 7. Transformator powietrzny o cewkach nawiniętych przeciwnie. Bilans napięć transformatora przy przeciwnym kierunku nawinięcia cewek: R I + jωl I jωmi = U 1 1 1 1 1 R I + jωl I jωmi = Z I = U 1 obc (53) Wykres wskazowy odpowiadający schematowi z rys. 7: R I + jωl I jωmi = U 1 1 1 1 1 R I + jωl I + R I + jx I = jωmi obc obc 1 Rys. 8. Wykres wskazowy.

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 14/3 Rys. 9. Transformator powietrzny o cewkach nawiniętych zgodnie. Bilans napięć transformatora przy zgodnym kierunku nawinięcia cewek: R I + jωl I + jωmi = U 1 1 1 1 1 R I + jωl I + jωmi = Z I = U 1 obc (54) Wykres wskazowy odpowiadający schematowi z rys. 9 zgodnie z równaniem (54) o postaci: R I + jωl I + jωmi = U 1 1 1 1 1 R I + j ωl I + R I +jx I = jωmi obc obc 1 Rys. 10. Wykres wskazowy. Na obu ostatnich wykresach wskazowych przyjęto, Ŝe odbiornik ma charakter indukcyjno-czynny: Z = R + jx (55) obc obc obc

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 15/3 SCHEMAT ZASTĘPCZY TRANSFORMATORA POWIETRZNEGO Układ równań (53) moŝna zapisać w postaci macierzowej: R1 + jωl1 jωm I 1 U1 jωm R jωl I = U + (56) Układ ten opisuje następujący schemat zastępczy: Rys. 11. Schemat zastępczy transformatora z cewkami nawiniętymi przeciwnie. Bilans napięć schematu zastępczego (metoda oczkowa) daje to samo równanie (56): I R + j ω ( L M ) + jω M I jω M = U [ ] [ ] 1 1 1 1 I jω M + I R + j ω ( L M ) + jω M = U 1 Natomiast układowi (54) moŝna nadać postać: R1 + jωl1 jωm I 1 U1 jωm R jωl I = U + (57) któremu odpowiada układ zastępczy (bilans napięć jest analogiczny, jak powyŝej, wystarczy zmienić znak I oraz U ): Rys. 1. Schemat zastępczy transformatora z cewkami nawiniętymi zgodnie.

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 16/3 CEWKA NA RDZENIU STALOWYM Napięcie jest związane ze strumieniem magnetycznym przez prawo Faraday'a: Dla przebiegu sinusoidalnego moŝna podać wzór: dψ dφ e = = w (58) dt dt E π = = = 4,44 = 4,44 (59) m E f w Φm f w Φm f w Βm Srdz Prąd jest związany z natęŝeniem pola magnetycznego przez prawo przepływu: w I = H l, gdzie: l średnia długość drogi magnetycznej w rdzeniu. (60) Rys. 13. Przebiegi prądu i napięcia na cewce z rdzeniem stalowym, wymuszone napięcie.

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 17/3 Przy wymuszonym napięciu w cewce powstają wysokie impulsy prądu. Natomiast przy zasilaniu cewki wymuszonym prądem sinusoidalnym ma miejsce odwrotna sytuacja, następuje spłaszczenie krzywej napięcia na cewce będące wynikiem nasycenia rdzenia: Rys. 14. Przebiegi prądu i napięcia na cewce z rdzeniem stalowym, wymuszony prąd.

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 18/3 PĘTLA HISTEREZY, STRATY ZWIĄZANE Z HISTEREZĄ Rys. 15. Pętla histerezy materiału ferromagnetycznego. Straty na histerezę są związane z energią przemagnesowania materiału po krzywej histerezy W = BdH. Ich wartość podają wzory Richtera: f ph = ε Bm (61) 100 Prądy wirowe w materiale przewodzącym są związane z istnieniem zmiennego pola magnetycznego: B rot E =, gęstość prądu J = γ E. (6) t Drugi wzór Richtera podaje wartość strat na prądy wirowe: p w f = σ 100 Współczynniki Richtera dla róŝnych blach: Zawartość krzemu [%] 0,5 1,5 4,0 Grubość blachy 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,35mm CięŜar wł. blachy 7,85 7,85 7,8 7,7 7,6 7,6G/cm 3 Współczynnik ε 4,4 4,4 4, 3,8,8,1 Współczynnik σ,4 5,6,6 1,6 1,1 1,1 Stratność p 10 7,8 3,6,8,3 1,7 1,3W/kg B m (63)

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 19/3 SCHEMAT ZASTĘPCZY CEWKI NA RDZENIU STALOWYM Rys. 16. Schemat zastępczy cewki z rdzeniem oraz wykres wskazowy napięć i prądów. Wielkości występujące na schemacie zastępczym: U, I - napięcie i prąd zasilający (symboliczne), E - siła elektromotoryczna indukowana przez strumień Φ, R Cu - rezystancja uzwojeń cewki, R Fe - rezystancja zastępująca straty w rdzeniu stalowym, L s - indukcyjność rozproszenia cewki, - indukcyjność główna (magnesująca) cewki. L µ

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 0/3 TRANSFORMATOR. SPROWADZENIE WIELKOŚCI WTÓRNYCH NA STRONĘ PIERWOTNĄ Rys. 17. Sprowadzenie wielkości wtórnych na stronę pierwotną przy zgodnym nawinięciu uzwojeń. Przy n = w 1 /w wielkości sprowadzone do strony pierwotnej wynoszą: i ' = i /n, u ' = n u, R ' = n R, L s ' = n L s, Z ' = n Z

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 1/3 Rys. 18. Schemat zastępczy transformatora z uzwojeniami nawiniętymi zgodnie. Rys. 19. Wykres wskazowy dla transformatora z uzwojeniami nawiniętymi zgodnie przy obciąŝeniu indukcyjno-czynnym: U I = Z = R + jx. obc obc obc Wielkości strony wtórnej pokazano na wykresie przed przeliczeniem na stronę pierwotną.

Obwody magnetyczne sprzęŝone... /3 Rys. 0. Schemat zastępczy transformatora z uzwojeniami nawiniętymi przeciwnie. Rys. 1. Wykres wskazowy dla transformatora z uzwojeniami nawiniętymi przeciwnie przy obciąŝeniu indukcyjno-czynnym: U I ' ' = Z = R + jx. ' ' ' obc obc obc Na tym wykresie przedstawiono jedynie wielkości strony wtórnej sprowadzone do pierwotnej.

Obwody magnetyczne sprzęŝone... 3/3 TRANSFORMATOR IDEALNY. AUTOTRANSFORMATOR Transformator idealny charakteryzuje się brakiem strat w uzwojeniach, jak teŝ w rdzeniu. Indukcyjność główna jest nieskończenie wielka, co powoduje, Ŝe prąd magnesujący jest równy zeru. W zaleŝności od kierunku nawinięcia uzwojeń charakteryzują go równania: U1 n 0 U = 1 (64) I 1 0 I n Impedancja dołączona na jego wyjście jest przetwarzana przez n, co jest własnością typową dla konwerterów: Zwe = n Zobc (65) Autotransformator Dla uproszczenia rozwaŝań autotransformator zostanie przedstawiony bez uwzględnienia strat w rdzeniu i w miedzi, jak teŝ z pominięciem indukcyjności rozproszenia. Rys.. Schemat autotransformatora. Autotransformator jest transformatorem jednouzwojeniowym. Z bilansu prądów łatwo wyprowadzić, Ŝe: w w w I = I + I = I I = I, czyli przy w = w I = 0. (66) 1 1 3 1 1 1 1 1 3 w w