Geometria w sztuce Maswerki gotyckie w Malborku
Wstęp Ta książeczka jest owocem pracy uczniów klas trzecich Gimnazjum Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II. Projekt przeprowadzony został w maju i czerwcu 011 roku. Jego celem było poszukiwanie konstrukcji geometrycznych w gotyckich maswerkach odnalezionych na ścianach zamku krzyżackiego w Malborku. Nasza grupa matematyczna, prowadzona przez panią Elżbietę Guzicką oraz pana Wojciecha Guzickiego, podzieliła się na osiem zespołów, z których każdy zajął się jednym lub dwoma wybranymi oknami. Z pomocą pana Wojciecha Guzickiego konstruowaliśmy rozety, ostrołuki, wieloliście i trójkąty Reuleaux, obliczaliśmy długości promieni i odcinków. W ten sposób odkryliśmy matematykę w gotyku. Następnie, po długich zmaganiach z programem do konstrukcji matematycznych i edytorem tekstu, udało nam się stworzyć właśnie tę książeczkę. Życzymy miłej lektury! Przemysław Czechowski
SPIS TREŚCI Janek Kozakiewicz, Łukasz Kowalski... 1 Ludwik Czetwertyński, Marcin Szubski... 1 Szymon Pancewicz, Karol Okruszko... 35 Hania Jędrzejewska, Zosia Kochman... 47 Przemysław Czechowski, Jędrzej Rouba, Maciek Twardowski... 61 Marysia Adamiuk, Diana Drobiecka... 67 Maciek Górczak, Bartek Zubrzycki... 97 Janek Jędryszek, Miłosz Stępkowski... 107 3
Maswerki Gotyckie Jan Kozakiewicz, Łukasz Kowalski 0 1 1-0 5-1 9 4
Nasz Maswerk 5
ETAP 1 Z wierzchołków kwadratu prowadzimy dwa odcinki do środka górnego boku kwadratu (punkt A). A 6
ETAP Rysujemy symetralne odcinków konstruowanych w poprzednim etapie. Przecinają się one z prostą w punktach A i B. Teraz punkty przecięcia posłużą nam do skonstruowania okręgu o promieniu a=b. 7
ETAP 3 Wymazujemy niepotrzebne części okręgów i konstruujemy mały okrąg o środku A promieniu a=1/6b. b 8
ETAP 4 Odkładamy taki sam odcinek o długości a, wychodzący z punktu D. Z punktu B odkładamy dwa takie same odcinki o końcach w punktach A i C. Rysujemy symetralne odcinka b. b a 9
ETAP 5 Punkt przecięcia symetralnych posłużył nam do wyznaczenia środka okręgu stycznego z punktami B, C, D. 10
ETAP 6 Prowadzimy prostą z punktu A do punktu B, który leży dokładnie na podstawie naszego maswerku. Odkładamy taki sam odcinek a na podstawie ostrołuku. Rozpoczyna się on z punktu C. C 11
ETAP 7 Rysujemy odcinek DE o długości a, a następnie rysujemy jego symetralną przechodzącą przez punkty A i B. Punkt B posłuży nam do skonstruowania okręgu stycznego z półokręgiem w punkcie C. Okrąg ma średnicę równą b=c. E D 1
ETAP 8 Konstruujemy bliźniaczy okrąg przechodzący przez punkt B. Oznaczamy punkt przecięcia tych okręgów, jako A. B 13
ETAP 9 Usuwamy niepotrzebne części okręgu i powtarzamy tę samą czynność z małym ostrołukiem po prawej stronie. W efekcie powstają dwa małe ostrołuki. 14
ETAP 10 Konstruujemy 7 małych okręgów o środkach kolejno: A, B, C, D, E, F, G. Następnie wymazujemy niepotrzebne ich części. 15
ETAP 11 Rysujemy dwie średnice największego okręgu: a, b. Na środkach wszystkich czterech, nowopowstałych odcinków konstruujemy cztery okręgi styczne z dużym okręgiem. a b 16
ETAP 1 Rysujemy dwie średnice mniejszych okręgów i tak jak w poprzednim etapie rysujemy trzy okręgi mające swój środek w środku powstałych odcinków. 17
ETAP 13 Powtarzamy tę samą czynność, co w poprzednim etapie z resztą okręgów i usuwamy niepotrzebne ich części. 18
ETAP 14 Konstruujemy teraz dwa mniejsze okręgi w obu małych ostrołukach (styczne z ostrołukami) o środkach kolejno: A i B. Średnica okręgów wynosi a. 19
RÓWNANIA 7,5a-r 7,5a 0
RÓWNANIA C.D. r 1
RÓWNANIA C.D. x
KONIEC 3
Gotyckie Maswerki Marcin Szubski & Ludwik Czetwertyński 4
5
ETAP 1 Rysujemy odcinek długości 1 cm. 6
ETAP Rysujemy dwa jednakowe łuki tak, aby powstał ostrołuk. Końce odcinka wskazują środki okręgów, a długość odcinka promień. 7
ETAP 3 Z punktu przecięcia łuków prowadzimy dwa odcinki do punktów przecięcia łuków z odcinkiem (tak jak na rysunku). 8
ETAP 4 Odmierzamy za pomocą cyrkla odcinek o długości 4 cm i z wierzchołków trójkąta rysujemy łuki tak, aby połączyć dwa sąsiednie boki. 9
ETAP 5 Punkty połączone łukami łączymy odcinkami. Z punktów przecięcia podstawy górnego trójkąta z jego bokami prowadzimy dwa odcinki prostopadle opadające na podstawę dużego trójkąta. 30
ETAP 6 Z punktów w jednej trzeciej i dwóch trzecich podstawy dużego trójkąta rysujemy dwa okręgi o promieniu równym bokowi mniejszego trójkąta. Następnie łączymy odcinkiem punkty przecięcia okręgów z równoległymi bokami prostokąta powstałego w etapie 5. 31
ETAP 7 Ze skrajnych punktów powstałego odcinka prowadzimy dwa łuki do punktu przecięcia. Z tego punktu prowadzimy dwa boki tak, aby powstał trójkąt równoboczny. 3
ETAP 8 Wyznaczamy środki wszystkich boków mniejszych trójkątów. 33
ETAP 9 Z powstałych punktów rysujemy półokręgi tak, aby połączyć dwa sąsiednie punkty leżące na tym samym boku. 34
ETAP 10 Tworzymy trójkąt równoramienny o wierzchołkach A, B i C. Wymiary tego trójkąta dobieramy dowolnie. Następnie tworzymy trójkąt równoboczny ABD o boku długości AB i trójkąt równoboczny ACE o boku długości AC. Tworzymy łuki: AB z punktu D AC z punktu E Następnie tworzymy dwa okręgi, nachodzące na siebie. To jak bardzo nachodzą na siebie okręgi, ustala artysta. Jeden z tych okręgów musi być styczny do łuków AB i m, a drugi do łuków AC i n. 35
Oto efekt końcowy naszej pracy: 36
37
Karol Okruszko Szymon Pancewicz 38
1. Zaczęliśmy od narysowania odcinka o przyjętej długości a.. Następnie nakreśliliśmy dwa okręgi o promieniu równym a. Środkami tych okręgów były końce odcinka. Od punktu przecięcia tych okręgów poprowadziliśmy dwa odcinki do końców wcześniej narysowanego odcinka. W ten sposób powstał trójkąt równoboczny. 39
3. Później poprowadziliśmy trzy wysokości trójkąta opisanego w punkcie. Te wysokości okażą się w dalszych etapach konstrukcji bardzo przydatne. 40
4. Potem narysowaliśmy okrąg o promieniu równym długości boku trójkąta z punktu. naszej konstrukcji. Otrzymaliśmy Trójkąt Reuleaux. 5. Wysokości narysowane w punkcie 3. podzieliły nasz Trójkąt Reuleaux na 6 równych części. Linie wyznaczające te 6 części są zaznaczone kolorem zielonym. Naszym głównym zadaniem było wpisanie w te sześć części okręgów, więc teraz pokażemy, jak wyprowadziliśmy wzór na ich promień. 41
Obliczenia: r + 3 ( r 3 + a 3) = (a r ) 4 3 r + 3r + 4ar + a = 4a 4ar + r 4 3 4r + 8ar + a = 4a + r 4 3 4 3r + 8ar + a = a 9r + 4ar + 4a = 1a 9r + 4ar 8a = 0, czyli (3r + x) = 9r + 6xr + x Ponieważ ( 3r + a + 4a) = 9r + 4ar 16, więc x = 4a (3r + 4a) 16a = 9r + 4ar ( 3r + 4a) 16a = 8a ( 3r + 4a) = 4a 3r + 4a = a 4 = a 6 3r = a( 6 4) 6 4 r = a 3 Podstawiamy a = 3 r = 3 6 4 3 r = 6 4 4
6. Z ostatniego wzoru wynika, iż przy a = 3, r = 6 4. W tym punkcie opiszemy, jak skonstruować koło o promieniu tej właśnie długości. Można to zrobić przy użyciu Twierdzenia Pitagorasa. Jeśli narysuje się trójkąt prostokątny o przyprostokątnych i 4, to przeciwprostokątna będzie równa 0. Jeżeli przeciwprostokątna tamtego trójkąta zostanie przyprostokątną nowego trójkąta, a drugą przyprostokątną będzie, to przeciwprostokątna tego trójkąta prostokątnego będzie wynosiła 6. Następnie za pomocą łuku odmierzamy na naszym odcinku 4 6. Tak skonstruowany został promień. 43
7. Kolejnym etapem konstrukcji jest wpisanie okręgu o promieniu skonstruowanym w punkcie 6. do każdej z sześciu części wcześniej podzielonego Trójkąta Reuleaux. 44
8. Następnym krokiem było narysowanie dwóch ostrołuków wciętych, po jednym z każdej strony ostrołuku. Aby to zrobić, trzeba podzielić każdy odcinek a na 4 części. 45
9. Ostrołuk wcięty oparty jest na trójkącie równobocznym. By znaleźć położenie wierzchołków tego trójkąta, nakreśliliśmy okrąg, którego środek położony jest na drugiej pionowej linii, licząc od lewej strony. Okrąg ten musiał także być styczny do najbliższego okręgu wpisanego w Trójkąt Reuleaux, nie mógł też wykraczać poza linię dzielącą a na 3/4. Tutaj zauważyliśmy błąd, który architekt zamaskował grubymi przegrodami na maswerku. Otóż: nie było możliwe narysowanie tego okręgu w ten sposób, by nie wykraczał za 3/8 szerokości maswerku i równocześnie był idealnie styczny do najbliższego okręgu wpisanego w Trójkąt Reuleaux. Tę niedokładność można bardzo łatwo zauważyć prowadząc prostą przechodzącą przez środki dwóch stycznych okręgów. Powinna ona przechodzić przez punkt styczności tych okręgów, a tak nie jest. Również punkt styczności tych okręgów powinien znajdować się na linii dzielącej a na pół. 46
10. Wierzchołki opisanego w punkcie 9. trójkąta równobocznego są zaznaczone kolorem zielonym. Narysowaliśmy ów trójkąt równoboczny. Ostrołuk wcięty z kolei można nakreślić rysując trzy półokręgi skierowane do środka naszego trójkąta. Średnicami tych półokręgów są boki trójkąta. 47
11. Następnie powtórzyliśmy etapy konstrukcyjne z punktów 8. - 10. po drugiej stronie maswerku. 48
1. Tak wygląda nasz końcowy rysunek po wycięciu zbędnych linii, odcinków oraz punktów. 49
ZOSIA KOCHMAN HANIA JĘDRZEJEWSKA 50
OKNO nr. 1 WIĘKSZY OKRĄG 1. Konstruujemy dwa przystające trójkąty równoboczne, o wspólnej podstawie.. Następnie rysujemy trzy łuki oparte na ramionach górnego trójkąta równobocznego (które są fragmentami trzech okręgów, o środkach w wierzchołkach dolnego trójkąta równobocznego). 51
3. Wpisujemy w powstałą figurę okrąg, o środku leżącym na odcinku będącym wysokością ( górnego ) trójkąta równobocznego. Można wyznaczyć ten punkt konstrukcyjnie, lub obliczyć jego położenie. OBLICZANIE POŁOŻENIA: a + (r + a - a 3 ) = (a - r) a + (r + a ( - 3 )) = 4a - 4ar + r a + r + ar ( - 3 ) + a ( - 3 ) = 4a - ar + r ar ( - 3 ) + a (4 4 3 + 3) = 3a - 4ar 4 ar ar 3 + 4a - 4 3 a + 3a = 3a - 4 ar 8 ar ar 3 + 4a (1-3 ) = 0 ar (4-3 ) + 4a (1-3 ) = 0 r (4-3 ) + a (1-3 ) = 0 r (4-3 ) = - a (1-3 ) r = r = r = a + a a 4 4 - a ( 4 3 3 3 - a 3-1) 3 3 r = a 3 1 4 + 3 4 3 4 + 3 r = a r = a 4 3 + 3 4 13 3 3 1 13 3 W ten sposób obliczamy długość promienia okręgu, który mamy skonstruować, ponieważ a jest długością nam znaną. 5
WYZNACZANIE ŚRODKA OKRĘGU KONSTRUKCYJNIE: 4. Wykorzystując rysunek skonstruowanego już ostrołuku, rysujemy odcinek o długości boku tego trójkąta, tak jak na rysunku. Do konstrukcji wykorzystujemy kwadrat, jak widać poniżej. 5. Teraz rysujemy odcinek łączący punkty A i B, tak jak na rysunku: 53
6. Na koniec konstruujemy symetralną odcinka AB, a w miejscu gdzie przecina się ona z wysokością trójkąta równobocznego, znajduje się środek szukanego okręgu. CZTERY MNIEJSZE OKRĘGI WPISANE W DUŻY OKRĄG 7. Na dużym okręgu opisujemy kwadrat (o podstawie równoległej do podstawy trójkąta równobocznego z pkt. 1). Dzielimy go przekątnymi i powstają 4 trójkąty równoramienne, w które wpiszemy okręgi. 8. Środek takiego okręgu wyznaczamy w miejscu przecięcia wysokości trójkąta i dwusiecznej jego kąta ostrego. 54
OSTATNI ETAP CZTERY OKRĘGI PONIŻEJ OSTROŁUKU 9. Aby skonstruować cztery małe okręgi, należy wykorzystać narysowany przez nas na początku dolny trójkąt równoboczny. 10. Pierwszym elementem konstrukcji będzie podzielenie najniższego kąta na dokładnie cztery części, czyli cztery kąty o miarach 15 stopni. 11. Teraz trzeba narysować dwusieczne otrzymanych kątów, a następnie skonstruować proste do nich prostopadłe, przechodzące przez punkt na dolnym łuku. 55
1. Ostatnim etapem będzie wpisanie okręgów w powstałe trójkąty. W tym celu należy skonstruować dwusieczną jednego z kątów przy najkrótszej podstawie. W ten sposób należy narysować wszystkie cztery okręgi. EFEKT KOŃCOWY: 56
57
OKNO nr. 58
CZTEROLIŚĆ DUŻY 1. Rysujemy dwa odcinki równej długości, prostopadłe do siebie i przecinające się w połowie.. Na każdym z tych odcinków konstruujemy po dwa trójkąty równoboczne. 3. Z końców obu odcinków rysujemy cztery okręgi. Przecinają się one w miejscach, w których przecinają się boki trójkątów równoramiennych (my tak narysowałyśmy, mogą być jednak większe, wszystko zależy od tego jak bardzo wcięty ma być nasz czteroliść). 59
TRZY STYCZNE OKRĘGI WPISANE W OKRĄG 4. Okrąg jest podzielony (w wyniku poprzednich działań) na trzy części, trzema odcinkami. Na nich wyznaczymy dalej środki okręgów. 5. Przedłużamy te odcinki tak, aby powstał inny podział, również na 3 części. W powstałe ćwiartki będziemy wpisywać trzy okręgi: jeden bardziej na szczycie czteroliścia, dwa pozostałe poniżej. 60
6. Rysujemy styczne do dużego okręgu, prostopadłe do odcinków, o których mowa w pkt.1. 7. Powstają 3 trójkąty równoramienne. Podstawą jest odcinek leżący na stycznej, a miejsce przecięcia dwusiecznej jego kąta ostrego i wysokości jest środkiem okręgu, który będzie styczny zarówno do dużego okręgu, jak i do dwóch pozostałych mniejszych okręgów. 61
JAK JUŻ JEDNAK BYŁO POWIEDZIANE, WSZYSTKO ZALEŻY OD TEGO, JAK CHCEMY, ŻEBY WYGLĄDAŁA NASZA ROZETA. MOŻEMY RÓWNIEŻ NARYSOWAĆ WIĘKSZE OKRĘGI, JEDNAK MUSZĄ ONE BYĆ STYCZNE DO DUŻEGO OKRĘGU. Należy wrysować te okręgi we wszystkie duże okręgi czteroliścia i powstanie śliczny maswerk, podobny do tego na rysunku. 6
63
Trójkąty Reuleaux Jędrzej Rouba Maciej Twardowski Przemysław Czechowski 64
65
Konstrukcja okna oparta jest na trójkącie o podstawie równej wysokości. Aby stworzyć taki trójkąt, rysujemy odcinki łączące dwa sąsiednie wierzchołki kwadratu z środkiem przeciwległego boku. Aby otrzymać łuki tworzące kształt okna, konstruujemy symetralne odcinków AE i BE. W punktach ich przecięcia z prostą AB wyznaczamy środki okręgów. Za promień uznajemy odcinek AF. Wycinki okręgów ograniczone punktami AE i BE są poszukiwanymi łukami. Rys. 1 Prosta przecinająca AB w punkcie F jest symetralną odcinka AE. Obliczenia 1 Warto zastanowić się tutaj, jaka będzie długość promienia takiego łuku. Dla ułatwienia obliczeń, przyjmijmy, że bok kwadratu ma długość 1a. Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta FGE, otrzymujemy równanie: GF + GE = FE ( R 6a) R 1aR + 36a 1aR = 180a R = 15a + (1a) = R 144a = R Rys. Poszukiwane łuki. Kolejnym elementem konstrukcji jest podział podstawy okna na trzy części. Na środkowej z nich konstruujemy trójkąt równoboczny. Jego wierzchołek oznaczmy jako I. Zajmijmy się teraz figurami złożonymi z trzech łuków, które znajdują się w połowie wysokości okna. Ta figura nazywa się trójkątem Reuleaux. Powstaje on na podstawie trójkąta równobocznego. Każdy wierzchołek jest środkiem okręgu o promieniu równym długości boku trójkąta. Fragmenty łuków zawarte między wierzchołkami tworzą poszukiwaną figurę. Taki trójkąt Reuleaux, ale bez dolnego łuku, konstruujemy na trójkącie równoramiennym, który skonstruowaliśmy na środkowej części podstawy okna. Powróćmy do trójkątów w połowie wysokości okna. Rys. 3 Trójkąt Reuleaux 66
Rys. 4 Punkt H jest punktem styczności krawędzi okna z trójkątem Reuleaux. Oba trójkąty Reuleaux mają jeden z wierzchołków w punkcie I. Punkt styczności każdego z nich z krawędzią okna wyznaczamy sposobem pokazanym na rysunku. Wiemy, że HI jest promieniem trójkąta Reuleaux. Punkty przecięcia okręgu o środku i o promieniu IH oraz prostej równoległej do AB przechodzącej przez I są kolejnymi wierzchołkami trójkątów Reuleaux. Mając po dwa punkty z każdego trójkąta możemy je już skonstruować. Obliczenia Teraz możemy obliczyć, jaka będzie długość promienia trójkąta Reuleaux. (długość boku trójkąta, na którym oparta jest figura). Zapisując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta FGI otrzymamy: FG + GI = (9a) + (a (15a R) FI 3) 15a R = a 93 R = (15 93) a 5.35634 81a = (15a R) + 1a = 93a Rys. 5 Wpisywanie trójkąta Reuleaux. Ostatnim etapem konstrukcji jest wpisanie okręgu. Znalezienie jego środka wymaga jednak użycia konstrukcji na bardzo zaawansowanym poziomie, nie będziemy przytaczać jej w tym dokumencie. Promień okręgu można oczywiście obliczyć algebraicznie. 67
Obliczenia 3 Obliczmy promień okręgu wpisanego w okno. Oznaczmy odcinek JI jako h, HI jako R (promień trójkąta Reuleaux), a JK jako r. Zapisując twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów HIJ oraz FGJ otrzymamy następujący układ równań: R + h = ( R + r) (9a) + ( h + a 3) = (15a r) Zajmijmy się pierwszym równaniem: Rys. 6 Obliczanie promienia okręgu. Znając promień okręgu, możemy łatwo go wpisać. Sumę promieni okręgu i trójkąta Reuleaux odkładamy z zewnętrznych wierzchołków trójkątów Reuleaux (na rysunku punkt H i jego obraz symetryczny względem pionowej osi symetrii). Miejsce przecięcia łuków to środek poszukiwanego okręgu. Warto zauważyć, że otrzymany w ten sposób środek okręgu leży bardzo blisko punktu będącego miejscem przecięcia okręgu o środku I i promieniu IH oraz pionowej osi rysunku. W przypadku uznania tego punktu za środek okręgu, otrzymany błąd będzie nieduży. Możliwe więc, że okno zostało skonstruowane właśnie w ten sposób, a brak styczności zamaskowany został grubością kamienia. R h + h = R = Rr + r + Rr + r Teraz przekształćmy drugie równanie i wstawmy do niego pierwsze: 81a 93a 4ah 4ah 4h h 1h + 4ah 3 = 13a 3 = 13a 3 = 13a 30r (15 3 = 66a 15r (15 + h = (66a (30 (66a (30 (66a (30 (37 0 70 6 r = + 4ah 3 + Rr + r 93) r 30ar Rr 30ar ar(15 93) r) 93) r) 93 4 3 + 1a 37 0 93) r) = 5a = 5a 93) r 93) r = 1(Rr + r = 1((15 (1440 5 6654 55 93 30ar + r 30ar + r 93) ) 93) ar + r 93) ar + 145a 93 a.30909a ) = 0 68
69
MASWERKI GOTYCKIE Przygotowały: Maria Adamiuk Diana Drobiecka IIIa Rok szkolny: 010/011
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka I CZĘŚĆ 71
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 1. Dzielimy odcinek na 5 części.. Konstruujemy okrąg o środku w jednym z końców odcinka i o promieniu długości równej długości tego odcinka. Podobnie konstruujemy następny okrąg. 7
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 3. Punkt przecięcia się dwóch okręgów łączymy z końcami odcinka. Otrzymujemy trójkąt równoboczny. Część okręgów wymazujemy, zostawiając fragmenty, które tworzą ostrołuk. 73
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 4. Ramiona powstałego trójkąta dzielimy również na 5 części. a. Na początku konstruujemy okrąg o środku w jednym z końców odcinka i o promieniu równym 1/5 tego odcinka. Punkt przecięcia się okręgu z jednym z ramion trójkąta wyznacza 1/5 długości całego ramienia tego trójkąta. b. /5, 3/5 i 4/5 długości ramienia trójkąta wyznaczamy analogicznie do 1/5 długości. 74
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 75
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 5. Drugie ramię trójkąta dzielimy na 5 części analogicznie. 6. Łączymy punkty na bokach trójkąta jak na rysunku poniżej. W ten sposób otrzymujemy 3 przystające do siebie trójkąty równoboczne. Boki każdego z tych trójkątów mają długość równą /5 długości tego odcinka. 76
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 7. W powstałych odcinkach wyznaczamy środki, które następnie łączymy ze sobą, otrzymując kolejny trójkąt równoboczny (przystający do trzech poprzednich). 8. Konstruujemy okrąg, którego środkiem jest środek boku trójkąta a promieniem jest połowa boku trójkąta. 77
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 9. Na tym samym trójkącie konstruujemy analogicznie dwa kolejne okręgi. Część z nich wymazujemy, zostawiając fragmenty, które tworzą trójliść. 78
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 10. Takie same trójliście konstruujemy na pozostałych trójkątach. 11. Do odcinka skonstruowanego na samym początku dorysowujemy dwa odcinki prostopadłe do niego przechodzące przez jego końce. Między powstałymi kolumnami wyznaczamy środek i prowadzimy trzeci odcinek prostopadły do początkowego odcinka. 79
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 1. Każdą z połówek odcinka ponownie dzielimy na pół i z otrzymanych po podziale punktów prowadzimy dwa odcinki prostopadłe do odcinka początkowego. 13. Punkty przecięcia trójliści z dorysowanymi odcinkami zaznaczamy, a odcinki wymazujemy. 80
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 14. Z zaznaczonych punktów prowadzimy okręgi, których promienie mają długość równą połowie długości danego odcinka. 15. Punkty przecięcia okręgów z kolumnami pionowymi oraz środki tych okręgów łączymy, otrzymując dwa trójkąty równoboczne. Okręgi wymazujemy. 81
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 16. Na powstałych trójkątach tworzymy trójliście analogicznie jak wcześniej. Wymazujemy ich dolne części. 17. Wymazujemy boki wszystkich trójkątów. 8
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 83
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka II CZĘŚĆ 84
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 1. Dzielimy odcinek na 3 części.. Konstruujemy okrąg o środku w jednym z końców odcinka i o promieniu długości równej długości tego odcinka. Podobnie konstruujemy następny okrąg. 85
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 3. Punkt przecięcia się dwóch okręgów łączymy z końcami odcinka. Otrzymujemy trójkąt równoboczny. Część okręgów wymazujemy, zostawiając fragmenty, które tworzą ostrołuk. 86
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 4. Konstruujemy okrąg, którego środkiem jest środek odcinka, a promieniem jest połowa odcinka. 5. Na ramionach trójkąta analogicznie konstruujemy kolejne dwa okręgi. 87
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 6. Część okręgów wymazujemy, zostawiając fragmenty jak na rysunku. 7. Zaznaczamy fragment, w którym będziemy dalej pracować. 88
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 8. Łączymy ze sobą środki ramion trójkąta oraz wyznaczamy środek powstałego odcinka. 9. Prowadzimy symetralną tego odcinka i zaznaczamy jej punkt przecięcia z jednym z półokręgów. 89
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 10. Analogicznie wyznaczamy kolejne dwa odcinki łączące ze sobą środki boków trójkąta. Otrzymujemy w ten sposób trójkąt równoboczny, a następnie wyznaczamy symetralne tych odcinków analogicznie do pierwszej symetralnej. 11. Wymazujemy odcinki tworzące trójkąt równoboczny oraz pozostawiamy odcinki zawarte w symetralnych, tak jak na rysunku. 90
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 1. Okrąg wpisujemy w figurę, stworzoną z dwóch odcinków i fragmentów dwóch łuków, tak, aby był styczny do każdego boku tej figury. Na potrzeby tego projektu nazwijmy tę figurę ALFA. 13. Konstruujemy okrąg, którego środkiem jest punkt przecięcia symetralnych a promieniem odległość od punktu przecięcia symetralnych do środka okręgu wpisanego w figurę ALFA. Zaznaczamy punkty przecięcia się pozostałych dwóch symetralnych ze skonstuowanym okręgiem. 91
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 14. Punkty te są środkami kolejnych dwóch okręgów, które wpisujemy w okrąg wpisany w figurę ALFA. Zaznaczamy punkty styczności tych okręgów. 15. W skonstruowane okręgi można wpisywać wiele kolejnych figur otrzymując ciekawe wzory. Takim przykładem jest figura BETA. Aby ją wpisać w ten okrąg, należy wykonać szereg czynności. Na początku łączymy ze sobą punkty styczności okręgu i figury ALFA z punktem styczności dwóch okręgów. Konstruujemy okrąg, którego środkiem jest jeden z końców narysowanego odcinka a promieniem cały odcinek. Analogicznie konstruujemy drugi okrąg. 9
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 16. Jeden z punktów przecięcia powstałych dwóch okręgów leży na okręgu wpisanym w figurę ALFA. Ten punkt łączymy z dwoma punktami stycznymi, otrzymując trójkąt równoboczny. Wyznaczamy środki tych odcinków. 17. Konstruujemy okrąg, którego środkiem jest jeden z punktów styczności a promieniem bok trójkąta. 93
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 18. Wymazujemy fragment koła zostawiając łuk łączący dwa wierzchołki trójkąta, różne od środka okręgu. 19. Analogicznie konstruujemy następne dwa łuki. Fragmenty zaburzające ogólny widok wymazujemy. 94
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 0. Konstruujemy okrąg, którego środkiem jest jeden z końców początkowego odcinka a promieniem odległość między tym punktem a punktem przecięcia się symetralnej z figurą BETA. 1. Okrąg ten przecina się z bokami trójkąta. Jeden z tych punktów przecięcia jest środkiem kolejnego okręgu. Promieniem będzie odległość tego punktu od jednego z końców początkowego odcinka. 95
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka. Punkt przecięcia się tych dwóch okręgów wypada na boku trójkąta. Będzie to środek trzeciego okręgu, którego promieniem będzie odległość tego punktu od środka pierwszego okręgu. 3. Fragmenty okręgów wymazujemy, zostawiając łuki łączące środki tych okręgów. 96
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 4. Wszystkie te czynności powtarzamy analogicznie przy dwóch kolejnych wierzchołkach trójkąta. 5. Od początkowego odcinka podzielonego na 3 części prowadzimy 4 prostopadłe do tego odcinka. 97
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 6. Tak wygląda efekt naszej konstrukcji: 98
MASWERKI GOTYCKIE Maria Adamiuk, Diana Drobiecka 99
Matematyka w gotyku Ślepe okno gotyckie w Malborku Bartłomiej Zubrzycki Maciej Górczak 011-05-0 100
Etap pierwszy 1. Tworzymy trójkąt równoboczny ABC o boku 4a.. Po otrzymaniu trójkąta ABC zaczynamy tworzyć ostrołuk. 3. Najpierw rysujemy łuki o promieniu 4a tworzące ostrołuk. 4. Kreślimy je z punktów A i B. 5. Po utworzeniu ich dostajemy zarys okna gotyckiego. 101
Etap drugi 6. Następnie zajmujemy się tworzeniem ostrołuków bocznych. 7. Musimy zakreślić łuki ponownie, o promieniu 4a, których środki są oddalone o a od punktów A i B. 8. Otrzymujemy rysunek jak powyżej. 10
Etap trzeci A -a a a B 9. Teraz zajmiemy się utworzeniem dwóch półokręgów na dole okna. 10. Znając wszystkie poprzednie czynności, widzimy, że wystarczy tylko utworzyć półokręgi o środkach w punktach a i a oraz promieniu a. 11. Otrzymujemy powyższy rysunek. 103
Etap czwarty 1. Teraz naszym zadaniem jest wpisanie okręgu między boczne ostrołuki. 13. Po dokładnych obliczeniach otrzymujemy promień tego okręgu, który wynosi 3 a. 4 14. Dowód: 16a + 8ar + r (16a 8ar + r ) = 16a 4a 16a + 8ar + r 16a + 8ar r = 1a 16ar = 1a 16 r = 1a 1 3 r = a = 16 4 a 104
Etap piąty A 15. W okrąg o promieniu równym ¾a wpisujemy cztery styczne do siebie okręgi. 16. Tworzą one czteroliść, pokazany na następnej stronie. Promień jednego elementu tworzącego ten czteroliść wynosi: B 105
R r r R = r + 3 a = r(1 + 4 r 3 a = r + r 4 ) Dowód: r 3 = a( 4 1) 106
Etap szósty 17. Teraz utworzymy czteroliść. 18. Usuwamy wycinki koła o promieniu r zawarte w kwadracie o boku r. 19. Otrzymujemy czteroliść zawarty w okręgu. 107
Etap siódmy 0. Teraz tworzymy czteroliście wpisane w półokręgi przy podstawie naszego maswerku. 1. Aby je utworzyć, musimy znać promień lub średnicę mniejszych okręgów tworzących czteroliść. Promień jednego elementu czteroliścia wynosi:, co możemy obliczyć z proporcji. 108
. Dowód: r 3 4 a ( 3 4 a 1 ) = r a ( 1) r = a 109
Projekt Gotyckiego Maswerku z Zamku w Malborku Malbork Castle Gothic Tracery Project Jan Jędryszek i Miłosz Stępkowski 110
W ramach projektu traktującego o analizie konstrukcji geometrycznych, na podstawie których budowane były maswerki gotyckie, mieliśmy za zadanie stworzyć taką konstrukcję: Oto przebieg konstrukcji: 1. Zauważyliśmy, że ostrołuk, który jest bazą tego maswerku, jest opisany na kwadracie. Przyjęliśmy, iż miarą jego boku jest 1 jednostek.. Następnie korzystając z narzędzi programu C.a.R znajdujemy środek górnego boku. 111
3. Prowadzimy do niego dwa odcinki z dolnych wierzchołków kwadratu. 4. Później wyznaczamy dwa punkty na prostej, powstałej z przedłużenia odcinka. Mają one być w takiej samej odległości od środka dolnego boku. 5. Następnie z tych punktów prowadzimy odcinki do środka górnego boku kwadratu oraz ze środka dolnego boku także do środka górnego. 6. Aby dowiedzieć się, gdzie leżą te punkty, ułożyliśmy równanie. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa. X- jest niewiadomą i określa odległość między tymi punktami a najbliższymi dolnymi wierzchołkami kwadratu. Przyjmujemy, że a =. 11
y = z = z = 6a + 6a + x ( ) 45a 45a 9a 9a = 6x x = 1.5a ( 6a) + ( 3a) ( 3a + x) + ( 6a) x = + 6ax + x + 6ax + x = 6ax 36a = 45a = + 1ax + = ( 6a + x) = 36a 45a x + 1ax + + 6ax + x x 7. Tworzymy okręgi o środkach w wyznaczonych punktach na zewnątrz kwadratu. Przecinają się one w środku górnego boku kwadratu. Promień tych okręgów ma mieć 15 jednostek. 113
8. Otrzymujemy nasz ostrołuk: 9. Następnie na podstawie tego łuku rysujemy półokrąg o promieniu i środku w środku podstawy. 114
10. W mały półokrąg, w dolnym środku maswerku wpisujemy dwa mniejsze półokręgi o średnicy równej promieniowi dużego półokręgu. 115
11. Następnie w punkcie styczności dwóch mniejszych okręgów wpisujemy okrąg o takim samym promieniu, co poprzednie dwa mniejsze. 1. Z każdego punktu przecięcia tego środkowego okręgu z podstawą prowadzimy duży okrąg o promieniu równym odległości tego punktu od dalszego z łuków bocznych maswerku. 116
13. Następnie chcemy zbudować wewnętrzne boczne ostrołuki. Obliczamy środki potrzebnych okręgów. Są one położone w odległości 3 jednostek od głównej ściany maswerku. 14. Po zakreśleniu ostrołuków bocznych zabieramy się za wpisywanie figur ozdobnych w ostrołuki boczne. 117
15. Na podstawie bocznych ostrołuków rysujemy dwa okręgi o promieniu 1 (tak jak na rysunku). 118
16. Teraz możemy się poczuć jak prawdziwi średniowieczni architekci zamiast obliczać szczegółowo, jak wpisać okrąg styczny do poprzednich dwóch okręgów, rysujemy go na oko. Dzisiaj wiemy, ze promień tego okręgu wynosi 4 3 jednostki. 17. Następnie zabieramy się do budowania głównego okręgu, który będzie naszą rozetą. Wyznaczamy tu okrąg, którego środek jest wierzchołkiem już wymazanego trójkąta. Położenie tego punktu wynika z poprzednich obliczeń. 119
18. Gdy narysujemy taki sam okrąg po drugiej stronie ostrołuku, górny punkt przecięcia obu okręgów będzie środkiem naszej rozety. 19. Oto gotowa baza rozety do wypełnienia. 10
0. Teraz czeka nas najbardziej fascynujący punkt wpisywanie ozdób w rozetę. 1. Zaczynamy od tego, że prowadzimy prostą prostopadłą do podstawy, przechodzącą przez środek okręgu. Następnie dzielimy okrąg na 5 części po 7 każda. 11
. Ponownie dzielimy każdą z tych 5 części na połowę, co oznacza, ze każdy 7 kawałek teraz składa się z dwóch 36 części. 3. Kończąc, znowu możemy wczuć się w rolę średniowiecznych architektów. Wpisujemy 5 okręgów, których środki leżą na odcinkach dzielących okrąg na części po 7. Ich promień musi być na tyle mały, aby zmieściły się one miedzy odcinkami dzielącymi poprzednie części na połowy. 4. Musimy improwizować i wpisać okręgi najładniej jak się da, tak jak architekci z Malborka. 1
5. Na koniec wymazujemy środkowe części okręgów do punktów styczności. Powstaje wtedy figura przypominająca kwiat. Wszystkie zbędne linie wymazujemy, by otrzymać czysty obraz. 13
6. Efekt końcowy konstrukcji naszego wspaniałego maswerku. 14
Gimnazjum Przymierza Rodzin im. Jana Pawła II ul. Grzegorzewskiej 10 0-778 Warszawa tel. () 641 5 09, 641 36 50 www.gim.sprjp.edu.pl 15