Badanie drgań struny Marcin Polkowski 14 kwietnia 008 treszczenie Celem ćwiczenia było badanie efektu drgań struny oraz zbadanie zależności częstotliwości tych drgań od długości i naciągu struny. pis treści 1 Wstęp teoretyczny Pomiary.1 Badanieczęstotliwościharmonicznych,wyznaczeniegęstości.... Zależnośćczęstotliwościoddługości... 3.3 Zależnośćczęstotliwościodsiłynapinającej... 4 3 Podsumowanie 5 4 Bibliografia 5 pis rysunków 1 Częstotliwościharmoniczne... 3 Zależnośćczęstotliwościoddługościstruny... 4 3 Zależnośćczęstotliwościodsiłynaciągustruny... 5 1
1 Wstępteoretyczny W opisie zastosowano jednolite oznaczenia następujących wielkości: l-długośćstruny D-grubośćstruny λ i -długośćfalidlai-tejharmonicznej ν i -częstotliwośći-tejharmonicznej u-prędkośćfaliwstrunie -siłanapinającastrunę ρ l -gęstośćliniowastruny ρ V -gęstośćobjętościowastruny Prędkość rozchodzenia się fali poprzecznej w strunie wynosi: u= =λ 0 ν 0 (1) ρ l Długość fali w przypadku zamocowania struny na obu końcach wynosi: l= λ 0 Korzystając z powyższych wzorów możemy zapisać wyrażenie na częstotliwość fali podstawowej: ν 0 = 1 l πd () (3) i i-tej harmonicznej: Pomiary ν i = i+1 l πd (4).1 Badanie częstotliwości harmonicznych, wyznaczenie gęstości W pierwszej kolejności zmierzono częstotliwości harmoniczne struny o długości i szerokości naciągniętą z siłą(zawieszono na szali masę 7 Kg): l=0,704±0,001m D=0,00035±0,00001m =(0,75+7)g=76,03±0,10N Uzyskane pomiary częstotliwości dla kolejnych harmonicznych przedstawiono na wykresie 1. Do pomiarów dopasowano prostą f(x)=ax+b uzyskując następujące parametry dopasowania: a=1,76±4,47 b=19,67±8,37
Cz stotliwo ci harmoniczne 800Hz cz stotliwo 600Hz 400Hz 00Hz 0 1 3 i-ta harmoniczna Rysunek 1: Częstotliwości harmoniczne Zgodnie z oczekiwaniami obydwa parametru są w granicach błędu ze sobą zgodne. Oznacza to, że różnica między częstotliwościami kolejnych składowych harmonicznych jest stała co jest zgodne z teorią. Korzystajączewzoru(4)wyznaczonowyrażenienaρ v : ρ V = ( i +i+1 ) D l πν i (5) Obliczono gęstości objętościowe struny dla czterech zmierzonych częstotliwości harmonicznych. Po uśrednieniu otrzymano: ρ V =8185±93 kg m 3. Zależność częstotliwości od długości Nie zmieniając naciągu struny zmierzono częstotliwość fali podstawowej dla pięciu długości struny. Uzyskane wyniki przestawiono na wykresie. Do punktów pomiarowych dopasowano krzywą: f(x)=ax b uzyskując następujące wartości parametrów dopasowania: a=154,88±1,87 b= 1,016±0,007 Oczekiwano zgodności ze wzorem(3), który można przekształcić do postaci: ν 0 (l)=l 1 1 3 πd
Zale nosc d ugo c - cz stotliwo c 1kHz 800Hz Cz stotliwosc 600Hz 400Hz 00Hz 100mm 00mm 300mm 400mm 500mm 600mm 700mm D ugo c struny Rysunek : Zależność częstotliwości od długości struny wartość parametru b jest z dokładnością do 3 niepewności zgodna z 1 występującą we wzorze. Wartość wyrażenia 1 156,0 πd. Widać, że jest ona zgodna z wartością parametru a dopasowania krzywej..3 Zależność częstotliwości od siły napinającej Dla ustalonej długości struny l = 0, 704 m zmierzono częstotliwość fali podstawowej dla sześciu sił naciągu struny. Uzyskane wyniki przestawiono na wykresie 3. Do punktów pomiarowych dopasowano krzywą: f(x)=ax b uzyskując następujące wartości parametrów dopasowania: a=4,34±1,09 b=0,507±0,011 Oczekiwano zgodności ze wzorem(3), który można przekształcić do postaci: ν 0 ()= 1 1 1 l πd Jakwidaćparametrbjestzgodnyzdokładnościądojednejniepewnościpomiarowejzoczekiwanąwartością 1.Wartość wyrażenia 1 1 l πd 4 ρ 5,45 V 4
Cz stotliwosc 40Hz 0Hz 00Hz 180Hz 160Hz 140Hz 10Hz 100Hz 80Hz 60Hz Zale nosc si a naci gu - cz stotliwo c 0N 10N 0N 30N 40N 50N 60N 70N 80N i a naci gu struny Rysunek 3: Zależność częstotliwości od siły naciągu struny jest zgodna z parametrem a dopasowania krzywej. 3 Podsumowanie Badano częstotliwości drgań harmonicznych struny dla różnych wartości długości i naciągu. Analizując otrzymane wyniki stwierdzono, że: różnica częstotliwości między kolejnymi harmonicznymi jest zgodnie z oczekiwaniami stała częstotliwośćdrgańpodstawowychzależyoddługościstrunyjak 1 l częstotliwośćdrgańpodstawowychzależyodsiłynaciągustrunyjak. Negatywny wpływ na dokładności wykonanych pomiarów miała ograniczona możliwość precyzyjnej kontroli częstotliwości na generatorze za pomocą małego pokrętła. 4 Bibliografia Do sporządzenia niniejszego opisu wykorzystane zostały wiadomości z następujących źródeł: Instrukcja do ćwiczenia John R. Tylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, Warszawa 1995 Notatki własne 5