Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel matematyki w Zespole Szkół Ekonomiczno-Administracyjnych w Bydgoszczy Ewa Ludwikowska-nauczyciel konsultant w Kujawsko-Pomorskim Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy oraz nauczyciel matematyki w VI Liceum Ogólnokształcącym nr 6 w Bydgoszczy Zadanie 1 Rozwiąż nierówność: Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń x +, x i określamy ich znaki x+ = 0, x = 0 x = x = Rozpatrujemy trzy przypadki: 1º Wówczas: Zatem nierówność przyjmuje postać: Czyli Uwzględniając założenie ( ) otrzymujemy, że ( ) º Wówczas:, Zatem nierówność przyjmuje postać:
Uwzględniając założenie otrzymujemy, że º Wówczas: Zatem nierówność przyjmuje postać: Uwzględniając założenie stwierdzamy, że dana nierówność nie ma w tym przedziale rozwiązania Wyznaczamy sumę wszystkich rozwiązań i otrzymujemy, że ( ) Odp Rozwiązaniem nierówności jest ( ) Zadanie Udowodnij, że dla oraz spełniona jest równość: Założenie: Teza: oraz Dowód: Korzystamy z twierdzenia o zamianie podstaw logarytmu i z twierdzenia o logarytmie potęgi, a następnie korzystamy ze wzoru na sumę częściową ciągu arytmetycznego L= cnd
Zadanie Punkty gdzie są kolejnymi wierzchołkami czworokąta Oblicz wartość, dla której w czworokąt można wpisać okrąg W czworokąt można wpisać okrąg, jeśli sumy przeciwległych boków są równe Obliczamy długości boków czworokąta ABCD korzystając ze wzoru na długość odcinka: Jeśli to Zatem: Zapisujemy zależność wynikającą z faktu, że w ten czworokąt możemy wpisać okrąg: Ponieważ, zatem Czyli: Podnosimy równanie obustronnie do kwadratu Rozwiązujemy otrzymane równanie:
Sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązanie spełnia równanie ( ) ( ) ( ) ( ) L = P Zatem jest rozwiązaniem otrzymanego równania Odp ( ) Zadanie 4 Napisz wzór i naszkicuj wykres funkcji g( m) h m wiedząc, że funkcja y g(m) każdej liczbie m rzeczywistej m przyporządkowuje najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f ( x) x 4x m 9 w przedziale 1; 4 Obliczamy odciętą wierzchołka funkcji kwadratowej p, p 1; Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc funkcja kwadratowa osiąga najmniejszą wartość dla argumentu x 1 (jest bardziej oddalony od wierzchołka paraboli) Obliczamy tę najmniejszą wartość funkcji 1 m g m f 4= Otrzymujemy wzór funkcji Przekształcamy wzór funkcji m 4 h m m m 4 ( m ) h m m m m
Następnie rysujemy wykres funkcji h (m) wykonując odpowiednie przekształcenia Odp: Zadanie 5 Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy Płaszczyzna ta przecina trzy krawędzie boczne i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem Zaznacz na rysunku ten przekrój i oblicz jego pole Zauważmy, że szukany przekrój jest pięciokątem, który możemy podzielić na trapez równoramienny MNPR i trójkąt równoramienny RPL Pole szukanego przekroju jest sumą pól trapezu MNPR oraz trójkąta RPL Oznaczenia na rysunku a krawędź podstawy α kąt nachylenia otrzymanego przekroju do płaszczyzny podstawy
Dane: a = 6cm α = 60º Obliczamy długość odcinka MN oraz BK korzystając własności trójkątów prostokątnych równoramiennych: Odcinek MN jest przekątną kwadratu o boku Zatem Ponadto Obliczamy długość odcinka KL korzystając z funkcji trygonometrycznych dla trójkąta DKL:, stąd Obliczamy wysokość trapezu SK korzystając z funkcji trygonometrycznych dla trójkąta KTS: Punkt T jest środkiem przekątnej BD, zatem Ponadto, więc, mamy zatem, skąd Obliczamy pole P 1 trapezu MNPR: = = 7
Obliczamy pole P trójkąta RPL: Zatem P = 7 + 6 = 6 Odp: Pole powierzchni przekroju graniastosłupa jest równe 6cm Zadanie 6 Dany jest ciąg określony rekurencyjnie { Wyznacz liczby tak, aby ciąg był ciągiem arytmetycznym, natomiast ciąg był ciągiem geometrycznym Obliczamy kolejne wyrazy ciągu korzystając ze wzoru rekurencyjnego a 1 a 4 ; a a 6 4 5 ; a a 9 5 7 1 a 4 a 1 7 8 ; a 5 a 15 8 10 ; 5 4 a 7 6 a6 18 10 11 6 5 4 Ciąg 11,4 x,7 y jest arytmetyczny, więc zapisujemy zależność między kolejnymi wyrazami tego ciągu: Ciąg 11 7 y 4 x,4x 4, 0 y jest geometryczny, zatem 4x 4 0 y Rozwiązujemy otrzymany układ równań 11 7 y 4 x 4x 4 (0 y) 9 49 Otrzymujemy, lub x, y Jednak z warunków zadania x, y C, zatem 8 8 wybieramy parę liczb (x,y) spełniającą ten warunek Odp: x, y
Zadanie 7 Rozwiąż równanie: w przedziale Mamy rozwiązać równanie w przedziale ; Stosujemy wzór i otrzymujemy równanie Przekształcamy równanie do postaci sin x cos x cos x 0, następnie cos x (sin x ) 0 Otrzymany iloczyn przyjmuje wartość równą zero wtedy i tylko wtedy, gdy cos x 0 lub sin x 0, zatem cos x 0 lub sin x lub sin x Wyznaczamy rozwiązania tych równań w przedziale ; : cos x 0 dla x, x, x 5 4 sin x dla x, x oraz x, x sin x dla x, x Odp: 5 4 x,,,,,,,, Zadanie 8 Wykaż, że jeżeli są kątami wewnętrznymi trójkąta i, to Założenie: są kątami wewnętrznymi trójkąta, Teza: Dowód: Stosujemy twierdzenie sinusów do wyznaczenia oraz,, Korzystamy z założenia do wyznaczenia
i otrzymujemy: Stosujemy twierdzenie cosinusów do wyznaczenia Skąd, po podstawieniu za otrzymujemy ( ) Korzystamy ze związku do wyznaczenia : Stosujemy związek skąd Zatem Skąd wnioskujemy o prawdziwości tezy: cnd Zadanie 9 Wykres funkcji wykładniczej przekształcono i otrzymano wykres funkcji (rys) Napisz wzór funkcji a następnie zaznacz na płaszczyźnie zbiór [ ] Wyznaczamy wzór funkcji: Stosujemy definicję logarytmu i doprowadzamy liczbę logarytmowaną do postaci: Stosujemy warunki, które muszą spełniać jednocześnie podstawa logarytmu i liczba logarytmowana, aby wartości logarytmu były ujemne- zapisujemy warunki, które spełniają punkty płaszczyzny: { lub () {
Zaznaczamy na płaszczyźnie zbiór A: Zadanie 10 W okrąg wpisano trapez równoramienny którego podstawy mają długość Styczna do okręgu w punkcie przecina prostą w punkcie (rys) Wiedząc, że oblicz promień okręgu opisanego na trapezie Korzystamy z twierdzenia o odcinkach stycznych i siecznych: Niech Wówczas Zatem otrzymujemy równanie sprzeczne z założeniem
Czyli = 10 Obliczamy długość odcinka DF- wysokości trapezu ABCD = = = 1 Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta EFD: Obliczamy pole trójkąta ABD: = Obliczamy długość ramienia AD trapezu korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AFD: Obliczamy długość odcinka BD korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AFD:, gdzie = Trójkąt ABD jest wpisany w okrąg o szukanym promieniu Zatem zachodzi zależność: = Odp Promień okręgu opisanego na trapezie ABCD ma długość
Zadanie 11 Pięć ponumerowanych kul rozmieszczamy losowo w czterech ponumerowanych szufladach Oblicz ile jest możliwości takiego rozmieszczenia kul, aby dokładnie dwie szuflady były puste Obliczamy ile jest możliwości wyboru szuflad spośród czterech, które będą zajęte ( lub puste) 4 4!!!! 4 6!1 Obliczamy liczbę możliwości umieszczenia 5 kul w dwóch szufladach 5, od tej liczby musimy odjąć dwie sytuacje, w których wszystkie 5 kul znajdą się dokładnie w jednej z wybranych dwóch szuflad Stąd liczba wszystkich możliwości umieszczenia pięciu ponumerowanych kul w dokładnie dwóch szufladach jest równa 5 0 Obliczamy liczbę możliwości rozmieszczenia kul zgodnie z warunkami zadania: 4 5 6 0 180 Odp: Jest 180 możliwości Zadanie 1 Dla jakich wartości parametru reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian jest niewiększa od? Korzystamy z twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu i wnioskujemy, że Obliczamy Otrzymujemy więc nierówność dla przez dwumian Przekształcamy nierówność do postaci równoważną, a następnie rozwiązujemy nierówność I otrzymujemy ostatecznie ( Odp: (