Temat: Logarytmy, decybele, poziomy audio. W praktyce radiotechnicznej okazało się, że określając względne wielkości wzmocnienia, lub poziomu transmisji, wygodniej jest używać logarytmów stosunku mocy lub napięć, niż samych stosunków tych wielkości.. Logarytmy. Logarytmowanie jest to działanie polegające na wyznaczaniu wykładnika potęgi do której należy podnieść podstawę logarytmu aby otrzymać liczbę logarytmowaną. Szukany wykładnik nazywany jest logarytmem. jeśli A B = C to B = log A C gdzie: C liczba logarytmowana A podstawa logarytmu B wykładnik potęgi Logarytm dziesiętny - to po prostu wykładnik potęgi do której należy podnieść liczbę 0 aby uzyskać liczbę logarytmowaną lg a = x a = 0 x czyli log 0 00=2 bo 0 2 = 00 logarytm dziesiętny log 0 piszemy jako lg np. lg000 = 3 bo 0 3 = 000 lg2 = 0,3 bo 0 0,3 = 2 lg0,000 = -4 bo 0-4 = 0,000 Właściwości logarytmów. lg (a b) = lg a + lg b lg a n = lg (a a a... a) = lg a + lg a + lg a +... lg a = n lg a A także: lg a/b = lg (a b - ) = lg a - lg b. Każdą liczbę można zapisać w postaci iloczynu potęgowego liczby zawartej pomiędzy a 0, oraz odpowiedniej potęgi liczby 0. rzybliżone tablice logarytmiczne jednocyfrowe do podręcznego użytku... roponuję zapamiętanie przybliżonych wartości logarytmów jedynie dwóch liczb: lg 2 = 0,300 (ok. 0,3) lg 3 = 0,477 Sami łatwo obliczymy stąd, że: lg 4 = lg 2 2 = lg 2+ lg 2=2 lg 2 = 0,6 lg 8 = lg 2 2 2 = 3 lg 2 = 0,9 lg 5 = lg (0 : 2) = lg 0 - lg2 = - 0,300 = 0,699 (ok. 0,7) lg 2,5 = lg (5 : 2) = 0,699-0,30 = 0,398 (ok. 0,4) lg,5 = lg (3 : 2) = 0,477-0,300 = 0,76 lg 2 = lg 2 /2 = /2 lg2 = 0,5 lg 6 = lg (2 3) = 0,300 + 0,477 = 0,7780 lg 6 = lg 4 2 = 2 lg 4 =,2040 [inaczej: lg 6 = lg (2 8) = 0,300 + 0,9030 =,2040] jeśli tak, to: lg,6 = lg (6 : 0) =,2040 - = 0,2040 lg 9 = lg 3 2 = 2 lg 3 = 0,9542
2. Skala logarytmiczna W zagadnieniach związanych z dźwiękiem najczęściej wyrażaną w mierze logarytmicznej wielkością jest częstotliwość. rzeanalizujmy jak skonstruowana jest skala logarytmiczna. Mając przed sobą kartkę papieru w kratkę przyjmijmy, że naszą podstawową jednostką będzie dziesięć kratek. W takim układzie, co dziesięć kratek na naszym wykresie będziemy mieć przyrost częstotliwości o jeden rząd wielkości.,0,00,000 itd. UWAGA zaczynamy od Hz a nie od zera (w mierze logarytmicznej nie ma zera). Tak więc po dziesięciu kratkach będziemy mieli 0 Hz, po dwudziestu już 00 Hz a po trzydziestu kratkach 000 Hz itd. Skąd to się bierze? oliczmy logarytm dziesiętny z Hz. Wyjdzie 0 jesteśmy na początku naszego wykresu. Logarytm z 0Hz to działka (w naszym przypadku 0 kratek). Logarytm ze 00 Hz to 2działki 20 kratek itd. odobnie liczymy dla mniejszych wartości. I tak np. 2 Hz to 0,3 całej podstawowej jednostki, czyli 3 kratki, a 5 Hz to około 7 kratek itd. W mierze logarytmicznej przedstawia się wszelkie charakterystyki częstotliwościowe. Gdyby sporządzić wykres zależności jakiejś wielkości od częstotliwości w zakresie akustycznym (20 Hz 20000 Hz) w mierze liniowej przyjmując, że jedna kratka to 20 Hz wykres miałby 5 metrów długości (raczej mało wygodne). W mierze logarytmicznej przyjmując jako podstawową działkę 0 kratek wykres będzie miał jakieś 5 cm. 2
3. Miary poziomu mocy i napięcia. Urządzenia elektroakustyczne są ściśle związane z akustyką, z dźwiękiem i z fizjologią słyszenia. Dlatego właściwości tych urządzeń są określane za pomocą parametrów wyrażanych w jednostkach miar stosowanych w akustyce. Na przykład głośnik, zasilany przez akustyczny wzmacniacz mocy, wypromieniowuje moc akustyczną, wywołując w otaczającej przestrzeni odpowiednie natężenie dźwięku, ciśnienie akustyczne itp. Wielkości te ze względu na sposób odczuwania ich przez ucho ludzkie, są wyrażane w mierze logarytmicznej.stąd parametry niektórych urządzeń, takie jak: napięcie wejściowe lub wyjściowe, wzmocnienie, zmiana wzmocnienia w funkcji częstotliwości, odstęp sygnału użytecznego od zakłóceń itp. są również określane w mierze logarytmicznej. W praktyce często interesuje nas nie tyle poziom mocy, a raczej wzmocnienie lub osłabienie mocy. rzykładowo moc sygnału może być wzmacniana dwukrotnie, pięćsetkrotnie, tysiąckrotnie, ale też może być osłabiana na przykład dwunastokrotnie, czy milionkrotnie. Wzmocnienie mocy równe dwa można zapisać po prostu: 2x (czytaj dwa razy). odobnie można zapisać 500x czy 000x. Analogicznie dwunastokrotne osłabienie można zapisać: X, podobnie X 2 000 Znów trzeba zapisywać mnóstwo zer. Dla wyeliminowania tych zer od dawna stosuje się zapis logarytmiczny, czyli związany z potęgowaniem. Nie jest to żadna nowa wielkość: liczba wyrażająca wzmocnienie (osłabienie), czyli stosunek wartości końcowej do początkowej zostaje po prostu zlogarytmowana (logarytm o podstawie 0). Otrzymana liczba wyraża wzmocnienie (osłabienie) w tak zwanych belach, oznaczanych literą [B]. Jednostką podstawową tej miary jest bel [B]. W belach określa się logarytm stosunku dwóch mocy. rzykładowo: wzmocnienie mocy 2 razy to zmiana o log2 = 0,3003B wzmocnienie mocy 500 razy to zmiana o log500 = 2,69897B wzmocnienie mocy 000 razy to zmiana o log000 = 3B osłabienie mocy 2 razy (wzmocnienie /2 razy) to zmiana o log(/2) = -,0798B osłabienie mocy milion razy to zmiana o log(/000000) = -6B Względny poziom mocy w belach: poziom [B] = lg 2 [B] dziesięciokrotnie mniejszą jednostką jest decybel [db] Względny poziom mocy w decybelach: poziom [db] = 0lg 2 [db] 3
U a ponieważ = I U = U = U 2 R R to dla napięcia względny poziom napięcia w decybelach: poziom [db] = 20 lg U 2 [db] U gdzie: U,U 2 porównywane wartości skuteczne napięć. Stosunek dwóch mocy lub napięć jest miarą względną, która nie precyzuje, o jaką wartość mocy lub napięcia chodzi. Aby podać bezwzględną wartość tych wielkości, należy je porównać z odpowiednią jednostką odniesienia. Za taką jednostkę przyjęto wartość mocy elektrycznej O równą mw wydzieloną na rezystancji R O = 600 omów. Stąd bezwzględny poziom mocy określa się następującą zależnością: L =0 lg X O = 0lg mw mw X [dbm] gdzie: L poziom mocy w dbm X - moc porównywana w mw, O - moc odniesienia mw. Jak widać, bel i decybel nie jest miarą ani mocy, ani napięcia, ani żadnej wielkości fizycznej. Jest to tylko sposób przedstawienia stosunku dwóch wartości. Decybele znakomicie nadają się do wyrażania na przykład wzmocnienia wzmacniacza, albo stosunku mocy. Ale w zasadzie, bez dodatkowej umowy, nie można wyrażać w decybelach ani mocy, ani napięcia. Miara logarytmiczna jest jednak bardzo wygodna i dobrze byłoby wyrażać w ten sposób także wartości mocy i napięcia. Żeby to zrobić, wystarczy przyjąć jakiś punkt odniesienia, a potem, właśnie w decybelach, określać moc czy napięcie w stosunku do tej przyjętej wartości odniesienia. W elektroakustyce częściej operuje się napięciem odniesienia, które wynika z następującego przeliczenia: U O = 0 R0 = 0 3 600 = 0,7746 0,775 [V] gdzie: O - moc odniesienia mw = 0-3 [W] R O rezystancja odniesienia 600 Ω Zatem bezwzględny poziom napięcia oblicza się ze wzoru : L = 20 lg U U X = 20 lg O U X 0,775 V V [dbu] gdzie: L poziom napicia w dbu U X - porównywana wartość napięcia w V U O zaokrąglona wartość napięcia odniesienia U O = 0,7746 V 4
Tablica poziomów w decybelach - wzmacnianie db 6 2 8 20 26 34 40 46 54 60 80 Stosunek 2 4 8 0 20 50 00 200 500 000 0000 napięć Tablica poziomów w decybelach - tłumienie db -6-2 -8-20 -26-34 -40-46 -54-60 -80 Stosunek :2 :4 :8 :0 :20 :50 :00 :200 :500 :000 :0000 napięć Wartości w kolorze niebieskim są łatwe do zapamiętania i przydatne w praktyce. 4. Wzmocnienie napięciowe Wzmocnienie napięciowe [db] W U = 20 lg U 2 / U [db] Stosunek U 2 /U - zwany jest współczynnikiem wzmocnienia napięciowego k U Warto zauważyć, że gdy jest on większy od jedności k U > to logarytm tego stosunku jest dodatni, mamy wtedy do czynienia ze wzmacnianiem sygnału. Wartość decybeli jest też dodatnia. Natomiast, gdy k U < to logarytm wzmocnienia jest ujemny i sygnał jest zmniejszany/tłumiony/. Wartość decybeli jest ujemna. Sumowanie poziomów w decybelach wykonuje się algebraicznie z uwzględnieniem znaków. Wzmocnienia się mnoży. stosunkowi U 2 /U równemu 0-3 odpowiada (-3) 20 = - 60 db stosunkowi U 2 /U równemu 0-2 odpowiada (-2) 20 = - 40 db stosunkowi U 2 /U równemu 0 - odpowiada (-) 20 = - 20 db stosunkowi U 2 /U równemu 0 0 odpowiada (0) 20 = 0 db stosunkowi U 2 /U równemu 0 odpowiada () 20 = 20 db stosunkowi U 2 /U równemu 0 2 odpowiada (2) 20 = 40 db 5. Wzmocnienie mocy Wzmocnienie mocy [db] W =0 lg 2 / [db] 5
Stosunek 2 / - zwany jest współczynnikiem wzmocnienia mocy k 6. odsumowanie. Dla celów praktycznych wystarczy zapamiętać, że aby wzmocnienie napięciowe wyrazić w decybelach korzystamy z wzoru: W U [db] = 20 log k U Gdy natomiast na decybele przeliczamy wzmocnienie (lub osłabienie) mocy korzystamy z wzoru: W [db] = 0 log k gdzie: k U - wzmocnienie napięciowe, k - wzmocnienie mocy. W praktyce prawie zawsze chodzi o przeliczenie na decybele wzmocnienia napięciowego, dlatego warto zapamiętać kilka typowych wartości i pewne proste reguły. Dla napięć wzmocnienie 000 razy to +60dB, 00 razy to +40dB 0 razy to +20dB 2 razy to +6dB wzmocnienie równe to 0dB 0, to -20dB 0,0 to -40dB,4 czyli 2 to +3dB bo 20lg 2 =20 2 0,3=20 0,5=3dB 0,707 czyli to -3dB 2 2 razy to 6dB 0,5 razy to -6dB 3 razy to 9,5dB; w przybliżeniu 0dB 4 to 2dB bo (4=2 2) 5 to 4dB 7 to 7dB 8 to 8dB onieważ mnożenie liczb odpowiada dodawaniu logarytmów, również przy dodawaniu decybeli trzeba pamiętać, że chodzi o mnożenie wzmocnienia wyrażonego w "razach" stąd np.: 20 razy to 2 0=6dB+20dB = 26dB 50 razy to 5 0=4dB+20dB = 34dB 40 razy to,4 00=3dB+40dB = 43dB 6
7. rzykłady obliczeń rzykład : Wzmocnienie wynosi 26dB. ytanie: Ile razy zostanie wzmocniony sygnał na wyjściu U 2? Odp. 26dB = 20dB+6dB a więc 0 krotność x 2 krotność = 20 krotność rzykład 2 : Z mikrofonu otrzymujemy sygnał o wartości 0,775 mv. Ile decybeli należy wzmocnić na wejściu aby uzyskać liniowy poziom +6 dbu? Odp. onieważ +6dBu =,55 V, więc sygnał mikrofonowy należy wzmocnić 2000 razy, czyli 60 db + 6 db rzykład 3 : Wzmocnienie k = 50 Ile to jest decybeli? Odp. 50 = 0,5 00 czyli licząc w decybelach - 6 db + 40 db = 34 db 7