Metrologia: obliczenia na liczbach przybliżonych. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie



Podobne dokumenty
Działania na liczbach przybliżonych. Janusz Sławiński

Niepewność pomiaru. Wynik pomiaru X jest znany z możliwa do określenia niepewnością. jest bledem bezwzględnym pomiaru

Temat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Zajęcia wprowadzające W-1 termin I temat: Sposób zapisu wyników pomiarów

Wprowadzenie do chemii seminarium 2

Technologie Informacyjne Wykład 4

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności statystycznych

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Pracownia Astronomiczna. Zapisywanie wyników pomiarów i niepewności Cyfry znaczące i zaokrąglanie Przenoszenie błędu

LABORATORIUM METROLOGII

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII

W zapisie pewnej liczby w systemie rzymskim dwa znaki zastąpiono. D CC LVI Uzasadnij, że liczba ta jest mniejsza od 850.

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =

Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)

I. Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania śródrocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki w klasie VII.

Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński

Uwagi o opracowaniu wyników pomiarów (Opracowanie: dr Anna Chachaj-Brekiesz, dr Katarzyna Makyła-Juzak)

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV

Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)

Metoda znak-moduł (ZM)

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV

Obliczenia w geodezyjnym układzie współrzędnych

Zasady obliczeń przybliżonych

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII

3. Podstawowe wiadomości z fizyki. Dr inż. Janusz Dębiński. Mechanika ogólna. Wykład 3. Podstawowe wiadomości z fizyki. Kalisz

Automatyka i pomiary wielkości fizykochemicznych. Instrukcja do ćwiczenia III. Pomiar natężenia przepływu za pomocą sondy poboru ciśnienia

Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów

ĆWICZENIE A. Poniżej podano informacje o liczbie sprzedanych biletów na. Dokument pochodzi ze strony

ĆWICZENIE 13 TEORIA BŁĘDÓW POMIAROWYCH

Wymagania edukacyjne z matematyki dla kl. VI

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Przykładowe zadania z działu: Pomiary, masa, ciężar, gęstość, ciśnienie, siła sprężystości

Lista działów i tematów

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza

Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów

Wprowadzania liczb. Aby uniknąć wprowadzania ułamka jako daty, należy poprzedzać ułamki cyfrą 0 (zero); np.: wpisać 0 1/2

Wprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej. Jacek Pawlyta

Informacja dla ucznia

LICZBY POWTÓRKA I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 III 25 IV Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E) III i IV

LABORATORIUM Z FIZYKI

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza

Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R.

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLAS 4-6 SP ROK SZKOLNY 2015/2016

Laboratorium Podstaw Pomiarów

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ. II. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI wg podstawy programowej z VIII 2008r.

MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI.

INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański

Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa VI - matematyka

WYMAGANIA EGZAMINACYJNE DLA KLASY IV WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE V. Temat lekcji Punkty z podstawy programowej z dnia 14 lutego 2017r.

Rozkład materiału nauczania z matematyki dla klasy V

Wykład 3 Miary i jednostki

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV

ZESTAW PYTAŃ SPRAWDZAJĄCYCH WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE UCZNIÓW KLAS III GIMNAZJUM.

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY

Wymagania z matematyki KLASA VII

Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z?

Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich

Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego

I V X L C D M. Przykłady liczb niewymiernych: 3; 2

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 8

MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY IV W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. II. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:

przybliżeniema Definicja

Metrologia: definicje i pojęcia podstawowe. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Dr inż. Paweł Fotowicz. Procedura obliczania niepewności pomiaru

WYMAGANIA EDUKAcYJNE Z MATEMATYKI W KL. 6 I SEMESTR. I. Liczby naturalne i ułamki. Na ocenę dopuszczającą uczeń:

KRYTERIA OCEN DLA KLASY VI. Zespół Szkolno-Przedszkolny nr 1

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY

lic. Monika Rogulska PLAN WYNIKOWY KLASY I GIMNAZJUM SPECJALNEGO PROGRAM: J. SKOWRON DKW / 99

Matematyka z plusem Klasa IV

Wymagania na poszczególne oceny szkolne w klasie V

Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych. Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil

Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe

Projektowanie systemów pomiarowych. 02 Dokładność pomiarów

OGÓLNE KRYTERIA OCENIANIA DLA KLASY IV

WYMAGANIA EDUKACYJNE z MATEMATYKI ucznia kl. VI

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie piątej

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5

Wymagania na poszczególne oceny szkolne

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział

EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 CZĘŚĆ 2. ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ

Wymagania na poszczególne oceny szkolne

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII

Matematyka, kl. 5. Konieczne umiejętności

Wymagania na poszczególne oceny szkolne

Transkrypt:

Metrologia: obliczenia na liczbach przybliżonych dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Cyfry znaczące reguły Kryłowa-Bradisa: Przy korzystaniu z przyrządów z podziałką przyjęto zasadę, że wartość najmniejszej działki skali odpowiada dokładności odczytania (tzw. uchybowi lub rozdzielczości ) przyrządu. Uchyb przyrządów z odczytem cyfrowym podawany jest przez producenta w dołączonej specyfikacji. Przy zapisywaniu wyników pomiaru, jak również w dalszych obliczeniach z zastosowaniem tych pomiarów obowiązuje zasada, że tylko ostatnia cyfra wyniku jest cyfrą niepewną. Tak więc wynik pomiaru masy za pomocą wagi o dokładności odczytu 1 g należy podać jako: 1000 g lub: 1,000 10 3 g, a nie: 1 kg. - 2 -

Cyfry znaczące: Zapis wyniku np. ważenia zależy od przyjętej jednostki pomiaru. Jeśli zważono masę 23 mg (z dokładnością do 0,1 mg), to wynik ten można zapisać jako: 23,0 mg 0,0230 g 0,0000230 kg Dla uniezależnienia postaci zapisu wyniku od przyjętej jednostki pomiaru (mg, g, kg), wprowadzono pojęcie cyfr znaczących. W analizie objętościowej błąd odczytu objętości wynosi przeciętnie ok. 0,1%. 0,1% oznacza różnicę (błąd) 1 jednostki na 1000 jednostek (w przybliżeniu również na 999 jednostek). Podanie wyniku z dokładnością odczytu do 0,1% - oznacza więc zapisanie go z rozdzielczością wynikającą z wielkości wyniku np. dla wyniku 2561 0,1% to 2,561, czyli wynik podajemy z czterema cyframi znaczącymi: 2561 ± 3 zaokrąglając tolerancję. - 3 -

Cyfry znaczące: Zera dziesiętne tuż po przecinku ułamka dziesiętnego nie są miejscami znaczącymi jeżeli liczbą przed przecinkiem jest 0! Przykład zapisów wyników pomiarów: 245 (trzy cyfry znaczące) 0,0245 (trzy cyfry znaczące) 0,00205000 (sześć - trzy cyfry znaczące) 1 (jedna cyfra znacząca) 10 (dwie lub jedna cyfra znacząca) 1,000 (cztery - jedna cyfra znacząca) - 4 -

Cyfry znaczące: Dla liczby np. 1100 pojawia się wątpliwość, czy ostatnie dwa zera są cyframi znaczącymi, czy też wynikają one z przyjętej jednostki pomiaru. W takiej sytuacji stosuje się zapis w postaci iloczynu potęgowego, przy czym pierwszy czynnik jest liczbą z zakresu: 1-10. Jeśli wynik ten zmierzono z dokładnością odczytu 1 jednostki, to podać należy go z dokładnością do czterech cyfr znaczących: 1,100 10 3, jeśli zaś z dokładnością do stu jednostek z dokładnością do dwóch cyfr znaczących: 1,1 10 3. Dla czterech cyfr znaczących również można zaznaczyć na końcu kropkę dziesiętną w postaci 1100.. - 5 -

Zaokrąglanie: Zaokrąglić, znaczy: usunąć zbędne cyfry znaczące, ale jednocześnie ostatnią pozostałą cyfrę pozostawić niezmienioną (gdy usuwane cyfry znaczące są mniejsze niż 5 ) lub powiększyć o 1 - gdy usuwane cyfry znaczące są większe lub równe 5. Prawdopodobieństwo, że trzeba będzie odrzucić tylko jedno miejsce dziesiętne, a na tym miejscu będzie akurat piątka - jest bardzo małe. A jeśli po piątce będą jeszcze jakiekolwiek cyfry (różne od zera) - to ostatnią pozostawioną cyfrę zaokrągla się zawsze w górę. Bo jest to mniejszy błąd, niż przy zaokrągleniu w dół. 12,34999 12,3 12,35001 12,4 12,35000 12,4 12,45000 12,4-6 -

Dodawanie i odejmowanie liczb przybliżonych: Wynik powinien zawierać tylko jedną (ostatnią) cyfrę niepewną (tyle znaków dziesiętnych ile ma ich liczba przybliżona o najmniejszej ilości znaków dziesiętnych). W przykładzie cyfra niepewna jest zapisana pogrubioną kursywą. 234,4 + 71,36 =305,76 Nie należy podawać dwóch cyfr niepewnych w wyniku: jeśli nie jesteśmy pewni dziesiątych części wyniku, to po co podawać części setne? Ostatecznie wynik powinien być podany w postaci: 305,8. Natomiast wynikiem dodawania: 3,4 + 0,0234567 jest: 3,4-7 -

Mnożenie i dzielenie liczb przybliżonych: Wynik powinien zawierać tylko tyle cyfr znaczących, ile ma ich najmniej dokładny czynnik (w pomiarach wieloetapowych: etap najmniej dokładny decyduje o łącznej dokładności całego ciągu pomiarów), czyli liczba przybliżona o najmniejszej ilości cyfr znaczących. Przykłady: 234,4 cm 0,52 cm = 121,888 cm 2 Podać należy tylko dwie cyfry znaczące: 120 cm 2 12,34 : 123,456 = 0,0999546 0,09995-8 -

Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb przybliżonych: Przy podnoszeniu do kwadratu lub sześcianu należy w wyniku zachować tyle cyfr znaczących ile ich zawiera potęgowana liczba przybliżona. Przykład: 3,125 3 = 30,5175 30,52 Przy wyciąganiu pierwiastka należy w wyniku zachować tyle cyfr znaczących ile ich zawiera liczba pierwiastkowana: Przykład: 3,125 1,76776... 1,768-9 -

Kombinacja działań na liczbach przybliżonych: Problemem może być obliczanie średniej (lub innej statystyki) wyników pomiarów tego samego obiektu: 63,75 63,85 63,81 Średnia wynosi: 63,8033(3) Ponieważ jednak seria pomiarów dotyczy tego samego obiektu i różnica występuje już na pierwszym miejscu dziesiętnym po przecinku, zatem już to miejsce jest niepewne i wynik powinien być podany jako: 63,8 Przy obliczaniu stadiów pośrednich rachunku należy brać zawsze o jedną cyfrę znaczącą więcej w stosunku do zasad podanych (zaokrąglać do danych o najmniejszej ilości znaków dziesiętnych plus dodatkowa jedna cyfra). Zupełnie poprawnie, do rozwiązania podobnych problemów należy stosować reguły rachunku statystycznego. - 10 -