http://www.value-at-risk.prv.pl roguzinski@poczta.onet.pl UWAGA!!! Dokument zaindeksowany w bazie www.plagiat.pl WYŻSZA SZKOŁA FINANSÓW I ZARZĄDZANIA W BIAŁYMSTOKU WYDZIAŁ FINANSÓW I INFORMATYKI KIERUNEK: FINANSE I BANKOWOŚĆ PRZEMYSŁAW ROGUZIŃSKI NR ALBUMU 4814 Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Praca licencjacka napisana w Zakładzie Zastosowań Informatyki pod kierunkiem prof. dr hab. M. Lasek BIAŁYSTOK 2002 1
www.value-at-risk.prv.pl Spis treści Wstęp... 3 1. Charakterystyka Value at Risk... 5 1.1. Ryzyko i wartość zagrożona... 5 1.2. Zmienność aktywów i metody jej pomiaru... 9 1.3. Rzeczywisty rozkład cen aktywów a rozkład normalny... 16 1.4. Wykorzystanie korelacji między zmianami cen aktywów finansowych w redukcji ryzyka portfela... 21 2. Metody obliczania Value at Risk... 24 2.1. Metoda kowariancji... 24 2.2. Symulacja historyczna... 27 2.3. Symulacja Monte Carlo... 32 3. Zarządzanie ryzykiem przy wykorzystaniu Value at Risk... 37 3.1. Zarządzanie ryzykiem wewnątrz instytucji finansowej... 37 3.1.1. Skłonność banku do ponoszenia ryzyka... 38 3.1.2. Ustalanie limitów opartych na Value at Risk... 39 3.2. Wykorzystanie Value at Risk w globalnym zarządzaniu ryzykiem... 42 Zakończenie... 54 Bibliografia... 56 2
Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 Wstęp W ostatnich latach obserwuje się znaczny wzrost ryzyka na rynkach finansowych. Spowodowało to coraz większe zainteresowanie ryzykiem i metodami jego zarządzania. Banki i inne instytucje finansowe zaczęły tworzyć komórki zarządzania ryzykiem, w których zatrudniani są specjaliści od ryzyka. Ich zadaniem jest identyfikacja i badanie zagrożeń, na jakie jest narażony bank. Najbardziej popularną miarą, którą wykorzystują do pomiaru ryzyka jest obecnie Value at Risk (VaR). Celem mojej pracy jest przedstawienie VaR oraz jej wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem. Czytelnik znajdzie w pracy odpowiedź na pytanie: Czym jest VaR i jak go liczyć?. Zapozna się również z praktycznym zastosowaniem VaR w zarządzaniu ryzykiem rynkowym w banku. Praca składa się z trzech rozdziałów. W rozdziale pierwszym omówiona została problematyka ryzyka rynkowego, koncepcja VaR oraz pojęcia statystyczne związane z tą miarą. W rozdziale drugim zaprezentowano i porównano trzy metody obliczania VaR: kowariancję, symulację historyczną oraz symulację Monte Carlo. Przy omówieniu każdej z tych metod zostały przedstawione kalkulacje VaR dla przykładowego portfela aktywów finansowych banku. Rozdział trzeci przedstawia jak VaR jest stosowane w praktyce zarządzania ryzykiem. Zarządzanie ryzykiem jest przedstawione tu w dwóch aspektach. Pierwszy dotyczy kontroli ryzyka wewnątrz instytucji finansowej, czyli jak bank wykorzystuje VaR w celu ochrony przed stratami. Drugi aspekt to globalne zarządzanie ryzykiem w oparciu o VaR. Omówione tu zostały działania instytucji regulacyjnych na rzecz bezpieczeństwa w całym sektorze bankowym. Przy pisaniu pracy najbardziej pomocnymi źródłami materiałów okazały się dwie książki: Wartość narażona na ryzyko autorstwa P. Best a oraz Tajniki Value at Risk C. Butlera. Materiały były uzupełnione publikacjami w fachowej 3
www.value-at-risk.prv.pl prasie, która na bieżąco śledzi najnowsze osiągnięcia w zarządzaniu ryzykiem. Tu szczególnie pomocny okazał się kwartalnik Rynek Terminowy. W sytuacji światowej kariery VaR brak jest przykładów z polskiego sektora bankowego, w którym korzysta się w większości banków z tradycyjnych metod kontroli ryzyka. Oczywiście najlepsze banki już przygotowują się do wdrożenia VaR, ale ta nowoczesna koncepcja pomiaru ryzyka nie jest jeszcze standardem w polskiej bankowości. Jest to jedna z przyczyn dla jakiej podjąłem się pisania o metodzie Value at Risk. Myślę, że najnowsze osiągnięcia w kontroli ryzyka powoli będą przenikać do polskiego systemu bankowego. Mam nadzieję, że niniejsza praca przyczyni się do lepszego poznania problematyki ryzyka oraz przybliży czytelnikowi nowoczesne metody jego pomiaru. 4
Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 1. Charakterystyka Value at Risk 1.1. Ryzyko i wartość zagrożona Ostatnie dziesięciolecia charakteryzowały się dużym wzrostem ryzyka na światowych rynkach finansowych. Notowania indeksu Dow Jones Composite, przedstawione na rysunku 1.1, pokazują jak niestabilna stała się sytuacja na nowojorskiej giełdzie, która w wyniku globalizacji współczesnych rynków finansowych ma duży wpływ na pozostałe centra finansowe. Niestabilność ekonomiczna zmieniła w sposób znaczący funkcjonowanie instytucji finansowych, dla których faktem stało się to, że... ryzyko, jakim obarczone są wszelkie rodzaje działalności finansowej, jest dziś większe niż w przeszłości. 1 DOW JONES COMPOSITE (2,807.07, 2,891.53, 2,769.24, 2,877.91) 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Rysunek 1.1. Indeks Dow Jones Composite w latach 1981-2001 Źródło: opracowanie własne 1 Ch. W. Smithson, C. W. Smith, D. S. Wilford: Zarządzanie ryzykiem finansowym. Kraków, Oficyna Wydawnicza 2000 s. 16. 5
www.value-at-risk.prv.pl Każdy inwestor, który dąży do osiągania coraz większych zysków zmuszony jest do podejmowania coraz większego ryzyka. Utrzymywanie oszczędności w bonach lub obligacjach skarbowych nie przyniesie ponadprzeciętnych zysków, gdyż jest to strategia nastawiona nie na duży, ale pewny zysk. Inwestor może wybrać jednak inwestycje charakteryzujące się wysokim ryzykiem, takie jak akcje lub instrumenty pochodne. W tym wypadku przy realizacji korzystnego wariantu będzie wynagrodzony wysokim zyskiem, ale gdy jego oczekiwania nie sprawdzą się, narażony będzie na poważne straty finansowe. W prostym ujęciu ryzyko mierzy, jak zmienny jest dochód z inwestycji. 2 Gdy źródłem strat są zmiany wartości aktywów będących przedmiotem obrotu, mamy do czynienia z ryzykiem rynkowym. Jeżeli bank inwestycyjny utrzymuje otwartą pozycję w akcjach amerykańskich spółek, narażony jest na to, że notowania tych akcji spadną. Ma wtedy do czynienia z ryzykiem zmian cen akcji. Ze względu na rodzaj aktywów, które dotyczą otwartych pozycji, ryzyko rynkowe można podzielić na: ryzyko stopy procentowej (interest rate risk), ryzyko kursu walutowego (exchange rate risk), ryzyko cen akcji (stock price risk), ryzyko cen towarów (commodity price risk). 3 Praca ta nie będzie wybiegać poza problematykę ryzyka rynkowego, gdyż skupia się ona na systemie pomiaru właśnie tego rodzaju ryzyka. Niemal każda instytucja finansowa dąży do kontroli ryzyka 4, na jakie są narażone jej aktywa. Szczególnie banki nie mogą pozwolić sobie 2 C. Butler: Tajniki Value at Risk: Praktyczny podręcznik zastosowań metody VaR.. Warszawa, Liber 2001 s. 2. 3 K. Jajuga: Nowe tendencje w zarządzaniu ryzykiem finansowym. Rynek Terminowy nr 3/5/99, s. 63. 4 Kontrola ryzyka polega na podejmowaniu działań w celu obniżenia częstotliwości realizacji zdarzeń niekorzystnych lub wielkości strat albo zwiększenia prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzeń korzystnych lub wielkości zysków. 6
Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 na utrzymywanie niezabezpieczonych pozycji, które mogą być źródłem poważnych strat. Bardziej niż inwestorzy indywidualni, instytucje finansowe zainteresowane są kontrolą ryzyka i podejmowaniem działań, które mają na celu redukcję czynników ryzyka. W tych instytucjach zatrudnia się specjalistów od zarządzania ryzykiem (risk managers), którzy identyfikują i mierzą zagrożenia. Są oni odpowiedzialni za kontrolę ryzyka i informowanie kierownictwa o zagrożeniach, na jakie narażona jest instytucja finansowa. Punktem wyjścia do kontroli ryzyka musi być miara określająca wielkość rozpoznanego ryzyka. Najnowsze teorie zarządzania ryzykiem wskazują na miarę statystyczną, jaką jest wartość narażona na ryzyko lub wartość zagrożona (Value at Risk, VaR). Aktualnie metodologia VaR używana jest przez większość instytucji finansowych na świecie (dotyczy to zwłaszcza tych firm, które posiadają portfele instrumentów pochodnych) do pomiaru i zarządzania ryzykiem rynkowym. 5 Jest to miara statystyczna, która doczekała się obszernej literatury dotyczącej metod jej obliczania. W 1994 roku bank J.P. Morgan opublikował swoją metodologię kalkulacji wskaźnika VaR. Specjaliści z banku J.P. Morgan stworzyli cały system kontroli ryzyka rynkowego, zwany RiskMetrics TM. Pomysł stworzenia systemu narodził się jako próba odpowiedzi pytanie prezesa tego banku, Dennisa Weatherstone a, o raport, który codziennie mógłby wskazać ryzyko oraz potencjalne straty w ciągu najbliższych 24 godzin, związane z całym portfelem banku. VaR mierzy największą oczekiwaną stratę, jaką dana instytucja może ponieść w danym okresie, przy założeniu normalnych warunków rynkowych i przy danym poziomie ufności. VaR ocenia ryzyko przy użyciu modeli statystycznych i symulacyjnych przeznaczonych do ustalania zmienności (volatility) aktywów w portfelu banku. 6 5 A. Stawczyk: Wprowadzenie do metodologii pomiaru ryzyka Value at Risk. Rynek Terminowy nr 4/6/99, s. 132. 6 C. Butler, op. cit., s. 5. 7
www.value-at-risk.prv.pl Standardowy okres przetrzymania 7 (holding period), dla jakiego obliczany jest VaR, to jeden dzień. Natomiast poziom ufności 8 wyznacza się najczęściej na 95-procentowym poziomie, oznacza to, że istnieje 95% szansy, iż strata na kapitale będzie niższa niż szacowany VaR. Zakładając takie parametry definicję VaR można przedstawić następująco: Maksymalna kwota, jaką możemy stracić na portfelu w ciągu 24 godzin, przy 95-procentowym współczynniku ufności. 9 Wskaźnik VaR ma zastosowanie do wszystkich aktywów będących w obrocie. Korzyść, jaka z tego wynika, to możliwość bezpośredniego zestawienia ryzyka dla różnych obszarów działalności w liczbach bezwzględnych lub w procencie wartości portfela. Takie zestawienie ryzyka nie było możliwe przy użyciu tradycyjnych wskaźników ryzyka, gdyż inne wskaźniki były używane do każdego rodzaju aktywa. Analiza wartości narażonej na ryzyko zrodziła się z potrzeby określenia potencjalnych strat nie tylko wybranych elementów, ale przede wszystkim instytucji jako całości. 10 VaR jest miarą standardową w tym sensie, że może przedstawić stan ryzyka dla całego obszaru działalności instytucji. Wartość Value at Risk łączy wszystkie rodzaje ryzyka rynkowego, na które jest narażony portfel/portfele w jedną liczbę przydatną do różnych celów. Oprócz podstawowego zastosowania do zarządzania ryzykiem rynkowym służy również do raportowania instytucjom nadzorczym a nawet do umieszczania w sprawozdaniach rocznych. 11 VaR ujmuje ryzyko składników portfela w sposób całościowy, szacując je z zastosowaniem wskaźników korelacji między poszczególnymi aktywami. 7 Okres przetrzymania odpowiada przedziałowi czasu, dla którego oblicza się przewidywane ruchy cen. 8 Poziom ufności określa przyjętą wielokrotność odchyleń standardowych rozkładu zmian cen: wyższe wartości pozwalają pokładać większą ufność w rachunkach, gdyż odpowiadają większemu prawdopodobieństwu. 9 P. Best: Wartość narażona na ryzyko: Obliczanie i wdrażanie modelu VaR. Kraków, Oficyna Ekonomiczna 2000 s. 23. 10 Zarządzanie ryzykiem finansowym. Materiały konferencyjne, Wrocław 25-26 września 2000, s.36. 11 A. Stawczyk, op. cit., s. 133. 8
Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 Słabością stosowania dotychczasowych wskaźników ryzyka było to, że nie uwzględniały one poziomu ufności. System oparty na Value at Risk szacuje prawdopodobieństwo wystąpienia straty większej niż podany VaR. 95-procentowy współczynnik ufności oznacza, że przez 5% (np. 1 z 20 dni) czasu można spodziewać się straty przekraczającej wyznaczony wskaźnik VaR. Poziom ufności może być różny, zależy on od instytucji stosujących bądź rekomendujących. Warto pamiętać o następującej zasadzie: Im wyższy poziom ufności (niższy poziom tolerancji), tym większa wartość VaR. 12 Wykorzystanie wskaźnika VaR jest ważne z punktu widzenia nadzoru wewnętrznego i zewnętrznego. Prawidłowo oszacowana wartość ryzyka dla całej działalności banku, pozwala odpowiedzieć precyzyjnie na kluczowe pytania: Ile bank może stracić w najbliższym okresie?, Czy bank jest bezpieczny i wiarygodny?. Odpowiedzi na te pytania pozwalają ocenić, jak bank radzi sobie z redukcją ryzyka w warunkach rosnącej niepewności na rynkach finansowych. Bezpieczeństwo poszczególnych banków gwarantuje bezpieczeństwo całego sektora bankowego. Dlatego miarę VaR zalecają organy nadzoru bankowego. 1.2. Zmienność aktywów i metody jej pomiaru Zmienność (volatility) jest miarą wahań ceny aktywów finansowych dostępnych na rynku. Zmienność definiuje się jako miarę niepewności co do przyszłych zmian ceny instrumentu finansowego. 13 Przy obliczaniu zmienności instrumentu finansowego bada się jego stopy zwrotu w różnych okresach. Im większą zmiennością charakteryzują się aktywa, tym większe jest prawdopodobieństwo wygenerowania wysokich zysków, bądź poniesienia 12 K. Jajuga: Valua at Risk. Rynek Terminowy nr 9/3/00, s. 19. 13 K. Piontek: Prognozowanie zmienności instrumentów finansowych (cz. I). Rynek Terminowy nr 13/3/01, s. 114. 9
www.value-at-risk.prv.pl wysokich strat. 14 Do pomiaru zmienności cen aktywów najczęściej wykorzystuje się odchylenie standardowe stóp zwrotu, będące miarą tego jak szeroko wartości zmian cen są rozproszone od wartości średniej. Tabela 1.1 przedstawia coroczne dochody z dwóch portfeli osiągnięte w ciągu pięciu lat. Średnie stopy zysku są jednakowe dla obu portfeli. Dochody z portfela B odbiegają bardziej od wartości średniej niż w przypadku portfela A. Portfel B charakteryzuje się większą zmiennością, a więc jest bardziej ryzykowny. Tabela 1.1. Przykładowe coroczne dochody z portfeli A i B osiągane w ciągu pięciu lat Okres Portfel A Portfel B 1 10% 11% 2 14% 20% 3 12% 3% 4 10% 14% 5 14% 12% Średnia stopa zysku 12% 12% Odchylenie standardowe 1,79% 5,48% Źródło: opracowanie własne Metody szacowania zmienności poszczególnych aktywów są różne i jest ich bardzo wiele. Można wśród nich wyróżnić metody: 1. Szacowania na podstawie prawdopodobieństwa zachowania się cen w przyszłości 2. Szacowania na podstawie danych historycznych 3. Symulację Monte Carlo 4. Metodę zmienności implikowanej wynikającą z obecnego stanu rynku 14 C. Butler, op.cit., s. 6. 10
Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 5. Metodę zmodyfikowanej estymacji na podstawie danych historycznych (EWMA) 6. Metody deterministyczne (np. GARCH) Szacowanie na podstawie prawdopodobieństwa zachowania się cen w przyszłości można zastosować, jeżeli znane są prognozy zachowania się stopy zwrotu w przyszłości. Odchylenie standardowe stóp zwrotu z aktywów liczy się na podstawie następującego wzoru: n = p i= 1 i ( R R) i 2 0,5 σ (1.1) gdzie: σ - odchylenie standardowe, p i - prawdopodobieństwo wystąpienia stopy zwrotu na poziomie R i, R - średnia oczekiwana stopa zwrotu z danego aktywu, przy czym: R = n i= 1 p i R i (1.2) Prognozy, co do przyszłych stóp zwrotu są przygotowywane przez analityków rynkowych za pomocą metod ekonometrycznych. Na podstawie tych metod bada się przyszłe możliwe stany gospodarki i określa się prawdopodobieństwo ich wystąpienia. Szacowanie zmienności na podstawie danych historycznych. Ta metoda wymaga wybrania odpowiednio długiego horyzontu czasowego, by mógł posłużyć jako wiarygodny obraz zachowań się stóp zwrotu w przeszłości. Dla modelu VaR powinien wynosić, co najmniej 100 dni. Jak ważny jest wybór odpowiednio długiego szeregu czasowego dla wyznaczenia odchylenia standardowego ilustruje rysunek 1.2 na przykładzie zmian cen akcji spółki Elektrim. Gdyby analiza dotyczyła tylko okresu ostatnich czterech miesięcy, 11
www.value-at-risk.prv.pl w których wyraźne jest wyciszenie wahań, wyniki nie odzwierciedlałyby rzeczywistej zmienności cen akcji we wcześniejszym okresie. Ocena ryzyka na podstawie takich wyników, okaże się nietrafiona w sytuacji prawdopodobnego powrotu wahań do zwyczajnego stanu. ELEKTRIM (11.1000, 11.1500, 7.9000, 9.4000) 55 Okres 1 roku Niewielkie odchylenie standardowe 50 45 40 35 30 25 20 15 10 Standard Deviation (2.5816) 5 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 Sep Oct Nov Dec 2001 Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Rysunek 1.2. Wykres notowań cen akcji Elektrimu i wskaźnik odchylenia standardowego Źródło: opracowanie własne Przy estymacji odchylenia standardowego na podstawie szeregu danych historycznych należy pamiętać, że wyniki będą odzwierciedleniem ryzyka przeszłego. Niedoskonałością tej metody jest to, że może nie dać wystarczających informacji na temat ryzyka przyszłego (future volatility). Zmienność oszacowaną na podstawie danych historycznych nazywamy zmiennością historyczną (realized volatility). Mimo tego metoda ta jest powszechnie wykorzystywana w zarządzaniu ryzykiem ze względu na prostotę obliczeń i powszechną dostępność informacji na temat historycznych notowań. 12
Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 Wzór na obliczenie wartości odchylenia standardowego na podstawie danych historycznych wygląda następująco: ( R R) gdzie: R t stopa zwrotu zrealizowana w okresie, N liczba okresów. n 2 1 σ = t (1.3) t= 1 N 1 Metoda Monte Carlo oparta jest na systemach komputerowych, które dzięki dużej mocy obliczeniowej pozwalają na szybkie przetwarzanie dużej ilości danych. Symulacja 15 Monte Carlo polega na wygenerowaniu dużej ilości możliwych zachowań rynku, przy założeniu, że traktujemy stan rynku jak zmienną losową. Na podstawie wygenerowanych scenariuszy oblicza się prawdopodobne odchylenie standardowe. Metoda ta jest często stosowana w rozwiniętych instytucjach finansowych i fascynuje bliskimi rzeczywistości wynikami. Metoda zmienności implikowanej (implied volatility), wynikającej z obecnego stanu rynku może stanowić dobre oszacowanie przyszłej zmienności, ponieważ zmienność aktywów jest obliczana na podstawie zachowania całego rynku, który jest przekonany o takim, a nie innym poziomie zmienności w przyszłości. Zmienność implikowaną ustalamy na podstawie cen opcji (exercise price) wystawionych na instrument pierwotny 16 (underlying instrument). Opcja to umowa między nabywcą (posiadaczem) a sprzedawcą (wystawcą) dającą nabywcy prawo do kupna (opcja kupna) lub sprzedaży (opcja sprzedaży) instrumentu bazowego przed lub w ustalonym dniu 15 Symulacja jest to zbiór sposobów postępowania, które pozwalają otrzymać rozwiązanie różnych zagadnień, m.in. gospodarczo-ekonomicznych, za pomocą wielokrotnie powtarzalnych prób losowych. 16 Instrumentem pierwotnym najczęściej są: papiery wartościowe, indeksy giełdowe, stopy procentowe i waluty. 13
www.value-at-risk.prv.pl w przyszłości po określonej cenie w zamian za opłatę. 17 Najważniejsze modele wyceny opcji są oparte na modelu Blacka-Sholesa OPM (The Option Pricing Model), który został opublikowany w 1973 roku. Praca M. Sholesa oraz Blacka nad modelami wyceny opcji została nagrodzona w 1997 roku Nagrodą Nobla w dziedzinie ekonomii. ma postać: Wzór na cenę europejskiej opcji kupna według modelu Blacka-Scholesa 2 S σ ln + r T E + 2 d1 = (1.5) σ T gdzie: C wartość europejskiej opcji kupna, P wartość europejskiej opcji sprzedaży, S cena instrumentu bazowego, E cena wykonania opcji, r stopa procentowa wolna od ryzyka, C rt = SN( d ) Xe N( ) (1.4) 1 d 2 2 S σ ln + r T E 2 d 2 = (1.6) σ T T długość okresu do terminu wygaśnięcia opcji wyrażona w latach. σ - odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji, N(d) wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla argumentu równego d. Gdy handlujący opcjami wyceniają opcje kupna i sprzedaży, muszą najpierw obliczyć zmienność i uwzględnić ją we własnym modelu wyceny. Możliwe jest działanie w drugą stronę, tzn. na podstawie ustalonej ceny opcji można ustalić wynikający parametr zmienności instrumentu podstawowego. Istnieją wady tej metody. Po pierwsze, ceny opcji, podobnie jak ceny innych 17 W. Tarczyński, M. Zwolankowski: Inżynieria finansowa. Warszawa, Placet 1999 s. 77. 14
Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 produktów kształtowane są przez popyt i podaż. Może to spowodować sytuację, w której relacja między ceną opcji a rzeczywistą zmiennością nie zawsze może być zachowana. Następnym mankamentem tej metody jest to, że nie można zastosować jej do opcji typu amerykańskiego (American-style option), które mogą być wykonane w dowolnym momencie do dnia wygaśnięcia opcji (maturity date). Po trzecie, ceny mają wkalkulowaną marżę zysków dealerów i są wyższe niż wynika to z ich zmienności. Pomimo słabych stron tej metody jest ona polecana częściej, niż szacowanie zmienności na podstawie danych historycznych. Eksperci od zarządzania ryzykiem z banku J.P. Morgan rekomendują metodę, którą jest zmodyfikowana estymacja na podstawie danych historycznych EWMA (exponentially weighted moving average). Opiera się ona na danych historycznych, przy czym przywiązuje się największą wagę ostatnim stanom rynku. Uzasadnione to jest tym, że ostatnie zachowania rynku silniej determinują jego przyszły kształt niż te wcześniejsze. Dla przykładu zwykła średnia ważona przyznaje taką samą wagę skrajnemu ruchowi cen akcji w sytuacji zawirowań, które zaistniały kilka miesięcy temu, co teraźniejszym stanom rynku. W metodzie EWMA wahania są tym mniej ważne, im wcześniej miały miejsce. Poniżej przedstawione jest porównanie sposobu obliczania zwykłej średniej ważonej i EWMA na podstawie historycznych stóp zwrotu z aktywów: 1 2 σ = (1.7) T ( R t R) T t= 1 T t 1 EWMA: = ( 1 λ) λ ( R R) t = 1 t 2 σ (1.8) gdzie: λ - parametr starzenia się informacji (decay factor), przyjmuje się na poziomie 0,94 lub 0,97. 15
www.value-at-risk.prv.pl Wśród metod deterministycznych uwagę zarządzających ryzykiem zwrócił model GARCH (Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity), czyli uogólniona autoregresyjna heteroskedastyczność warunkowa. Model GARCH swoją popularność zawdzięcza uwzględnieniu faktu, że wariancja i tym samym odchylenie standardowe nie jest stałą. Heteroskedastyczność oznacza zmianę wariancji. Natomiast proces jest autoregresyjny, jeżeli pomiędzy wydarzeniami bieżącymi, a przeszłością nie istnieje żadna korelacja. 18 Model ten jest bardziej precyzyjny niż zmienność implikowana czy średnia krocząca EWMA, ale ze względu na swoją skomplikowaną budowę nie wyparł skutecznie wymienionych wcześniej metod. Twórcy RiskMetrics TM stwierdzają na podstawie badań empirycznych, że model GARCH oferuje tylko niewiele lepsze wyniki niż prosty model EWMA. 1.3. Rzeczywisty rozkład cen aktywów a rozkład normalny Przy obliczaniu VaR standardowo używana jest do tworzenia modelu ryzyka rynku krzywa rozkładu normalnego, gdyż wskazuje duże prawdopodobieństwo, że wynik będzie bliski wartości średniej. Zauważono, że rozkłady cen akcji są zbliżone do rozkładu normalnego. Na rysunku 1.3 zostały porównane ze sobą rozkład normalny i rzeczywisty rozkład cen akcji spółki Elektrim. 18 C. Butler, op. cit., s. 214. 16
Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 18% 16% 14% 12% Częstość (%) 10% 8% 6% Rozkład normalny 4% 2% 0% -12,65% -8,65% -4,65% -0,65% 3,34% 7,34% 11,34% Zmiana ceny (%) Rysunek 1.3. Rozkład zmian cen akcji Elektrimu a rozkład normalny Źródło: opracowanie własne Porównując optycznie krzywą rozkładu normalnego z rozkładem empirycznym, można zauważyć, że rozkład zmian cen akcji Elektrimu jest dosyć dobrze aproksymowany przez rozkład normalny. Wykonany test zgodności Chi Kwadrat 19 również nie daje podstaw do tego, aby odrzucić założenie o normalności zmian cen akcji spółki Elektrimu. Rozkład empiryczny i normalny różni to, że w rzeczywistym rozkładzie występuje dużo więcej realizacji skoncentrowanych przy wartości przeciętnej (tzw. pik) i większa częstość ekstremalnych ruchów cen (tzw. Grube ogony 20 ), niż wskazuje na to rozkład normalny. Ponadto rozkład normalny jest symetryczny względem wartości przeciętnej, oznacza to, że z równym prawdopodobieństwem możemy spodziewać się zmiany cen w górę, jak i w dół. 19 Test zgodności Chi Kwadrat używamy, jeśli chcemy sprawdzić, czy dany rozkład empiryczny jest zgodny z rozkładem teoretycznym. 20 Grube ogony właściwość rozkładu statystycznego wskazująca na występowanie większej ilości zdarzeń ekstremalnych (dalekich od średniej) niż wynikałoby to z rozkładu normalnego. 17
www.value-at-risk.prv.pl Założenie o niezależności rozkładu normalnego sprawia, że zmiana cen w danym dniu nie jest zdeterminowana przez zmiany cen w dniach poprzednich. Obydwa te założenia oraz występowanie pików i grubych ogonów w rozkładach empirycznych sprawiają, że rozkład normalny nie odzwierciedla całkowicie prawdziwych ruchów cen aktywów finansowych, jednak zapewnia wystarczającą precyzję modelom VaR. Niedociągnięcia spowodowane założeniami rozkładu normalnego wprowadzają konieczność uzupełnienia modelu VaR o testowanie napięć 21 (stress testing) w celu objęcia analizą zdarzeń rzadkich. Na takie rozwiązanie wskazuje uznany specjalista w dziedzinie zarządzania ryzykiem P. Best:... nie zapomnijcie też o badaniach zdarzeń ekstremalnych, które pozwolą na wskazanie prawdziwych zagrożeń. 22 Analiza taka powinna być rozszerzona o badanie ryzyka portfela w sytuacji ekstremalnych zmian cen, jakie mogą wystąpić w przypadku zawirowań i krachów na giełdach finansowych. Ekstremalne zmiany cen będą pochodzić z tzw. ogona rozkładu. Oznacza to, że parametr ryzyka odpowiedni dla poszczególnego instrumentu będzie pochodził nie z kalkulacji odchylenia standardowego, a będzie reprezentował scenariusz katastrofalny zmiany ceny z przeszłości. 23 Scenariusze katastrofalne (disarter scenarios) lub scenariusze najgorszego wypadku (worst case scenario) wprowadzają zmiany w poziomie skorelowania instrumentów, które mają miejsce w czasie ekstremalnych zmian cen na rynkach finansowych. Takie zjawiska są obszarem badań statystycznej teorii wartości ekstremalnych 24 (Extreme Value Theory). Stress Test stanowi bardzo ważną część procesu 21 Test napięć, Stress Test scenariusz niekorzystnych sytuacji rynkowych występujących w przypadku poważnego kryzysu finansowego. Podczas przeprowadzania tesu napięć zakłada się, że w momencie kryzysu wszystkie korelacje osiągną wartości graniczne, czyli 1 lub 1. Stress Test przewiduje identyfikację i skwantyfikowanie efektu maksymalnych zmian cen na portfel finansowy instytucji. 22 M. Kawski: Var to nie wszystko! rozmowa RT z Philipem Bestem. Rynek Terminowy nr 13/3/01 s. 50. 23 K. Dresler: Stres pozytywnym miernikiem ryzyka. Rynek Terminowy nr 4/6/99, s. 62. 24 Wartość ekstremalna jest to wartość różniąca się bardzo znacznie od średniej wartości. Występowanie wartości ekstremalnych towarzyszy rzadkim zdarzeniom na rynkach finansowych. Praktycy kojarzą często wartości ekstremalne z występowaniem tzw. grubych ogonów rozkładów. 18
Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 zarządzania ryzykiem. [...] jest to nierozłączna część zarządzania ryzykiem, obok stosowania VaR. 25 Testowanie napięć uzasadniają nieoczekiwane zawirowania na rynku finansowym. Na przykład te po atakach terrorystycznych z 2001 roku. Wydarzenia 11 września znalazły swoje natychmiastowe odbicie również na rynkach finansowych. [ ] Gdy giełdy w Nowym Jorku były zamknięte, sytuacja na pozostałych giełdach była bardzo napięta. Od razu wszędzie wzrosła zmienność implikowana. 26 Zmiany dotyczyły zarówno rynków akcji, jak i rynków walutowych. Znaczna część tych zmian wybiegała poza krzywą rozkładu normalnego. W tej sytuacji rozkład normalny przestał być skutecznym narzędziem, który uchroniłby inwestorów przed stratami. Krzywa rozkładu normalnego, jak już wcześniej zostało wspomniane, nadaje wartościom skrajnym mniejsze prawdopodobieństwo, ale ich nie wyklucza. Powstaje więc pytanie: ile wynosi to prawdopodobieństwo i jaką możemy mieć pewność, że zmiany cen nie przekroczą podanej zmienności? Wskaźnik zmienności odpowiadający jednemu odchyleniu standardowemu zapewnia, że 68% wszystkich zmian cen w ujęciu absolutnym (tzn. dodatnich lub ujemnych) mieści się w odległości nie większej niż jedno odchylenie standardowe, czyli nie przekracza podanej zmienności. 27 Rysunek 1.4 przedstawia funkcję gęstości i prawdopodobieństwo dla zmiennej x o średniej 10 i odchyleniu standardowym 0,5. Wartości nie przekraczające podanej zmienności zawierają się w przedziale prawdopodobieństwa o dolnej granicy 0,16 i górnej 0,84. Odejmując dolną granicę od górnej otrzymujemy prawdopodobieństwo wyniku wewnątrz przedziału wyznaczonego przez odchylenie standardowe 68%. 25 A. Kulik: Zarządzanie ryzykiem finansowym wprowadzenie. Rynek Terminowy nr 9/3/00 s. 12. 26 A. Kulik: Terrorystyczny atak na USA. Implikacje dla zarządzających ryzykiem Stress test. Rynek Terminowy nr 14/4/01, s. 56. 27 P. Best, op. cit., s. 29. 19
www.value-at-risk.prv.pl 1,2 1 0,84 prawdopodobieństwo 0,8 0,6 0,4 Krzywa gęstości Prawdopodobieństwo 0,2 0,16 0 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 11,5 12 12,5 13 x Rysunek 1.4. Funkcja gęstości i prawdopodobieństwa dla zmiennej x Źródło: opracowanie własne Model Value at Risk posługuje się jednostronnym przedziałem ufności tzn., że przy szacowaniu wskaźnika VaR interesują nas tylko potencjalne straty, nie zyski. Bierzemy, więc tylko pod uwagę zmiany cen w dół. Jedno odchylenie standardowe mieści 68% wszystkich zmian cen instrumentu finansowego. Jeżeli weźmiemy pod uwagę tylko ruchy cen w dół, jednostronny przedział ufności będzie wynosił 84%. Przy szacowaniu VaR stosuje się jednostronny przedział ufności 95% lub więcej. Aby uzyskać współczynnik ufności na poziomie 95% musimy pomnożyć odchylenie standardowe przez 1,65. Często zaleca się szacowanie ryzyka na poziomie ufności 99%, wtedy odchylenie standardowe mnożymy przez 2,33. Jeżeli więc pomnożymy odchylenie standardowe dziennych stóp zwrotu instrumentu finansowego przez 1,65, możemy być pewni w 95 procentach, że w ciągu 24 godzin strata nie przewyższy oszacowanego ryzyka. 20