Obwody elektryczne Jacek.Szczytko@fuw.edu.pl 1. Podstawowe pojęcia ładunek elektryczny - wyrażamy w kulombach [C] (analogia hydrodynamiczna: masa wody) Źródło: np. Wikipedia! natężenie prądu I wyrażamy w amperach [A=C/s] I = Q t (analogia hydrodynamiczna: masa płynącej wody) Natężenie prądu elektrycznego I definiuje się jako stosunek ładunku, który przepływa przez poprzeczny przekrój przewodnika do czasu przepływu tego ładunku t: napięcie U wyrażamy w woltach [V]. Między dwoma punktami pola występuje różnica potencjałów (napięcie elektryczne) 1 V, jeśli praca wykonana przy przesuwaniu ładunku 1 C między tymi punktami wynosi 1 J: (analogia hydrodynamiczna: ciśnienie wody, łatwo zamienić na wysokość, z jakiej woda spada) W przypadku baterii, prądnic, cewek itp. pojawia się pojęcie siły elektromotorycznej Siła elektromotoryczna (SEM) czynnik powodujący przepływ prądu w obwodzie elektrycznym równy energii elektrycznej uzyskanej przez jednostkowy ładunek przemieszczany w urządzeniu (źródle) prądu elektrycznego w przeciwnym kierunku do sił pola elektrycznego oddziałującego na ten ładunek ( normalnie prąd płynie od (+) do ( ), a w jakim kierunku płynie w środku baterii?). Siła elektromotoryczna jest najważniejszym parametrem charakteryzującym źródła energii elektrycznej zwane też źródłami siły elektromotorycznej, są nimi prądnice (prądu stałego i przemiennego), baterie, termopary, fotoogniwa. opór elektryczny (rezystancja) R I = U R Jednostką jest Ω - om (nie Ohm!) Om jest to opór elektryczny między dwiema powierzchniami ekwipotencjalnymi przewodu jednorodnego prostoliniowego, gdy występujące między tymi punktami niezmienne napięcie elektryczne 1V wywołuje w tym przewodzie prąd elektryczny 1A: 1
Prawo Ohma: natężenie prądu stałego I jest wprost proporcjonalne do całkowitej siły elektromotorycznej w obwodzie zamkniętym lub do różnicy potencjałów (napięcia elektrycznego U) między końcami części obwodu nie zawierającej źródeł siły elektromotorycznej. pojemność C - określa zdolność kondensatora do gromadzenia ładunku: C = Q U Farad jest to pojemność elektryczna przewodnika elektrycznego, którego potencjał zwiększa się o 1 wolt po dostarczeniu ładunku 1 kulomba. Farad to bardzo dużo! Zwykle kondensatory mają piko lub mikro-farady Indukcyjność L siła elektromotoryczna indukcji (prawa indukcji Faradaya) E = dφ di = L dt dt (minus, bo wzbudzony prąd przeciwstawia się zmianie strumienia pola magnetycznego Φ) Gdy w otoczeniu obwodu nie ma żadnych ciał o właściwościach ferromagnetycznych, czyli przenikalność magnetyczna ośrodka μ jest równa 1 (w próżni) lub μ > 1 ale stałe, wówczas indukcyjność w równaniu jest współczynnikiem proporcjonalności. W takim przypadku indukcyjność jest stała i zależy tylko od geometrii obwodu, współczynnik proporcjonalności oznacza się L. Henr jest to indukcyjność takiego obwodu, w którym prąd o natężeniu 1 ampera wytwarza strumień magnetyczny o wartości 1 webera lub też: obwód ma indukcyjność jednego henra, jeżeli przy jednostajnej zmianie prądu o 1 amper w czasie jednej sekundy indukuje się w nim napięcie samoindukcji równe 1 woltowi. Moc prądu P = UI cosφ Gdzie ϕ oznacza przesunięcie fazowe pomiędzy prądem i napięciem Jak zależy moc prądu od oporu R w przypadku? a) źródła prądowego I=const? b) źródła napięciowego U=const? Czym różnią się te dwa przypadki? Dlaczego w systemach energetycznych przy przesyłaniu dużych mocy stosuje się wysokie napięcia, a nie duże prądy? Źródło: np. Wikipedia! 2. Oznaczenia 2
3. Prawo Kirchhoffa, prawo Ohma, prawo oczka Pierwsze prawo Kirchhoffa zasada zachowania ładunku elektrycznego (suma algebraiczna prądów wpływających i wypływających jest równa zeru) I 1 + I 2 + I 3 I 4 I 5 =0 Drugie prawo Kirchhoffa - w zamkniętym obwodzie suma spadków napięć na oporach równa jest sumie sił elektromotorycznych występujących w tym obwodzie Prawo oczka praktyczne sformułowanie II prawa Kirchhoffa liczy się prądy i napięcia w oczkach obwodu elektrycznego. 4. Przykłady układów z opornikami 1. Idealna bateria i opornik lub równoważnie: W obwodzie płynie tylko jeden prąd E = U = IR 3
2. Realna bateria ma swój opór wewnętrzny W obwodzie płynie tylko jeden prąd E = I(R + r) = U R + U r Przedyskutować napięcie U R w zależności od pobieranego prądu z baterii (wykres!). Czy woltomierz podłączony do bateryjki (dla ustalenia uwagi nowej) ZAWSZE wskaże jej nominalne napięcie zwłaszcza gdy jest podłączona do obwodu zewnętrznego? Wniosek: dla oporów połączonych szeregowo opór całkowity R C = R + r 3. Dwa oporniki równolegle, idealna bateria Stąd I = I 1 + I 2 U = U + U R C R 1 R 2 Wniosek: dla oporów połączonych równolegle opór całkowity 1 R C = 1 R 1 + 1 R 2 4. Dzielnik napięcia (ważne!) Znajdź napięcie na oporze R 1 Co się stanie jeśli przez wyjście będzie płynąć prąd? Jaki maksymalnie może płynąć prąd na wyjściu żeby napięcie mierzone na oporze R 1 było równe napięciu układu nieobciążonego z dokładnością do 1%? 4
Przykład praktyczny dzielnika napięcia. Załóżmy, że chcemy zmierzyć napięcie układu o dużym oporze wyjściowym, r wy =1MΩ, a dysponujemy oscyloskopem (odbiornikiem) o oporze wejściowym R we =1kΩ. Jakie napięcie wskaże nam oscyloskop? Czy jeśli weźmiemy oscyloskop o oporze wejściowym R we =1MΩ albo R we =100MΩ będzie lepiej? Jaki musi być opór wejściowy R we w stosunku do oporu wyjściowego r wy żeby oscyloskop zmierzył prawdziwe napięcie z dokładnością do 1%? Czy w tym układzie to w ogóle możliwe? 5. Garść zadań na oporniki Zadanie 1 - Opornik Przez opornik podłączony do źródła prądu stałego o napięciu U= 220 V płynie prąd o natężeniu I = 0.11 A. Oblicz należenie prądu, jaki popłynie przez ten sam opornik, jeśli podłączymy go do źródła o napięciu U = 20 V. Zadanie 2 - Kilka prostych obwodów Obliczyć spadek napięcia na oporze Ri w poniższych obwodach. Po otrzymaniu ogólnego wzoru jako wyniku, uzyskaj również wynik liczbowy przyjmując, że każde ze źródeł zapewnia różnice potencjału 10 V i nie ma oporu wewnętrznego, oraz w przypadku każdego rezystora jego opór jest równy 1 kω. (jeśli nie starczy czasu po prostu napisz stosowny układ równań algebraicznych) a) b) c) 5
d) e) 6. Kondensatory Czy przez poniższy układ po zamknięciu przełącznika popłynie prąd? Dlaczego? Pojemność kondensatora: C = Q U Kilka prostych zasad: Kondensatory połączone szeregowo: Pojemność kondensatora suma napięć na kondensatorach daje napięcie całkowite układu, natomiast ładunek zgromadzony na każdym musi być ten sam (dlaczego? rozważ ładunki na okładkach kondensatora): U Z = U 1 + U 2 Q = Q + Q C Z C 1 C 2 czyli 1 C Z = 1 C 1 + 1 C 2 6
Kondensatory połączone równolegle: Pojemność zastępczego kondensatora całkowity ładunek zgromadzony na układzie kondensatorów: Q Z = Q 1 + Q 2 UC Z = UC 1 + UC 2 czyli: C Z = C 1 + C 2 7. Przykłady układów z kondensatorami Oblicz pojemność układu kondensatorów: A co by było gdyby:?? Czy w powyższej sytuacji na oporach R jest jakiś spadek napięcia? Dlaczego? 7
Oblicz ładunek zgromadzony na kondensatorze w układzie: Zaznacz którędy płynie prąd w obwodzie. Taki układ dla bardzo małego oporu R 1 i bardzo dużego R 2 opisuje rzeczywisty kondensator o małym oporze wejściowy, i bardzo małej upływności (dużej rezystancji) diektryka/elektrilotu. 8
8. Układy RLC Co się stanie gdy załączymy obwód szeregowy RLC jak na rysunku Po pewnym czasie prąd w takim obwodzie nie płynie (dlaczego?) A teraz prąd płynie: Rozważymy tylko stan ustalony (pomijamy efekty włączeniowe 1 ) rozwiązaniem równania różniczkowego będzie równanie z oscylującym prądem w układzie Po kolei najpierw obwód z opornikiem: Wygodniejszy zapis: E = U 0 cos ωt I = U 0 cos ωt R E = U 0 e iωt Obwód z kondensatorem: E = U 0 e iωt E = U C = Q C I = dq dt = d(ce) = C de dt dt = C d(u 0e iωt ) = iωcu dt 0 e iωt = iωce Czyli R C = 1 iωc 1 Pomijamy więc generatory samowzbudne, cewki Ruhmkorffa (np. w silnikach iskrowych) itp. 9
Obwód ze zwojnicą: E = U 0 e iωt Napięcie na zwojnicy jest także SEM (siłą elektromotoryczną) E + U L = E L di dt = 0 Spadek napięcia w oczku, przy braku rezystancji =0 Edt LdI = 0 LdI = LI = Edt = U 0 e iωt dt = 1 iω U 0e iωt R L = iωl Od tej pory oporniki, kondensatory i zwojnice będziemy traktowali jak zwykłe oporniki! Zatem: Równanie oczka: E = U 0 e iωt = I(R + R C + R L ) = I(R + 1 iωc + iωl) Wprowadza się pojęcie impedancji (oporu urojonego): Z = R + 1 iωc + iωl = Z R + Z C + Z L oraz pojęcie zawady Z (modułu impedancji) Dyskusja rozwiązaniau = IZ: Po pierwsze widać, że prąd i napięcie nie muszą mieć tej samej fazy! (dlaczego?) Przesunięcie fazowe δ = arctg(im(z)/re(z)) Po drugie możemy równanie oczka zapisać jako równanie na ładunki elektryczne: Wtedy (skoro I = dq dt ): E L di dt = U 0e iωt L di dt = IR + Q C U 0 e iωt L d2 Q dt 2 = dq dt R + Q C Co daje nam równanie oscylatora harmonicznego z siłą wymuszającą! U 0 e iωt = L d2 Q dt 2 + dq dt R + Q C Wnioski natychmiastowe, z porównania z rozwiązaniami oscylatora: F 0 m eiωt = d2 x dx + 2γ dt2 dt + ω 0 2 x Rozważając drgania ustalone (dla czasu dostatecznie długiego od chwili włączenia): Ile wynosi częstotliwość rezonansowa ω 0? Jakie są jednostki ω 0 (przeprowadź rachunek na mianach)? Ile wynosi okres drgań? T 0 = 2π/ω 0 Co odpowiada za tłumienie? Kiedy tłumienie w obwodzie jest duże, a kiedy małe? Jaka jest faza pomiędzy prądem i napięciem? Ile wynosi ta faza w rezonansie? (Te pytani ejest trudne, wymaga rozwiązania szczegółowego równania różniczkowego) 10
Wskazówka: Równanie ogólne: ma rozwiązanie x(t) = Ae iβt gdzie β = γ ± γ 2 ω 0 2 d 2 x dx + 2γ dt2 dt + ω 0 2 x = 0 9. Przykłady układów RLC Oblicz zawadę i przesunięcie fazowe na wyjściu układu, do którego przyłożono zmienne napięcie U we = U 0 e iωt : Znajdź zależność napięcia wyjściowego od częstości ω. To samo dla kolejnych konfiguracji: A) B) C) D) 11
Układ A) to tzw. układ różniczkujący. U C = U we U wy = 1 C Idt stąd I = C d dt (U we U wy ) i mamy, zakładając U wy U we U wy = IR = RC d dt (U we U wy ) RC du we dt Czy jest to filtr górno-, czy dolno-przepustowy? Co oznacza stwierdzenie, że stała czasowa układu to 1/RC? Przykład praktyczny dzielnika napięcia 1. Załóżmy, że chcemy zmierzyć szybko zmieniający się w czasie sygnał, a dysponujemy długim kablem BNC. Niestety końcówka kabla nie była odpowiednio przylutowana (powstał tzw. zimny lut o pasożytniczej pojemności C często dla bardzo wysokich częstotliwości taki zimny lut zachowuje się jak kondensator). Jakie sygnały możemy mierzyć w tym układzie? Układ B) to tzw. układ całkujący: U wy = Q C = 1 C Idt = 1 RC U wedt Czy jest to filtr górno-, czy dolno-przepustowy? Co oznacza stwierdzenie, że stała czasowa układu to 1/RC? Przykład praktyczny dzielnika napięcia 2. Załóżmy, że chcemy zmierzyć szybko zmieniający się w czasie sygnał, a dysponujemy długim kablem BNC. Taki kabel ma swoją pojemność C kabla (odbiornik tez może mieć swoją pojemność wejściową C we ). Jakie sygnały możemy mierzyć w tym układzie? Dlaczego audiofile taką wagę przywiązują do dobrych kabli? 12
Przykład praktyczny dzielnika napięcia 3. Czasami niektóre kable (np. do monitora) mają charakterystyczne zgrubienie kabel kilkukrotnie owinięty jest wokół rdzenia ferrytowego jest to tzw. dławik ferrytowy. Jaka jest jego rola czy jest to filtr górno-, czy dolno-przepustowy? Jak zachowuje się w przypadku zakłóceń sygnału w postaci nagłych igieł napięcia? Przykład praktyczny dzielnika napięcia 4. Przeanalizuj problem pojawiający się w bardzo długich kablach (tzw. linia długa): Gdzie zwykle podaje się (na jednostkę długości); pojemność kabla c, jego rezystancję r 1, indukcyjność l, przewodność izolacji 1/r 2 (oporność to odwrotność przewodności, często podaje się też upływność). Bez wykonywania obliczeń (no, chyba że ktoś lubi) przedyskutuj propagację impulsu prostokątnego w takim kablu. Jaki warunek musi spełniać rezystancja odbiornika (obciążenie), żeby impuls się nie odbił? Dlaczego do takiej linii trzeba się dopasować (obciążyć impedancją dopasowaną)? Dlaczego kable Ethernetowe (do przesyłania impulsów elektrycznych między komputerami) nie mogą być dowolnie długie, a karty sieciowe muszą spełniać specyfikację np. dot. obciążenia wejściowego? 10. Podziękowania Podziękowania: dla dr Tomasza Słupińskiego oraz dr Piotra Nieżurawskiego.za pomoc w przygotowaniu zadań. 13
11. Praca domowa (100p) Zadanie 1 (5p) Ile wynosi natężenie prądu I jeśli E = 31 V oraz R =1 kω. Zadanie 2 (5p) Oblicz pojemność całkowitą układu zastępując wszystkie oporniki z zadania 1 kondensatorami o pojemności C. Zadanie 3 (10p) Policz moc wydzieloną na każdym z oporów R: A) B) 14
Zadanie 4 (25p) Narysuj (komputerowo!) charakterystyki częstotliwościowe: amplitudową i fazową napięcia na wyjściu (oscyloskopie) dla układu (dla stanu ustalonego): Wyznaczyć częstości graniczne układu (należy sprawdzić w literaturze co to są częstości graniczne) oraz impedancję i zawadę układu. Podaj odpowiednie wzory matematyczne. Wskazówka wykres zaznacz na skali logarytmicznej. Oznacz, który filtr jest górno-, a który dolno-przepustowy. Zadanie 5 (25p) Zastąp kondensatory w zadaniu 4 (powyżej) cewkami o indukcyjności L=2 mh i przeprowadź taką samą analizę rozwiązania jak w zadaniu 4. Zadanie 6 (30p) Narysuj (komputerowo!) charakterystyki częstotliwościowe: amplitudową i fazową napięcia na wyjściu (oscyloskopie) dla układu (dla stanu ustalonego). Podaj odpowiednie wzory matematyczne. Przyjmij R =1 kω, C =100 nf, L =2 mh. Przyjmij, że cewka ma niewielki opór wewnętrzny r=10 Ω. Przedyskutuj (zaproponuj sposób tej dyskusji!) jak zmieni się charakterystyka amplitudowa gdy cewka będzie miała bardzo duży opór? Wskazówka wykres zaznacz na skali logarytmicznej. A) B) Który z powyższych filtrów może mieć zastosowanie w radiu (żeby dostroić się do określonej częstotliwości fali radiowej)? Dla jakich parametrów r, L i C napięcie wyjściowe w takim układzie radiowym jest maksymalne? 15