Równania Różniczkowe Zwyczajne Wykłady na Wydziale MIM UW, w semestrze wiosennym 2000 r. Feliks Przytycki Współredakcja i skład: Radosław Adamczak

Równania Różniczkowe Zwyczajne Wykłady na Wydziale MIM UW, w semestrze wiosennym 2000 r. Feliks Przytycki Współredakcja i skład: Radosław Adamczak 13 lipca 2001

Spis treści 1 Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych. 3 2 Podstawowe definicje. Zagadnienie Cauchy ego. Warunki na istnienie i jednoznaczność rozwiązań: Twierdzenie Peano i Twierdzenie Picarda-Lindelöfa. 9 3 Rozwiązania wysycone. Ciągła zależność rozwiązań od warunków początkowych. 14 4 Gładka zależność rozwiązań od warunków początkowych, czasu i parametru. 22 5 Twierdzenia o prostowaniu. Potok dyfeomorfizmów generowany przez równanie różniczkowe. Rozmaitości różniczkowe. Równania na rozmaitościach. Obmotka 28 6 Całki pierwsze. Czynnik całkujący. Metody rozwiązywania równań różniczkowych(zestawienie). 36 7 Układy równań liniowych. 42 8 Wahadło z tarciem. Stany równowagi- klasyfikacja. Figury Lissajous 50 9 Układ fundamentalny. Wrońskian. Zachowywanie miary Lebesgue a przez dyfeomorfizmy potoku pola z dywergencją¼(twierdzenie Liouville a). Równanie Hamiltona. Informacja o Twierdzeniu Ergodycznym Birkhoffa. 57 10 Rozwiązanie w postaci szeregów potęgowych. Równanie Hermite a. Zastosowanie w równaniu Schrödingera. Równanie Schrödingera. Równania jednorodne rzędu¾ze zmiennymi współczynnikami. Układy niejednorodnych równań liniowych 66 11 Stabilność asymptotyczna i Lapunowa. Twierdzenie Hadamarda-Perrona. Równania liniowe z okresowymi współczynnikami: rezonans parametryczny. 72 12 Nieliniowe równania różniczkowe. Informacja o teorii KAM. Ruch w polu sił centralnych. Informacja o bifurkacji Hopfa i atraktorze Lorenza. 82 A Przykłady zadań i pytań egzaminacyjnych 89 1

Niektóre polecane podręczniki: [1] W. I. Arnold Równania Różniczkowe Zwyczajne, PWN, 1975. [2] W. I Arnold Metody Matematyczne Mechaniki Klasycznej, PWN, 1981. [3] W. I. Arnold Teoria Równań Różniczkowych, PWN, 1983. [4] P. Hartman Ordinary Differential Equations, J. Wiley and Sons, New York 1964. [5] J. Ombach Wykłady z Równań Różniczkowych, Wyd. UJ Kraków,(Wyd II) 1999. [6] A. Palczewski Równania Różniczkowe Zwyczajne, Wyd. Nauk.-Tech. Warszawa 1999. Wykłady kontynuowane były w r. ak. 2000/2001 jako Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych i Układy Dynamiczne. Polecana literatura [7] J. Guckenheimer, P. Holmes Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer 1983. [8] A. Katok, B. Hasselblatt Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Cambridge University Press 1995. [9] C. Robinson Dynamical Systems Second Ed., CRC Press 1999. [10] P. Walters An Introduction to Ergodic Theory, Springer-Verlag 1982. 2

Wykład 1 Ü Ý Üµ Ý Ý¼ ݵ Przykład 1 ZnaleźćfunkcjęÝ Ý Üµ,taką,że Rozwiązanie:Ý Üµ Ü,dladowolnejliczbyrzeczywistej. JeślizadamywarunekpoczątkowyÝ Ü¼µ ¼,to ¼ ܼ,czyli ¼ ܼ. ݼ Ü Ýµ Ü Ý¾Ê (1.1) Ogólniej, będziemy rozpatrywać równanie różniczkowe tzn.poszukiwaćfunkcjiróżniczkowalnejý Ê Ê,takiejabyrównanietobyłospełnione. Uwagi: Równanie ma następującą interpretację geometryczną: styczne wykresu szukanej funkcji Inaczejmówiąc,wektorstycznydowykresu,parametryzowanyzmiennąÜ: Ü Ý Ü ½ Ýwpunkcie Ü Ý Üµµsąnachylonedoosiodciętychpodkątemotangensierównym Ü Ý Üµµ. Ý Ü Ýµ ܵ(inneoznaczenie: Ü Ýµ)jestrówny ½ Ü Ý Üµµµ.NaogółkropkaoznaczapochodnąpozmiennejØ, nazywanejczasem.jeśliø Üto Ü Ýµ ½ Ü Ýµµ,czylirównaniemapostaćukładu: ProblemrozwiązaniarównaniasprowadzasięzatemdoznalezieniakrzywychÜ Øµ Ý Øµ,spełniających dany układ. Jeśli Ü Ýµ ݵ,tzn. niezależyodczasuü,tomówimy,żerównaniejestautonomiczne, w przeciwnym razie, że jest nieautonomiczne. Przykład 2(Jak powstaje równanie różniczkowe) Jeśliprzez oznaczymyroczneoprocentowanie,natomiastprzezæ¼-kapitałpoczątkowy, to,przyzałożeniu,żekapitalizacjanastępujecorok,poìlatachmamykwotęæ¼ ½ µì. Przypuśćmy,żekapitalizacjanastępujeczęściej,wodcinkachczasu½Ò,zoprocentowaniem Ò. WtedypoÌlatachmamykwotęƼ ½ ÒµÒÌ.GdyÒ ½mamyÆÌ Æ¼ Ì,czyliwięcej niżæ¼ ½ µì(zauważmy,że½ jestczęściąliniowąfunkcji wpunkcie¼). 3

Wykład 1 4 y x trajektoria Rysunek1.1:Równanieautonomiczneݼ Ý y x Rysunek1.2:Równanienieautonomiczne,funkcja zależyodczasuø ÆØ Ø ÆØÆØ ØÆØ Do zagadnienia tego można podejść inaczej: Poczasie Ø ½Òµmamyprzyrostkapitału Wgranicy,dla Ø ¼mamy Ø ÆØ (1.2) atorównanieróżniczkowemarozwiązanieæø Ƽ Ø,jeśliwmomencieØ ¼wartością rozwiązania jestæ¼. Obie metody prowadzą do tego samego wyniku. Rozwiązanie równania(1.2) można zatem znaleźć rozpatrując kolejne przybliżenia, krok po kroku. Sposób ten nazywa się otwartym schematem Eulera.

Wykład 1 5 prawdziwa trajektoria trajektoria schematu Eulera Rysunek 1.3: Schemat Eulera Przykład 3(Rozmnażanie bakterii) PoczasieÌmamyƼ ½ µìbakterii,jeślipoczasie½każdabakteriadzielisięna ½. Jeśli jednak bakterie dzielą się nie wszystkie jednocześnie, po upływie całkowitej liczby jednostekczasu,alekażdawinnymmomencie,możnaprzyjąć,żepoczasie½òpodzielisięichæ¼ Ò Æ¼ Ò ½ µ Ƽ Ƽ zatembędzieichæ¼ Ò, Ò Æ¼ ½ Òµ.StądpoczasieÌliczbabakteriiwynosićbędzieƼ ½ ÒµÒÌ.Sytuacjajestwięcanalogicznadopoprzedniegoprzykładu. Ü Zmianę liczby bakterii w czasie można opisać tym samym równaniem. Przykład 4(Efektywność reklamy) Poniższe równanie opisuje rozchodzenie się informacji o produkcie. Ø Ü Æ Üµ (1.3) gdzieü Ü Øµoznaczaliczbęosób,którepoupływieczasutwiedząoprodukcie,natomiast Æ-liczebnośćpopulacji.Oczywiście¼ Ü Æ.Zrównaniategowynikawszczególności, że reklama rozchodzi się najszybciej, gdy połowa osób wie o produkcie. Jeśli o produkcie wie niewiele osób lub prawie wszyscy, liczba poinformowanych wzrasta wolno. N x ( t) t Rysunek 1.4: Rozchodzenie się wiedzy o produkcie

Ü Æ ½Üµ Ü Wykład 1 6 Ø Ø Ø Równanie(1.3) możemy rozwiązać przez rozdzielenie zmiennych: Ü Æ ½Üµ Ü Ø Całkując lewą stronę przez podstawienie, otrzymujemy: (Formalniemożnabyłoodrazunapisać Ü Ü Æ Üµ Ø Ü Æ Üܵ Ø czyli ½Æ ½Ü Ü Ü Æ ½ Całkowanie przez podstawienie jest ÐÓ Ü ÐÓ Æ Æ ½Ü ܵ Ø uzasadnieniem Ü Æ Ø poprawności tych napisów. Można także powołać się na język form różniczkowych). Następnie, używając rozkładu ܵna ułamki proste, otrzymujemy: Æ dalej,dlaø ؼ Ü Øµ Æ,bodlaÜ Æ: Ü Ü Æ Wostatnimrównaniumożemy Ü zastąpićprzezü,gdyżdla¼ Ü Æmamy Ü oznaczatutajdowolnąstałą,dlategozamiastæ,piszemy. Ø ¼, zatemü صjest funkcją monotoniczną rosnącą; jej wartość nie może spaść poniżej 0. Podobnie Ü możnazastąpićprzezæ Ü Ø Ü Æ Ü(Ü Æ).Jeślinawetwpewnymmomencieؼ:Ü Æ,to ܵ ¼.DlaÜ Ærównaniemożemy uznać za nieokreślone, ze względu na interpretację fizyczną. Można je jednak dookreślić, np. tymsamymwzorem(1.3).wówczasü ص Æ,jeśliÜ ¼µ Æ,niejestmożliwe,bodlaÜ Æ, ܵ ¼. x N t Zatem Æ Ü Øµ Ü Øµ Æ Ø Rysunek1.5:RozwiązanieÜ ØµniemożeprzejśćprzezprostąÜ Æ.

Ü Øµ Æ Æ Ø ½ Æ Ø Wykład 1 7 Stąd Stałą możnawyliczyćzrównaniaü ¼µ Æ ½. Przykład 5(Mechanika) Ñ ĐÜ Ø Ü Üµ ÑĐÜ Ø Ü Üµ tzn. ÜÆ͵ (1.4) (1.5) (1.6) ZachowanieÆcząstek w przestrzeniê opisują równania Newtona: Ø Ü Ü µ ÜÍ Üµ Ü½Í gdzieü ܽ ÜƵ¾Ê Æ,Ü ¾Ê oznaczapołożeniei-tejcząstki,zaśñ -jejmasę. jestsiłą,zadanąnp.przezenergiępotencjalną: Í Ü Ñ Ñ Íoznacza potencjał, który może mieć różną postać w zależności od rozpatrywanej sytuacji, np.: Ü -potencjałnewtona ZbiórÊ Ænazywamyprzestrzeniąkonfiguracyjną,natomiastzbiór Ü Üµ -przestrzeniąfazową.przezdołączeniewspółrzędnejczasu,otrzymujemy Ø Üµ -rozszerzonąprzestrzeńkonfiguracyjnąoraz Ø Ü Üµ -rozszerzonąprzestrzeńfazową. ÑĐÜ Ñ Przykład 6(Pojedyncza cząstka w polu grawitacyjnym) Zachowanie cząstki pod wpływem sił grawitacji opisane jest równaniem różniczkowym drugiegorzędu: (1.7) Ü Ú Symbol oznaczaprzyspieszenieziemskie.abyrozwiązaćpowyższerównanie,zastępujemy Ú je układem dwu równań pierwszego Ü Ø ½ Ñ Ú rzędu, ½¾Ø¾ ½Ø ¾ Ñ poprzez wprowadzenie nowej zmiennejú(oznaczającejprędkośćcząstki): Otrzymujemy ĐÜ Ü (1.8) Podobnie jak w poprzednim przykładzie, wprowadzamy zmienną pomocnicząúi zapisujemy Stałe ½ ¾oznaczająodpowiednioprędkośćipołożeniecząstkiwchwiliØ ¼. Ü Ú Przykład 7(Drgania- oscylator harmoniczny) Ú Ü równaniewpostaciukładu

Wykład 1 8 v x Rysunek 1.6: Oscylator harmoniczny Rozważmyfunkcję Ü Úµ ܾ ¾ Ú¾ Ü Ú Ú Ü ¾. Zauważmy, że otrzymany układ równań można zapisać wpostaci Ø Ü Ü Ú Ú Ü Ú Ú Ü ¼ Tego typu układy nazywamy układami Hamiltonowskimi. Funkcja E jest stała na trajektoriachukładu.możnasięotymprzekonaćróżniczkującfunkcję Ü Øµ Ú Øµµ: Funkcję E nazywamy energią, składnikü¾ ¾- energią potencjalną, zaśú¾ ¾- energią kinetyczną.

Wykład 2 Ø Ü Ü ĐÜ Ü Òµµ ¼ Definicja 2.1 Równanie różniczkowe zwyczajne rzęduò: Ø Ü Øµ Ü Øµ Ü Òµ صµ ¼ Równanie (2.1) gdzie ʽ Ò ½µ Ê,oznaczarównaniedlakrzywejÜ Øµ,wprzestrzeniÊ.Rozwiązaniem (trajektorią, krzywą całkową) tego równania nazywamy każdą krzywąü صtaką, że Ü Ø Ü Øµ ÒÜ ØÒ Ü Òµ ص Uwaga Równanie(2.1)możnainterpretowaćniecoinaczej,traktującÜ Ü Ü Òµjakozmienneniezależne.Rozwiązaniemnazywamywówczaskrzywą Ø Ü Øµ Ü Òµ صµwʽ Ò ½µ,spełniającą (2.1),taką,że Równanie typu(2.1) nazywamy równaniem w postaci uwikłanej, natomiast o równaniu Ü Òµ Ø Ü Ü Ò ½µµ Ø ½ Ü Ü½ (2.2). ÜÒ Twierdzenie2.1(Peano)Oznaczmyà ؼ ؼ Ü ¾ ÜÒ ½ Ø Ü Ü½ ÜÒ ½ ½µ Ü Ø Üµ ܼ ÊÑ ½.Niech à ÊÑbędziefunkcjąciągłą, ÙÔ Ø Üµ¾Ã Ø Üµ Å.WtedyzagadnienieCauchy ego, znalezieniatakiejfunkcjiü ص,że mówimy, że ma postać rozwikłaną. Takie równanie można zastąpić równaniem autonomicznym (tzn. z prawą stroną niezależną od czasuø) rzędu½, równoważnym układowiò ½równań: (2.3) ispełnionyjestwarunekpoczątkowyü ؼµ ܼ,marozwiązanienaodcinku ؼ ؼ «, «Ñ Ò Åµ(nakrańcachprzedziału ؼ ؼ «, Üoznaczapochodnąodpowiedniolewo-,prawostronną). 9

Ü Øµ ܼ Ø Wykład 2 10 Lemat 2.1 Zagadnienie Cauchy ego(2.3) ma rozwiązanieü صróżniczkowalne na odcinku ؼ ؽµlub ؼ ؽ wtedyitylkowtedy,gdyrównaniecałkowe: ؼ Ü µµ (2.4) ma rozwiązanie ciągłe Uwaga: Jeśli(2.4) ma rozwiązania ciągłe, to z ciągłości F rozwiązania te są automatycznie klasy ½,jakolewastronarównania(2.4). Ü Øµ Ü Ø¼µ Ø Dowód lematu Przypuśćmy, że funkcjaü صspełnia Ü Øµ ܼ Øؼ Ü µµ warunek(2.3). Całkując obie strony równania Ü µ ܵwgranicachodؼdoØikorzystajączÜ Ø¼µ ܼotrzymujemy: ؼ Ü µµ czyli Aby udowodnić drugą implikację wystarczy zróżniczkować stronami równość(2.4). ¼ Æ ¼ ؽ ؼ½ ؾ ؼ¾ ØÒ Ø¼ÒÒ ½Ø¼ Ø ÆµÒ ½ Ü Ø¼ µ Ü Ø µ Uwaga MasenspytanieoistnienierozwiązańzagadnieniaCauchy egojeśli niejestciągłe,wśród funkcjiü ص, bezwzględnie ciągłych, tzn. spełniających Dlatakichfunkcji ÜistniejebowiemprawiewszędzieorazÊØ Ø¼ Ü Ü Øµ Ü Ø¼µ(całkawsensie Lebesgue a), można więc w szczególności przejść do równania(2.4). naodcinkach ؼ ҫؼ ½ ÜÒ Ø¼µ ܼ Ò«¼ ½ Ò Dowód twierdzenia Peano DladowolnejliczbynaturalnejÒdefiniujemynaprzedziale ؼ ؼ «funkcjęüò ص,kolejno dlaø¾ ؼ ҫؼ ½ ÜÒ Øµ ÜÒ Ø¼ Ò«µ ؼ Ò«ÜÒ Ø¼ Ò«µµ Ø Ø¼ Ò«µµ ½,wedługwzoru: mamy ÜÒ Ø½µ (2.5) Ò«.Tadefinicjamasensjeśli ÜÒ Ø¼ Ò«µ ܼ.Sprawdzimytę własność poniżej: Przypuśćmy,żeistniejeliczbaؽ ؼ ؽ ؼ «taka,że ÜÒ Ø½µ ܼ idlaø¼ Ø Ø½ ܼ ;wszczególnościdefinicjawzorem(2.5)masensdlaø ؽ.

Wykład 2 11 x 0 t t 0 0 + Ø Ø¼¾ ؼ ؼ «ÜÒ Øµ ÜÒ Ø¼µ Å Ø Ø¼ ÜÒ Ø½µ ÜÒ Ø¼µ Šؽ ؼ Å Å Ò«sąafinicznezpochodną ؼ Ò«ÜÒ Ø¼ Ò«µµ, Æ Ò Ø Ø¼ Ø Ø¼ Ƶ ÜÒ Øµ ÜÒ Ø¼µ Rysunek 2.1: Tw. Peano. Rozwiązanie jest granicą łamanych Eulera. FunkcjeÜÒ Øµsą ciągłe w sensie Lipschitza ze stałąåtzn. gdyżnaodcinkach ؼ ҫؼ ½ a Å.Istnienieؽprowadziwięcdosprzeczności,ponieważ PowyższąmetodąmożemywięcokreślićÜÒdlaØ Ø¼ iø ؼ Å.Krzywa Ø ÜÒ Øµµbędzie wówczas zawarta wã. Jako Lipschitzowskie ze wspólną stałąå, funkcjeüòsą jednakowo ciągłe, tzn. α Oznaczmy Ò Øµ ؼ Ò«ÜÒ Ø¼ Ò«µµ,dlaؾ ؼ ҫؼ ½ Zatem z twierdzenia Arzeli-Ascoliego z ciąguüòmożna wybrać podciąg jednostajnie zbieżny. Dla uproszczenia oznaczeń możemy przyjąć, że sam ciągüòzbiega jednostajnie do pewnej funkcjiü ص. Pokażemy że funkcja ta ÜÒ Øµ ܼ Ø jest rozwiązaniem problemu Cauchy ego. W tym celu, na podstawie lematu, wystarczy wykazać, że jest rozwiązaniem ؼ Ò µ całkowej postaci(2.4) problemu Cauchy ego. Ò«µ. Wówczas Ü Øµ Ð Ñ Ò ½ÜÒ Øµ ܼ Ð Ñ Ò ½ Ø Ø¼ Ò µ ܼ Ø Ø¼Ð Ñ Ò ½ Ò µ ܼ Ø Ø¼ Ü µµ Zachodzitakże Ò µ Ü µµ,ponieważüò ؼ Ò«µ³Ü ؼ Ò«µ,afunkcja jest jednostajnie ciągła. Zatem Powyższa równość kończy dowód twierdzenia Peano.

Wykład 2 12 Uwagi: 1. Szukanie rozwiązania równania różniczkowego powyższą metodą, przez definiowanie ciągu ÜÒnazywa się otwartym schematem Eulera. Metoda ta została już wspomniana w wykładzie 1. 2. Każdy zbieżny podciąg ciąguüòdaje w granicy rozwiązanie problemu Cauchy ego. Udowodnienie jedyności rozwiązania implikować więc będzie, że wszystkie zbieżne podciągi (azatemtakżecałyciągüò)sązbieżnedoü ص. Twierdzenie 2.2(Picarda-Lindelöfa) Jeśli,jakpoprzednio, à ÊÑ,gdzieà ؼ ؼ Ü Ø Üµ Ø Ýµ¾Ã Ø Üµ Ø Ýµ Ä Ü Ý Ü¼ ÊÑ ½oraz ÙÔà Åi jestciągłaorazciągławsensielipschitzawkierunkuüzestałaä,tzn.: toistniejedokładniejednorozwiązanieproblemucauchy egonaodcinku ؼ ؼ «¼,gdzie «¼ Ñ Ò Å Äµdladowolnieustalonejliczby¼ ½. x t Rysunek 2.2: Niejednoznaczność Ü Ü ¼ ½ Ü ¼ rozwiązań problemu Cauchy ego. Przykład(Rysunek 2) Ü Ü Ø Rozważmy następujące równanie różniczkowe: Stosując metodę rozdzielania zmiennych otrzymujemy: ½ ½ ܽ Ü Øµ ½ Ø µ½ ½ Ø µ½ ½ oileü ¼,więc

Wykład 2 13 dlaø (zamieniliśmywoznaczeniach na ).DlaØ torozwiązanieprzedłużasiędo Ü µ ¼.Mamywówczasprawostronnąpochodną Ü µ ¼.Istniejetakżeinnerozwiązanie: Ü Øµ ¼.Zatemdlażadnegoؼ¾ÊniemajednoznacznościrozwiązańzagadnieniaCauchy ego Ä Ùµ ص ܼ Ø zwarunkiempoczątkowym,ü ؼµ ¼. ؼ Ù µµ Dowód twierdzenia Picarda-Lindelöfa Ü Zauważmy, że operatorä, zdefiniowany wzorem Ä Ùµ ص ܼ Ø Ø¼ Ù µµ Å Å przeprowadzaprzestrzeń funkcjiciągłychz ؼ ؼ «¼,owartościachwzbiorze ܼ ÊÑ,takich,że٠ؼµ ܼwsiebie,gdyż Ä Ùµ ص Ä Úµ ص Ø Ä Ø Ø¼ Ù µµ Ú µµ PonadtoÄjestkontrakcją.Załóżmybowiem,żemamydwiefunkcje٠ص Ú Øµ¾.Wtedydla ؼ Ù µ Ú µ każdegoø¼ Ø Ø¼ «¼: Przestrzeń,naktórejdziałaÄ,jestwmetryce ÙÔ Ù µ ؼ ؼ «¼ Ù µ Ú µ Ú µ zupełna.zatemztwierdzeniabanachaoodwzorowaniuzwężającymistniejedokładniejedenpunktstałyù Ä Ùµ. FunkcjaÙjest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego. Uwagi: 1. Istnienie rozwiązania udowodniliśmy już w Tw. Peano. W dowodzie Tw. Picarda-Lindelöfa nowościąbyłajedynośćrozwiązania,prawdziwadziękilipschitzowskości. 2.Warunek«¼ Ä ½Äjesttylkotechniczny.Gdyby ¼ «(«-stałaztwierdzeniapeano) byłostatnimczasem,takim,że ¾ ؼ ¼ Ù µ Ú µ,powyższetwierdzeniezastosowane dlaø¼ ¼,dałobyrównośćÙ µ Ú µ,takżewpewnymprzedziale ¼ ¼,coprzeczy definicji ¼.

Wykład 3 Definicja3.1Załóżmy,żefunkcja jestokreślonanaobszarzeotwartym Ê ÊÑ.Mówimy,żedlaÙ Ú-rozwiązańrównania Ü Ø Üµ,naodcinkachczasu(otwartych,otwartodomkniętychlubdomkniętych)ÚprzedłużaÙ(piszemyÙ Ú),jeżeliwykresÙjestzawarty w wykresieú. Jest to relacja częściowego porządku. Dla dowolnego liniowo uporządkowanego podzbioru rozwiązań istnieje rozwiązanieù, zawierające jego wszystkie elementy(jakoùnależy wziąć sumę teoriomnogościową danego podzbioru). Zatem, z lematu Kuratowskiego-Zorna, dla każdego rozwiązaniaù, istnieje rozwiązanieú, które już nie da się przedłużyć(maksymalne w sensie inkluzji). Takie rozwiązanie nazywa się wysyconym. Możliwość rozszerzenia dowolnego rozwiązaniaùdo rozwiązania wysyconego możemy udowodnić także w sposób czysto analityczny, poprzez przedłużanieùdo rozwiązania takiego, że najegodziedzinie µ,dlaø lubø zachodziù ص.Takierozwiązaniemusi byćwysycone,gdyżwprzeciwnymwypadkujegodalszerozszerzenieprzechodziłobyprzez, czyliniebyłobyzawartew (gdyżzzałożenia jestzbioremotwartym). Uwaga Ponieważ jestzbioremotwartym,dziedzinąrozwiązaniawysyconegoùmożebyćtylko przedziałotwarty µ, ½ ½.GdybydziedzinąÙbyłnp.odcinek,to Ù µ¾ iùmożnabyprzedłużyćna µztw.peano(torozumowaniezawartejestteż w dowodzie poniższego Tw. 3.1). Twierdzenie3.1JeśliÙjestrozwiązaniemwysyconymnadziedzinie(a,b),todlaØ,Ø Ò Ø Üµ¾ Ø Üµ µ ½Òi Ø Üµ Ò Przypuśćmy, żeùjest rozwiązaniem Ò Ø Üµ Ø Üµ Ò wysyconym. Dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej Òzdefiniujmy: oile jestniepusty( oznaczaodległośćeuklidesowąwê ÊÑ).Wprzeciwnymprzypadku niech: Oznaczmy ÙÔ Ø Üµ¾ Ò Ø Üµ symbolemåò. mamyù ص lubø ½lubÙ ½. Dowód twierdzenia 3.1 Ò Ò Ø Ù Øµµ¾ Ò Ø Ø Òµ Ù µµ¾ Ò ½ 14

Wykład 3 15 Za Òmożnawziąćnp. ½Ò Ò ½µ ½ dużychæ Ò Ò¼µmamyØÒ ØÒ ÅÒ ½. BezstratyogólnościmożemyrozpatrywaćjedynieØ orazprzyjąć,że ½(jeżeli ½,totezatwierdzeniajestprawdziwa).Przypuśćmy,żedlaØ tezaniezachodzi.zatem istniejeciągrosnącyøò± oraz,takie,żedlakażdegoò ØÒ Ù ØÒµµ¾.Dladostatecznie ½ Ò,więc٠ص¾ ½dlaØ ØÒ¼.Stądwynika,że ٠صjestciągławsensieLipschitzazestałąÅ ½,zatemprzedłużasiędo wsposóbciągły. Ponieważ Ù Ø Ù Øµµoraz jestciągławù µ¾ ½,więc Ùteżjestlewostronnie ciągław.zatem(analizai)ùmapochodnąlewostronnąw,równąð ÑØ Ù Øµ.Ztwierdzenia PeanoistniejerozwiązanieÚna zwarunkiempoczątkowymú µ Ù µ.zatemù Ú przedłużaù, co jest niemożliwe, gdyżùjest z założenia rozwiązaniem wysyconym. Uwaga Z powyższego dowodu wynika następujące stwierdzenie: Stwierdzenie3.1Jeśli٠صjestrozwiązaniemrównania ٠ص Ø Ù Øµµna µorazistniejegranicað Ñر Ø Ù Øµµ,to٠صprzedłużasięciągledoØ ipochodnalewostronna Ù µ. Następująca konstrukcja, wspomniana już przy dowodzie istnienia rozwiązań wysyconych, pozwala przedłużyć dowolne rozwiązanie do pewnego wysyconego i pokazuje, dlategorozwiązaniatezatwierdzenia(3.1)zachodzi:przypuśćmy,żeù,określonena µ nie jest wysycone, powiedzmy, z prawej strony. Zatem możemy je przedłużyć przynajmniej do.(niemusimykorzystaćzstw.3.1,tzn.zrozumowaniadającegoprzedłużalnośćdo,botęprzedłużalnośćzałożyliśmy.)zbiór Ø Ù Øµµ Ø,jakozbiórzwarty,jest zawartyw,dlapewnego.dopókikrzywajestzawartaw,przedłużamykrokami na, ¾,...Poopuszczeniu,znajdującsięw ½,przedłużamykrokami ½, itd.wtensposóbmożemyprzedłużyćrozwiązanienapewienprzedział ¼µ.Jeśli ¼ ½,to zkonstrukcjiistniejeciągøò ± ¼,taki,że ØÒ Ù ØÒ µµ¾ Ò ½.Ponieważ ½,mamy ½ ¼,więcdlakażdegoustalonego ¼,krzywa Ø Ù ØµµdlaØÒ Ø ØÒ ½dladużych,nieprzecina ¼.Zatem,dlaØ ¼mamy Ø Ù Øµµ lub Ø Ù Øµµ ½. Uwaga Okazało się, że łatwiej udowodnić przedłużalność niewysyconego rozwiązania do wysyconego, spełniającego tezę Tw. 3.1, niż dowodzić tę tezę dla dowolnego, z góry danego rozwiązania wysyconego; nie potrzeba wtedy Stw. 3.1.

Wykład 3 16 Ü Ü Ü¾½Ü Ø Przykład JednymzrozwiązańjestÜ ¼.Policzymyinne.Mamy: Dlaر mamyü ص±½,dlaز mamyü ص² Ü Øµ ½Ø ܾ Øwięc Zatem całymê Ê,rozwiązaniasąwysyconenapółprostych ½ µ ½µdla ¾Ê.Dlaر ½.Chociaż określonejestna mamy ucieczkę do½w skończonym czasie. Ú Øµ Ø Rysunek3.1: Ü Ü¾-dziedzinamirozwiązańwysyconychsąpółproste. Lemat3.1(Gronwall-wariantcałkowyliniowy)Niechà ¼, ¼,ؼ ؽ.Jeśli funkcjaciągłarzeczywista,nieujemnaú ؼ ؽ Êspełnianierówność: dlawszystkichø¾ ؼ ؽ,to,takżedlawszystkichؾ ؼ ؽ spełnianierówność: ÐÓ Í Øµµ¼ ͼ ص Dowód lematu Gronwalla Załóżmynajpierw,że ¼.OznaczmyÍ Øµ ÊØ ÐÓ Í Øµ ÐÓ Í Ø¼µ Ø Ø¼ ÐÓ Í µµ¼ Ã Ø Ø¼µ Ø¼Ã Ú µ.ponieważã Ú ¼, mamyí ص ¼.Zachodzitakżeͼ ص Ã Ú Øµ.Założenie(3.1)mówi,żeÚ Øµ Í Øµ.Zatem Í Øµ Ã,cooznacza,że: Ú Øµ Ã Ø Ø¼Ã Ú µ ؼµ (3.1) (3.2)

Ú Øµ Í Øµ Í Ø¼µ Ã Ø Wykład 3 Ú Øµ ½ Ø Ø¼µ 17 Ø¼Ã Ú µ Stąd Jeśli ¼,tomożemyjezastąpićdowolnym ½ ¼.Wtedy zatemnamocyjużudowodnionejczęścilematuú ص ½ Ã Ø Ø¼µ.Zdowolności ½otrzymujemy Ú Øµ Ã Ø Ø¼µ ¼. Ú Øµ ½¾ ½ ½¾Ø ½ Ø ¼Ú µ Uwaga Dlaà ¼lematjestfałszywy.DlaprzykładurozpatrzmyfunkcjęstałąÚ ¼ ½ Ê, Ú Øµ ½¾.FunkcjataspełniazałożenialematuGronwalladla ½,à dlaø¾ ¼ ½.JednakdlaØ ½mamyÚ Øµ ½¾ ½,gdyż ½ Jeśli(3.1) zastąpimy analogiczną nierównością różniczkową, to lemat Gronwalla prawdziwy będzie w ogólniejszej wersji: Ú Ø¼µ ܼ Lemat3.2(Gronwall-wariantróżniczkowy)Załóżmy,że Êjestfunkcjąciągłą,określonąnazbiorze Ê Ê,aÚ Ø¼ ؽ Ê-funkcjąróżniczkowalną,spełniającą nierówność: Ú Øµ Ø Ú Øµµdlawszystkichؾ ؼ ؽ oraz Ü Ø¼µ ܼ Ü Øµ Ø Ü Øµµdlaؾ ؼ ؽ (3.3) NiechÜ Øµbędzie rozwiązaniem problemu Cauchy ego: Ú Øµ Ü Øµ Wówczas, jeśli zachodzi jednoznaczność rozwiązań problemu Cauchy ego(lokalna, tzn. dla każdychü ØistniejezbiórÃ,jakwtwierdzeniuPicarda-Lindelöfa,naktórymzachodzijednoznacznośćdlawarunkupoczątkowegoÜ Øµ Ü,np.gdy jestlipschitzowskawzględemü),to: dlakażdegoø¾ ؼ ؽ.

Wykład 3 18 Dowód ÜÒ µ ÜÒ µµ Òµ Ø µ Ú Øµ (3.4) Dlauproszczeniazałóżmy,żeÚjestklasy ½(dowódtylkoprzyzałożeniuróżniczkowalności jest nieznacznie trudniejszy). Podobnie jak w dowodzie twierdzenia Peano definiujemy funkcje ÜÒ Øµ,jednakzamiastustalonegoaprioriciągu ؼ Ò,definiujemy indukcyjnie.mając dane,bierzemy ½ Ò,oile dlakażdegoø: Ø Ò,gdzieciąg Òjestdowolnieustalony,tak,żeby Ò²¼,np. Ò ½Ò.Jeślinierówność(3.4)niezachodzi,to ½definiujemyjakonajmniejszeØ,dlaktórego w(3.4) jest równość. Jeśli stałe Òsą dostatecznie małe(w szczególności Ò²¼; zależą od Ò),totadrugasytuacjazachodzinieczęściejniżdlacodrugiego.Zatemwskończonejliczbie krokówdojdziemydoø½,końcaprzedziału.zkonstrukcjimamyüò ص Ú ØµorazÜÒ Øµ Ü Øµ, więcü ص Ú Øµ. Uwaga Bez założenia jednoznaczności otrzymujemy powyżej, podobnie jak w dowodzie Tw. Peano, istnienierozwiązaniaü ص Ú Øµ,jakojednostajnejgranicypodciąguÜÒ Øµ. x 0 v (t) v (t 0 ) Rysunek 3.2: Ilustracja dowodu różniczkowej wersji lematu Gronwalla Uwaga Wersja całkowa lematu Gronwalla wynika łatwo z wersji różniczkowej, przy czym funkcja liniowaü à Üwwersjicałkowejmożebyćzastąpionadowolnąciągłąfunkcją Ø Üµ,rosnącą zewzględunaü. Dowód Oznaczmy,jakwdowodzieLematu3.1Í Øµ ÊØ Ø¼ Ú µµ.pozróżniczkowaniuotrzymujemy Í Øµ Ú Øµµ.Stąd,korzystajączzałożeniaÚ Øµ Í Øµimonotoniczności,otrzymujemy Í Øµ Í ØµµwięczLematu3.2Í Øµ Ü Øµ,astądÚ Øµ Ü Øµ,gdzieÜ Øµoznacza rozwiązanieproblemucauchy egojakwlemacie3.2dla Ü Ø¼µ. Twierdzenie 3.2(Ciągła zależność rozwiązań problemu Cauchy ego od warunku początkowego)jeśli jestokreślonana Ê ÊÑilipschitzowskazewzględunaܾÊÑ, natomiast ܼ ص ٠صjestrozwiązaniemproblemuCauchy egodlaù ؼµ ܼ,na ؼ ؽ, a ÝÒ Øµ ÚÒ ØµsąrozwiązaniamiproblemuCauchy egodlaýò ܼ,wysyconymina Ø¼Ò Ø¼¼Òµ, toð Ñ Ò Ø¼¼Ò ؽorazÚÒ Øµ ٠صdlaؼ Ö Ø½.

Wykład 3 ÚÒ Øµ ٠ص ÚÒ Ø¼µ ٠ؼµ Ø 19 Dowód twierdzenia 3.2 FunkcjaÚ Øµ ÚÒ Øµ Ø¼Ä ÚÒ µ Ù µ Załóżmy,żeÚÒjestokreślonana ؼ ؽ.Mamy: Ú Øµ Ú Ø¼µ Ø Ø¼Ä Ú µ gdzieätostałalipschitzafunkcji wkierunkuü. ٠ص spełniazałożenialematugronwalla,wariantucałkowego więc ÚÒ Ø¼µ ÚÒ Øµ ٠ص Ä Ø Ø¼µ ÚÒ Ø¼µ ٠ؼµ liniowego: Zatem ٠ؼµ ¼implikuje Ø ÚÒ Øµ ٠ص ¼.Dlazakończeniadowoduwystarczy pokazać,żedlaúò ؼµdostateczniebliskich٠ؼµ,ÚÒistniejenaprzedziale ؼ ؽ.Oznaczmy dist Ø Ù Øµµ µ.(możnaprzyjąć,że ;wprzeciwnymrazieistnienieúòna ؼ ؽ wynika bezpośrednio z Tw. Picarda-Lindelöfa.) Przypuśćmy, rozwiązanieúò صnie przedłuża 3.1;niemożebyćÙ±½zlipschitzowskości ).Zatem ÚÒ Ø¾µ zedlaø ؼ Ø Ø¾, ÚÒ Øµ sięna ؼ ؽ.Wtedyistniejeؾ¾ ؼ ؽ,takie,żedist ؾ ÚÒ Ø¾µµ µ ¾,(wynikatozTw. ٠ؾµ ¾.Możemyzałożyć, ٠ص ¾,możemywięcskorzystaćzwykazanejwpierwszej częścidowodunierówności ÚÒ Ø¾µ PrawastronadladużychÒ,czyli ÚÒ Ø¼µ ٠ؾµ Ä Ø¾ ؼµ ÚÒ Ø¼µ ٠ؼµ ٠ؼµ małychjestmniejszaniż ¾,codaje sprzeczność. v n(t 0 ) ε u(t 0 ) G Rysunek 3.3: Ilustracja dowodu twierdzenia 3.2

Wykład 3 20 Inny dowód twierdzenia 3.2 przeprowadzających ؼ ؽ wêñ, ؼµ ¼,zmetryką ½ ¾µ ÙÔؼ Ø Ø½ ½ ص Załóżmy,że à ÊÑ,à ؼ ؽ Ü i ؽ ؼ Ä Ü¼, Ø Ø¼ ¾Å,gdzieÅ ÙÔà Przypomnijmy sobie dowód twierdzenia Picarda-Lindelöfa, gdzie rozwiązanie równania różniczkowego znajdowane było jako punkt stały operatoraä, działającego na przestrzeni funkcji ciągłychù ؼ ؽ ÊÑ,٠ؼµ Ù¼. Użyjemy teraz podobnego operatora, dla każdego warunku początkowegoý, bliskiegoü¼. ½, ½oraz Ý ÄÝ µ ص Ø Ø¼ Ý µµ ܼ ½¾.Zdefiniujmynaprzestrzeni funkcjiciągłych ص, ¾ ص, przekształcenia: Podobnie jak w twierdzeniu Picarda-Lindelöfa można pokazać, żeäýsą kontrakcjami ze stałą ½.MamywięcparametryzowanąprzezÝrodzinęprzekształceńzwężającychprzestrzenizupełnejmetrycznej.Rozwiązania Ý ØµzwarunkiempoczątkowymÝto Ý Øµ Ý, ܾ Ľ ܵ ľ ܵµ gdziefunkcja ÝtopunktstałydlaÄÝ.Ciągłazależność Ý Øµ Ý Ý ØµodÝwynikazciągłej zależności punktu stałego od przekształcenia zwężającego, opisanej przez następujący lemat: Lemat3.3NiechĽ,ľbędąprzekształceniamizwężającymizestałą ½przestrzenimetrycznejzupełnej µ.załóżmy,że: Ô½ Ô¾µ ½ Wówczas,dlapunktówÔ½ Ô¾¾,stałychodpowiedniodlaĽ,ľmamy: Ô½ Ô¾µ Ľ Ô½µ Ľ Ô¾µµ Ľ Ô¾µ ľ Ô¾µµ Ô½ Ô¾µ Dowód lematu 3.3 więc Ø Äݽ µ ص Äݾ µ ص Ø Ø¼ ݽ µµ ݾ µµ Ø Ø¼µ Ä Ý½ ݾ PrzekształceniaÄÝspełniają: ؼ Ø Ø½ Ý Øµ ÙÔ Ü Øµ ؽ ؼµ Ä Ý Ü Ý Üµ ÙÔ ½ Zatem na mocy lematu(3.3) odległość punktów stałych szacuje się przez więc ½ ؼ Ø Ø½ Ý Øµ Ü Øµ ¼

Wykład 3 21 t max G y n x 0 t 0 Rysunek 3.4: Ciągła zależność rozwiązań od warunku początkowego. Uwaga Wprawdzieudowodniliśmyciągłośćtylkodlaؼ Ø Ø½,jednakmożnatodalejkontynuować,krokami,ażdodowolnegoØ ØÑ Ü,gdzie Ü Øµ,ؼ Ø ØÑ Üjestrozwiązaniemwysyconymzprawejstrony(rys.3.4).Udowodniliśmynawetlipschitzowskąciągłązależność Ý Øµ odý.

Wykład 4 Zajmiemysięterazgładkązależnościąrozwiązań Ü ØµodÜ,przyzałożeniu,żefunkcja jest gładka. Żeby wiadomo było do czego dążymy, policzmy najpierw Ü Ü Øµ, ½ Ñ, zakładając, dla ½ Ñdają:Ø Ü Ø Ü Øµ Ü Ø Ü Øµµ że te pochodne cząstkowe istnieją. Równania: Ü Ü Øµ Ñ ½ Þ Ø Ü Øµµ Ü Ü Øµ Ø Ü Ü Øµ Þ Ø Ü ØµµÆ Ü Ü Øµ (4.1) (4.2) gdzieø Þoznaczajązmiennew Ê ÊÑ. W postaci macierzowej to równanie wygląda następująco: Ø Øµ Þ Ø Ü Øµµ ص (4.3) ZatemfunkcjaØ Ü Ü ØµowartościachwzbiorzemacierzyÑ Ñ,spełniarównanie różniczkowe, nazywane równaniem w wariacjach: Jest to nieautonomiczne liniowe ØÚ Øµ Þ Ø Ü ØµµÚ ص równanie różniczkowe, na przestrzeni liniowej macierzy Ñ Ñ,dlatrajektorii Ü Øµ. Równanie(4.3) można też interpretować(po podziałaniu obiema stronami na dowolny wektorú¾êñispostrzeżeniu,że Ø ØµµÚ Ø ØµÚµjakorównanieliniowewÊÑ: Ú ØµtoobrazwektoraÚpoddziałaniem ص Ü Ü Øµ-różniczkiprzekształcenia,określonego na otoczeniu punktuü¾êñi wartościach wêñ. Twierdzenie4.1(O ½zależności)Jeśli jestciągła,różniczkowalnawkierunkuþipochodnecząstkowesąciągłezewzględunazespółzmiennych Ø Þµ¾,to Ü Øµjestklasy ½ zewzględunazespółzmiennych Ü Øµ. 22

Þ Wykład 4 23 Ø Ø Þ Øµµ Dowód Rozważamy układ równań różniczkowych: Ponieważ Þ istniejeijestciągła, jestlipschitzowskiewkierunkuþnazwartychpodzbiorach (ćwiczenie).gdybyśmyzałożyli,że Þ jestlipschitzowskiewkierunkuþ,tomielibyśmy z twierdzenia Picarda-Lindelöfa istnienie i jednoznaczność rozwiązań problemu Cauchy ego z równaniami(4.4) i na mocy poprzedniego twierdzenia, ciągłą zależność rozwiązań od warunkówpoczątkowych ؼµ, ؼµ.Niewiemyjednakciągleczyistnieje Ü Ü Øµorazczy dlawarunkupoczątkowego ؼµ Á,rzeczywiście ص Ü Ü Øµ(oczywiścietrzebaprzyjąć warunekpoczątkowy ؼµ Á,bo Ü Ü ØµwØ Ø¼tomacierzÁ,gdyż Ü Ø¼µjakofunkcja zmiennejüto identyczność). Należywięcudowodnićdwierzeczy(bezzałożenialipschitzowskości Þ ): Ø Þ Ø Þ Øµµ ص (4.4) 1.Istnienieiciągłązależnośćrozwiązań Ü Øµ, Ü ØµproblemuCauchy ego(4.4)odwarunkupoczątkowegoü(warunekpoczątkowydla Ü Øµjestustalony Ü Ø¼µ Á). Þ Àµ Þ Ø ÞµÆÀ Okazuje się, że wystarczy jedynie lipschitzowska ciągłość przekształcenia 2.Istnienie Ü Ü Øµirówność Ü Øµ Ü Ü Øµ. Ad.1. ¾ÆÀ½ w kierunkuà. Lipschitzowska ciągłość w kierunkuþnie jest potrzebna. Drugierównanieukładu(4.4)jestliniowe.Mamywięcnazbiorzemacierzy:À À À ¾, À¾À ¾ÆÀ ¾ ¾ ÙÔ ¾ÆÀ¾ ¾ À½ À¾ oznaczywszy ¾ ¾ Ø Þµ Þ Ø Þµ: ؽ ؼ ¾ ÙÔØ Þ ¾ ½ oraz Możemyzałożyć,że: oraz ؽ ؼ ÙÔ Ø Þ ¾ µ ½ ÄÀ ܼ ص Àµ ص Á Ø Ø¼ Þ Ü¼ µµæà µ dla ½.Stądwynika,żedlakażdejfunkcjiÞ Øµtakiej,że Ø Þ Øµµnależydodziedziny dla ؼ Ø Ø½,spełnionesązałożeniatwierdzeniaPicarda-Lindelöfadladrugiegozrównań(4.4). Istniejewięc,dokładniejedno,rozwiazanie ص, ؼµ Á,oczywiściezależneodÞ Øµ. Oznaczmyprzez ¼przestrzeńfunkcjiciągłychna ؼ ؽ owartościachwàiwartościá wpunkcieø¼.zatemdlaü¼idlaýbliskoü¼mamynaprzestrzeni ¼operatory:

ÄÀ Ý Øµ Àµ ص Á Ø Ø¼ Þ Ý µµæà µ ؼ Ø Ø½ Wykład 4 24 ÄÀ ܼ ص Àµ ص ÄÀ Ý Øµ Àµ ص Ø Ø¼ Þ Ü¼ µµ Þ Ý µµ À µ oraz bliskie sobie. Faktycznie: atojestmałe,bozciągłejzależności odwarunkupoczątkowego ܼ µjestblisko Ý µ, zaś Þ jestciągławkierunkuþzzałożenia.zatempunktystałetychkontrakcjiteżsąbliskie, tzn. Ý Øµjestbliskie ܼ ص. IMacierze x 0 y z t φ(x 0 φ(y, t), t) Rysunek 4.1: Trajektoriom równania odpowiadają trajektorie równania w wariacjach. Ad.2. ZamiastoperatorówÄÜ µ ص ÊØ ÄÜ µ ص Ü Ø Ø¼ Ü µµ,będziemyużywaćoperatorów: ؼ µµ (4.5) Ü ½ Ü Øµ À½ Ü Øµ naprzestrzeni Üfunkcjiciągłychz ؼ ؽ wêñ, ؼµ Ü.(Wdrugimdowodzietwierdzenia ociągłejzależnościrozwiązań Ü ØµodÜ,Wykład3,użyliśmyoperatorówÄÜtylkopoto,żeby działaływszystkienatejsamejprzestrzeni,gdziebyło ؼµ ¼). Mamydla ½ Ü Øµ ÜiÀ½ Ü Øµ Á: Ü Ò Ü Øµ ÀÒ Ü Øµ dla wszystkichübliskichü¼. Załóżmy,żesąjużzdefiniowane Ò Ü ØµiÀÒ Ü Øµ,takieże: Niech oraz ÀÒ ½ Ü Øµ Á Ø Ò ½ Ü Øµ Ü Ø Ø¼ ¾ Ò Ü µµæàò µ ؼ Ò Ü µµ

Ü Ò ½ Ü Øµ Á Ø Wykład 4 Á Ø Ø¼ Þ Ò Ü µµæ Ü Ò Ü µ 25 ؼ ¾ Ò Ü µµæàò Ü µ dlaø¼ Ø Ø½.Wtedy: ÀÒ ½ Ü Øµ Jeślipokażemy,że ØÀÒ Ü ØµjestjednostajniezbieżnymciągiemfunkcjizmiennejÜ,to zfaktu: Ò Ü Øµ Ü Øµwyniknie,że Ü Øµjestfunkcjąklasy ½odÜ,ajejróżniczkajest granicąróżniczek Ü Ò Ü Øµ ÀÒ Ü Øµ. Pokażemy,żefaktycznieÀÒ Ü Øµ Ü Øµ,poprzednioopisanychfunkcjistałychwzględem operatorówäà Ü Øµ.Dotychczas,abymócróżniczkowaćpoÜ,pracowaliśmyzewszystkimiÜ Ü Ýµ ܵ Ü Ýµµ równocześnie. Teraz możemy już pracować z każdymüoddzielnie. Lemat4.1Niech µ, µbędąmetrycznymiprzestrzeniamizupełnymioograniczonychśrednicach.niech będzieprzekształceniemciągłym,postaci ܽµ ܾµµ ܽ ܾµ ½ gdzie jestkontrakcjąna : Ü Ý½µ Ü Ý¾µµ ݽ ݾµ natomiast -kontrakcjąnawłóknach Ü : Wtedyistniejedokładniejedenpunktstały ܼ ݼµ¾ dlaprzekształcenia.ponadto dlakażdego Ü Ýµ¾,ciągkolejnychobrazówprzy,tzn. Ò Ü Ýµ,zbiegado ܼ ݼµ (szybkośćzbieżnościzależyjedynieod orazklasyjednakowejciągłościfunkcji,doktórejnależy ). Ćwiczenie: Znaleźć przykład, spełniającego założenia lematu i nie będącego kontrakcją. Dowód lematu 4.1 Wiemy już z twierdzenia Banacha o punkcie stałym dla kontrakcji, że istnieje punkt stały ܼ¾ dlaprzekształcenia orazpunktstałyý¼¾ ܼ dla ܼ ( przeprowadza zdefinicjiwłókno Ü,wewłókno ܵ,czylinaogółwłóknowinnewłókno.Wyjątkiem jest włókno nad punktem stałymü¼, które przeprowadza w siebie). ÙÔ Ý¾ Ü Ýµ ܼ ݵµ µ gdzie µ ¼przy ¼ Ü Ü¼µ Załóżmy,żejeśli to Niechܽ Ü,ݽ ÝorazÜÒ ½ ÜÒµ,ÝÒ ½ ÜÒ ÝÒµ,tzn. ÜÒ ÝÒµjesttrajektorią Ò Ü Ýµ ÜÒ Ü¼µ Ò Ñ przydziałaniu.mamy

ÝÒ ½ ݼµ ÜÒ ÝÒµ ÜÒ Ý¼µµ ÜÒ Ý¼µ Ü Ý¼µµ ÝÒ Ý¼µ ÜÒ Ü¼µµ Jeślioznaczymy Ò Ñ µprzez Ò,tomamy Ò ¼iproblemsprowadzasiędoudo- Wykład 4 26 oraz oraz Àµ ص ÄÀ Àµ ص µ ص ÄÜ µ ص ÄÀ ½ Àµ ص ÄÀ ¾ Àµ ص Ø Ø¼ ¾ ½ µ ¾ ¾ µµ À µ Sprawdźmyjeszczeciągłość.PrzydowolnymÜbliskoܼmamy: Ü Ü Øµµ Á Ø Ø¼ Þ Ü µµæ Ü Ü µ (4.6) wodnienia,żejeślidlaciągu Ò ¼zachodzi Ò ½ Ò Ò, ½i Ò²¼,to Ò ¼(ćwi- czenie). Ü ¼ Uwaga: Ponieważ ½ Ý Ý¼µ Ñ,szybkośćzbieżnościniezależyod Ü Ýµ. Możemy teraz dokończyć dowód twierdzenia(4.1). Wystarczy w lemacie podstawić: atojestmałejeśli ½jestblisko ¾,niezależnieodÜizwiązanychznimprzestrzeniioperatorów. Zauważmy w końcu, że jedynym punktem stałym, o którym mowa w lemacie, jest dla każdegoü,znalezionywcześniej Ü Øµ Ü Øµµ,zależącywsposóbciągłyodÜ. Udowodniliśmyjuż,że Ü Ü ØµµistniejeijestfunkcjąciągłąÜ.Ciągłośćzewzględuna zespółzmiennych Ü Øµwynikazjednakowejciągłości(przyparametrzeÜ)zewzględunaØ, wynikającej z przedstawienia: iwspólnejograniczonościmacierzypodcałką.wreszcieciągłośćø Ü Øµwynikazciągłości oraz. Twierdzenie4.2(O Özależnościrozwiązańodwarunkupoczątkowego)Jeśli jest ciągłezewzględunazespółzmiennych Ø Þµ¾ orazistniejąpochodnecząstkowerzęduö ½ wkierunkachþ,ciągłezewzględunazespółzmiennych Ø Þµ,todlakażdegoØ, Ü Øµjest klasy ÖzewzględunaÜ.Więcej,pochodnecząstkowerzęduÖwkierunkachÜ(Ö Ü Øµ ÜÖ½ ½ ÜÖÑ Ñ, Ö½ ÖÑ Ö)sąciągłezewzględunazespółzmiennych Ü Øµ.

Wykład 4 27 Dowód NależywypisaćÖkolejnychrównańwwariacjach.Przezindukcję( ½ Ö)widzimy,że punktystałezależąodüwsposóbciągły.faktyczniedo Ö ½mamynawetlipschitzowskość,więcpunktystałeznajdujemyztwierdzeniaBanacha.Dla Öużywamylematu(4.1). Punktystałesązbudowanezpochodnychcząstkowychrzędu ( Ö) µ Ü Øµ. Twierdzenie4.3(O Özależnościrozwiązańodwarunkupoczątkowegoiczasu) Jeśliistniejąpochodnecząstkowe Ø ÞµwkierunkuÞ,dorzęduÖ ½orazpochodnecząstkowe w kierunkachø,þ, gdzie przynajmniej jeden raz różniczkujeø, do rzęduö ½oraz te pochodne sąciągłezewzględuna Ø Þµ,to Ü Øµjestklasy Özewzględunazespółzmiennych Ü Øµ. Dowód IndukcjazewzględunaÖ.RóżniczkowaniepoØ,jedenraz,po -krotnymróżniczkowaniu założymy,że ¾ Ö wkierunkuü,zwzoruanalogicznegodo(4.6),da µ ½,tozłożeniejestklasy Ö Þ Ü µµ, ¼ ½ Ö ½.Jeśli ½µ,zatemistnieją,isąciągłewzględemÜ Ø, pochodnecząstkowerzędu ½ Ö Ü Ø Ü Û µ ½µµ Ö. Twierdzenie4.4(O Özależnościrozwiązańodwarunkupoczątkowegoiparametru) Załóżmy, że równanie różniczkowe zależy parametruû, tzn. gdzie jestciągłeociągłychzewzględuna Ø Þ ÛµpochodnychcząstkowychwkierunkachÞ,Û, rzęduö ¼.JeśliÖ ¼,tozakładamyteżlipschitzowskość wkierunkuþ.wtedyrozwiązania Ü Ø Ûµzależą ÖodwarunkupoczątkowegoÜ,czasuØiparametruÛ(tzn.pochodnerzęduÖ poü,øsąciągłymifunkcjamiü,ø,û) Dowód Należydopisaćrównanie Û ¼ipowołaćsięnapoprzednietwierdzenia,zastępująctam zmiennąþprzez Þ Ûµ. w z t 0 x φ(x, t, w ) t x t x t Rysunek 4.2: Parametr możemy traktować jako dodatkową zmienną.

Wykład 5 Twierdzenie 5.1(Lokalne twierdzenie o prostowaniu, wersja nieautonomiczna) Jeśli ÊÑ, Ê ÊÑjestfunkcjąciągłąimaciągłepochodnewkierunkuÊÑ,todladowolnego ؼ ܼµ¾ istnieje ½-dyfeomorfizm otoczenia ؼ ܼµnaotoczenie ؼ ܼµ,zachowującyØ,taki,że ؼ ܼµ ؼ ܼµoraztrajektorie Ø Ü Øµµprzechodząprzy na poziome proste Ü Øµ Ü.Równanieróżniczkowe Þ Ø Þµwnowychwspółrzędnychmapostać Þ ¼. (t ) 0, x 0 Φ Φ( t 0, x 0 ) t 0 t t 0 t Rysunek 5.1: Trajektorie Ø Üµ Ø Ü Øµµ przechodzą na poziome proste. Dowód Definiujemy: ؼ ܼµ ¼ ½ Ø ¼ ¼ Á ½ Mamymacierzróżniczkiw ؼ ܼ) Ø ¼ ½ Ñ ½ ؼ ܼµ przyczym Ü Ø¼ ܼµ Á. natomiast gdyż Ü Ø¼µ,traktowanejakofunkcjaÜ,toidentyczność. 28

Wykład 5 29 Zatem ؼ ܼµjestodwracalne,czyli oraz ½są ½-dyfeomorfizmamiotoczenia ؼ ܼµnaotoczenie ؼ ܼµ.PonadtodlakażdegoÜ, przeprowadzakrzywącałkową Ø Ü Øµµ naprostą Ø Üµ.Skorzystaliśmyz ½-zależności od Ü Øµ. Twierdzenie 5.2(Lokalne twierdzenie o prostowaniu, wersja autonomiczna) Jeśli Í ÊÑjestklasy ½naÍ-otoczeniuܼ¾ÊÑoraz ܼµ ¼,tonapewnymotoczeniuÎ Ípunktuܼistniejąwspółrzędne Î ÊÑ,takie,żetrajektorie Ü Øµrównaniaróżniczkowego Þ Þµprzechodząprzy narównoległeproste,np.ü½ ÜÑ Þ ¼ ¼ ßÞÐ Ñ ½ ÓÒ Ø ÊÑ wewspółrzędnychü½ ÜÑ.Inaczejmówiącwnowychwspółrzędnychrównaniemapostać ½razy ½µ. Ü Øµ ܵ ص Dowód Niech ½ ÊÑparametryzujehiperpłaszczyznęwÊÑ,przechodzącąprzezܼ,prostopadłądowektora ܼµorazniech ¼µ ܼ.Zdefiniujmynaotoczeniupunktu ¼ ؼµprzekształcenie,wzorem Γ. F(x 0 ) =φ DΓ R m 1 Γ ( R m 1 ) ( ) ¼ ؼµ Þ Æ R m 1 Ø Ü¼ ؼµµ µ Rysunek 5.2: Prostowanie ½µ.Zatemrządmacierzy ܽ ÜÑ ½ ÓÒ Ø ÊÑ ÊÑ ½ Ê Mamy: ponieważ Þ ÁdlaØ Ø¼(mamybowiem Þ Ø¼µ Þ). kolumn,ñwierszy)rzęduñ ÊÑ jest Ñ ½µ Ñmacierzą(Ñ ½ ½,natomiastwektor jestzzałożeniaprostopadłydojejkolumn, rozpinającychhiperpłaszczyznę µjestrównyñ,czyli ¼ ؼµjestodwracalne,zaś ¼ ¼ ßÞÐ Ñ ½jest ½-dyfeomorfizmemotoczeniaܼnaotoczenie ½ ؼµ.Ponadto przeprowadza pionowe linie wtrajektorie ܽ ÜÑ ½ ص ܽ ÜÑ ½µ ص,czyliprzekształcenieodwrotne przeprowadza trajektorie w pionowe linie.

Wykład 5 30 ܼ ؼ ص ܼ ؼ ¼ Ø ¼µ Zajmiemy się teraz bliżej trajektoriami autonomicznych równań różniczkowych. Lemat5.1Jeśli Ø Þµ ÞµniezależyodØ,todlatrajektoriirównaniaróżniczkowego Þ Þµowarunkupoczątkowymܼorazczasachpoczątkowychؼ,ؼ ¼,mamyrówność: Dowód ܼ ؼ ¼ Ø ¼µ Ø ¼ ܼ ؼ ¼ Ø ¼µµ ܼ ؼ ص Ø Ü¼ ؼ صµ W sytuacji ogólnej, niekoniecznie autonomicznej, mamy: ܼ ؼ ¼ µ Ø ¼ ܼ ؼ ¼ µµ oraz Jeśli niezależyodczasu,toobiekrzywespełniajątosamorównanieróżniczkoweimają tensamwarunekpoczątkowyü¼dlaø ؼ,więcsąrówne(formalniedrugakrzywajestzadana równaniem: alezrobiliśmypodstawienie Ø ¼,żebyobiekrzywebyłyparametryzowanetymsamym odcinkiem, odø¼, dzięki czemu można je porównać; skorzystaliśmy jeszcze z tego, że pochodna tego podstawienia jest równa 1). (Wogólności,jeśli zależyodczasu,chociażobiekrzywemajątęsamąwartośćü¼wpunkcie ؼ, dwa równania różniczkowe podane na początku dowodu, które te krzywe spełniają, mogą być różne. Zatem krzywe też mogą być różne). Wniosek Dlaautonomicznegorównaniaróżniczkowego ܼ ؼ صzależytylkoodܼiØ Ø Üµ Ü ¼ ص Ü ¼ Ø ¼µ ؼ. Powyższy fakt jest motywacją dla wprowadzenia następującego oznaczenia: ½ ¾ ܵ ¾Æ ½ ܵ dla dowolnego ¼, dla autonomicznego równania różniczkowego. Twierdzenie5.3 Mamy więc homomorfizm grupy addytywnejê, w grupę dyfeomorfizmów ze składaniem. Dowód Korzystajączpowyższegolematumamydladowolnychؼ,ؽ,ؾoraz ½ ؽ ½ ¾ ܵ Ü Ø¼ ؾµ Ü Ø¼ ؽµ ؽ ؾµ ¾ ½ ܵµ ¾Æ ½ ܵ ؼ, ¾ ؾ ؽ

Wykład 5 31 Uwaga Wpowyższymtwierdzeniutrzebazałożyćprzedłużanierozwiązańdlaؾ ½ ½µ.Wprzeciwnym razie mamy homomorfizm lokalny (tam gdzie nasze obiekty są zdefiniowane). Definicja5.1PrzestrzeńtopologicznąÅnazywamy ½-rozmaitością(innanazwa:rozmaitość różniczkowa),jeślimożnająprzedstawićwpostacisumyå Ë ¾ÂÍ,podzbiorówotwartych Í,takich,żeistniejąhomeomorfizmy Í Î ÊÑdlapewnejliczbynaturalnejÑ,oraz dladowolnych ½, ¾funkcja ¾Æ ½ ½jestfunkcjąklasy ½z ½ Î ½ Î ¾µna ¾ Î ½ Î ¾µ. (Zbiór indeksówâmoże być nieprzeliczalny.) U j 1 U j 2 M φ j 1 φ j 2 V j 1 V j 2 φ ( U j ) 1 j 1 U j 2 ( ) φ j 2 U j 1 U j 2 Rysunek 5.3: Atlas i mapy. Uwagi: 1.Możnazałożyć,żewszystkieÎ tokulejednostkowewêñ. 2. Można założyć, żeåto tylko zbiór, a topologię wprowadzić poprzez bazę otoczeń dowolnegopunktu: ܵ ½ ܵµµ,gdzie tootoczenia ܵwÎ (trzebajednak założyć,że ½ Í ½ Í ¾µjestotwartewÎ ½µ. 3. sąhomeomorfizmamioraz ¾Æ ½sąklasy ½,zatem ¾Æ ½ ½ ½sądyfeomorfizmami. 4. nazywamymapami,arodzinę ¾Âatlasem. 5.Wpowyższejsytuacjimówimy,żenaÅmamy ½-strukturę.Wanalogicznysposób możemynaåprzenosićinnestruktury,oile ¾Æ ½ ½mająokreślonąwłasność,np.są: afiniczne,holomorficzne(przyñ ¾),klasy Ö,ciągłe.Mówimywówczas,żeodpowiednią strukturę mamy naå. Mówimy też odpowiednio, żeåjest rozmaitością afiniczną, holomorficzną, Ö,topologiczną.Ostrukturzedecydująwłasności ¾Æ ½ ½, przejścia zmapydomapy.

Wykład 5 32 6. Na ogół zakłada się, że atlas jest lokalnie skończony. To pozwala na różne konstrukcje,np.rozbiciejedności:½ È ¾Â,gdzie tonieujemnefunkcjerzeczywisteoraz 7.RozważasięczasemrozmaitościÅnieośrodkowe,zbiórindeksówÂ,(czyliliczbamap ÅÒÍ ¼. w atlasie), musi być wtedy nieprzeliczalny. czyli Ý Ø Üµ Ü Ø Üµµ Dla dalszych definicji motywacją jest następujące spostrzeżenie: Jeśli mamy równanie różniczkowe Ü Ø ÜµgdzieÜ ¾ÊÑ,towewspółrzędnychÝ Üµrównanietoprzybiera postać ½ ݵµµ. ½Æ ¾µ ¾ ½ ½ Definicja 5.2 Dla rozmaitości różniczkowejåoraz dowolnegoü¾å, definiujemy przestrzeń wektorów stycznych doåwü,ìüå(przestrzeń styczna). Przestrzeń tą możemy zdefiniować np.biorącrozłącznąsumęprzestrzenistycznychë Ü¾Í Ì ÜµÎ Ë Ü¾Í ÊÑiutożsamiając ½¾Ì ½ ܵΠ½oraz ¾¾Ì ¾ ܵΠ¾jeśli x M R m F j 2 R m φ (x ) j 1 F j1 φ (x ) j 2 Rysunek 5.4: Przestrzeń styczna to zbiór klas równoważności wektorów. Uwagi: 1. Wektor styczny wüdoåmożemy zdefiniować także jako klasę równoważności krzywych różniczkowalnychw¼, Å, ¼µ Ü.(Mówimy,że jestróżniczkowalnaw¼, jeśli Æ mapochodnąw¼.dziękiróżniczkowalności ½Æ Æ ½µ ½ Ø Æ ¾µ Ø ¾definicjataniezależyod.)Przyjmujemy,że ½ ¾( ½równoważne ¾),gdywpunkcie¼zachodzi

½Æ µ Ø ½Æ ¾µ ¾Æ µ ½ Ø µ Wykład 5 33 ( możebyćdowolne,zależneodkrzywej).definicjatejrelacjijestpoprawna(niezależy od ),gdyż: dla ½ ¾. 2.ÌÜÅma naturalną strukturę przestrzeni liniowej, przeniesioną zêñ. Ta struktura nie zależyod,boutożsamienie ½Æ ½ ¾µjestliniowe. γ 1 γ 2 x ( ) φ γ 1 j 1 φj ( γ ) 2 1 φj ( γ ) φ ( γ ) j 1 2 2 2 Rysunek5.5:Przestrzeństycznąmożnateżuzyskaćjakozbiórklasrównoważnościrelacji. Definicja5.3PolemwektorowymnaÅnazywamyfunkcję Å ËܾÅÌÜÅ,taką,że ܵ¾ÌÜÅ.SumęËܾÅÌÜÅnazywamywiązkąstycznąioznaczamyprzezÌÅ. Pole nazywamyciągłym, ½, Ö,itp.,jeślirozmaitośćmaodpowiedniąstrukturę(topologiczną, ½, Ö)oraz,reprezentant wmapie,jestfunkcjąciągłą, ½, Ö,...dlakażdej mapy. Æ Ø Øµ Æ Øµµ ص صµ Mówimy,żekrzywa ؼ ؽµ Åspełniarównanieróżniczkowe jeśli Tadefinicja,namocywcześniejszychrachunków,niezależyod. Wjęzykudrugiejdefinicjiwektorastycznego, ص صµoznacza,żedlakażdegoؼ krzywazmiennej ¼: ؼ µnależydoklasyrównoważnościkrzywych wpunkcie ؼµµ.

Wykład 5 34 Dalsze uwagi: 1. Na ogół zakłada się, żeå, jako przestrzeń topologiczna, ma własność Hausdorffa(oddzielaniapunktów),tzn.dladowolnychÜ Ý¾Å,Ü Ýistniejązbioryotwarterozłączne ÍÜ,ÍÝ, zawierające odpowiednioüiý. Bez tej własności równania różniczkowe mogą mieć egzotyczne własności. Dla przykładu rozpatrzmy rozmaitośćå, składającą się z otwartej półprostejð¼: ½ ¼µorazdwóchpółprostych ¼ ½µ:нiо.Zbioryotwartezdefiniujmy jakozbioryotwartewstandardowejtopologiiwprostychð¼ н,м оorazichsumy. Wtedy punktówô½iô¾, początków prostychð½ið¾nie da się oddzielić parą rozłącznych zbiorówotwartych.równanieróżniczkowe Ü ½majednoznacznerozwiązaniewotoczeniu każdegoü¾å, ale nie ma jednoznaczności rozwiązań(globalnie). Rozwiązanie zwarunkiempoczątkowymwð¼możebowiemwejśćzarównowð½,jakið¾. l 0 l 0 Rysunek 5.6: Niejednoznaczność przy braku warunku Hausdorffa. 2.JeśliÅjestrozmaitościązwartątokażderównanieróżniczkowe Þ Þµ,( -poleciągłe) jestzupełne,tzn.dziedzinąwszystkichrozwiązańwysyconychjest ½ ½µ,istniejewięc (globalny)potokdyfeomorfizmów(jeśli jest ½). Dowód Dlakażdegoܼ¾ÅistniejeÏܼ-otoczenieܼorazØܼ ¼takie,żedlakażdegoܾÏܼ istniejerozwiązanieþ صrównaniaróżniczkowego Þ Þµ,zwarunkiempoczątkowym Þ ¼µ Ü,określonedlaؾ Øܼ Øܼµ.WynikatoztwierdzeniaPeano;wystarczywziąć mapę Í Î, ܼµ,taką,żeܼ¾Í,orazwybraćparęzbiorówotwartych Ø Øܼ Øܼ ÙÔ Ï¼Ü¼µ Ïܼ ϼܼtakich,żeܼ Ïܼ ÐÏܼ ϼܼ Ðϼܼ Í. «Ñ Ò Øܼ Ïܼ¾Ï (ZmniejszającÎ możemyzałożyć,że jestnanimfunkcjąograniczoną.) Dzięki zwartościåmożna wybrać skończone pokrycieïzbioruåzbioramiïü¼i wziąć Wtedyrozwiązaniamożnaprzedłużaćkrokamiconajmniej«dodziedziny ½ ½µ. Możnawreszciezdefiniować Ø Ïܼµ ÊÑÒ Ï¼Ü¼µ.TwierdzeniePeanozastosowanedorównania Þ Þµwewspółrzędnych darozwiązaniadla l 0

Rysunek 5.7: Trajektoria równania różniczkowego na torusie. Wykład 5 35 Przykład: Š̾ ʾ ¾-dwuwymiarowytorus.ʾjestgrupąaddytywną,dzielimyjąprzezpodgrupę ¾.Przekształceniefaktoryzacjiʾ ʾ ¾oznaczmyprzezÈ.JakozbioryÍ możemy wziąćnp.è Î µ,gdzieî okoławê¾opromieniu½¾.wtedymożnawziąć È ½ Í (dowolnie wybrane gałęzie). Rozpatrzmynaʾstałepolewektorowe ܵ ½ µ.poletoprzenosisięprzez ½,czyli przezè,napole natorusieì¾. Jeśli jestniewymierne,towszystkietrajektorie sągęstewì¾.jeśli ÔÕ(Ô,Õ-względnie pierwsze liczby naturalne), to wszystkie trajektorie naì¾są okresowe z okresemõ, przy czym Õobiegom wzdłuż osiütowarzyszyôobiegów wzdłuż osiý. Uwaga Przypuśćmy,żenarozmaitościÅzatlasem działagrupadyfeomorfizmów wsposób całkowicie nieciągły, tzn. dla każdegoüistnieje zbiór otwartyí Ütaki, że dla każdego dyfeomorfizmu ¾, Á,zbiory ͵iÍsąrozłączne.Jeśli jestpolemwektorowym naå,takim,że µ dlakażdego ¾,toÅ (utożsamiamywszystkieorbity, tzn.ü Ý,jeśli ¾ ܵ Ý)jestrozmaitościąiÈ Å Å przenosipole naå. Faktycznie,możnawziąćjakomapyzłożeniegałęziÈ ½Æ ½Æ ½naÈ Íµz,dlaÍtakmałych,żete gałęzie istnieją. DladowolnychdwóchgałęziÈ ¾Æ ½ ¾ ½Æ Æ ½ ¾¾ ½),oraz ½Æ ½½: ½i ¾,mamy ½Æ ½ ½ ¾¾,więcklasy ½(dokładniej ¾µ µ.èprzenosiwięc naå SzczególnymprzypadkiemtejkonstrukcjijestopisanewcześniejÊÑ ÌÑ ÊÑ Ñ.Element ¾ ÑdziałanaÊÑprzezÜ Ü (podgrupadziałanagrupie). φ 1 F P h 1 g P φ 2 F h 2 Rysunek5.8:MapamidlarozmaitościÅ sązłożenialokalnychgałęziè ½zmapami. M/G M

Wykład 6 È Ü Ýµ Ü É Ü Ýµ Ý ¼ (6.1) Zajmijmy się teraz następującym zagadnieniem na płaszczyźnieê¾: Opisać(znaleźć równania) krzywe, dla których È Ü Øµ Ý Øµµ Ü Øµ É Ü Øµ Ý Øµµ Ý Øµ ¼ gdzieèiétofunkcjerzeczywisteklasy ½naʾ(lubotwartympodzbiorze).Przez(6.1) rozumiemy,żekrzywe ص Ü Øµ Ý Øµµspełniająrównanie: µ È Ü Øµ Ý Øµµ Ü Øµ É Ü Øµ Ý Øµµ Ý Øµ ¼ (6.2) Zagadnienie to nie ma jednoznaczności rozwiązań, w tym sensie, że rozwiązanie ze zmienionąparametryzacjąteżjestrozwiązaniem.dlaø µ-zmianyparametryzacji, È µµµ ÜÆ µ É µµµ ÝÆ µ ¼ daje:è Ü µµ Ý µµµ Ü µµ µ É Ü µµ Ý µµµ Ý µµ µ ¼ czyli Ü Ý È Ü Ýµ É Ü Ýµ Ý È Ü Ýµ (6.3) Ü Ø É Ü Ýµ Ü ÝµÈ Ü Ýµ Ü Ü ÝµÉ Ü Ýµ Ý ¼ (6.4) Jeśli Ü Øµ ¼,dlaØ Ø¼(tzn.niezachodziÉ Ü Øµ Ý Øµµ ¼,È Ü Øµ Ý Øµµ ¼),tomożna zażądać,żeby Ü Ø ½,wtedymamywotoczeniuؼ,zakładającÉ ¼, W tej postaci mamy już jednoznaczność rozwiązań, bo ustaliliśmy czas. Mogliśmy jednak ustalić czas inaczej i napisać: (Zauważmy, że równanie(6.1) nie zmieni się, jeśli zastąpimy je równaniem dlafunkcji ¼.Tazmianadajednakinnerównanie(6.4)iinnywybórczasu). 36

À È Ü É Ý (6.6) À Ü È À Ý É Wykład 6 37 BędziemyszukalitakiejfunkcjirzeczywistejÀ Ü Ýµ,żeby: ÀÆ Øµµ Ø À Ü Ü Ø À Ý Ý Ü È Ü É Ý ¼ i (6.5) Taka funkcja będzie stała na trajektoriach, rozwiązaniach(6.1), bo: ZatemtrajektoriesąpostaciÀ ÓÒ Ø. Funkcja stała na trajektoriach nazywa się całką pierwszą. Znalezienie takiej dla r.r. postaci(6.1), która nie jest stała w otoczeniu żadnego punktu można uważać za rozwiązanie równania. Uwaga Dladowolnejrzeczywistejfunkcji klasy ½naobszarzewʾ,wkażdympunkcie Ü Ýµ wdziedzinie wyrażenie możnainterpretowaćjakofunkcjonałliniowynaprzestrzeniwektorówstycznychdoê¾w Ü Ýµ.DlaÚ¾Ì Ü ÝµÊ¾ Úµ Ú (pochodna wkierunkuwektora Ú Ú½ Ú¾µ.Ponieważ Ú ÜÚ½ Ú).Wszczególnościdla Ü Ýµ Üi Ü Ýµ Ýmamyodpowiednio Ú Ú½, Ú Ú¾,przy ÝÚ¾, Ü równanie(6.5) daje: Ý Ø À ÝÀ Ü JeśliÈ Ü É Ýdasiętakzapisać,mówimy,żejestróżniczkązupełną.Układrównań(6.4) ma wtedy postać układu hamiltonowskiego: (6.7) TakieukładyrozważasięteżdlaÜ Ý¾ÊÑ,gdzieÑjestdodatniąliczbąnaturalną,porównaj przykład z Rozdziału 1. Analogicznie do pola wektorowego, które każdemu punktowiþobszaru przyporządkowuje wektorstycznywtympunkcie,elementprzestrzenistycznejìþ, lubkombinacjaliniowatakich wyrażeń przyporządkowuje każdemuþfunkcjonał liniowy naìþ. Takie przyporządkowanie (ciągłe, ½)nazywamy1-formąróżniczkową(ciągłą, ½).Równanie(6.6)oznaczawięcrówność È Ý É formróżniczkowych.postać È Ü É Ýoznaczazapisanie1-formywbazie Ü, Ý. Ü Twierdzenie 6.1 Warunkiem koniecznym i dostatecznym dla istnieniaà, spełniającego(6.5) na obszarze jednospójnym jest równość (6.8)

È Ý Ý À Ü Ü À Ý É Wykład 6 Ü 38 Dowód Konieczność(dla dowolnego obszaru): Dostateczność(dla dysku lub całej płaszczyzny): (x, y ) 1 0 (x, y ) 1 1 (x, y ) (x, y ) À ܽ ݽµ ܼ ݽµ ܼ ݼµÉ Ý Ü½ ݽµ 1 0 0 ܼ ݽµÈ Ü Ü½ ݼµ 0 ܼ ݼµÈ Ü Ü½ ݽµ ܽ ݼµÉ Ý Rysunek 6.1: Ustalony punkt łączymy łamanymi z pozostałymi. Niech ܼ ݼµbędzieśrodkiemdysku.Definiujemy: À Ü È Ü½ ݽµ Są to całki po odcinkach łączących wê¾punkty wypisane przy całkach. Równość definiujących wyrażeń wykażemy później. Zauważmy teraz, że z pierwszej postaciàwynika równość: różniczkuje się bowiem tylko drugą całkę, pierwsza nie zależy odü. Analogicznie z drugiej postacià:à Ý É Ü½ ݽµ ݽ ݼ ܽ ܼ ݽµ ܼ ݼµÉ ܼ ݵ Ý Ü¼É Ü½ ݽµ Ü Ü Ý Ü½ ݼµÉ ܽ ݵ Ý Ý½ ݼ ܽ Ü¼É Ü Ü Ý Zatem(6.5) jest spełnione. Udowodnimy teraz równość w definicji funkcjià: ܽ ܼ ݽ ܽ ݼµ ܼ ݼµÈ Ü Ý¼µ Ü Ý¼È Ü½ ݽµ Ý Ý Ü Ü¼ ݽµÈ Ü Ý½µ Ü Ü½ ܼ ݽ Ý¼È Ý Ý Ü Ponadto Zatem z założeniaè Ý É Üwyrażenia te są równe.

Wykład 6 39 (x, y ) 0 1 (x, y ) 1 1 (x, y ) (x, y ) 0 1 1 1 (x, y ) 0 0 (x, y ) 1 0 (x, y ) 0 0 (x, y ) 1 0 È Ü É Ýµ È Rysunek 6.2: Równość Ý Ý Ü É całek wynika Ü Ü Ý È z twierdzenia Fubiniego. Ý É Ü Ý Ü ¼ Uwaga dla osób znających formy różniczkowe Warunek(6.8)oznacza,że ¼,bo: Oformie,dlaktórej ¼,mówimy,żejestzamknięta. Z twierdzenia Stokes a wynika, że w obszarze jednospójnymí1-forma zamknięta jest dokładna,tzn.jestpostaci À.Właśnietoudowodniliśmydla1-formy,rozpatrując,podobnie jakwsytuacjiogólnej,à Ê,gdzie todowolnakrzywawíłącząca ܼ ݼµi ܽ ݽµ Czynnik całkujący. JeśliÈ Ü É Ýniejestróżniczkązupełną,toszukamyfunkcji Ü Ýµ ¼,takiej,żeby È Ü É Ýbyłoróżniczkązupełną.Takie nazywasięczynnikiemcałkującym.dlafunkcji spełnionemusibyćrównanie: ȵ Ý Éµ È Ü Ý É Ü É È Ý czyli Jest to równanie różniczkowe cząstkowe½rzędu. Wystarczy znaleźć przynajmniej jedno jego rozwiązanie,coczasemjestłatwe.

Wykład 6 40 Zbierzmy poznane dotychczas na wykładach i ćwiczeniach metody całkowania(rozwiązywania) równań różniczkowych zwyczajnych: ݵ Ý Üµ Ü ½Ý¼ ܵ ݵ 1.Rozdzielonezmienne: Piszemy i PodstawiamyÞ ÝÜ,otrzymując; Þܵ¼ Þ¼Ü Þ Þµ ݼ ÝÜ całkujemy. Otrzymujemy równość między funkcjami zmiennychýiü, którą czasem da się rozwikłać otrzymując wzór naý ܵ. 2.Równaniejednorodne ¾Ü ¾Ý ¾ i dalej całkujemy metodą rozdzielania zmiennych. 3.Czasemdlarównaniaróżniczkowegoniejednorodnego,podstawienieÝ ÛÒdajerównanie jednorodne. Ø ½ ½ ¾ ¾ ¼ Ü Ü Jeśli Ý Ý Ð topodstawienie ½ ½Ð ½ ¾ ¾Ð ¾ gdzie,ðspełniają: Ø ½ ½ sprowadzarównaniedojednorodnego.(środekukładuwspółrzędnych Ü Ýtopunktprzecięciaprostych ½Ü ½Ý ½ ¼i ¾Ü ¾Ý ¾ ¼). ½Ü ½Ý Þ ¾ ¾ ¼ Jeśli Þ¼ Þµ topodstawienie dajerównaniepostaci 4. ݼ ½Ü ½Ý ½

Wykład 6 41 À È Ü É Ý È Ü É Ý ¼ 5. Metoda całkowania polega na znalezieniu całki pierwszejà: (oileè Üݵ, Ý É Ü).WtedykrzywecałkoweopisanesąrównaniemÀ ÓÒ Ø.JeśliÈ Ý É Ü, toszukamyczynnikacałkującego Ü Ýµ.Czasemudajesięznaleźć ܵ, ݵ, ÝÜ.Równaniecząstkowena sprowadzasięwtedydołatwegorównania Ý Üµ ÊÜܼ µ ݼ ܵ Ý różniczkowego zwyczajnego. 6.Równanieliniowejednorodne (6.9) Wtedy (6.10) 7.Równanielinioweniejednorodneݼ ܵ Ý Üµ (6.11) Ý Üµ Ý Üµ Ý Üµ Ü Ü¼½ Ý µ µ Rozwiązujemynajpierwrównaniejednorodne(6.9).Następniezamiast piszemy ܵ, otrzymujacprosterównanieróżniczkowena ܵ.Jesttotzw.metodauzmiennianiastałej. Ostatecznym wynikiem jest: ݼ ÜµÝ ÜµÝÒ Ò ¼ ½ gdzie Ýtorozwiązanierównaniajednorodnego(6.9).(Rozwiązaniejestsumąrozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.) 8.RównanieBernoulliego PopodstawieniuÞ ½ ÝÒ Ý¼ ÜµÝ ÜµÝ¾ ܵ ½otrzymujemy równanie liniowe. 9.RównanieRiccatiego Jeśliznamyjednorozwiązanie Ý,toprzezpodstawienieÝ Ý ÞotrzymujemynaÞ równanie Bernoulliego.

Wykład 7 Ü ØµÜ Øµ Ü ¾Ê Ü Øµ ص ص Ø µ µ (7.1) (7.2) Zajmiemy się teraz rozwiązywaniem układów równań liniowych. Przypomnijmy, że rozwiązaniem liniowego równania różniczkowego: o zmiennych współczynnikach, niejednorodnego, ص Ø µ jest: gdzie Wszędzie jako dolną granicę całkowania można napisać, np.¼, zmiany początków odcinkówcałkowaniawpływająjedynienawspółczynnik,czyliniewpływająnaogólnąpostać rozwiązania.jeśliwarunkiempoczątkowymjestü ؼµ,tojakodolnągranicęcałkowania przyjmujemyø¼. W(7.1)Ü Øµjestsumąszczególnegorozwiązaniarównania Ü ØµÜ Øµ, ØÊØ Ø¼ µ µ orazogólnegorozwiązaniarównaniajednorodnego Ü ØµÜ,postaci ص. Á ½ Ò ½ Ò Ò Zajmiemy się teraz układem równań liniowych, tzn.ü ص¾ÊÑ. Definicja 7.1 Dla A, macierzyñ Ñ(można ją też interpretować jako przekształcenie liniowe ÊÑ ÊÑ)definiujemy (7.3) ÙÔ Ú ½ Ú Przed udowodnieniem poprawności powyższej definicji przypomnijmy pojęcie normy macierzy: Definicja7.2Normąmacierzy nazywamyliczbę gdzieúoznaczawektornależącydoêñ,natomiast Ú ÔÚ¾½ Ú¾Ñ-jegonormęeuklidesową. 42

Ú ¼ Ú Ú Wykład 7 43 Uwagi: cowynikazrówności Û Û ( Ú Ú Ú wdefinicjimożnazastąpićprzez Úµ Æ Úµ Ú,gdzie ½). Ú Úµ Ú Ú Ú gdyż ponieważdlawektorówú ¼ µú Ú Úµ Ú Úµ Ú µ 4. W przestrzeni liniowejåmacierzy(przekształceń liniowych) wprowadzamy odległość.przestrzeń Å µjestzupełna.ciągcauchy ego Òjestzbieżny,bo dlakażdegoú, Ò Úµjestzbieżny,dziękizupełnościÊÑ.Łatwosprawdzić,żewgranicy otrzymujemy przekształcenie liniowe. Zostatniejuwagiwynika,żeszeregdefiniujący jestzbieżny(tzn.ciągsumczęściowych jestzbieżny)dlakażdego.definicja(7.1)jestwięcpoprawna. Lemat7.1Jeśli i komutują(tzn. ),to ½ Ò ¼½Ò µò ½ Ò ¼Ò ¼ Ò ½ µ Ò ½ ¼ ½ Ð ¼ Ð Ð Dowód Szczegóły związane ze zbieżnością można Ø Ø µ potraktować jako ćwiczenie. Wniosek Ü Øµ Ø Ü¼ Ü Ü Twierdzenie 7.1 Rozwiązaniem równania różniczkowego liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach (gdzie jestmacierząñ Ñ)zwarunkiempoczątkowymÜ ¼µ ܼ¾ÊÑjest ÙÔ 1. Æ 2. 3.